Как построить лемнискату бернулли в полярных координатах

6

Вычисление площади фигуры в полярных координатах

В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями y = f ( x ) , x = g ( y ) в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур.

Краткий обзор статьи

• Начнем с определения понятия криволинейного сектора, получим формулу для вычисления его площади. Для этого мы используем понятие определенного интеграла Дарбу.
• Подробно разберем решения задач с использованием таких кривых как кардиоида, архимедова спираль и лемниската Бернулли.
• В отдельную подтему мы выделили нахождение площади фигуры, которая представлена как разность двух криволинейных секторов.

Полярная система координат и криволинейный сектор

Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ 0 и полярный радиус r 0 ≥ 0 . Полярный угол φ 0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r 0 — это расстояние от заданной точки до начала координат.

На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ 0 = 3 π 4 и расстоянием до полюса r 0 = 4 .

Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью.

Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r = x 2 + y 2 φ = a r c t g y x , x ≠ 0 и обратно x = r · cos φ y = r · sin φ .

Координаты красной точки на чертеже 2 3 ; 2 . Положение этой точки задается углом φ 0 = a r c t g 2 2 3 = π 6 и расстоянием r 0 = 2 3 2 + 2 2 = 4 .

В полярной системе координат равенство φ = α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ = 0 . Равенство r = C > 0 задает окружность с центром в начале координат, где — это радиус.

Функция r = p ( φ ) , φ ∈ α ; β определяет некоторую линию в полярных координатах.

Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r = p ( φ ) , φ ∈ α ; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ = φ 0 ∈ α ; β . Однако мы будем встречать и отрицательные значения r = p ( φ ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

Дадим определение криволинейному сектору.

Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ = α , φ = β и некоторой линией r = p ( φ ) ≥ 0 , непрерывной на участке α ; β .

На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ = — π 6 , φ = π 6 , которые не являются ее границами.

Площадь криволинейного сектора — вывод формулы

Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: S к р у г о в о г о с е к т о р а = γ · R 2 2 . Задаем внутренний угол γ в радианах.

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами

φ = φ 1 , φ = φ 2 , . . . , φ = φ n — 1 , что α = φ 0 < φ 1 < φ 2 < . . . < φ n — 1 < β и λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n φ i — φ i — 1 → 0 при n → + ∞ .

Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S ( G ) как сумму площадей секторов S ( G i ) на каждом из участков разбиения:

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i )

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r = p ( φ ) на i -ом отрезке φ i — 1 ; φ i , i = 1 , 2 , . . . , n как R m i n i и R m a x i . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора P i и Q i с максимальным и минимальным радиусами R m i n i и R m a x i соответственно.

Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Q i , i = 1 , 2 , . . . , n ; P i , i = 1 , 2 , . . . , n , обозначим как P и Q соответственно.

Их площади будут равны S ( P ) = ∑ i = 1 n S ( P i ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( R m i n i ) 2 · φ i — φ i — 1 и S ( Q ) = ∑ i = 1 n S ( Q i ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( R m a x i ) 2 · φ i — φ i — 1 , причем S ( P ) ≤ S ( G ) ≤ S ( Q ) .

Так как функция r = p φ непрерывна на отрезке α ; β , то функция 1 2 p 2 φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S ( P ) и S ( Q ) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

lim λ → 0 S ( P ) = lim λ → 0 S ( Q ) = S ( G ) ⇒ S ( G ) = lim λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 ( R m i n i ) 2 · φ i — φ i — 1 = = lim λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 ( R m a x i ) · φ i — φ i — 1 = 1 2 ∫ β α p 2 φ d φ

Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид:

S ( G ) = 1 2 ∫ β α p 2 φ d φ

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r = 2 sin 2 φ и лучами φ = π 6 , φ = π 3 .

Решение

Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r = 2 sin ( 2 φ ) положительна и непрерывна на отрезке φ ∈ π 6 , π 3 .

Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.

