Как построить гиперболу в компасе

11.4.3. Кривые линии второго порядка

Кривые линии второго порядка представляют собой геометрическое место точек, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Линии второго порядка могут быть действительными или мнимыми (в случае, если множество точек является пустым или состоит из одной точки), нераспадающимися или распадающимися на несколько линий.

К действительным нераспадающимся линиям второго порядка, рассматриваемым в начертательной геометрии, относятся эллипс, гипербола и парабола.

Линия второго порядка, имеющая единственный центр симметрии, называется центральной линией второго порядка (эллипс, гипербола); линия второго порядка без центра симметрии или с неопределенным центром — нецентральной линией второго порядка (парабола).

Эллипсом называется плоская замкнутая кривая линия, образуемая при пересечении прямого кругового конуса (рис. 11.19, а ) или прямого кругового цилиндра (рис. 11.19, б ) плоскостью, наклонной к их оси и пересекающей все образующие этого конуса или цилиндра.

Рис. 11.19. Образование эллипса

При проецировании эллипса возможны следующие варианты:

 эллипс, плоскость которого параллельна плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину, а на две другие — в виде отрезка;

 если плоскость эллипса расположена перпендикулярно одной плоскости проекций, то на эту плоскость эллипс проецируется в виде отрезка прямой линии, а на две другие — виде эллипса;

 если эллипс расположен в плоскости общего положения, то на все три плоскости проекций он проецируется в виде эллипса (рис. 11.20, а );

 если плоскость эллипса находится в плоскости общего положения, а

большая ось эллипса принадлежит линии наибольшего наклона к плоскости проекций 4 и составляет с этой плоскостью проекций угол, равный

= arccos ( b/a ) , то эллипс проецируется в окружность (рис. 11.20, б ).

Отрезки прямой, лежащие на осях симметрии эллипса (рис. 11.21, а ), называются осями эллипса, а концы этих отрезков — вершинами эллипса. Разли-

4 О линиях наибольшего наклона к плоскости проекций — см. разд. 6.4.3 .

чают большую ось (отрезок А 1 А 2 ) и малую ось (отрезок B 1 B 2 ). Большая и малая оси эллипса взаимно перпендикулярны и в точке пересечения О ( центре эллипса) делятся пополам. Две точки (точки F 1 и F 2 ), лежащие на большой оси эллипса и отстоящие от концов малой оси на расстоянии, равном половине большой оси, называются фокусами эллипса. Отрезок прямой между двумя точками эллипса, проходящий через его центр, называется диаметром (например, отрезок М 1 М 2 ).

Рис. 11.20. Проецирование эллипса, находящегося в плоскости общего положения

Рис. 11.21. Элементы эллипса (а) и его построение (б)

Эллипс представляет собой множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) постоянна и равна большой оси эллипса:

Отношение b/a ( b/a 1 ) отражает форму эллипса (его «вытянутость») и называется коэффициентом сжатия . При a = b фокусы эллипса совпадают,

и он обращается в окружность, которую можно рассматривать как частный случай эллипса с коэффициентом сжатия, равным единице.

Построение эллипса по двум заданным осям приведено на рис. 11.21, б . На двух взаимно перпендикулярных прямых откладываются расстояния, равные большой а и малой b полуосям эллипса. Из центра О проводятся две концентрические окружности радиусами a и b . На большей окружности выбирается произвольная точка М 1 , и проводится радиус М 1 О , который в пересечении с малой окружностью дает точку М 2 . Из точки М 1 проводится прямая, параллельная малой оси эллипса, а из точки М 2 — прямая, параллельная большой оси эллипса. При пересечении этих прямых образуется точка М , принадлежащая эллипсу. Построив одну точку эллипса, можно построить еще три точки, расположенные симметрично относительно осей эллипса и его центра.

Далее в том же порядке можно построить ряд точек, принадлежащих эллипсу. Искомый эллипс образуется при соединении плавной кривой линии с помощью лекала построенных точек, а также точек А 1 , А 2 , B 1 и B 2 , являющихся вершинами эллипса.

