Доказать что функция измерима по лебегу примеры

7

Глава 2. Интеграл Лебега.

Символом будем обозначать расширенное множество действительных чисел, т.е. множествос присоединенными несобственными числамии.

На множестве справедливы обычные правила арифметических действий, кроме следующих:

Сумма двух несобственных чисел иесть неопределенное число, также неопределенными являются результаты следующих операций,.

Пусть — некоторое подмножество. Будем рассматривать функции, определенные на множествеи принимающие значения в, т.е. функции могут принимать бесконечные значения.

Для произвольного введем множество

,

называемое Лебеговым множествомфункции.

Определение 2.1.1.Функцияназываетсяизмеримой по Лебегу, если

множество измеримо;

для любого множестваизмеримы.

Теорема 2.1.1.Следующие утверждения эквивалентны

функция измерима;

для любого множествоизмеримо;

для любого />множествоизмеримо;

для любого множествоизмеримо.

Доказательство.Теорема будет полностью доказана, если будет показана последовательность импликаций

Покажем, что из первого утверждения следует второе. Для произвольного справедливо представление. В силу измеримости функции, каждое множествоизмеримо, а пересечение счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Импликациядоказана.

Докажем . Для произвольного, справедливо представление. Отсюда следует вывод, что множествоизмеримо как разность двух измеримых множеств.

Импликация доказывается аналогично утверждению, используя представление. Каждый элемент пересечения является измеримым множеством, а так как элементов пересечения счетное число, то их пересечение есть измеримое множество.

Доказательство аналогично доказательству.

Теорема 2.1.1 утверждает, что в определении измеримой функции можно взять любое из множеств ,,,. Поэтому все перечисленные множества называютсяЛебеговыми множествамифункции.

Можно показать, что для измеримой функции множества вида,,,…измеримы для любых. При этом, из измеримости множествпри всехне следует измеримость функции.

Докажем справедливость некоторых свойств измеримых функций.

Теорема 2.1.2.Всякая функция, определенная на множестве нулевой меры, измерима.

Доказательство. Как известно, любое подмножество множества нулевой меры измеримо. Следовательно, Лебеговы множества функции имеют нулевую меру и потому измеримы.

Теорема 2.1.3.Пусть— измеримое подмножество и,, тогда функцияизмерима.

Теорема 2.1.4.Пустьизмерима и— измеримое подмножество. Тогда сужениеявляется измеримой функцией.

Доказательство.Справедливо равенство. Поэтому всякое Лебегово множество функцииизмеримо как пересечение двух измеримых множеств. Таким образом,измерима.

Теорема 2.1.5.Пусть функциязадана на объединении не более чем счетного числа измеримых множеств и имеет измеримое сужение на каждое из этих множеств. Тогдаявляется измеримой на объединении множеств.

Определение 2.1.2. Две функцииизаданные на одном и том же множестве называютсяэквивалентными, если мера множества, на которомине равны, равна нулю, т.е.

.

При этом говорят, что функции иравны почти всюду.

Теорема 2.1.6.Еслиизмерима и функцияэквивалентна, то функцияизмерима.

Доказательство.Множествопредставим в видеи обозначим. Сужениеявляется измеримой функцией. Сужение функциисовпадает с сужением, и потому измеримо. Так как, тоизмеримая функция. В итоге функцияопределена на объединении двух измеримых множеств и измерима на каждом из них. Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема 2.1.7. Функция непрерывная на отрезкеизмерима.

Доказательство.Множествоизмеримо. Для непрерывной функции прообразом любого замкнутого множества является замкнутое множество. Поэтому Лебеговы множестваизмеримы для любого.

Следствие 2.1.1.Всякая кусочно-непрерывная на отрезке функция измерима.

Следующая теорема утверждает, что множество всех измеримых функций, определенных на измеримом множестве , замкнуто относительно операций сложения и умножения на скалярный множитель.

Теорема 2.1.8.Пусть функциииизмеримы и— произвольный скаляр, тогдаиизмеримы на множестве.

Доказательство.Если, тоИными словами, Лебеговы множестваизмеримы при любом.

Для ненулевого , имеем

В силу измеримости функции оба множества измеримы. Таким образом, любая функция видаизмерима вместе с функцией.

Для доказательства второго утверждения покажем справедливость равенства

,

где — множество рациональных чисел.