S ( G ) = 1 2 ∫ π 6 π 3 ( 2 sin ( 2 φ ) 2 d φ = ∫ π 6 π 3 2 ( sin ( 2 φ ) 2 d φ = ∫ π 6 π 3 2 · 1 — cos 4 φ 2 d φ = ∫ π 6 π 3 ( 1 — cos ( 4 φ ) ) d φ = φ — 1 4 sin ( 4 φ ) π 6 π 3 = = π 3 — 1 4 sin 4 π 3 — π 6 — 1 4 sin 4 π 6 = π 6 + 3 4

Ответ: S ( G ) = π 6 + 3 4

Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ = φ 1 , φ = φ 2 , ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r = p ( φ ) . В этих случаях применить формулу S ( G ) = 1 2 ∫ α β p 2 ( φ ) d φ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p ( φ ) ≥ 0 для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r = p φ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться только на область определения и период функции.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r = — 3 · cos 3 φ .

Решение

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство — 3 · cos 3 φ ≥ 0 :

— 3 · cos 3 φ ≥ 0 ⇔ cos 3 φ ≤ 0 ⇔ cos φ ≤ 0 ⇔ ⇔ π 2 + 2 πk ≤ φ ≤ 3 π 2 + 2 πk , k ∈ Z

Построим функцию в полярных координатах на отрезке φ ∈ π 2 ; 3 π 2 (при k = 0 ). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π 2 + 2 πk и 3 π 2 + 2 πk соответственно для любого целого значения k .

S ( G ) = 1 2 ∫ π 2 3 π 2 ( — 3 · cos 3 φ ) d φ = 9 2 ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ

Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида K n ( x ) = sin x · cos n — 1 ( x ) n + n — 1 n K n — 2 ( x ) , где K n ( x ) = ∫ cos n ( x ) d x .

∫ cos 6 φ d φ = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 6 ∫ cos 4 φ d φ = = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 6 sin φ · cos 3 φ 4 + 3 4 cos 2 φ d φ = = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 sin φ · cos 3 φ 24 + 15 24 sin φ · cos φ 2 + 1 2 ∫ cos 0 φ d φ = = ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 sin φ · cos 3 φ 24 + 15 sin φ · cos φ 48 + 15 φ 48 π 2 3 π 2 = = 15 48 · 3 π 2 — 15 48 · π 2 = 5 π 16

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S ( G ) = 9 2 ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ = 9 2 · 5 π 16 = 45 π 32 .

Ответ: S ( G ) = 45 π 32

В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r = 3 · cos ( 3 φ ) .

Решение

Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.

cos ( 3 φ ) ≥ 0 ⇔ — π 2 + 2 πk ≤ 3 φ ≤ π 2 + 2 πk , k ∈ Z — π 6 + 2 π 3 k ≤ φ ≤ π 6 + 2 π 3 k , k ∈ Z

Таким образом, период функции r = 3 · cos 3 φ равен 2 π 3 . Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.

Построим фигуру на графике.

Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φ ∈ π 2 ; 5 π 6 (при k = 1 ):

1 2 ∫ π 2 5 π 6 9 cos ( 3 φ ) d φ = 1 2 · 3 sin ( 3 φ ) π 2 5 π 6 = 3 2 sin 3 · 5 π 6 — sin 3 · π 2 = 3 2 ( 1 — ( — 1 ) = 3

Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.

Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли задается уравнением r = α · cos 2 φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при — π 4 + π · k ≤ φ ≤ π 4 + π · k , k ∈ Z .

Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

Для вычисления площади используем нужную формулу:

S ( G ) = 2 · 1 2 ∫ — π 4 π 4 a 2 cos ( 2 φ ) 2 φ = a 2 2 ( sin ( 2 φ ) ) — π 4 π 4 = = a 2 2 sin 2 · π 4 — sin 2 · — π 4 = a 2

Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a .

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r = 2 a ( 1 + cos φ ) . В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2 π . Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число, а верхним, то, которое на 2 π больше нижнего.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 2 a ( 1 + cos φ ) , для φ ∈ 0 ; 2 π :

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( 2 a ( 1 + cos φ ) ) 2 d φ = 2 a 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos φ + cos 2 φ ) d φ = = 2 a 2 ∫ 0 2 π 1 + 2 cos φ + 1 + cos 2 φ 2 d φ = = 2 a 2 ∫ 0 2 π 3 2 + 2 cos φ + cos ( 2 φ ) 2 d φ = = 2 a 2 3 2 φ + 2 sin φ + 1 4 sin 2 φ 0 2 π = 6 π · a 2

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r = b + 2 a · cos φ . В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при b = 2 a .

Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда функцию r неотрицательная.

При b < — 2 a функция r = b + 2 a · cos φ будет отрицательной для любого значения угла φ .

При b = — 2 a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

При — 2 a < b < 0 функция r = b + 2 a · cos φ неотрицательна для φ ∈ — a r c cos — b 2 a + 2 πk ; arccos — b 2 a + 2 πk , k ∈ Z .

При 0 < b < 2 a функция r = b + 2 a · cos φ неотрицательна для φ ∈ — a r c cos — b 2 a + 2 πk ; arccos — b 2 a + 2 πk , k ∈ Z . Она ограничивает фигуру, которая по конфигурации напоминает кардиоиду.

При b > 2 a функция r = b + 2 a · cos φ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b .

Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r = — 3 + 6 cos φ и r = 5 + 4 cos φ в полярной системе координат.

Решение

Формула r = — 3 + 6 cos φ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..

Функция r = — 3 + 6 cos φ определена для всех значений угла φ . Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:

— 3 + 6 cos φ ≥ 0 ⇔ cos φ ≥ 1 2 ⇔ — π 3 + 2 π k ≤ φ ≤ π 3 + 2 πk , k ∈ Z

Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля:

S ( G ) = 1 2 ∫ — π 3 π 3 ( — 3 + 6 cos φ ) 2 d φ = 9 2 ∫ — π 3 π 3 ( 1 — 4 cos φ + 4 cos 2 φ ) d φ = = 9 2 ∫ — π 3 π 3 1 — 4 cos φ + 4 · 1 + cos 2 φ 2 d φ = = 9 2 ∫ — π 3 π 3 ( 3 — 4 cos φ + 2 cos ( 2 φ ) ) d φ = 9 2 · 3 φ — 4 sin φ + sin ( 2 φ — π 3 π 3 = = 9 2 · 3 · π 3 — 4 sin π 3 + sin 2 π 3 — 3 · — π 3 — 4 sin — π 3 + sin — 2 π 3 = = 9 2 · 2 π — 3 3

Улитка Паскаля, определяемая формулой r = 5 + 4 cos φ , соответствует пятому пункту. Функция r = 5 + 4 cos φ определена и положительна для всех действительных значений φ . Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( 5 + 4 cos φ ) 2 d φ = 1 2 ∫ 0 2 π ( 25 + 40 cos φ + 16 cos 2 φ ) d φ = = 1 2 ∫ 0 2 π 25 + 40 cos φ + 16 · 1 + cos ( 2 φ ) 2 d φ = = 1 2 ∫ 0 2 π ( 33 + 40 cos φ + 8 cos ( 2 φ ) ) d φ = 1 2 · 33 φ + 40 sin φ + 4 sin ( 2 φ 0 2 π = = 1 2 · 33 · 2 π + 40 sin ( 2 π + 4 sin ( 4 π ) — 33 · 0 + 40 sin 0 + 4 sin 0 = 33 π

Ответ: S ( G ) = 33 π

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r = α φ , α > 0 , а вторая первым витком логарифмической спирали r = α φ , α > 1 .

