Доказать что кусочная функция измерима

§26. Измеримые функции

Пусть Е — измеримое множество, ЕR и задана функция f, область определения которой содержит Е.

Определение. Функция называется измеримой на , если множество измеримо.

Теорема 1. Пусть Е измеримо, f задана на Е. Функция f измерима тогда и только тогда, когда  АR одно из множеств 1-3 измеримо:

1. Е(f ≤ A);

2. E(f ≥ A);

3. E(f < A).

Доказательство:

1. f измерима  E(f ≤ A) измеримо.

) f измерима  по определению E(f > A) измеримо АR. E(f ≤A)=E\E(f>A). По следствию из теоремы 2(а) множество E(f ≤ A) измеримо как дополнение измеримого множества до Е.

)Пусть E(f ≤ A) измеримо  E(f > A) = E\E(f ≤ A) измеримо, следовательно, по определению f измерима.

2. f измерима  E(f ≥ A) измеримо.

) f измерима. Докажем, что E(f≥A) измеримо.

Покажем методом встречных включений, что .

а) x_o E(f≥A)  f(x_o)≥A  nN  nN  .

b)  n N  n N. Переходя к пределу при n, получим, что f(x_o)≥A  x_o  E(f ≥ A).

Так как f измерима, то измеримо n N. Следовательно, по теореме 2(б) измеримо.

) E(f≥A) измеримо. Докажем, что f измерима.

Рассмотрим множество E(f > A). Покажем, что .

a) Пусть x_oE(f>A)  f(x_o) >A. Очевидно, что n_oN:   x_o.

b) x_o , n_o  N  f(x_o)>A  x_oE(f>A).

По условию измеримо nN и по теореме 1(а) множество E(f>A) измеримо  f по определению измерима.

3. Провести доказательство самостоятельно.

§27. Арифметические действия над измеримыми функциями

Теорема 2. Пусть f и g — измеримые функции. Тогда множество E(f >g) = <xE: f(x)>g(x)> измеримо.

Доказательство:

Занумеруем рациональные числа . Покажем методом встречных включений, что .

а) Пусть x_oE(f>g)  f(x_o) > g(x_o).

  Q : f(x_o)>>g(x_o)  f(x_o)>и g(x_o)< x_oE(f >) и x_oE(g <)  x_oE(f>)E(g<)  x_o.

б) Пусть x_o   n_oN : x_oE(f >) и x_oE(g <)  f(x_o)>и g(x_o)< f(x_o)>g(x_o)  x_oE(f>g).

Так как f измерима, то E(f >) измеримо nN. Так как g измерима, то E(g <) измеримо nN. Следовательно, по теореме 2 множество E(f >)E(g <) измеримо nN, следовательно, по теореме1(а) множество E(f >g) измеримо.

Теорема 3. Пусть функции f и g определены на измеримом множестве Е.

1) Если f измерима, k,rR, то функции kf и f +r измеримы на Е.

2) Если f и g измеримы на Е, то f ± g измерима на Е и fg измерима на Е.

3) Если f(х)≠0 хЕ, то 1/f ,g/f – измеримые функции на Е.

Доказательство:

1. а) Докажем, что функция kf измерима на Е, то есть что множество Е(kf >A) измеримо АR.

Рассмотрим неравенство kf >A.

Пусть k=0. Имеем 0>A  E(0>A)=<xE: 0>A> — измеримо, так как Е и  — измеримые множества. Следовательно, функция kf измерима при k=0.

Пусть k≠0, тогда

— измеримо, так как f измерима  kf измерима.

б) Докажем, что f+r измерима на Е.

f+r – измерима на Е  множество E(f+r>A) измеримо, но E(f+r>A)=E(f>A—r) измеримо (так как f измерима, ).

2. а) Докажем, что f±g измерима на Е.

f±g – измеримая функция  множество Е(f ±g >A) AR измеримо.

Е(f±g>A)=Е(f >Ag), но функция (–g) измерима по пункту 1) данной теоремы, функция Аg измерима по тем же соображениям  по теореме 2 множество Е(f>Ag) измеримо  f±g измерима.

б) Докажем, что fg измерима на Е.

Пусть . Докажем, что f 2 измерима на Е, то есть множество Е(f 2 >A) измеримо АR.

E(f 2 >A) .

Очевидно, что и Е — измеримые множества, то есть множество Е(f 2 >A) измеримо АR.

Пусть далее . Заметим fg=. Так как f±g – измеримые функции, то функции (f±g) 2 также измеримы  — измеримая функция, то есть fg – измеримая функция.

3. а) Докажем, что — измеримая функция на Е, то есть множество измеримо АR.

Пусть А=0, тогда .

Пусть А≠0, тогда .

Если А>0, то 0<f(x)<.

Если А<0, то f(x)< или f(x)>0.

— измеримо АR.

б) Докажем, что — измеримая функция на Е.

измерима на Е, так как функции и измеримы.

§28. Интеграл Лебега

Пусть Е – измеримое множество, — измеримая функция на Е. Будем предполагать, что ограничена на Е, то есть существуют , такие, что . Разобьем на части точками , ,…,. Разбиение обозначим : . Каждому полученному промежутку будет соответствовать множество

=, .

Составим суммы: , , которые назовём нижняя и верхняя суммы Лебега.

Свойства множеств .

1. , ;

2. — измеримо (так как — измерима);

3. ;

4. (из 1-3).

Очевидно, что (из определения).

Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 1-4.

Определение. Функция суммируема или интегрируема по Лебегу, если при любом разбиении этого отрезка, где . Общее значение этих пределов называется интегралом Лебега от функции на множестве Е и обозначается .

Свойства сумм Лебега

Теорема 1. Пусть — некоторое разбиение отрезка , то есть . Разбиение получается из Т добавлением новых точек, то есть ; , — суммы Лебега, соответствующие разбиению Т; , — суммы Лебега, соответствующие разбиению . Тогда , .

Доказательство:

Доказательство достаточно провести для случая добавления одной точки, то есть , .

, где .

Множество разбиваем на два множества: ; . Тогда ; . Следовательно,

;

Так как , то . Аналогично доказывается, что .

Теорема 2. Для произвольных разбиений Т и , (любая нижняя сумма Лебега не превосходит любой верхней).

Доказательство:

Рассмотрим разбиение . Так как можно получить из Т добавлением новых точек из , то по теореме 1 , (1).

С другой стороны, , то есть его можно получить из добавлением новых точек из Т. Тогда по теореме 1, , (2). Кроме того, (3).

Из (1), (2), (3) следует, что , .

Теорема 3. Пусть Е – измеряемое множество и

1) ограничена на множестве Е;

2) измерима на Е.

Тогда существует .

Доказательство:

Множество ограничено сверху, так как , следовательно, существует . Множество ограничено снизу, следовательно, существует . Докажем, что . , так как s, S: . Пусть — некоторое разбиение , и — нижняя и верхняя суммы Лебега, соответствующие данному разбиению. Тогда

, ,

Рассмотрим разность :

При , следовательно, , то есть и функция интегрируема на Е.

§29. Свойства интеграла Лебега

Свойство 1 (теорема о среднем). Пусть Е – измеримое множество, – измеримая функция на Е и xE. Тогда

Доказательство:

Фиксируем N. Положим , . Тогда . Разобьем отрезок [A;B] точками и составим множества . Так как , то

Просуммируем эти неравенства по k:

По свойству 4 множеств имеем:

Перейдем к пределу при :

Так как n – любое натуральное число, то, переходя к пределу при , получим:

Следствие 1. Пусть , Е — измеримое множество. Тогда .

Доказательство:

Возьмем и , тогда .