Пусть , тогда. В силу всюду плотности множества рациональных чисел на прямой, найдется такое рациональное число, что. Тогдаи. Иными словами,и. Тогда. Включениепоказано.

Пусть , тогда найдется такое рациональное число, что. Отсюдаи. Следовательнои, тогда. Иными словами,. Обратное включение показано.

Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема 2.1.9.Если функцияизмерима, то измеримы функции,и, если функцияне обращается в нуль на множестве.

Определение измеримой функции

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .

[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .

Проверим, что оно замкнуто.

Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .

Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .

По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.

1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .

При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.

1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.

3) Доказывается чуть сложнее

[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]

Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]

Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_>(E(g\gt r) \cap E(f \gt a — r))[/math]

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.

откуда следует измеримость множества E ( f  a ). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:

оказывается измеримым при всяком а, то функция f ( x ) измерима на множестве Е (которое также предполагается измеримым).

Действительно, тождество ) показывает, например, что f ( x ) измерима, если измеримы все множества Е ( f  а). Сходным образом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно заменить множество Е ( f > a ) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f ( x ), заданная на множестве Е, измерима, а k  конечное число, то измеримы и функции 1) f ( x )  k , 2) kf ( x ), 3)  f ( x )  , 4) f 2 ( x ), и если f ( x )  0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Измеримость функции f ( x )  k вытекает из соотношения Е ( f  k  a ) = E ( f > a — k ).

2) Измеримость функции kf  x ) при k  следует из теоремы 5. Для прочих k  измеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция  f ( x )  измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

вытекает измеримость функции f 2 ( x ).

5) Наконец, при f ( x )  0 имеем

откуда и следует измеримость .

Теорема 8 . Функция f ( x ), заданная и непрерывная на сегменте Е=  измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

замкнуто. Действительно, если x 0 есть предельная точка этого множества и x n  x 0 ( x n  F ), то f ( x n )  a и, в силу непрерывности f ( x ), будет f ( x 0 )  a , т.е. x 0  F , что и устанавливает замкнутость множества F .

Но тогда множество Е ( f >а) = Е – Е( f  а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция  м (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция  м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция  M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции  М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f (х) и g (х), то множество Е ( f > g ) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r 1, r 2 , r 3 , …, то легко проверим справедливость соотношения

Е ( f > g ) = Е ( f > r k ) Е ( g r k ),

откуда и следует лемма.

Теорема 1. Пусть f (х) и g (х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f (х) – g (х), 2) f (х) + g (х), 3) f (х) . g (х), и если g (х)  то измерима также функция 4).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g (х) измерима при любом а . Значит (на основании леммы), множество Е ( f > а+ g ), а так как E ( f — g > a )= E ( f > a + g ), то измерима функция f (х) – g (х).

2) Измеримость суммы f (х) + g (х) следует из того, что

f (х) + g (х) = f (х) – [ — g (х)].

3) Измеримость произведения f ( x ) . g ( x ) вытекает из тождества

4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f 1 ( x ), f 2 ( x ), … Если в каждой точке хЕ существует (конечный или бесконечный) предел

то функция F (х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть хЕ (F>a), тогда F ( x 0 ) > a , и найдется такое натуральное m , что F ( x 0 ) > a + 1/ m . Поскольку же f k ( x ) F ( x 0 ), то найдется такое n , что при kn будет

Иначе говоря, х 0 А при всех kn , а тогда х 0 В и тем более х 0 . Отсюда следует, что Е ( F > a ) .

Теперь остается установить обратное включение

и теорема будет доказана.

Пусть х 0 . Тогда х 0 Впри некоторых фиксированных n и m . Это значит, что х 0 А для kn . Иначе говоря для kn будет f k ( x 0 ) > a +1/ m .

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F ( x 0 )> a , т.е. x 0  E ( F > a ). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f 1 ( x ), f 2 ( x ), … и некоторая функция F ( x ). Если соотношение

выполняется почти везде на Е, то F ( x ) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X  Е, в которых соотношение (  не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA =0 и F ( x ) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.

Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.

В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (| f – g |   ), Е (| f – g |   ), где f ( x ) и g ( x ) суть функции заданные не множестве Е, а  некоторое положительное число. При этом точки, в которых обе функции f ( x ) и g ( x ) принимают бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность f ( x ) – g ( x ) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся эти точки относить к множеству Е (| f – g |   ). При таком соглашении очевидно

Е = Е (| f – g |   ) + Е (| f – g |   )

и слагаемые правой части не пересекаются.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), …, которая почти во всех точках Е сходится к почти везде конечной функции f ( x ). Тогда, каково бы ни было  будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f ( x ) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.

А = Е(| f | = +  ), A n = E (| f n | = +  f n не  f )

MQ = 0 (1)

Все эти множества измеримы.

Так как R 1 (   R 2 (   R 3 (   …, то, в силу теоремы 12, при n  будет

Убедимся в том, что

В самом деле, если , то , причем все числа f 1 ( x 0 ), f 2 ( x 0 ), … и их предел f ( x 0 ) – конечны. Значит найдется такое n , что для k  n будет | f k ( x 0 ) – f ( x 0 )  .

Иначе говоря ( k  n ), а потому и тем более , откуда и следует (3).

Но тогда, в силу (1), nM =0, и (2) принимает вид

Этим и доказана теорема, ибо Е n (  )  R n (  ).

Замечание . Отметим, что нами установлен результат (4), более сильный, чем то, что мы хотели доказать. Ниже при доказательстве теоремы Д.Ф. Егорова, нам придется воспользоваться именно этим более сильным результатом.

Доказанная теорема дает повод установить следующее

Определение. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций

f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), …

и измеримая и почти везде конечная функция f ( x ). Если, каково бы ни было положительное число  , оказывается, что

то говорят, что последовательность ( * ) сходится к функции f ( x ) по мере.

Мы будем, следуя Г.М.Фихтенгольцу, обозначать сходимость по мере символом

С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать теорему Леберга так.

Теорема 1*. Если последовательность функций сходится почти везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.

Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.

П р и м е р . Определим на полусегменте [0, 1) для каждого натурального k группу из k функций: f 1 ( k ) ( x ), f 2 ( k ) ( x ), …, f k ( k ) ( x ), полагая

В частности, f 1 (1) ( x )  1 на [0, 1). Нумеруя все построенные функции подряд одним значком, мы получим последовательность

 1 ( x ) = f 1 (1) ( x ),  2 ( x ) = f 1 (2) ( x ),  3 ( x ) = f 2 (2) ( x ),  4 ( x ) = f 1 (3) ( x ), …

Легко видеть, что последовательность функций  n ( x ) сходится по мере к нулю. В самом деле, если  n ( x ) = f i ( k ) ( x ), то при любом  >0 будет

и мера этого множества, равная 1/ k , стремится к нулю с возрастанием n .

Вместе с тем, соотношение  n ( x )  0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0, 1). Действительно, если так что f i ( k ) ( x 0 ) = 1. Иначе говоря, как далеко мы не продвинемся вдоль ряда чисел  1 ( x 0 ),  2 ( x 0 ),  3 ( x 0 ), …, мы всегда будем встречать в этом ряду числа, равные 1, что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие, существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и тем более, чем понятие сходимости везде.

Естественно спросить, в какой степени соотношение

определяет функцию f ( x ), т.е. единственна ли предельная функция при сходимости по мере.

Теоремы 2 и 3 позволяют ответь на этот вопрос.

Теорема 2. Если последовательность функций f n ( x ) сходится по мере к функции f ( x ), то эта же последовательность сходится по мере ко всякой функции g ( x ), эквивалентной функции f ( x ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом  будет

E (  f n – g    )  E ( f  g ) + E (  f n — f    ),

откуда (поскольку mE ( f  g ) = 0)

mE (  f n – g   )  mE (  f n – f   ),

что и доказывает теорему.

Теорема 3 . Если последовательность функций f n ( x ) сходится по мере к двум функциям f ( x ) и g ( x ), то эти предельные функции эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что при  будет

ибо точка, не входящая в правую часть этого соотношения, и подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения

показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с возрастанием n , откуда ясно, что mE (  f n – g   ) = 0.

Но так как

то f  g , что и требовалось доказать.

Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство единственной предельной функции для сходимости по мере, мы должны были бы условиться считать эквивалентные функции за тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах теории функций, т.е. в тех вопросах, где все свойства функций изучаются с помощью меры множеств, на которых функция обладает или не обладает тем или другим свойством. В интегральном исчислении мы надем много примеров подобного подхода к вещам.

Хотя сходимость по мере общее сходимости почти везде, имеет место все же следующая теорема. 

Теорема 4 (Ф.Рисс). Пусть < fn ( x )>последовательность функций, которая сходится по мере к функции f ( x ). В таком случае существует подпоследовательность

fn 1 (x), fn 2 (x), fn 3 (x), . (n 1 2 3

сходящаяся к функции f ( x ) почти везде.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем последовательность положительных чисел        для которой lim  k =0.

Пусть, далее,        k >0) есть сходящийся положительный ряд.

Теперь мы можем построить требуемую последовательность индексов

следующим образом: обозначим через n 1 натуральное число, для которого

Такое число обязательно существует, ибо

mE (  f n — f    при n 

Затем через n 2 обозначим то натуральное число, для которого

mE (  f n 2 — f      n 2 > n 1 .

Вообще через n k мы обозначаем такое число, что

mE(  f nk -f  k )  k , n k >n k-1 .

Последовательность (*), таким образом, построена.

Теперь установим, что почти везде на множестве E будет

Так как R 1  R 2  R 3  . то (теорема 12)

C другой стороны, очевидно, что так что mR i  0 и, стало быть, mQ =0.

Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E — Q .

Пусть x 0  E — Q . Тогда x 0 R io . Иначе говоря, при k  i 0

x 0 E (  f nk — f  k ),

 f nk ( x 0 ) – f ( x 0)  k , ( k  i 0 )

и, поскольку  k  ясно, что f nk ( x 0 )  f ( x 0 ).

Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы можно установить весьма важную теорему Д.Ф.Егорова.

Теорема 5 (Д.Ф.Егоров). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ), …, почти везде сходящаяся к измеримой и почти везде конечной функции f ( x ):

В таком случае, для любого  >0 существует такое измеримое множество Е  Е, что:

2) на множестве E  стремление(*) происходит равномерно. 

Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом  будет

Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд

и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел

  >  2 >  3 >…, lim  i =0.

В силу (1), можно каждому натуральному i соотнести такое натуральное n i , что mR ni (  i )  i .

Сделав это, найдем такое i 0 , что (где  число, фигурирующее в формулировке теоремы), и положим .

Пусть Е  = Е – е. Установим, что множество Е   требуемое. Неравенство mE  > mE —  ясно, так что остается убедиться в равномерности стремления

Пусть  > 0. Найдем i такое, что i  i 0 ,  i  , и покажем, что при k  n i и при всех x  Е   будет

откуда и будет следовать теорема.

Если x  Е   , то х e . Значит в частности, xR ni (  i ).

Иначе говоря, при k  n i

x  E (| f k – f |  i ),

| f k ( x ) – f ( x )|  i ( k  n i )

| f k ( x ) – f ( x )|  ( k  n i ).

Теорема доказана, ибо n i зависит только от  но не от x .

Структура измеримых функций

При изучении какой-нибудь функции сам собою встает вопрос о точном или приближенном представлении ее с помощью функций более простой природы.

Таковы, например, алгебраические вопросы о разложении многочлена на множители или рациональные дроби на простейшие. Таков же вопрос о разложении непрерывной функции в степенной или тригонометрический ряд и т.п.

В этой части мы устанавливаем различные теоремы о приближении измеримых функций функциями непрерывными, т.е. решаем сходный вопрос для измеримых функций. Эти теоремы позволяют нам найти основное структурное свойство измеримой функции выражаемой теоремой 4.

Теорема 1. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f ( x ). Каково бы ни было  > 0, существует измеримая ограниченная функция g ( x ), такая, что mE ( f  g )  .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

А k = E (| f |> k ), Q = E (| f | = +  ).

По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений

будет (теорема 12) при k 

Значит, найдется такое k 0, что mA k 0 

Определим на множестве E функцию g ( x ), полагая

Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку g ( x )  k 0 . Наконец, E ( f  g ) = A ko , что и доказывает теорему.

Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть функция F ( x ) задана на множестве E и x 0  E , причем F ( x 0 )  . Говорят, что функция F ( x ) непрерывна в точке х 0 в двух случаях: 1) если х 0 есть изолированная точка E ; 2) если х 0  E  и соотношения x n  x 0 , x n  E влекут соотношение

Если f ( x ) непрерывна в каждой точке множества E , то говорят, что она непрерывна на этом множестве.

Лемма 1 . Пусть множества F 1 , F 2 , …, F n замкнуты и попарно не пересекаются. Если функция  х), заданная на множестве

постоянна на каждом из множеств F k , то она непрерывна на множестве F .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x 0  F ’ и x i  x 0 , x i  F .

В силу замкнутости множества F точка x 0 принадлежит этому множеству и, стало быть, найдется такое m , что x 0  F m .

Но множества F k попарно не пересекаются. Значит, если k  m , то х 0 F k и, в силу замкнутости множества F k , точка x 0 не является и предельной точкой этого множества.

Отсюда следует, что в последовательности < x i >может быть только конечное число точек, принадлежащих множеству F k при k  m . Отметим все члены последовательности, которые входят в одно из множеств F 1 , …, F m -1 , F m +1 , …, F n , и пусть x i 0 , последний из них. Тогда при i > i 0 необходимо будет x 1  F m , т.е. при i > i 0 оказывается  x i ) =  x 0 ), а это доказывает лемму.

Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [ a , b ]. Если функция  x ) задана и непрерывна на множестве F , то можно определить на [ a , b ] функцию  x ) со следующими свойствами

если x  F , то  x )=  x );

max |  x )| = max |  x )|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через  наименьший сегмент, содержащий множество F . Если бы требуемая функция  x ) была уже построена на сегменте [  ], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая

чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [ a , b ].

Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [ a , b ] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F .

Если F = [ a , b ], то теорема тривиальна. Будем считать, что F  [ a , b ]. Тогда множество [ a , b ] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F ).

Зададим функцию  x ), полагая ее равной  x ) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.

Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [ a , b ] – F очевидна.

Пусть х 0 есть точка множества F . Мы покажем, что функция  x ) непрерывна в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совершенно аналогично).

Если точка х 0 служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции  x ) в этой точке слева очевидна.

Пусть же x 0 не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x 1 x 2 x 3 x 0 .

Если x n  F ( n = 1, 2, 3, …) то, используя непрерывность на множестве F функции  x ), имеем  x n ) =  x n )  x 0 ) =  x 0 ). Поэтому можно считать, что х n F ( n = 1, 2, 3, …). 

В таком случае точка x 1 попадает в какой-то дополнительный интервал (      причем   0 . Продолжая это рассуждение, мы приходим к последовательности (      (      (      … дополнительных интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо и таких, что

X k  (      ( k = n i -1 +1, …, n i ).

Соотношение x ni  i x 0 показывает, что  i , а из того, что  i -1  i x 0 , ясно, что и  i  x 0 .

Но  i  и  i входят в F , так что

lim  (  i ) = lim  (  i  =  ( x 0 ).

Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала, ясно, что и lim  ( x n )=  ( x 0 ).

Итак, непрерывность функции  ( x ) доказана.

Из самого ее построения видно, что она совпадает с  x ) на множестве F .

Наконец по известной теореме Вейерштрасса, среди значений непрерывной на сегменте функции |  ( x )| есть наибольшее – max |  ( x )|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно в точке, принадлежащей множеству F , ибо на дополнительных интервалах функция  ( x ) линейна. Поэтому max |  ( x )| = max |  x )|.

Лемма доказана полностью.

Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [ a , b ] задана измеримая и почти везде конечная функция f ( x ). Каковы бы ни были числа  >0 и  >0 существует непрерывная на [ a , b ] функция  ( x ), для которой

Если при этом | f ( x )|  K , то можно и  ( x ) выбрать так, что |  ( x )|  K .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что | f ( x )|  K , т.е. что функция f ( x ) ограничена.

Фиксируя произвольные  >0 и  >0, найдем столь большое натуральное m , что K / m  , и построим множества

(i = 1 – m, 2 – m, …, m – 1)

Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и

Построим для каждого i замкнутое множество F i  E i с мерой и положим .

Ясно, что , откуда m [ a , b ] – mF  .

Зададим теперь на множестве F функцию  x), полагая

при x  F i (i = 1 – m, …, m).

В силу леммы 1 эта функция непрерывна на множестве F , |  x )|  K и, наконец, при x  F будет | f ( x ) —  x )|  .

Остается применить лемму 2. Это приводит к непрерывной функции  ( x ), совпадающей на множестве F с функцией  x ), причем |  ( x )|  . Поскольку  ( | f —  |  [ a , b ] – F , ясно, что функция  ( x ) требуемая.

Итак, для ограниченной функции теорема доказана.

Допустим теперь, что f ( x ) не ограничена. Тогда, пользуясь теоремой 1, можно построить такую ограниченную функцию g ( x ), что mE ( f  g )  /2.

Применяя уже доказанную часть теоремы к функции g ( x ), мы найдем такую непрерывную функцию  (x) , что

Но легко видеть, что

E (| f —  |   )  f  g ) + E (| g —  |   ),

Так что функция  ( x ) решает задачу.

Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f ( x ), заданной на сегменте [ a , b ], существует последовательность непрерывных функций  n ( x ), сходящаяся по мере к функции f ( x ).

В самом деле, взяв две стремящиеся к нулю последовательности

построим для каждого n такую непрерывную функцию  n (x) , что

Легко видеть, что  n ( x )  f ( x ).

Действительно, какое бы  > 0 ни взять, для n  n 0 будет  n  а для таких n

откуда и следует наше утверждение.

Применив к последовательности <  n ( x )>теорему Ф. Рисса мы приходим к последовательности непрерывных функций <  nk ( x )>, которая сходится к функции f ( x ) почти везде.

Иначе говоря установлена

Теорема 3 (М.Фреше). Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f ( x ), заданной на сегменте [ a , b ], существует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к f ( x ) почти везде.

С помощью этой теоремы легко устанавливается весьма замечательная и важная

Теорема 4 (Н. Н. Лузин). Пусть f ( x ) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [ a , b ]. Каково бы ни было  > 0, существует такая непрерывна функция  x ), что

Доказать что функция измерима по лебегу примеры

Определение 10.1. Тройка где -алгебра с единицей -аддитивная мера на назы вается измеримым пространством. Если то буди называть это пространство конечным, а если мера -конечна то -конечным.

Определение 10.2. Пусть измеримое про странство, множество а функция Тогда называется измеримой в том и только в та случае, когда для любого с полный прообраз

Замечание 10.1. Подчеркнем, что в определении учи тывается тот факт, что задана на измеримом множестве А Отметим также, что тройка также является изме римым пространством, а потому ниже всегда можно предпола гать, что определена на единице измеримого пространства.

В дальнейшем, если будет говориться, что функция из мерима на множестве то подразумевается, что имеется изме римое пространство (вообще говоря -конечное) и множество Далее, если множества и некоторое свойство выполняется в каждой точк множества В, то мы будем говорить, что это свойство выполш ется почти всюду на А.

Определение 10.3. Если две измеримы на X функции, причем почти всюду на X, то он; называются эквивалентными.

Замечание 10.2. Поскольку все открытые подмножест пространства измеримы относительно классической мер Лебега, любая функция, заданная на измеримом подмножест и непрерывная на нем, является измеримой относительн соответствующего измеримого пространства.

Лемма 10.1. Пусть функция измерима на ( Тогда измеримы множества где могут быть и бесконечными.

Доказательство. Прежде всего отметим, что

Теперь ясно, что и Далее, при любом с имеем

и лемма установлена.

Теорема 10.1. Если функция измерима на борелевское подмножество

Доказательство. Пусть Тогда и если то

т. е. Кроме того, если то

Отсюда ясно, что -алгебра. Кроме того, из последнего соотношения, леммы 10.1 и теоремы 9.2 вытекает, что содержит все открытые подмножества Тогда по определению борелевской -алгебры В как минимальной -алгебры, содержащей все открытые множества, и теорема доказана.

Замечание 10.3. Как будет показано ниже, даже для непрерывных функций, заданных на отрезке, вообще говоря, нельзя утверждать, что прообраз любого множества, измеримого относительно классической меры Лебега, также измерим относительно этой меры.

Теорема 10.2. Если функция измерима и конечна на и ниже конечной мы будем называть функцию, принимающую только конечные значения в каждой точке своей области определения), причем где открытое множество, а функция непрерывна на то суперпозиция измерима на

Доказательство. Прежде всего отметим, что функция принимает только конечные значения. Поэтому для любого имеем

Согласно свойствам непрерывной функции, множество открытое, а значит, тем более борелевское. Поэтому по теореме и наше утверждение доказано.