Решение

Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( α φ ) 2 d ϕ = α 2 2 ∫ 0 2 π φ 2 d φ = α 2 2 · φ 3 3 0 2 π = 4 α 3 π 3 3

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( α ϕ ) 2 d ϕ = 1 2 ∫ 0 2 π a 2 φ d φ = 1 4 ln a · a 2 φ 0 2 π = = 1 4 ln a · a 4 π — 1

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ = α , φ = β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ ∈ α ; β функциями r = p 1 ( φ ) и r = p 2 ( φ ) , причем p 1 ( φ ) ≤ p 2 ( φ ) для любого угла φ = φ 0 ∈ α ; β .

Находим площадь фигуры по формуле S ( G ) = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) — p 1 2 ( φ ) d φ .

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G 2 и G 1 .

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) d φ — 1 2 ∫ α β p 1 2 ( φ ) d φ = = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) — p 1 2 ( φ ) d φ

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ = 0 , φ = π 3 , r = 3 2 , r = 1 2 φ в полярной системе координат.

Решение

Построим заданную фигуру на графике.

Очевидно, что r = 3 2 больше r = 1 2 φ для любого φ ∈ 0 ; π 3 . Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 π 3 3 2 2 — 1 2 φ 2 d φ = 1 2 ∫ 0 π 3 9 4 — 2 — 2 φ d φ = = 1 2 · 9 4 φ + 1 2 · 2 — 2 φ ln 2 0 π 3 = 1 2 · 9 4 φ + 1 ln 2 · 1 2 2 φ + 1 0 π 3 = = 1 2 · 9 4 · π 3 + 1 ln 2 · 1 2 2 · π 3 + 1 — 9 4 · 0 + 1 ln 2 · 1 2 2 · 0 + 1 = = 1 2 · 3 π 4 + 2 — 2 π 3 — 1 2 · ln 2

Ответ: S ( G ) = 1 2 · 3 π 4 + 2 — 2 π 3 — 1 2 · ln 2

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y = 1 3 x , x = 3 x , окружностями ( x — 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 13 , ( x — 4 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 25 .

Решение

В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

x = r · cos φ y = r · sin φ ⇒ y = 1 3 x ⇔ r · sin φ = r · cos φ 3 ⇔ t g φ = 1 3 ⇔ φ = π 6 + πk y = 3 x ⇔ r · sinφ = 3 · r · cosφ ⇔ tgφ = 3 ⇔ φ = π 3 + πk ( x — 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 13 ⇔ x 2 + y 2 = 4 x + 6 y ⇔ r = 4 cosφ + 6 sinφ ( x — 4 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 8 x + 6 y ⇔ r = 8 cosφ + 6 sinφ

Функция r = 8 cos φ + 6 sin φ больше r = 4 cos φ + 6 sin φ для любого φ ∈ π 6 ; π 3 . Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

S ( G ) = 1 2 ∫ π 6 π 3 8 cos φ + 6 sin φ 2 — 4 cos φ + 6 sin φ 2 d φ = = 1 2 ∫ π 6 π 3 ( 48 cos 2 φ + 48 cos φ · sin φ ) d φ = = 24 ∫ π 6 π 3 cos 2 φ d φ + 24 ∫ π 6 π 3 cos φ · sin φ d φ = = 12 ∫ π 6 π 3 ( 1 + cos 2 φ ) d φ + 24 ∫ π 6 π 3 sin φ d ( sin φ ) = = 12 · φ + 1 2 sin ( 2 φ ) π 6 π 3 + 12 · sin 2 φ π 6 π 3 = = 12 · π 3 + 1 2 sin 2 π 3 — π 6 + 1 2 sin 2 π 6 + 12 · sin 2 π 3 — sin 2 π 6 = = 12 · π 6 + 12 · 3 2 2 — 1 2 2 = 2 π + 6

Лемниската Бернулли — Lemniscate of Bernoulli

В геометрии , то лемниската Бернулли является плоским кривой определяется из двух заданных точек F ₁ и F ₂ , известный как фокусы , на расстояние 2 с друг от друга , как геометрическое место точек Р так , что PF ₁ · PF ₂ = гр 2 . Кривая имеет форму, аналогичную цифре 8 и символу ∞ . Его название происходит от слова lemniscatus , что в переводе с латыни означает «украшенный висячими лентами». Это частный случай овала Кассини и рациональная алгебраическая кривая степени 4.

