Отрезки соединяющие середины противоположных сторон равны. Докажите что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны (желательно на бумаге с рисунком)
По т. о средней линии треугольника ( для ΔАВС и ΔАDС) :
МН||АС и РК ||АС значит МН||РК.
По т. о средней линии треугольника ( для ΔАВD и ΔСВD) : НК||ВD , МР||ВD значит НК||МР.
Поэтому МНКР- параллелограмм. По условию МН=НК=КР=РМ ⇒ параллелограмм является ромбом. А диагонали ромба взаимно перпендикулярны
№521 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Доказать что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Подсказка
Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.
Решение
Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD ; M , N , P , Q — проекции точки O на AB , BC , CD и AD . Тогда
(т.к. точки M и Q лежат на окружности с диаметром AO , а точки P и Q — на окружности с диаметром OD ). Аналогично OMN + OPN = 90 o . Поэтому
геометрия — Докажите, что диагонали взаимно перпендикулярны
Даны точки $%A(-3;0)$%, $%B(-2;5)$%, $%C(9;8)$% и $%D(4;-4)$%. Докажите, что диагонали четырехугольника $%ABCD$% взаимно перпендикулярны.
задан 17 Янв ’15 13:44
Проверьте, что произведение угловых коэффициентов прямых $%AC$% и $%BD$% равно минус единице.
Или, что равноценно — скалярное произведение векторов AC и BD равно нулю.
Сначала нужно составить уравнения диагоналей (прямых $%AC$% и $%BD$%) в виде $%ax+by+c=0$%. А потом найти значение $%a_1a_2+b_1b_2$%. Если результат — ноль, то диагонали перпендикулярные.
@sliy, а что брать за a,b и с в уравнениях?
@melwentay: поскольку у Вас во многих вопросах шла речь о векторах, лучше решать через скалярное произведение. Это совсем просто. У векторов диагоналей координаты равны AC(12;8) и BD(6;-9). Скалярное произведение равно $%12\cdot6+8\cdot(-9)=0$%. Значит, эти векторы перпендикулярны.
@falcao, да, так гораздо лучше. Благодарю.
@melwentay: составлять уравнения диагоналей в полном виде не имеет смысла, потому что важны только угловые коэффициенты, а свободные члены ни на что не влияют. Здесь угловые коэффициенты прямых AC и BD равны 8/12 и -9/6 соответственно. Произведение их равно -1, то есть прямые перпендикулярны. Это то, что имел в виду @EdwardTurJ в самом начале. Числа при этом задействованы те же самые.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.