Здесь естественно возникает вопрос: верно ли, что и композиция двух измеримых функций является измеримой функцией? В следующем параграфе будет показано, что это, вообще говоря, неверно.

Теорема 10.3. Если функции измеримы и конечны на а некоторые числа, то функции также измеримы на этом пространстве. Кроме того, если не обращается ни в одной точке, то измеримой будет и функция Конечность функций здесь требуется лишь затем, чтобы не надо было специально определять результаты операций сложения, умножения и деления.

Доказательство. Поскольку линейная функция непрерывна на мы имеем, что если функция измерима и конечна, то по теореме 10.2 при любом измеримы функции

Пусть теперь функции измеримы и конечны. Рассмотрим множество

где это все рациональные числа, каким-либо образом занумерованные. Поэтому при любом с множество

и первая часть теоремы установлена.

Теперь отметим, что если функция измерима и конечна, то по теореме 10.2 измерима и функция Но тогда измеримо и произведение измеримых функций

Наконец, если функция измерима конечна и не обращается в нуль на X, то, так как функция — непрерывна на открытом множестве из теоремы 10.2 следует, что функция также измерима. С учетом уже установленной измеримости произведения, это завершает доказательство теоремы.

Замечание 10.4. По ходу доказательства теоремы 10.3 была установлена измеримость множества точек, в котовых одна измеримая функция больше другой (ясно, что предположение о конечности этих функций здесь несущественно).

Замечание 10.5. Представляется естественным считать, что

Кроме того, формально можно положить

При таких соглашениях в дальнейшем мы будем пользоваться теоремами об измеримости суммы и произведения измеримых функций без требования конечности этих функций. Заметим еще, что если мера полна, а функции конечны почти всюду, то можно считать, что на «плохом» множестве результат операций сложения и умножения определен произвольным образом.

Теорема 10.4. Если последовательность измеримых функций на пространстве то функции также измеримы на этом пространстве. Разумеется, измеримыми также будут нижняя грань и нижний предел последовательности измеримых функций.

Доказательство. Для любого имеем

и измеримость доказана. Отсюда при любом измерима функция Но тогда для любого с имеем

и теорема полностью доказана.

Следствие условиях теоремы 10.4 функция измерима на множестве на котором она существует (предел может быть и бесконечным).

Доказательство. Множество это множество, на котором совпадают верхний и нижний пределы последовательности функций. По теореме 10.4 эти пределы измеримы, следовательно, измеримо и Но на множестве функция совпадает с измеримой функцией и следствие установлено.

Замечание 10.6. Если мера полна, функции измеримы на множестве почти всюду на то и функция будет измерима на множестве

Теорема 10.5. Если функция непрерывна на интервале то ее конечная производная измерима на множестве своего существования относительно классической меры Лебега.

Доказательство. Рассмотрим так называемую верхнюю производную функции

Поскольку функция непрерывна, множество

измеримо даже по Борелю (внутреннее объединение является открытым множеством). Отсюда вытекает измеримость верхней производной. Аналогично устанавливается и измеримость нижней производной

Множество существования конечной обычной производной это множество точек, где верхняя и нижняя производные конечны и равны. Из доказанного выше видно, что измеримо, а поскольку на выполнено равенство теорема полностью установлена.

Справедливо и следующее более общее утверждение (приводимое ниже простое доказательство было любезно сообщено Куприковым).

Теорема 10.6. Если функция измерима на интервале то ее конечная производная измерима на множестве своего существования относительно классической меры Лебега.

Доказательство. Пусть произвольная функция измерима на Тогда, поскольку при любом натуральном и любом множество

открыто, функции измеримы для . В этом случае, измеримыми будут и функции

при Теперь, для заданной и для любого с положим По доказанному выше, множество

измеримо. Таким образом, установлена измеримость функций

при Отсюда, измеримой является и так называемая правая верхняя производная функции

Аналогичным образом устанавливается измеримость левой верхней производной

Но тогда измеримой является и верхняя производная функции

Таким же образом устанавливается измеримость нижней производной, после чего доказательство теоремы 10.6 заканчивается так же, как и доказательство теоремы 10.5.