Эта лемниската была впервые описана в 1694 году Якобом Бернулли как модификация эллипса , который представляет собой геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до каждой из двух фиксированных фокусных точек является постоянной . Кассиня овальная форма , напротив, представляет собой геометрическое место точек , для которых продукт этих расстояний постоянен. В случае, когда кривая проходит через точку на полпути между фокусами, овал является лемнискатой Бернулли.

Эта кривая может быть получена как обратное преобразование из гиперболы , с инверсией окружности с центром в центре гиперболы (биссектрисы его двух очагов). Его также можно нарисовать механической связью в форме рычага Ватта , при этом длины трех стержней рычага и расстояние между его конечными точками выбраны так, чтобы образовать перекрестный параллелограмм .

СОДЕРЖАНИЕ

Уравнения

Уравнения могут быть сформулированы в терминах фокусного расстояния C или полуширины а лемнискаты. Эти параметры связаны соотношением a = c √ 2 .

Длина дуги и эллиптические функции

Определение длины дуги дуг лемнискаты приводит к эллиптическим интегралам , как было обнаружено в восемнадцатом веке. Около 1800 г. эллиптические функции, инвертирующие эти интегралы, были изучены К.Ф. Гауссом (в значительной степени неопубликованные в то время, но ссылки в примечаниях к его Disquisitiones Arithmeticae ). В период решетки имеют очень специальной формы, будучи пропорциональны гауссовых целых чисел . По этой причине случай эллиптических функций с комплексным умножением на √ −1 в некоторых источниках называется лемнискатическим .

Используя эллиптический интеграл

формулу длины дуги L можно представить как

Следующая теорема об углах, встречающихся в лемнискате, принадлежит немецкому математику Герхарду Кристофу Герману Фехтманну , который описал ее в 1843 году в своей диссертации о лемнискатах.

F ₁ и F ₂ — это фокусы лемнискаты, O — это середина отрезка F ₁ F _2, а P — любая точка на лемнискате за пределами линии, соединяющей F ₁ и F ₂ . Нормальным п лемнискаты в Р пересекает линиюсоединяющую F ₁ и F ₂ в R . Теперь внутренний угол треугольника OPR в O составляет одну треть от внешнего угла треугольника в R . Кроме того, внутренний угол при Р в два раза превышает внутренний угол на O .

Другие свойства

• Лемниската симметрична линии, соединяющей ее фокусы F₁ и F_2, а также срединному перпендикуляру отрезка F₁F₂ .
• Лемниската симметрична середине отрезка F₁F₂ .
• Площадь, ограниченная лемнискатой, равна a 2 = 2 c 2 .
• Лемниската является окружность инверсии из гиперболы и наоборот.
• Две касательные в средней точке O перпендикулярны, и каждая из них образует угол π / 4 с линией, соединяющей F₁ и F₂ .
• Плоское сечение стандартного тора, касающееся его внутреннего экватора, является лемнискатой.

Приложения

Динамика на этой кривой и ее более обобщенных вариантах изучается в квазиодномерных моделях.

02.10. Некоторые алгебраические линии высших порядков

Циссоида. Рассмотрим окружность с диаметромИ касательную к ней

В точке(рис. 2.19). Из точкиПроведем луч, точку его пересечения с окружностью обозначим буквойНа этом луче отложим отрезок

Проведя другой луч и выполнив аналогичное построение, получим точку Таким способом можно построить сколько угодно точек. Множество точек Называют циссоидой. Построив достаточное число указанных точек и

Соединив их плавной линией, получим циссоиду (см. рис. 2.19).

Уравнение циссоиды в декартовых прямоугольных координатах имеет вид

»

В полярных координатах Параметрические уравнения циссоиды

Где— полярный угол.

Строфоида. Рассмотрим точкуИ прямую, не проходящую через данную точку (рис. 2.20). Обозначим буквойТочку пересечения перпендикуляра к прямой, проведенной в точке, а длину отрезкаТ. е.Вокруг точки А вращается луч, на котором откладываются отрезкиИОт точки В пересечения с данной прямой так, чтоКаждому положению луча соответствует пара точек, построенных указанным способом. Множество пар точекНазывают строфоидой. ТочкиИПри этом “ называют сопряженными. Построив достаточное число точек и соединив их плавной линией, получим строфоиду (см. рис. 2.20). Название «строфоида» происходит от греческого слова спро<рг| — поворот.

Уравнение строфоиды в полярных координатах

В декартовых координатах

Параметрические уравнения строфоиды

Версьер». Рассмотрим окружность с диаметромИ отрезокПо

Строенный так, тго(рис. 2.21). Множество точек

В прямоугольных декартовых координатах уравнение версьеры имеет вид

Параметрические уравнения версьеры

Где роль параметра играет первая координата

Рассматриваемую линию называют так же «локоном Аньези» в честь первой в Европе женщины, получившей известность благодаря заслугам на поприще математики.

Лемниската Бернулли — множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть посто

Янная величина, равная квадрату половины расстояния между данными точками.

В декартовых прямоугольных координатах лемниската Бернулли (рис. 2.22) имеет уравнение

В полярных

При другом выборе системы координат (рис. 2.23) эта линия определяется соответственно уравнениями

Название линии происходит от греческого слова— повязка, бант.

Линия названа по имени ученого, открывшего ее. Уравнение лемнискаты впервые

Встречается в статье Я. Бернулли, опубликованной в 1694 г. в журнале «Acta eru-ditonim» («Труды ученных»).

Овал Кассини — множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоянная величина.

Уравнение овала Кассини в декартовых координатах

Ввд овала Кассини зависит от соотношения между постоянными. В случаеОвал имеет форму замкнутой линии, симметричной относительно осей координат (рис. 2.24). ПриПолучаем лемнискату Бернулли. В случае

Овал состоит из двух замкнутых линий.

Овалы Кассини названы в честь французского ученного, впервые рассмотревшего их. Жан Доминик Кассини (1625 — 1712) открыл эти линии при попытке определить орбиту земли.

Конхоида. В плоскости фиксируем прямую и точку, отстоящую от этой прямой на расстоянии(рис. 2.25, а). Проведем луч, пересекающий

ПрямуюВ точке. На луче от точкиПо обе стороны от нее, отложены два отрезкаИТаких, чтоГде— заданное число. Вращая

Луч вокруг точки(от 0 до 180° ) и проводя аналогичные построения (при одном и том же значении), получим линию, описываемую точкамиИ, которую называют конхоидой. ТочкуПри этом называют полюсом конхоиды, а прямую

— ее базисом. Линия эта состоит из двух ветвей: одну ветвь описывает точка Другую — точка

Уравнение конхоиды в полярных координатах

Знак плюс — для верхней ветви, минус — для нижней. Форма конхоиды зависит от соотношения между параметрамиПриЛиния имеет вид,

Изображенный на рис. 2.25, б, в.

В прямоугольных декартовых координатах конхоида имеет уравнение

Линию эту называют конхоидой Никомеда, по имени древнегреческого геометра, впервые открывшего ее.

Улитка Паскаля. Рассмотрим окружность радиусаС центром в точке (рис. 2.26). Выберем на данной окружности точку. Представим себе, что вокруг точкиВращается лучВ каждом его положении от точкиПересечения луча и окружности откладываем отрезок, где— заданное положительное

Число. При повороте луча от.Получим множество точек. При даль

Нейшем повороте луча от, откладывая отрезок длиныПо направле

Нию луча, мы фактически будем откладывать его в сторону, противоположную

Прежней, т. е., и получим точки. Множество точекНазы

Вают улиткой Паскаля.

Уравнения улитки Паскаля:

Форма улитки Паскаля зависит отсоотношения между параметрами (рис. 2.26),(рис. 2.27),(рис. 2.28).

Линия названа в честь Этьена Паскаля — французского математика-любителя, отца знаменитого Блеза Паскаля.

Кярдмодя — линия, описываемая точкойОкружности радиуса г, катящейся по окружности с таким же радиусом (рис. 2.29). Параметрические уравнения кар-диоды

В полярных координатах в декартовых координатах

УравнениеТакже определяет кардиоду в полярной системе коор

Динат с полюсом в той же точке и противоположно направленной полярной осью.

Китая — линия, представляющая собой множество точек касания касательных, проведенных из данной точки к окружности заданного радиуса, центр которой перемещается по фиксированной прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.30).

Линия эта напоминает треческую букву к (каппа), откуда и происходит ее название. Параметрические уравнения каппы

Роза — линия, заданная полярным уравнениемИли уравнением

Где— положительные числа. Роза целиком расположена в круге

РадиусаТак как. Роза состоит из конгруэнтных лепестков,

Симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен а. Количество этих лепестков зависит от числа. Если— целое число, то роза состоит изЛепестков при нечетномИ изЛепестков при четном(рис. 2.31, а, 6). Если— рациональное число, причемТо роза состоит из

Лепестков в случае, когда— нечетные числа, или изЛепестков, если одно из чисел будет четным. При этом в отличие от предыдущего случая каждый следующий лепесток будет частично покрывать предыдущий (рис. 2.31, в-е).

Если числоЯвляется иррациональным, то роза состоит из бесконечного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Четырехлепестковой розой (см. рис. 2.31, б) называют линию, определяемую полярным уравнением

В полярных координатах в декартовых координатах

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Четырехлепестковая роза образуется множеством оснований перпендикуляров, опущенных из вершины О прямого угла на отрезок постоянной длины, концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О.

Трехлепесгковой розой (см. рис. 2.31. а) называют линию, определяемую уравнением

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Астроида. Прямоугольник, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых,; деформируется так, что его Диагональ сохраняет постоянную длину р. Множество точек — оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямоугольника наело диагональ, называют астроидой (рис. 2.32, а).

.. ‘Астроида 1ше^параметрические уравнения.. ..

Исключив из этих уравнений параметр t, получим уравнение астроиды в прямоугольных координатах:

Освобождаясь от дробных показателей, находим

Астроиду можно рассматривать как траекторию точки окружности — радиуса (рис. 2.32, б), катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиусКоторой в четыре раза больше

Гипоциклоида — плоская линия, описанная фиксированной точкой окружности радиуса, катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВнутри ее (рис. 2.33, где— вычерчивающая точка,— ее исходное положение,— угол поворота окружности,— дуга линии).

Параметрические уравнения гипоциклоиды

ГдеФорма кривой зависит от зна

ЧенияЕсли— взаимно

Простые числа), тогдаПослеПолных оборотов окружности возвращается в исходное положение и гипоциклоида — замкнутая линия, состоящая изВетвей с точками возврата при(рис. 2.34);

ПриВместоТочек возврата линия

ИмеетДругих точек (рис. 2.35). При Линия вырождается в диаметр неподвижной окружности, приЯвляется астроидой (см. рис. 2.32). При иррациональном т число ветвей бесконечно, точкаВ исходное положение не возвращается. Обобщением гипоциклоиды является гипотрохоида.

Гипотрохоида — плоская линия — траектория точки, жестко связанной с окружностью радиусаКатящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВнутри ее, причем вычерчивающая точкаНаходится на расстоянииОт центра окружности радиусаПриКривая называется удлиненной гипоциклоидой (рис. 2.36,), при— укороченной (рис. 2.37, ). Параметрические уравнения гипотрохоиды

ГдеПриЛиния является эллипсом, при— розой (см. рис. 2.31).

Эпициклоида — плоская линия — траектория фиксированной точки окружности радиусаКатящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВне ее (рис. 2.38, где— вычерчивающая точка,— ее исходное

Положение,— угол поворота окружности,-дуга кривой).

Параметрические уравнения эпициклоиды

ГдеФорма кривой зависит от значения т

(рис. 2.39, а;Рис. 2.39, б;). Если

(— взаимно простые числа), точка

ПослеПолных оборотов окружности возвращается в исходное положение и эпициклоида — замкнутая линия, состоящая изВетвей сТочками возврата. ПриКривая является кардиодой (см. рис. 2.29). При иррациональномЧисло ветвей бесконечно, точкаВ исходное положение не возвращается. Обобщением эпициклоиды является эпитрохоида.

Эпитрохоида — плоская кривая — траектория точки, жестко связанной с производящей окружностью радиуса, катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиусаВне ее, причем вычерчивающая точкаНаходится на расстоянииОт центра производящей окружности. При,Линия называется удлиненной эпициклоидой (рис. 2.40, а;), при— укороченной эпициклоидой (рис. 2.40, б;). Параметрические уравнения эпитрохоиды

ГдеПриЛиния является улиткой Паскаля (см. рис. 2.27,2.28), при

— розой (см. рис. 2.31).

Как построить лемнискату бернулли в полярных координатах

1. Исторические сведения. В 1694 г. Якоб Бернулли в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением Он отмечает сходство этой линии (рис. 493) с цифрой 8 и с узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда название лемниската. Лемниската получила широкую известность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682-1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги

лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на равных дуг при условии, что или или где любое целое положительное число.

Лемниската есть частный вид линии Кассини (§ 509, п. 6). Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернулли была установлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).

2. Определение. Лемниската есть геометрическое место точек, для которых произведение расстояний от них до концов данного отрезка равно Точки называются фокусами лемнискаты; прямая ее осью.

3. Уравнение в прямоугольной системе (начало координат О — середина отрезка ось ОХ направлена по

Уравнение в полярной системе (О — полюс, полярная ось):

Угол изменяется в промежутках и .

Рациональное параметрическое представление:

где параметр и связан с соотношением

4. Построение. Можно применить общий способ построения линий Кассини, но нижеизложенный способ Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис. 493) окружность радиуса — с центром в точке . Проводим произвольную секущую и откладываем

на этой прямой в обе стороны от точки О отрезки и равные хорде Точка опишет одну из петель лемнискаты, точка другую.

5. Особенности формы. Лемниската имеет две оси симметрии: прямую и прямую Точка О — узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью ОХ углы Точки лемнискаты, наиболее удаленные от узла О (вершины лемнискаты), лежат на оси на расстоянии с от узла.

6. Свойство нормали. Полярный радиус лемнискаты образует с нормалью угол вдвое больший полярного угла

Другими словами: угол между осью ОХ и вектором внешней нормали лемнискаты в точке равен утроенному полярному углу точки

7. Построение касательной. Чтобы построить касательную к лемнискате в ее точке проводим полярный радиус и строим Перпендикуляр к прямой есть искомая касательная.

8. Наибольший поперечник (см. рис. 493) служит основанием равностороннего треугольника с вершиной О.

9. Радиус кривизны

10. Площадь S полярного сектора

(К — проекция фокуса на полярный радиус ).

Другими словами: перпендикуляр опущенный из фокуса лемнискаты на произвольный полярный радиус делит площадь сектора пополам.

Площадь каждой петли лемнискаты .

11. Связь с гиперболой. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра О равносторонней гиперболы с вершинами на ее касательные, есть лемниската с теми же вершинами.