Что такое чевиана в треугольнике

Чевиана в треугольнике это

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Треугольники AKB₁ и CNB₁ подобны по острому углу.

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d2843a1eb6f7a75 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Теорема Вариньона. Теорема Менелая. Теорема Чевы. Теорема Ван-Обеля

Факт 1.
$\bullet$ Теорема Вариньона:
Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Факт 2.
$\bullet$ Теорема Менелая:
Если прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно, а также продолжение прямой $AC$ в точке $B_1$ , то выполнено следующее соотношение:

Факт 3.
$\bullet$ Теорема Чевы:
Если $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ – чевианы, пересекающиеся в одной точке, то для них выполнено следующее соотношение:

(чевиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне)

Факт 4.
$\bullet$ Теорема Ван-Обеля:
Если $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ – чевианы, пересекающиеся в одной точке, то для них выполнено следующее соотношение:

Что такое чевиана в треугольнике

Нередко учащиеся 9 и 11 классов сталкиваются с трудностями при решении практических задач на экзамене по математике. Это вторая часть ОГЭ/ЕГЭ, которая является наиболее сложной, и, соответственно, за которую можно набрать хорошее число баллов. Знание теорем Чевы и Менелая может значительно упростить решение таких задач.

Помимо экзаменов, изучение данной темы может помочь на олимпиадах, вступительных испытаниях и просто для погружения в удивительный математический мир.

Объект исследования: геометрические задачи, требующие нахождения отношений длин отрезков, площадей фигур.

Гипотеза: применение теорем Чевы и Менелая при решении многих задач рациональнее, чем другие способы решения.

Цель работы: Доказать теоремы Чевы и Менелая, выяснить, насколько их применение упрощает решение задач на отношение отрезков и площадей фигур.

· Рассмотреть доказательство теорем Чевы и Менелая

· Решить несколько задач с их помощью и другими способами. Выяснить какой из методов рациональнее в каждом конкретном случае

· Создать банк задач, при решении которых применение теорем Чевы и Менелая предпочтительнее.

Результатом исследования является презентация, которая поможет выпускникам 9 и 11 классов познакомится с методом решения задач на нахождение отношений длин отрезков и площадей фигур с помощью теорем Чевы и Менелая.

2.1 Теорема Чевы

2.1.1 Кто такой Чева? Джованни Чева (1648-1734 г.)- итальянский инженер и математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении «О взаимнопересекающихся прямых»(1678).

2.1.2 Что такое чевиана? Определение. Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны, или ее продолжения.

1.1.3 Теорема Чевы
Если на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

Рассмотрим треугольники AOB1 и COB1

Поскольку их основания лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки O. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

; и

Перемножая эти три равенства получаем:

Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе.

Треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные углы. Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих эти углы.

То есть:

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

и .

Перемножив эти равенства, получаем:

Имеем:

Докажем обратное утверждение.

Пусть точки C1, A1, B1 взяты на сторонах так, что выполнено равенство:

(1)

Докажем, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA1 и BB1 и проведем прямую CO. Она пересекает сторону AB в некоторой точке, которую обозначим C2. Т.к. отрезки AA1, BB1 и CC2 пересекаются в одной точке, то, по доказанному в первом пункте: (2)

Сопоставляя равенства (1) и (2): ,

приходим к равенству ; которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки

C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

1.2 Теорема Менелая

1.2.1 Кто такой Менелай? Древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему о прямой, пересекающей стороны треугольника (теорема Менелая).

1.2.2 Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно. Точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

1. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.

Треугольники AC1B1 и CKB1 подобны по двум углам.

Следовательно, .

Далее, перемножив полученные равенства, получим:

,откуда следует, что:

или :

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка B1 взята на продолжении стороны AC, а точки C1 и A1 — на сторонах AB и BC, причем так, что выполнено равенство:

Докажем, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. (рис.2)

Рис.2 Рис.1

Прямая B1C1 пересекает сторону BC в некоторой точке A2. (рис.1)

Т.к. точки B1, C1, A2 лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте:

Сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству, которое показывает, что точки A1 и A2 делят сторону BC в одном и том же отношении. Следовательно, точки A1 и A2 совпадают, и, значит, точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.

С помощью теорем Чевы и Менелая нетрудно доказать теоремы о четырех замечательных точках треугольника, теоремы Ван-Обеля и Симпсона. Остановимся на двух последних теоремах подробнее.

3.1 Теорема Ван-Обеля

Пусть чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке T, тогда справедливо равенство:

1.Для треугольника ABB1 и секущей CC1 запишем теорему Менелая:

; откуда получим (1)

2. Для треугольника BB1Си секущей A1A, запишем теорему Менелая:

; откуда следует, что: (2)

3. Сложив = .

Итак, .

Теорема Симсона (Симпсона)

Пусть D – произвольная точка описанной около треугольника ABC окружности. DP, DR, DQ – перпендикуляры к сторонам AB, AC и продолжению стороны BC соответственно. Докажем, что основания перпендикуляров P, R, Q лежат на одной прямой

Основания перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника (или их продолжениям) из произвольный точки описанной окружности, лежат на одной прямой

Доказательство (Способ 1.)

Сделаем доп. построение – проведем отрезки AD и CD.

то точки A,P,R,D лежат на одной окружности с диаметром AD.

Тогда ∠PRA = ∠PDA, т.к. они опираются на одну дугу.

то точки Q, C, R, D лежат на одной окружности с диаметром CD.

Следовательно вписанные углы ∠CRQ = ∠CDQ как опирающиеся на одну дугу.

Итак, ∠PDA = ∠QDC, следовательно, ∠PRA = ∠CRQ.

Это означает, что точки P, R, Q лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

3.3 Решение задач с помощью теорем Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

Дано: Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение.

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

В на стороне взята точка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найти отношение .

Дано: , , , – луч, , , .

Найти отношение .

Решение. I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.8) . Пусть , тогда ; пусть , тогда .

1) Рассмотрим и .

– общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , . Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

И, значит,

2) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному: то мы получаем, что:

Ответ: .

II способ (с использованием теоремы Менелая)

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию МС= .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая: И, значит,

Ответ: .

Как видим, использование теоремы Менелая значительно упрощает решение этой задачи.

Приложение. Банк задач, для решения которых рекомендуется использовать теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

Катеты прямоугольного треугольника равны 9, 12 и гипотенуза равна 15. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL равна 5.

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин В и С до этой прямой равны b и с соответственно. Найдите расстояние от вершины А до этой прямой.

Через точку Р, лежащую на медиане СС1 треугольника АВС , проведены прямые АА1 и ВВ1 ( точки А1 и В1 лежат на сторонах ВС и СА соответственно). Докажите, что А1В1 ? АВ.

Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС.

Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущена высота СК, и в треугольнике АСК проведена биссектриса СЕ. Прямая, проходящая через точку В параллельно СЕ, пересекает СК в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок АС пополам.

Чевиана

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).

n-угольник — многоугольник с n вершинами.

Аффи́нное преобразование — преобразование плоскости, переводящее прямые в прямые.

Антипаралле́ль к стороне BC — отрезок B₁C₁, где точки B₁ и C₁ лежат на лучах AC и AB, при условии, что ∠AB₁C₁ = ∠ABC и ∠AC₁B₁ = ∠ACB.

Асимпто́та кривой γ, имеющей бесконечную ветвь, — прямая, такая, что расстояние от точки γ кривой до этой прямой стремится к нулю при движении ее вдоль ветви к бесконечности.

Барице́нтр системы точек A_i с массами m_i — точка Z такая что $\sum_i m_i\overrightarrow<ZA_i>=0″ width=»» height=»» />.</li> </ul> <ul> <li>Барицентри́ческие координаты точки X относительно невырожденного треугольника ABC — тройка чисел (m1:m2:m3) , такая что <img decoding=$ и $m_1\overrightarrow<XA>+ m_2\overrightarrow <XB>+ m_3\overrightarrow <XC>= 0″ width=»» height=»» />, то есть если разместить в вершины треугольника массы, численно равные m1,m2,m3 , то барицентр полученной системы точек совпадёт с точкой X . Барицентрические координаты называют приведёнными, если m1 + m2 + m3 = 1</li> </ul> <ul> <li>Биссектри́са треугольника, проведенная из вершины — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне.</li> </ul> <ul> <li>Биссектри́са угла — луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.</li> </ul> <ul> <li>Вневпи́санная окружность треугольника. Окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.</li> <li>Внешний угол — см. многоугольник.</li> <li>Внутренний угол — см. многоугольник.</li> <li>Впи́санная окружность треугольника. Окружность, касающаяся трёх сторон треугольника.</li> <li>Впи́санный четырёхуго́льник. Выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.</li> <li>Высота треугольника.Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Иногда так называют длину этого перпендикуляра.</li> </ul> <ul> <li>Геометрическое место точек (ГМТ) — множество точек плоскости, удовлетворяющее определённому условию. Например, срединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от его концов.</li> <li>Гипербола</li> <li>Гомотетия с центром O и коэффициентом <img decoding=$ — преобразование плоскости, переводящее точку P в точку P’ , такую что $\overrightarrow <OP$ .

Движение. см. изометрия.

Диаметр Брокара — диаметр окружности Брокара.

Изоме́трия. Преобразование, сохраняющее расстояния.

Инве́рсия — конформное преобразование, при котором окружности и прямые переходят в прямые и окружности (не обязательно соответственно).

Инце́нтр треугольника — точка пересечения биссектрис, а также центр вписанной в треугольник окружности.

Изогональное сопряжение. Пусть на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Тогда прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке Q. В этом случае точки P и Q называются изогонально сопряженными относительно треугольника ABC.

Изогонический центр треугольника. Построим на сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Тогда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Эту точку называют первым (вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Ферма.

Изодинамический центр треугольника. Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Тогда эти три окружности имеют две общие точки M и N, которые называются изодинамическими центрами. Кроме того, прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

$\infty$

Коллинеа́рные точки. Набор точек, находящихся на одной прямой.
Конгруэ́нтные фигуры. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует изометрия плоскости, которая переводит одну в другую.
Конкуре́нтные прямые. Набор прямых, проходящих через одну точку, или попарно параллельных.
Кривая постоянной шириныa есть замкнутая выпуклая кривая, длина проекции которой на любую прямую равна a.
Круг есть ограниченная часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круговая плоскость. Евклидова плоскость, дополненная одной идеальной точкой ().

Луч — «полупрямая», имеет начальную точку, но не имеет конечной точки.

Многоуго́льник. Замкнутая ломаная на плоскости.

Накло́нная к прямой p ― прямая, пересекающая прямую p под углом, отличным от прямого.

Окру́жность с центром в точке О — геометрическое место точек, равноудалённых от точки О.

Окру́жность Аполло́ния для данных точек A и B и коэффициента $k\not=1$ — геометрическое место точек, таких, что | AX | = k | BX | .

Окружность Брокара — описанная окружность треугольника Брокара.

Окружности Лемуана. Через точку Лемуана данного треугольника проведем прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника (в общем случае таких точек 6), называется первой окружностью Лемуана. Если же через точку Лемуана провести прямые, антипараллельные сторонам треугольника, то окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника называется второй окружностью Лемуана.

