Доказать что линейный оператор простого типа

Занятие 7(Фдз 8)

7.1. Определение линейного оператора простого типа, диагонализуемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Примеры линейных операторов простого типа (операторы задачи 3 из типового расчета).

7.1. По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства . Такой базис называется собственным базисом оператора .

Если оператор простого типа, и — собственный базис этого оператора, то матрица этого оператора в этом базисе является диагональной

, (1)

где — собственные значения оператора , соответствующие собственным векторам , т.е. .

Пример 1. Рассмотрим линейный оператор , действующий в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на плоскость . Покажем, что данный оператор – оператор простого типа.

Собственные значения и собственные векторы найдены ранее в примере 3 занятия 5.

Этот оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны оси . Кроме этого оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны плоскости .

Из собственных векторов этого оператора можно составить базис пространства .

Например, векторы (где — единичный вектор оси , — единичные векторы осей и ) – образуют собственный базис оператора . Действительно, тройка служит базисом пространства и все эти векторы – собственные векторы оператора , т.к. .

Если — оператор простого типа, то все его собственные значения вещественны. Это условие представляет необходимое условие простоты оператора .

Однако вещественность всех собственных значений линейного оператора не служит достаточным условием простоты этого оператора.

Пример 2. Рассмотрим линейный оператор из примера 5 занятия 6. , .

Покажем, что данный оператор не является простым оператором.

Все собственные значения оператора равны нулю (см. пример 5 из занятия 6). Таким образом, необходимое условие простоты линейного оператора выполнено.

Однако из множества всех собственных векторов этого оператора нельзя составить базис пространства . Действительно, множество представляет линейную оболочку линейно независимых многочленов , следовательно, . Пространство трехмерно, т.к. оно имеет стандартный базис .

Чтобы из системы получить базис пространства , нужно к этой системе добавить многочлен , в котором . Никакой из многочленов не является собственным многочленом данного линейного оператора. Поэтому, оператор не имеет собственного базиса, и значит, не является простым оператором.

Достаточное условие того, чтобы заданный оператор был оператором простого типа, формулируются в виде следующей теоремы.

Теорема. Если все собственные значения линейного оператора действительны и различны, то оператор — оператор простого типа.

Пример 3. Линейный оператор действует в двумерном линейном пространстве . В базисе этого пространства оператор имеет матрицу . Доказать, что оператор — оператор простого типа. Найти собственный базис и матрицу оператора в этом базисе.

Действие оператора в базисе определяется равенством , где координаты вектора и — координаты вектора в базисе .

Собственные значения оператора найдем из характеристического уравнения.

Собственные значения оператора — действительные и различные числа. Следовательно, выполнено достаточное условие, доказывающее простоту оператора .

Найдем теперь собственный базис оператора .

— собственный вектор оператора .

— другой собственный вектор оператора .

Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, эти векторы дают линейно независимую систему. Поскольку , векторы образуют базис пространства . Это – собственный базис оператора .

Осталось найти матрицу оператора в собственном базисе .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

. Эта же матрица получается из формулы (1).

Пример 4. Линейный оператор действует в линейном пространстве

по правилу .

Требуется выяснить, является ли данный оператор оператором простого типа. Если да, то найти матрицу оператора в собственном базисе.

— линейная оболочка трех линейно независимых функций , служащих базисом пространства . .

Найдем матрицу оператора в базисе .

— первый столбец .

— второй столбец .

—

третий столбец . Следовательно,

С помощью этой матрицы найдем собственные значения оператора.

Необходимое условие оператора простого типа выполнено (все собственные значения вещественные числа), а достаточное условие нет (есть одинаковые собственные значения: ).

Найдем собственные функции оператора.

— собственная функция оператора, отвечающая собственному значению .

— собственные функции оператора, отвечающие собственному значению .

Собственные функции линейно независимы и служат базисом пространства . Следовательно, оператор имеет собственный базис, и он является оператором простого типа.