Следствие 2. Если , – измеримая функция на Е , Е – измеримое множество, то

Доказательство:

Так как , то возьмем а=0 (b=0), получим .

Следствие 3. Если , то для любой ограниченной функции , определенной на измеримом множестве Е, .

Свойство 2. Пусть , при , — измеримое множество. Пусть далее – измеримая, ограниченная функция на Е. Тогда

Доказательство:

Так как ограничена на Е, то .

I. Докажем свойство для случая двух множеств: , . Возьмем любое разбиение Т отрезка [A,B]: T: A=. Составим множества

Так как — множество тех точек из , для которых , то . Аналогично, . Так как , то . Кроме того,

, .

Умножим части равенства на , получим:

Просуммируем эти равенства по k:

Перейдем в последнем равенстве к пределу при :

II. Случай , при . В этом случае справедливо утверждение:

Доказательство проводится методом математической индукции (Самостоятельно!).

III. Случай , при .

По теореме 1(б) (основные теоремы об измеримых множествах) , то есть ряд сходится  , где , то есть при .

Доказать что кусочная функция измерима

Символом будем обозначать расширенное множество действительных чисел, т.е. множествос присоединенными несобственными числамии.

На множестве справедливы обычные правила арифметических действий, кроме следующих:

Сумма двух несобственных чисел иесть неопределенное число, также неопределенными являются результаты следующих операций,.

Пусть — некоторое подмножество. Будем рассматривать функции, определенные на множествеи принимающие значения в, т.е. функции могут принимать бесконечные значения.

Для произвольного введем множество

называемое Лебеговым множествомфункции.

Определение 2.1.1.Функцияназываетсяизмеримой по Лебегу, если

множество измеримо;

для любого множестваизмеримы.

функция измерима;

для любого множествоизмеримо;

для любого />множествоизмеримо;

для любого множествоизмеримо.

Доказательство.Теорема будет полностью доказана, если будет показана последовательность импликаций

Покажем, что из первого утверждения следует второе. Для произвольного справедливо представление. В силу измеримости функции, каждое множествоизмеримо, а пересечение счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Импликациядоказана.

Докажем . Для произвольного, справедливо представление. Отсюда следует вывод, что множествоизмеримо как разность двух измеримых множеств.

Импликация доказывается аналогично утверждению, используя представление. Каждый элемент пересечения является измеримым множеством, а так как элементов пересечения счетное число, то их пересечение есть измеримое множество.

Доказательство аналогично доказательству.

Теорема 2.1.1 утверждает, что в определении измеримой функции можно взять любое из множеств ,,,. Поэтому все перечисленные множества называютсяЛебеговыми множествамифункции.

Можно показать, что для измеримой функции множества вида,,,…измеримы для любых. При этом, из измеримости множествпри всехне следует измеримость функции.

Теорема 2.1.3.Пусть— измеримое подмножество и,, тогда функцияизмерима.

Теорема 2.1.4.Пустьизмерима и— измеримое подмножество. Тогда сужениеявляется измеримой функцией.

Доказательство.Справедливо равенство. Поэтому всякое Лебегово множество функцииизмеримо как пересечение двух измеримых множеств. Таким образом,измерима.

Теорема 2.1.5.Пусть функциязадана на объединении не более чем счетного числа измеримых множеств и имеет измеримое сужение на каждое из этих множеств. Тогдаявляется измеримой на объединении множеств.

Определение 2.1.2. Две функцииизаданные на одном и том же множестве называютсяэквивалентными, если мера множества, на которомине равны, равна нулю, т.е.

При этом говорят, что функции иравны почти всюду.

Теорема 2.1.6.Еслиизмерима и функцияэквивалентна, то функцияизмерима.

Доказательство.Множествопредставим в видеи обозначим. Сужениеявляется измеримой функцией. Сужение функциисовпадает с сужением, и потому измеримо. Так как, тоизмеримая функция. В итоге функцияопределена на объединении двух измеримых множеств и измерима на каждом из них. Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема 2.1.7. Функция непрерывная на отрезкеизмерима.

Доказательство.Множествоизмеримо. Для непрерывной функции прообразом любого замкнутого множества является замкнутое множество. Поэтому Лебеговы множестваизмеримы для любого.

Следующая теорема утверждает, что множество всех измеримых функций, определенных на измеримом множестве , замкнуто относительно операций сложения и умножения на скалярный множитель.

Теорема 2.1.8.Пусть функциииизмеримы и— произвольный скаляр, тогдаиизмеримы на множестве.

Доказательство.Если, тоИными словами, Лебеговы множестваизмеримы при любом.

Для ненулевого , имеем

В силу измеримости функции оба множества измеримы. Таким образом, любая функция видаизмерима вместе с функцией.

где — множество рациональных чисел.

Пусть , тогда. В силу всюду плотности множества рациональных чисел на прямой, найдется такое рациональное число, что. Тогдаи. Иными словами,и. Тогда. Включениепоказано.

Пусть , тогда найдется такое рациональное число, что. Отсюдаи. Следовательнои, тогда. Иными словами,. Обратное включение показано.

Теорема 2.1.9.Если функцияизмерима, то измеримы функции,и, если функцияне обращается в нуль на множестве.

Доказать что кусочная функция измерима

Выясним некоторые дальнейшие свойства измеримых функций.

Теорема 1. Если измеримая функция, то и измеримая функция.

Утверждение теоремы непосредственно следует из формулы

Теорема 2. Если измеримая функция и с — конечная постоянная, отличная от нуля, то измеримые функции.

Первое утверждение непосредственно вытекает из формулы

а второе из формул

Теорема 3. Если измеримые функции, то множество измеримо.

Пронумеруем все рациональные числа: . Измеримость упомянутого в теореме множества непосредственно вытекает из формулы

Теорема 4. Если измеримые функции, принимающие конечные значения, то функции и измеримы.

Измеримость разности непосредственно следует из формулы

и теорем 2 и 3. Измеримость суммы следует из формулы и теоремы 2 при Измеримость квадрата измеримой функции непосредственно следует из формулы

а измеримость произведения из формулы

Докажем измеримость функции при условии, что g не принимает значения 0. Это непосредственно следует из следующих формул:

Наконец, из формулы следует измеримость частного.

В приведенной теореме необходимо было сделать оговорку о том, что функции принимают во всех точках конечные значения. В противном случае действия над этими функциями могли бы потерять смысл. Если, например, в некоторой точке и , то в этой точке мы ничего не можем сказать о сумме . Если указанной неопределенности при производстве действия над нет, то можно допустить и бесконечные значения для Докажем в качестве примера следующую теорему:

Теорема 5. Если измеримые функции, принимающие конечные значения и значение то функция измерима.

Пусть А — множество, на котором по крайней мере одна из функций равна . Это множество измеримо в силу измеримости и g, и на множестве А сумма имеет постоянное значение и, следовательно, измерима. На множестве и функции и g имеют конечные значения, и, в силу теоремы 4, сумма измерима и на . Поэтому она измерима и на что и требовалось доказать.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Прообраз открытого множества — измерим.

Задача
Доказать, что прообраз открытого множества измеримой функции $$f : \mathbb<R>^d \to \mathbb<C>$» /> измерим. <br />Измеримая функция — это предел последовательности простых.<br />Простая функция это функция вида <img decoding=$ — измеримые множества в $$\mathbb<R>^d$» /> а <img decoding=$ — хар. функция множества $A$ .

В вещественном случае для доказательства этого факта в значительной степени используется порядок в $$\mathbb<R>$» />, а как быть в комплексном?</p> <div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>  <div>Похожие публикации:</div><ol> <li><a href=$ Как удалить аккаунт разработчика google play