Окружность Нейберга Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса $BC/2)\sqrt<<\rm ctg >^2\varphi -3>» width=»» height=»» />, которая и называется окружностью Нейберга.</li> </ul> <ul> <li>Окружность Тукера треугольника ABC — окружность, которая проходит через точки пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A1B1C1, полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана. Эти точки (в общем случае их шесть) всегда лежат на одной окружности. Центр окружности Тукера лежит между точкой Лемуана и центром описанной окружности.</li> </ul> <ul> <li>Окружности Схоуте. Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее. Данные окружности называются окружностями Схоуте треугольника ABC . ‘Отре́зок— часть прямой между двумя точками, включая концы.</li> </ul> <ul> <li>Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Многоугольник, вокруг которого описанна окружность, называется вписанным в эту окружность.</li> </ul> <ul> <li>Параллелогра́мм — четырехугольник, противоположные стороны и противоложные углы которого равны.</li> <li>Параллельный перенос — преобразование M’=f(M) такое, что все отрезки MM’ равны и параллельны. Из этого вытекает, что x’ = x + a1, y’ = y + a2, где a1,a2 — произвольные константы. Параллельный перенос является изометрией и не имеет неподвижных точек.</li> <li>Педа́льный треугольник см. Подерный треугольник</li> <li>Площадь — некоторая аддитивная неотрицательная величина, сопоставляемая каждой элементарной фигуре.</li> <li>Поворот — изометрическое преобразование, являющееся результатом вращения всей плоскости вокруг точки на этой плоскости на заданный угол.</li> <li>Поде́рный треугольник точки Р относительно ∆ABC. Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника ABC (или их продолжения).</li> <li>Подобие — преобразование, сохраняющее отношение расстояний.</li> <li>Преобразование плоскости — взаимнооднозначное отображение плоскости на себя. Часто однако преобразванием называют отображения, которые продолжаются до преобразований расширенной плоскости, например инверсия — преобразование круговой плоскости, перспектива — преобразование проективной плоскости, и т. д.</li> <li>Проективная плоскость — евклидова плоскость, дополненная идеальной прямой (см. бесконечно удалённая прямая).</li> <li>Проективные преобразования — преобразования проективной плоскости, сохраняющие отношение параллельности.</li> <li>Прямая Эйлера</li> </ul> <ul> <li>Равновеликие фигуры — фигуры имеющие одинаковую площадь.</li> <li>Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Частным случаем ромба является квадрат.</li> </ul> <ul> <li>Симедиана — отрезок, симметричный медиане треугольника относительно биссектрисы угла этого треугольника. Симедианы треугольника пересекаются в точке Лемуана.</li> </ul> <ul> <li>Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к отрезку и делящая его на две равные части.</li> </ul> <ul> <li>Серединный треугольник — треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника.</li> </ul> <ul> <li>Средняя линиятреугольника или трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основанию треугольника (или основаниям трапеции) и равна половине основания треугольника (или полусумме оснований трапеции).</li> </ul> <ul> <li>Степень точки относительно окружности — число d 2 − R 2 , где d — расстояние от точки до центра окружности, a R — радиус окружности.</li> </ul> <ul> <li>Стереографическая проекция — проекция из точки О сферы, проходящей через эту точку на плоскость, касающуюся сферы в точке, антиподальной к точке О.</li> </ul> <ul> <li>Скользящая симметрия — композиция симметрии относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой (этот вектор может быть и нулевым).</li> </ul> <ul> <li>Точка Жерго́на — точка пересечения чевиан, проходящих через точки касания вписанной окружности со сторонами этого треугольника.</li> </ul> <ul> <li>Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника. Эта точка изогонально сопряженнацентроиду.</li> </ul> <ul> <li>Точка На́геля — точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями.</li> </ul> <ul> <li>Точка Торричелли — точка, из которой все стороны видны под углом 120°.</li> </ul> <ul> <li>Точки Брокара — такие внутренние точки P и Q <img decoding=$ , что $\angle ABP =\angle BCP = \angle CAP$ и $\angle QAB=\angle QBC = \angle QCA$ .

Треугольник Наполеона для треугольника — равносторонний треугольник, образованный центрами равносторонних треугольников, построенных на всех сторонах данного треугольника.

Трисектри́са угла есть луч, делящий этот угол в отношении 2:1. — плоская кривая.

Тупой угол — угол, величина которого находится между 90 и 180 градусами.