Матрица оператора в собственном базисе сразу же находится по формуле (1).

Пример 5. Дано множество матриц и преобразование , действующее на этом множестве по правилу , где .

Доказать, что — линейный оператор простого типа и найти матрицу этого оператора в собственном базисе.

1) , где .

— линейная оболочка матриц в линейном пространстве матриц . Следовательно, — линейное подпространство в пространстве .

2) .

Значит, — оператор.

3) Пусть — произвольные матрицы из множества и

— произвольные числа. .

Следовательно, — линейный оператор.

4) Матрицы образуют базис в пространстве . . Найдем матрицу этого оператора в базисе .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

— третий столбец матрицы .

5) Теперь найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

Все собственные значения действительны и различны. Согласно достаточному условию

— линейный оператор простого типа.

6) Найдем собственный базис оператора .

— собственная матрица оператора .

7) — собственный базис оператора .

— матрица оператора в собственном базисе.

Домашнее задание.

1. Показать, что заданные линейные операторы являются оператороми простого типа, найти их собственный базис и матрицу в собственном базисе.

1.1. , .

1.2.. , , .

Научный форум dxdy

$$\frac<\frac<\frac<><>><>><>$» />Здравствуйте, имеется матрица линейного оператора и необходимо найти собственные векторы и собственные значения, а также проверить, является ли данный оператор оператором простого типа или нет. <img decoding=$ — собственные значения

Собственные векторы :
$$x_1 = c_1 $\cdot$ (-2; 0 ; 1);$
$$x_2 = c_2 $\cdot$ (- 15/14, -2/7, 1);$
$$x_3 = c_3 $\cdot$ (1/2, 0 , 1);$

Если мы выберем по одному вектору из собственных и составим матрицу их координат, то получим

$B = $\begin<pmatrix>-2 & -15/14 & 1/2 \\ 0 & -2/7 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end<pmatrix>$» /> <img decoding=$

Однако, если мы составим матрицу в базисе из собственных векторов, то мы получим матрицу, ранг которой уже равен 2, а не 3. Определитель этой матрицы также равен нулю.

$$ C = \begin<pmatrix>0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end <pmatrix>$» /> В итоге, не могу понять, будет ли мой оператор оператором простого типа или нет, если по идее векторы собственные независимы, однако матрица в базисе из собственных векторов имеет ранг 2. <h2>Доказать что линейный оператор простого типа</h2> 3.32. В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу <img decoding=$ . Найти его матрицу в каноническом базисе, собственные значения и собственные векторы. Является ли оператор оператором простого типа?

Если , то

т.е. вектор переводится данным оператором в вектор .

Получаем единственное собственное значение , которому соответствуют два собственных вектора: .

3.33. Оператор А действует на матрицы второго порядка по правилу , где . Показать, что А – линейный оператор на подпространстве симметрических матриц второго порядка, найти его собственные значения и собственные векторы.

Условие некорректно: определение оператора фактически определяет для каждого вектора одно и то же значение , а такой оператор нелинеен.

Матрица линейного оператора из задачи 3.22 в базисе имеет вид:

Получаем три собственных вектора: .

Матрица линейного оператора из задачи 3.23 в базисе имеет вид:

Получаем три собственных вектора: .

Матрица линейного оператора из задачи 3.24 в базисе имеет вид:

Т.е. собственному значению соответствуют два собственных вектора собственному значению — один собственный вектор .

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано Отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 1).

Если , то называется Образом элемента , – Прообразом элемента при отображении F.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школе и в математическом анализе, например, функция – это отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение называется Тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .

Отображение называется Взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:

1. такой, что.

Или одному, эквивалентному им, третьему условию:

3.Такой, что

Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.

Отображения и называются Равными, если .

Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений F и G называется отображение , такое, что (рис. 2)

Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.

Примером произведения отображений является сложная функция.

Лемма. Произведение отображений ассоциативно, т. е., если заданы отображения , и , то

UДля доказательства равенства отображений и нужно показать, что .

Итак, выберем произвольное . Тогда

; (1)

(2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что и, поэтому, .t

Отображение называется Обратным к отображению , если и (рис. 3).

Упражнение. Докажите следующие утверждения:

1. Для того чтобы отображение F имело обратное необходимо и достаточно, чтобы F было взаимно однозначным.

2. Если отображение имеет обратное, то это обратное определяется однозначно.

§2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства

Определение. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение называется Линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1*.

2*.

Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то

(1)

UДоказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.

А) N=1: [2*] – истинно.

Б) Предполагая, что утверждение верно для (N-1)-го вектора, доказываем его для N векторов.

= [1*] =

[2* и предположение индукции] =

Примеры линейных операторов

1. Нулевой оператор : . Очевидно, этот оператор удовлетворяет условиям 1* и 2*, значит, является линейным.

2. Тождественный оператор также, очевидно, является линейным.

3. Оператор дифференцирования , который каждой дифференцируемой функции ставит в соответствие ее производную, является линейным, т. к. производная суммы функций равна сумме их производных, а при умножении функции на число её производная умножается на это число.

4. Пусть – пространство свободных векторов, .

Покажем, что оператор проектирования на ось также является линейным.

►В аналитической геометрии доказывалось, что . Тогда

====;

===

Таким образом, условия 1* и 2* выполняются, а значит, оператор проектирования вектора на ось является линейным.◄

5. В пространстве Векторов плоскости, закрепленных в начале координат О, рассмотрим оператор поворота вектора на угол против часовой стрелки и докажем его линейность.

►1*. Пусть – произвольные векторы, ,

(рис. 1). Построим и по правилу параллелограмма. Так как плоскость поворачивается

Рис.1. как жесткое целое, методами элементарной геометрии нетрудно показать, что при этом повороте диагональ переходит в диагональ . Значит, .

2* . Пусть α>0, , , , (рис.2). Очевидно, вектор получен из поворотом на угол, следовательно, , а значит,. Аналогично это свойство проверяется

И при , а при оно очевидно.◄

Теорема. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем P и пусть в пространстве задан базис

, (2)

А в пространстве – произвольная система векторов

. (3)

Тогда существует единственный линейный оператор , переводящий базис (2) в систему (3), то есть такой, что

. (4)

►Построение. Выберем произвольный вектор и разложим его по базису (2): . Положим по определению

Линейность. Если — произвольные векторы, то , , . Тогда

= [определение F ] = ;

Выполнение (4). Заметим, что все координаты вектора В базисе (2) равны нулю, за исключением K-й, которая равна 1. Таким образом, I-я координата вектора равна , то есть . Тогда

Значит, условие (4) выполнено.

Единственность. Предположим, что существует еще один линейный оператор , , переводящий (2) в (3), то есть такой, что . Тогда – противоречие.◄

Простейшие свойства линейного оператора

1º. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .

►Пусть – линейный оператор. Тогда .◄

2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства .

►Пусть — линейно зависимые векторы. Это значит, что существуют числа , не все равные нулю, такие, что

. (5)

Подействуем линейным оператором на обе части равенства (5). Тогда

(5) [(1) и 1º]

. (6)

Так как среди чисел есть отличные от нуля, то система <> линейно зависима.◄

Упражнение. Верно ли утверждение: при линейном операторе линейно независимые векторы переходят в линейно независимые?

§ 3. Матрица линейного оператора

Определение матрицы линейного оператора

Пусть в линейном пространстве над полем задан базис

(1)

И пусть – линейный оператор (читается так: в себя). Построим систему векторов

(). (2)

Каждый из векторов системы (2) можно разложить по базису (1):

(3)

Сокращенно система (3) записывается одним равенством:

. (4)

Расположим числа в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:

Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (1) в том же базисе. Обозначим

[]=.

Равенство (4) можно переписать и так: , откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4) записываем в матричном виде:

. (5)

Матрицей линейного оператора в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица , элементы которой удовлетворяют системе равенств (3) или (4), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (5).

1. Матрицей нулевого оператора в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора также в любом базисе является матрица единичная.

2. Пусть . Составим матрицу оператора проектирования на ось OX в базисе . Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:

3. Составим матрицу оператора поворота плоскости на угол (см.§2) в базисе . Из рисунков 1 и 2 видно, что

Итак, если в пространстве задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, то есть квадратную матрицу A n-Ого порядка, причем эта матрица определяется однозначно.

Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P . Обозначим вектор, координатный столбец которого в базисе (1) совпадает с I-м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов

() (6)

Согласно теореме § 2 существует единственный линейный оператор такой, что . По определению, матрица этого оператора в базисе (1) совпадает с А.

Обозначим — множество всех линейных операторов линейного пространства над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в задан базис, то определяется отображение

Которое ставит в соответствие каждому линейному оператору его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.

Связь координат вектора с координатами его образа

Пусть в линейном пространстве задан базис (1), и пусть –матрица линейного оператора В этом базисе. Выберем произвольный вектор и положим . Обозначим и – координатные столбцы векторов и соответственно в базисе (1). Тогда

[(1) § 2] = [(4)] = ,

. (7)

Равенство (7) есть не что иное, как разложение вектора />по базису (1), а коэффициенты разложения – это координаты вектора />в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем:

(8)

Записав (8) по правилу цепочки (), получаем

. (9)

Формула (8) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (9) – это её матричная запись.

Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса

Теорема. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(10)

, (11)

И пусть A= и – матрицы линейного оператора в базисах (10) и (11) соответственно. Тогда

, (12)

Где Т – матрица перехода от (10) к (11).

►Для того чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (11) разложить опять же по этому базису. Имеем:

= [определение матрицы перехода] = = [(1) § 2] = = =[(4)]= = [свойство 6º §9 гл. 3] = .

= . (13)

Равенство (13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (11). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,

. (14)

В силу единственности координат вектора в данном базисе, из (13) и (14) получаем равенство

, (15)

Которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (15) по правилу цепочки:

. (16)

Так как (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (16) получаем (12). ◄

Определение. Квадратные матрицы А и В называются Подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .

Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.

Лемма. Подобные матрицы имеют одинаковые определители. ►.◄

Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .

§4. Геометрический смысл определителя матрицы линейного

Пусть – линейный оператор, — его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть – некомпланарные векторы, а — их образы. Обозначим и координатные столбцы в выбранном базисе векторов и соответственно, , – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (9) §3, получаем:

[(9) § 3] [§ 5 главы 1] =

[§ 6 главы 1] . (1)

Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку и линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в (-мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в

. (2)

Обозначим координатный столбец вектора в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, Объемом — мерного параллелепипеда (2) будем называть число

Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т. е. определение объема параллелепипеда является корректным.

Точно так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (1).

Вывод: из формулы (1) на основании леммы §3 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.

§ 5. Операции над линейными операторами

Определения. Пусть и — линейные пространства над одним и тем же полем .

Суммой линейных операторов и называется отображение такое, что .

Произведением линейного оператора на число называется отображение , такое что .

Произведением линейных операторов и называется отображение такое, что (т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).

Теорема. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число, а также произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если , А и В – матрицы линейных операторов F и G соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов , и Gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А+В, αА и ВА.

►Доказательство проведем для произведения линейных операторов.

Пусть и — линейные операторы. Тогда

= [линейность F ] = =

=[ линейность G ] = = ;

Таким образом, Gf – линейный оператор.

Пусть — матрицы линейных операторов и соответственно в базисе пространства , и пусть — матрица оператора Gf В том же базисе. Тогда, по определению матрицы линейного оператора

. (1)

С другой стороны,

[линейность G] = (2)

Сравнивая (1) и (2), на основании единственности координат вектора в данном базисе, делаем вывод: , откуда и получаем матричную запись: С=ВА.◄

Упражнение. Докажите, что множество

— линейный>

Всех линейных операторов пространства в пространство есть линейное пространство над тем же полем, что и пространства и Относительно введенных операций сложения линейных операторов и умножения их на число. Найдите размерность .

§ 6. Невырожденные линейные операторы

Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой

Теорема 1. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной

►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда

<однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение> <>.

Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄

Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.

►Пусть — линейный оператор, А— его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда

<невырожденный> <Система имеет единственное решение> < единственный , что >

<единственный , что > <F – взаимно однозначный>.◄

Теорема 3. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.

►Пусть и — невырожденные линейные операторы. Тогда

<> <> <>.

Tаким образом, Gf – невырожденный линейный оператор.◄

§ 7. Обратный линейный оператор

Теорема. Для любого невырожденного линейного оператора существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора в некотором базисе, то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

►Единственность. Пусть некоторый оператор имеет два разных обратных: И . Тогда

—

Существование. Пусть А — матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 1 § 6, , значит, существует . Обозначим — тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисе совпадает с .

Так как , и т. к. произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄

Замечание. МОжно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.

§ 8. Изоморфизм линейных пространств

Определение. Изоморфизмом Линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .

Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.

Свойства изоморфизма

1. — рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).

2. — симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения F, то второй — с помощью ).

3. <, > — транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй — , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).

Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.

Теорема 1. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.

►Пусть и пусть — изоморфизм. Выберем в какой-либо базис

(1)

И покажем, что система

— (2)

Базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности F, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (2) – система образующих в .

Докажем теперь линейную независимость (2).

[линейность F]

[взаимная однозначность F ] [линейная независимость (1)] <(2) — линейно независима>.

Таким образом, (2) – базис в , а значит, . ◄

Теорема 2. Все N — мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма N-Мерное линейное пространство над полем Р.

►а) Докажем, что .

Выберем в какой-либо базис . Тогда . Обозначим . Очевидно, отображение — взаимно однозначное. Кроме того, ,

Поэтому F — линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .

Б) Пусть теперь и — N-Мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда

<и > [симметричность] < и > [транзитивность] <>.◄

Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным N-Мерным линейным пространством над полем Р является .

§ 9. Образ и ядро линейного оператора

Определения. Образом Линейного оператора называется подмножество линейного пространства

Ядром линейного оператора называется подмножество линейного пространства

Теорема 1. Образ линейного оператора является подпространством пространства , а его ядро – подпространством пространства .

Упражнение. Докажите теорему 1.

Размерность подпространства называется Рангом оператора и обозначается , а размерность подпространства называется Дефектом и обозначается .

Теорема 2. Если — — мерное линейное пространство, — линейный оператор, то

. (1)

►Обозначим . Так как — подпространство пространства , то . Рассмотрим сначала случай, когда . Выберем в какой-либо базис

. (2)

По теореме 2 § 4 гл. 3 систему (1) можно дополнить до базиса

(3)

Пространства . Обозначим . Очевидно,

— (4)

Базис пространства . Докажем, что . Действительно,

Где , а . Таким образом, . Покажем, что сумма прямая. Пусть . Тогда можно разложить как по базису (2), так и по базису (4): и . Получаем

Откуда, в силу линейной независимости (3), вытекает, что . Поэтому , а значит, сумма действительно прямая.

Покажем теперь, что . Построим отображение

Очевидно, — линейный оператор. Кроме того, такой, что . Так как , то где , . Тогда. . Таким образом, такой, что . Предположим, что таких векторов два, т. е., что , но . Имеем: . Отсюда вытекает, что . Но , следовательно, , и поэтому . Итак, мы показали, что — взаимно однозначное отображение, следовательно, и изоморфизм. Так как изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то , откуда и вытекает доказываемое утверждение.