Иногда с целью упрощения построения эллипс аппроксимируют овалом, состоящим из сопрягаемых дуг окружностей.

В аксонометрических проекциях окружность в большинстве случаев проецируется в эллипс, большая и малая оси которого образуют с аксонометрическими осями некоторый определенный угол, зависящий от вида проекции.

Эллипс в системе КОМПАС-3D

Для построения эллипса, как наиболее распространенной кривой, в системе КОМПАС-3D предусмотрена серия команд, находящихся на панели расширенных команд Эллипс страницы Геометрия (рис. 11.22).

КОМПАС-3D v21

Конические кривые или кривые конических сечений — плоские кривые линии, получаемые при пересечении прямого кругового конуса с плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса.

Существуют три типа конических сечений:

• Секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линией пересечения является замкнутая кривая — эллипс (рис . а). Окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. Если плоскость проходит через вершину конуса, не пересекая при этом ни одной его полости, окружность вырождается в точку.

• Секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола , целиком лежащая на одной полости конуса (рис. б). Если плоскость касается поверхности конуса по образующей, парабола вырождается в две совпавшие прямые.

• Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух незамкнутых уходящих в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса (рис. в). Если секущая плоскость проходит через ось конуса, гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые.

Конические сечения: а) эллипс, б) парабола, в) гипербола

В алгебраических терминах конические сечения определяются как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Знак дискриминанта B 2 — 4AC определяет тип конического сечения:

• если дискриминант меньше нуля, то это эллипс (или точка),

• если дискриминант равен нулю, то это парабола (или прямая),

• если дискриминант больше нуля, то это гипербола (или пара пересекающихся прямых).

В параметрическом виде коническая кривая может быть представлена уравнениями:

y = a * t 2 + b * t + c

x = -a * (e t + e — t ) / 2

y = b * (e t — e — t ) / 2

x = a * (e t + e — t ) / 2

y = b * (e t — e — t ) / 2

Параметрические уравнения конических кривых могут быть использованы для их построения с помощью команды Кривая по закону (см. раздел Кривая по закону). Эти уравнения доступны в разделе Законы диалога Вставка математического выражения .

При графическом построении коническая кривая может быть задана произвольным набором n своих точек и m касательных, при условии, что n + m = 5. Один из наиболее употребительных способов задания конической кривой — задание ее двумя касательными, точками касания на них и коэффициентом k (инженерным дискриминантом) .

Коэффициент k (инженерный дискриминант) — отношение части медианы треугольника АВС, расположенной под кривой, к полной величине медианы треугольника (рис. а).

Для параболы значение коэффициента k равно 0,5.

Для эллипса значение k больше 0, но меньше 0,5 (0 < k < 0,5).

Для гиперболы значение k больше 0,5, но меньше 1 (0,5 < k < 1).

Зависимость типа конической кривой от величины коэффициента

а) парабола; б) эллипс; в) гипербола

Точка пересечения конической кривой с медианой треугольника может быть задана высотой .

Высота h конической кривой — расстояние от точки пересечения кривой с медианой треугольника до стороны, к которой проведена медиана (рис. ниже).

Высота конической кривой

Работа с графиками ⁠ ⁠

Хотелось бы рассказать способ построение графиков и работа с ними с помощью КОМПАС 3D.

С первого курса всякого студента преследует такая веСЧЬ, как «графики». На такой волне, хотелось бы рассказать про мой изощренный способ построения графиков.

Понадобиться: Компас 3Д (любой «студент» может скачать бесплатно пробник (вроде на 3 года)), АutoHotkey, Excel и Word.

Создаем обычный блокнот .txt и пишем след. заклинание:

Первая строка – кнопка активации

Первый столбец — значения по «x»

Второй столбец – значения по «y»

После Sendinput пробел обязателен, остальное можно писать без пробелов.

Суть проги: умение «быстрые пальцы», имитация поочередного нажатия всех написанных клавиш. Название других клавиш можно найти в интернетах.

По сценарию у вас много значений и получены они в результате расчетов через, маткад.

Значения заданы в виде матриц n x 1 или 1 x n: