Доказать что функция дирихле не интегрируема по риману

от admin 14.03.2023

14.03.2023

Функция Дирихле — Dirichlet function

В математике , то функция Дирихля представляет собой индикаторную функцию 1 _Q или множества рациональных чисел Q , то есть 1 _Q ( х ) = 1 , если х является рациональным числом и 1 _Q ( х ) = 0 , если й не является рациональным число (т.е. иррациональное число ). 1 Q <\ displaystyle \ mathbf <1>_ <\ mathbb >>

Он назван в честь математика Питера Густава Лежена Дирихле . Это пример патологической функции, которая дает контрпримеры для многих ситуаций.

СОДЕРЖАНИЕ

Топологические свойства

Функция Дирихле нигде не является непрерывной .

Если y рационально, то f ( y ) = 1 . Чтобы показать, что функция не является непрерывной в y , нам нужно найти такое ε , что независимо от того, насколько малым мы выберем δ , в пределах δ от y будут точки z, такие что f ( z ) не находится в пределах ε от f ( y ). = 1 . Фактически, 1/2 и есть такое ε . Поскольку иррациональные числа являются плотными в реалов, независимо от того , что & delta мы выбираем , мы всегда можем найти иррациональное г в пределах б о у и е ( г ) = 0 , по крайней мере 1/2 от 1.
Если y иррационально, то f ( y ) = 0 . Опять же, мы можем взять ε = 1/2 , и на этот раз, поскольку рациональные числа плотны в действительных числах, мы можем выбрать z как рациональное число, настолько близкое к y, насколько это требуется. Опять же, f ( z ) = 1 больше чем на 1/2 от f ( y ) = 0 .

Периодичность

Для любого вещественного числа х и любого положительного рационального числа Т , 1 _Q ( х + Т ) = 1 _Q ( х ). Функция Дирихля, следовательно , является примером реальной периодической функции , которая не является постоянной , но, множество периодов, множество рациональных чисел, является плотным подмножеством из R .

Свойства интеграции

Функция Дирихле не интегрируема по Риману ни на каком отрезке R, тогда как она ограничена, поскольку множество ее точек разрыва не является незначительным (для меры Лебега ).
Функция Дирихле представляет собой контрпример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости неверна в контексте интеграла Римана.

Используя перечисление рациональных чисел от 0 до 1, мы определяем функцию f _n (для всех неотрицательных целых n ) как индикаторную функцию набора первых n членов этой последовательности рациональных чисел. Возрастающая последовательность функций f _n (неотрицательных, интегрируемых по Риману с исчезающим интегралом) поточечно сходится к функции Дирихле, которая не является интегрируемой по Риману.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Функции Римана и Дирихле

у Римана разрывами являются все рациональные точки и только они, у Дирихле — вообще все точки.
Функция Римана интегрируема везде.

Это есть в Фихтенгольце. Первый том, страница 154.

— Чт ноя 26, 2009 22:55:11 —

Конец пункта 70.

Эту задачу Вам дали как раз для того, чтобы Вы поняли. И понять Вам надо прежде всего то, что в определении непрерывной функции на языке — $\delta$ записано гораздо больше, чем просто наши наглядные представления о непрерывности. Оно даёт точные ответы даже тогда, когда интуиция отказывает. То есть всегда есть грань, за которой кончается воля человека, и начинают работать внутренние законы логики. Если Вы сейчас совершите усилие, и произведёте соответствующий поворот сознания, то поймёте, что такое математика

Ладно, пока что у меня есть настроение объяснить еще раз, хотя тут где-то более подробная тема валялась. Вот Вы взяли иррациональную точку $x$ (в ней обе функции равны нулю) и число $\varepsilon>0$ . Скажем, $\varepsilon=1/3$ . И определение непрерывной функции заставляет Вас искать такое $\delta>0$ , чтобы в $\delta$ -окрестности $x$ функция была по модулю меньше, чем $\varepsilon=1/3$ . Для функции Дирихле такого $\delta$ найти не удастся: в любой окрестности $x$ содержится куча точек, в которых функция равна единице. А вот с функцией Римана ситуация другая: там точек, в которых она по модулю $\ge 1/3$ , совсем мало — можно по пальцам пересчитать: , '/2$ , '/3$ , .
И $$\delta=\min\<|x-1|,|x-1/2|,|x-1/3|,|x-2/3|\>$» /> оказывается настолько хорошим, что ни одна из плохих точек не попадает в окрестность. <br />Собственно, всё. То есть я просто аккуратно, с карандашиком, прочитал определение непрерывной функции, и тупо проверил, что оно в одном случае не выполнено заведомо, а в другом случае в ну очень частном случае Вам показал, как можно его проверять.</p> <div style=$

Читать:

На экране ноутбука только заставка что делать

Функция Дирихле — Dirichlet function

В математике функция Дирихле является индикаторной функцией 1ℚнабора рациональных чисел ℚ, то есть 1ℚ(x) = 1, если x является рациональным числом, и 1ℚ(x) = 0, если x не является рациональным числом (т. Е. иррациональным числом ).

Он назван в честь математика Питера Густава Лежена Дирихле. Это пример патологической функции, которая дает контрпримеры для многих ситуаций.

Содержание

1 Топологические свойства
2 Периодичность
3 Свойства интеграции
4 Ссылки

Топологические свойства

Функция Дирихле нигде не непрерывна.

Если y рационально, то f (y) = 1. Чтобы показать, что функция не является непрерывной в y, нам нужно найти такое ε, что независимо от того, насколько малым мы выберем δ, в пределах δ от y будут такие точки z, что f (z) не находится в пределах ε от f (y) = 1. Фактически, 1/2 является таким ε. Поскольку иррациональные числаплотны в вещественных числах, независимо от того, какое δ мы выберем, мы всегда можем найти иррациональное z в пределах δ от y, и f (z) = 0 будет по крайней мере 1/2 от 1.
Если y иррационально, то f (y) = 0. Опять же, мы можем взять ε = 1/2, и на этот раз, потому что рациональные числа плотны в действительных числах., мы можем выбрать z как рациональное число, максимально близкое к y. Опять же, f (z) = 1 больше чем на 1/2 от f (y) = 0.

Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом:

Периодичность

Для любого действительного числа x и любого положительного рационального числа T, 1ℚ(х + Т) = 1ℚ(х). Таким образом, функция Дирихле является примером реальной периодической функции, которая не является константой, но чей набор периодов, набор рациональных чисел, является плотным подмножеством из ℝ.

Свойства интегрирования

Функция Дирихле не интегрируема по Риману ни на одном сегменте ℝ, тогда как она ограничена, потому что множество ее точек разрыва не незначительно (для меры Лебега ).
Функция Дирихле дает контрпример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости неверна в контексте интеграла Римана.

Используя перечисление рациональных чисел от 0 до 1, мы определяем функцию f n (для всех неотрицательных целых n) как индикаторную функцию набора первых n членов этой последовательности рациональных чисел. Возрастающая последовательность функций f n (неотрицательных, интегрируемых по Риману с исчезающим интегралом) поточечно сходится к функции Дирихле, которая не является интегрируемой по Риману.

Необходимое условие интегрируемости

Т. Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём.

Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R(I) или R[a, b].

Напоминание: Критерий Коши существования предела по базе функции

? Докажем: ограничена на I. Так как функция интегрируема, то

От противного: Предположим, что не ограничена на I . Тогда не ограничена на некотором подпромежутке промежутка разбиения , т.е. при :

Это следует из интегрируемости функции .

Но, если выбрать разбиения и , отличающиеся только одной отмеченной точкой , для которых (это возможно, т.к. функция неограниченна) то получим: . Полученное противоречие доказывает теорему.

Но ограниченность — только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле не интегрируема (хотя и ограниченна). В самом деле: , и, следовательно, предел интегральных сумм не существует.

Суммы и интегралы Дарбу

Рассмотрим разбиение промежутка [a, b] — Р[a, b]. Для каждого промежутка разбиения выберем

и построим суммы: и , называемые нижней и верхней суммами Дарбу.

Нетрудно понять, что при измельчении разбиения не уменьшаются, а не увеличиваются: .

Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние — монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при . Эти пределы называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

интеграл определенный интегрируемость

Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману

Т°. Функция f (x) интегрируема на промежутке [a, b], тогда и только тогда, когда её верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой.

?. а). Пусть функция интегрируема по Риману. Тогда

Следовательно: и, в силу того, что и верхняя и нижняя суммы Дарбу есть частные случаи сумм Римана, получим . Переходя к пределу при получаем, что , т.е.