Теорема Гаусса. Рассмотрим четырехугольник ABCD . Пусть u = AD 2 , v = BD 2 , w = CD 2 , U = BD 2 + CD 2 — BC 2 , V = AD 2 + CD 2 — AC 2 , W = AD 2 + BD 2 — AB 2 . Тогда uU 2 + vV 2 + wW 2 = UVW + 4uvw .

Теорема Карно. Перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на стороны BC, CA и AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B 2 + C₁A 2 + B₁C 2 = B₁A 2 + A₁C 2 + C₁B 2 .

Теорема Наполеона. Если на сторонах правильного треугольника внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник. Кроме того, разность площадей треугольников, полученных при построении правильных треугольников внешним и внутренним образом, равна площади исходного треугольника.

Теорема о группировке масс. Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме масс удаленных точек.

Теорема о дважды перспективных треугольниках. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁ таких, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Тогда прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂.

Теорема о полном четырехстороннике. Рассмотрим четыре точки A, B, C и D. Пусть P, Q и R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Тогда (QRKL)=-1, где (QRKL) — двойное отношение точек Q, R, K, L</math>.

Теорема о трижды перспективных треугольниках. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁ таких, что прямые AA₁ , BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O , прямые AA₁ , BC₁ и CB₁ пересекаются в одной точке O₁ и прямые AC₁ , BB₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₂ . Тогда прямые AB₁ , BA₁ и CC₁ также пересекаются в одной точке O₃ .

Теорема Тебо: На стороне BC треугольника ABC взята точка D . Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I , I₁ , I₂ и r , r₁ , r₂ — центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁ , S₂ ; . Тогда точка I лежит на отрезке I₁I₂ , причём
- Угол Брокара. Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP называется углом Брокара этого треугольника.
- Угол между окружностями — угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
- Угол между окружностью и прямой — угол между прямой и касательной к окружности в точке пересечения прямой и окружности. Оба угла между пересекающимися окружностью и прямой равны.
Теорема Чевы, Менелая и метод масс.

Три чевианы , и треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

Пример 1. Три чевианы , и треугольника пересекаются в одной точке так, что . Как относится к ?

Решение.

По теореме Чевы:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

$\frac {CG}{GA}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac {CG}{GA}=\frac{3}{4}$

Ответ: .

Теорема Менелая

Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

Пример 2.

— медиана треугольника . Точка лежит на . пересекает в точке

Найдите как относится к , если к относится как .

Решение.

Так как точки , и лежат на одной прямой, то можно воспользоваться теоремой Менелая:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

$\frac {CF}{FA}=\frac{1}{4}$

Ответ: .

Метод масс

Три чевианы , и треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства:

$\begin{matrix}m_{1} \cdot AE=m_{3} \cdot BE \\ m_{3} \cdot BD=m_{2} \cdot DC\\ m_{2} \cdot CG=m_{1} \cdot AG\\ m_{1} \cdot AF=(m_{3}+m_{2}) \cdot FD\\ m_{3} \cdot BF=(m_{1}+m_{2}) \cdot FG\\ m_{2} \cdot CF=(m_{1}+m_{3}) \cdot FE\\ \end{matrix}$

Пример 3. На сторонах и треугольника взяты соответственно точки и так, что , . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите отношение .

Решение. Поставим в вершины треугольника массы так, чтобы выполнялись следующие равенства:

$\begin{matrix} m_{1} \cdot AM=m_{2} \cdot MB \\m_{2} \cdot BN=m_{3} \cdot NC \\ \end{matrix}$

Видим, что $m_{1} =3, m_{2} =2, а m_{3}=4$ .

Тогда, $4 \cdot CO=(3+2) \cdot OM$

$\frac {CO}{OM}=\frac {5}{4}$

Ответ: .

Тренировочные задания

Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.

Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Задача 7. В треугольнике ABC AA₁ — биссектриса, BB₁ — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB₁.

Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?
Похожие публикации: