Как найти точки касания параболы и окружности

9

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 < α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 < α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k = t g α = B C A C = f ( x B ) — f x A x B — x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) — это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A или k = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A · x — x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B · x — x B + f ( x B ) .

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) — f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у — k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x < 0 .

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = — 1 , f ( x 0 ) = — 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением — 1 . Получаем, что

y ‘ = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ — 6 — 3 3 x ‘ — 17 — 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 — 6 — 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( — 1 ) = e — 1 + 1 + — 1 2 — 6 — 3 3 = 3 3

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) — 3 y = 3 3 x — 9 — 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x — 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y ‘ = 3 · x — 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x — 1 ) 1 5 — 1 = 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 — 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( — 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Для наглядности изобразим графически.

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 — 4 5 x 2 — 16 5 x — 26 5 + 3 x + 2 , где

1. Касательная не существует;
2. Касательная располагается параллельно о х ;
3. Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ — ∞ ; 2 и [ — 2 ; + ∞ ) . Получаем, что

y = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y ‘ = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ — 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ — ∞ ; — 2 1 5 x 2 — 4 x + 3 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )

Когда х = — 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → — 2 — 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 — 0 — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = — 1 5 ( — 2 ) 2 + 12 ( — 2 ) + 35 = — 3 lim x → — 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 + 0 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 1 5 — 2 2 — 4 — 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = — 2 , где получаем, что

1. y ( — 2 ) = 1 15 — 2 + 2 3 — 4 5 ( — 2 ) 2 — 16 5 ( — 2 ) — 26 5 + 3 — 2 + 2 = — 2 , то есть касательная в точке ( — 2 ; — 2 ) не будет существовать.
2. Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .

Когда x ∈ — ∞ ; — 2 , тогда — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 .

— 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 — 4 · 35 = 144 — 140 = 4 x 1 = — 12 + 4 2 = — 5 ∈ — ∞ ; — 2 x 2 = — 12 — 4 2 = — 7 ∈ — ∞ ; — 2 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 — 4 · 3 = 4 x 3 = 4 — 4 2 = 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ — 2 ; + ∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y 1 = y — 5 = 1 15 — 5 + 2 3 — 4 5 — 5 2 — 16 5 — 5 — 26 5 + 3 — 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( — 7 ) = 1 15 — 7 + 2 3 — 4 5 ( — 7 ) 2 — 16 5 — 7 — 26 5 + 3 — 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 — 4 5 · 1 2 — 16 5 · 1 — 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 — 4 5 · 3 2 — 16 5 · 3 — 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда — 5 ; 8 5 , — 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ — ∞ ; — 2 , получаем, что — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

— 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 — 4 · 43 = — 28 < 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 — 4 x — 5 = 0 D = 4 2 — 4 · ( — 5 ) = 36 x 1 = 4 — 36 2 = — 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ — 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y ( — 1 ) = 1 15 — 1 + 2 3 — 4 5 ( — 1 ) 2 — 16 5 ( — 1 ) — 26 5 + 3 — 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 — 4 5 · 5 2 — 16 5 · 5 — 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x — π 4 — 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = — 2 x + 1 2 .

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется — 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = — 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = — 2 , тогда k x = — 1 k ⊥ = — 1 — 2 = 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 ‘ = 3 · — sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 x 0 — π 4 ‘ = = — 3 · sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 = — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 — π 4 = — 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 — π 4 = a r c sin — 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π — a r c sin — 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 — π 4 = — a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z — множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3

y 0 = 3 · 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3

y 0 = 3 · 1 — — 1 9 2 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — — 1 9 2 — 1 3

y 0 = 4 5 — 1 3 или y 0 = — 4 5 + 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 — 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; — 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x — 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 — 1 3 , y = 1 2 x — 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk — 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ — 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = — 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x — x c e n t e r 2 + y — y c e n t e r 2 = R 2 .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r — R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r — R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r — R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r — R .

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x — x c e n t e r 2 a 2 + y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y = b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = — b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Написать уравнение касательной к эллипсу x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x — 3 2 4 x = 2 + y — 5 2 25 = 1 1 4 + y — 5 2 25 = 1 ⇒ y — 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; — 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 y — 5 2 25 = 1 — x — 3 2 4 ( y — 5 ) 2 = 25 · 1 — x — 3 2 4 y — 5 = ± 5 · 1 — x — 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 — x — 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 , а нижний y = 5 — 5 2 4 — x — 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y ‘ = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = — 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = — 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x — 2 ) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; — 5 3 2 + 5 принимает вид

y ‘ = 5 — 5 2 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = — 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = — 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = — 5 2 3 ( x — 2 ) — 5 3 2 + 5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r — α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r — b , тогда задается при помощи неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = — 1 .

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Составить уравнение касательной к гиперболе x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; — 3 3 — 3 .

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x — 3 2 — 4 и л и y + 3 = — 3 2 · x — 3 2 — 4 ⇒ y = 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3 y = — 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; — 3 3 — 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = — 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = — 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

y ‘ = — 3 2 · ( x — 3 ) 2 — 4 — 3 ‘ = — 3 2 · x — 3 ( x — 3 ) 2 — 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = — 3 2 · x 0 — 3 x 0 — 3 2 — 4 x 0 = 7 = — 3 2 · 7 — 3 7 — 3 2 — 4 = — 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y = — 3 · x — 7 — 3 3 — 3 = — 3 · x + 4 3 — 3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c — x = 0 D = b 2 — 4 a ( c — x ) y = — b + b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a y = — b — b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Написать уравнение касательной к графику x — 2 y 2 — 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

— 2 y 2 — 5 y + 3 — x = 0 D = ( — 5 ) 2 — 4 · ( — 2 ) · ( 3 — x ) = 49 — 8 x y = 5 + 49 — 8 x — 4 y = 5 — 49 — 8 x — 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = — 1 3

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y ‘ = 5 + 49 — 8 x — 4 ‘ = 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y ‘ = 5 — 49 — 8 x — 4 ‘ = — 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = — 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 — 49 — 8 · 23 4 — 4 = — 5 + 3 4

аналитическая геометрия, теория, 1курс / Линии второго порядка

Где (a;b)- координаты её центра, (рис. 31). Уравнение (3.2) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если a=0; b=0 (т.е. центр окружности совпадает с началом координат ), то уравнение (3.2) имеет вид

x 2 + y 2 =R 2 . (3.3)

Общее уравнение второй степени (3.1) определяет окружность , если A=C0 и B=0.

4.3.1. Найти координаты центра и радиус окружности :

x 2 +y 2 -4x+8y-16=0;

выделяя полные квадраты в левой части данного уравнения , приведём его к виду (3.2):

x 2 -4x+4-4+y 2 +8y+16-16-16=0,

т.е. (x-2) 2 +(y+4) 2 =6 2 . Центр окружности находится в точке (2;-4), а радиус равен 6.

4.3.3. Написать уравнения касательных к окружности точк4.3.3. Написать уравнения касательных к окружности точки

x 2 +y 2 -6x+4y-12=0, проведённых из точки М(0;3).

Уравнения касательных будем искать в виде уравнения прямых с угловыми коэффициентами : y=kx+3. Уравнение окружности приведём к каноническому виду (3.2) : (x-3) 2 +(y+2) 2 =25. Для нахождения общих точек прямой и окружности решим систему уравнений

Имеем (x-3) 2 +(kx+3+2) 2 =25, т. е. x 2 -6x+9+k 2 x 2 +10kx+25=25, поэтому (k 2 +1)x 2 +(10k-6)x+9=0. Так как прямая касается окружности , то это уравнение имеет единственное решение .Следовательно , его дискриминант равен нулю ,т.е. (5k-3) 2 -9(k 2 +1)=0, или 16k 2 -30k=0, откуда k₁=0 , k₂=. Значит , y=3 и y= x+3-искомые уравнения.

4.3.7. Написать уравнение окружности ,проходящей через точки: (-1;3), (0;2), (-1;1) .

Уравнение окружности ищем в виде (3.2) :

(x—a) 2 +(y—b) 2 =R 2 .

Подставляя в это уравнение координаты точек , получим три уравнения для определения a,b и d,:

Из первых двух уравнений получаем (-1-a) 2 +(3-b) 2 =a 2 +(2-b) 2 , т.е. 1+2a+a 2 +9-6b+b 2 =a2+4b+b 2 , поэтому a—b=-3; из второго и третий уравнений системы получаем a 2 +(2-b) 2 =(1-a) 2 +(-1-b) 2 , отсюда a-3b=-1. Решая систему уравнений

Находим a=-4, b=-1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы , находим : 16+9=R 2 , т.е. К 2 =25. Искомое уравнение есть (x+4) 2 +(y+1) 2= 25.

Заметим, что уравнение окружности можно искать в виде x 2 +y 2 +2Dx+2ey+F=0. Так как данные три точки принадлежат окружности , то подставив их координаты в записанное уравнение, получим систему трёх уравнений:

Решив систему найдём , D=4, E=1,F=-8 и искомое уравнение окружности

x 2 +y 2 +8x+2y-8=0

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости , сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости , называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

+= 1, (3.4)

Где a – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Координаты фокусов : F₁(-c;0), F₂(c;0), где c – половина расстояния между фокусами (рис. 32). Числа a, b и c связаны соотношением

c 2 =a 2 — b 2 (3.5)

Точки A, B, C и D – называются вершинами эллипса, точка О – центром эллипса, расстояние r₁ и r₂ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с ( расстояние между фокусами ) к большой оси 2а:

= (< 1, т. к. c < a). (3.6)

Фокальные радиусы определяются формулами:

r₁=a+x, r₂=a –x (r1+r2=2a). (3.7)

Директрисами эллипса называются прямые l₁ и l₂ параллельные малой оси эллипса и отстоящие от не на расстоянии , равном ; уравнения директрис:

x= и x=- (3.8)

Замечания. 1) Если a=b , то уравнение (3.4) определяет окружность x 2 +y 2 =a 2 ;

2) если фокусы эллипса лежат на оси Oy , то эллипс имеет вид , изображенный на рисунке 33: В этом случае :

b>a, c 2 =b 2 —a 2 , (3.9)

= , (3.10)

Уравнения директрис y=;

3) уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, имеет вид

+ =1, (3.11)

Где (x₀;y₀) – координаты центра эллипса (рис. 34) ;

4) уравнения

t

Являются параметрическими уравнениями эллипса.

4.3.27 Показать , что уравнение 4x 2 +3y 2 -8x+12y-32=0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

Преобразуем данное уравнение кривой. Так как

4x 2 +3y 2 -8x+12-32=4(x 2 -2x)+3(y 2 +4y)-32=4(x 2 -2x+1-1)+3(y 2 +4y+4-4)-32=

4(x-1) 2 -4+3(y+2) 2 -12-32,

То уравнение можно переписать в виде 4(x-1) 2 +3(y+2) 2 =48, т. е.

+ =1. Получили уравнение вида (3.11); его центр симметрии имеет координаты (1;-2). Из уравнения находим : a 2 =12, a=2 и b 2 =16, b=4 (b>0). Поэтому c===2. Эксцентриситет эллипса = .

4.3.28. Дано уравнение эллипса 24x 2 +49y 2 =1176. Найти :

1) длины его полуосей;

2)координаты фокусов;

3) эксцентриситет эллипса;

4) уравнения директрис и расстояние между ними;

5) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F₁=12.

Запишем уравнение эллипса в виде (3.4), разделив обе части на 1176:

+ =1

Отсюда a 2 =49, b 2 =24, т. е. a=7, b=2.

Используя соотношение (3.5) , находим c 2 =72-(2) 2 =25, c=5. Следовательно , F₁(-5;0) и F₂(5;0).

По формуле (3.6) находим : =.

Уравнения директрис (3.8) имеет вид x= т. е. x= и x=- ; расстояние между ними d= -(-) ==19.6.

По формуле r₁=a+x находим абсциссу точек , расстояние от которых до точки F₁ равно 12: 12=7+ , т. е. x=7.

Подставляя значения x в уравнение эллипса, найдём ординаты этих точек :2449+49y 2 =1176, 49y 2 = 0, y=0. Условию задачи удовлетворяет точка А(7;0).

4.3.31. Составить уравнение эллипса , проходящего через точки

М₁(2;-4 и М₂(-1;2

Уравнение эллипса ищем в виде (3.4)

+ =1

Так как эллипс проходит через точки М₁ и М₂ , то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса : + =1 и + =1. Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым , находим — =-3, т. е. b 2 =64. Подставляя найденное значение b 2 в первое уравнение, получаем + =1, откуда a 2 =16. Таким образом, искомое уравнение эллипса есть + =1.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Oy, а малая ось равна 2. Каждый из фокусов равноудалён от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси. Уравнение эллипса имеет вид + =1, b>a. По условию задачи 2a=2, т. е. a=, и с=. Так как c 2 =b 2 —a 2 (3.9), то получаем: =b 2 -3 , т.е. b 2 =4. Таким образом, уравнение эллипса есть + =1.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

+ =1, (3.12)

Где а – действительная, b – мнимая полуось гиперболы. Числа 2a и 2b называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов : F₁(-c;0), F₂(c;0), c— половина расстояния между фокусами (рис.35). Числа a, b и c, связаны соотношением

с 2 =a 2 +b 2 (3.13)

Точки А и В называются вершинами2гиперболы, точка О – центром гиперболы, расстояния r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до её фокусов называются фокальными радиусами этой точки .

Число = (>1, т. к. с >a). (3.14)

Называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ветви гиперболы:

r₁=a+x, r₂=-a+x; (3.15)

для точек левой ветви:

r₁=-a—x, r₂=a—x. (3.16)

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

y= x. (3.17)

Две прямые l₁ и l₂ параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии, равном , называются директрисами гиперболы.

Их уравнения

x= и x= (3.18)

Замечания. 1) Если a=b, то гипербола (3.12) называется равносторонней (равнобочной). Её уравнение принимает вид

x 2 —y 2 =a 2 (3.19)

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Oy, то уравнение гиперболы имеет вид

– =1. (3.20)

Эксцентриситет этой гиперболы равен =, асимптоты определяются уравнениями y= x, а уравнение директрис y= . Гипербола называется сопряжённой гиперболе(3.12) ; она имеет вид , изображенный на рисунке 36.

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид

– =1 (3.21)

Где (x₀; y₀)- координаты центра гиперболы (рис. 37.)

4.3.60. Дано уравнение гиперболы 5x 2 -4y 2 =20. Найти :

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет гиперболы;

4) уравнение асимптот и директрис;

5) фокальные радиусы точки М(3;2.5).

Решение: разделив обе части уравнения на 20, приведём уравнение гиперболы к каноническому виду (3.12):

– =1.

a 2 =4, b 2 =5, т. е. a=2, b=;

Используя соотношение (3.13) , находим с 2 =4+5, т. е. c=3. Отсюда находим фокусы гиперболы:F₁(-3;0) и F₂(3;0);

По формуле (3.14) находим =;

Уравнения асимптот и директрис найдём по формулам (3.17) и (3.18) : y=x и x=;

Точка М лежит на правой ветви гиперболы (x=3>0), воспользуемся формулами (3.15) : r₁=2 + 3=6.5, r₂=- 2 + 3=2.5.

4.3.67. Найти угол между асимптотами гиперболы, если её эксцентриситет равен 2.

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид y= =x. Найдём отношение , воспользовавшись формулами (3.13) и (3.14) и условием = = = . Отсюда 2 = 2 -1, т. е. = . Имеем: = = .

Стало быть, уравнения асимптот гиперболы есть y = x и y = —x. Угол между асимптотами найдём по формуле

tg = = = , = 60 0 .

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости , называемой фокусом , и заданной прямой , называемой директрисой .

Каноническое уравнение параболы имеет вид

y 2 = 2px, (3.22)

где число p>0 , равное расстояние от фокуса F до директрисы l, называется параметром параболы. Координаты фокуса F(; 0). Точка О(0;0) называется вершиной параболы, длина r отрезка FM –фокальный радиус точки М, ось Ox – ось симметрии параболы.

Уравнение директрисы l параболы имеет вид

x= — ; (3.23)

фокальный радиус вычисляется по формуле

r= x+ . (3.24)

В прямоугольной системе координат парабола, заданная каноническим уравнением (3.22), расположена так, как указано на рисунке 39.

Замечания. 1) Парабола, симметричная относительно оси Oy и проходящая через начало координат (рис. 40), имеет уравнение

x2 = 2py. (3.25)

Фокусом параболы (3.25) является точка

F(0 ; ). (3.26)

Уравнение директрисы этой параболы

y = — (3.27)

Фокальный радиус точки М параболы

r = y + . (3.28)

2) На рисунках 41 и 42 изображены графики парабол y 2 = -2px и x 2 = -2py

Соответственно.

3) На рисунках 43-46 приведены уравнения и графики парабол с осями симметрии, параллельными координатным осям.

Дана парабола x 2 = 4y. Найти координаты её фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки М(4;4).

Парабола задана каноническим уравнением (3.25). Следовательно , 2p=4, p=2. Используя формулы (3.26) ,(3.27) , (3.28) находим , что фокус имеет координаты (0;1) , т. е. F(0;1); уравнение директрисы есть y=-1; фокальный радиус точки М(4;4) равен r = 4+1=5.

4.3.106. Найти вершину, фокус и директрису параболы y = -2x 2 +8x-5, построить эскиз графика.

Преобразуем уравнение y = -2x 2 +8x-5 , выделив полный квадрат:

y = -2(x 2 +4x — ) = -2(x 2 — 4x + 4 – 4 + )= — 2((x-2) 2 — ) = -2(x-2) 2 + 3, т. е. y=-2(x-2) 2 + 3, или (x-2) 2 = — (y-3). Уравнение параболы имеет вид, как на рис.46. Вершина параболы имеет координаты (2;3); 2p = , p = . Прямая x = 2 является осью симметрии параболы. Координаты фокуса x=2, y=3 — = 2, т. е. F(2; 2) . Уравнение директрисы y = 3 + = 3 + , т. е. y = 3. График изображён на рис. 47.

Окружности помещены внутри параболы

Окружности w₁, w₂, w₃, . помещены внутри параболы y = x 2 так, что w₁ касается параболы в ее вершине и имеет радиус 0,5, окружность w_{т + 1} при каждом m касается окружности w_m и ветвей параболы. Найти радиус окружности w₂₀₀₉.

Решение:

(№641 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод индукции.

Тогда уравнение окружности w_{т + 1} имеет вид:

Условие касания означает, что уравнение y + (y– (2S_n+ r_n+1)) 2 = r_n+1 2 имеет единственный корень, тогда его дискриминант:

Индукцией можно убедиться, что r_n = n – 1/2.

Научный форум dxdy

Парабола и окружность, параметр, кол-во решений

Последний раз редактировалось ole-ole-ole 02.09.2012, 23:41, всего редактировалось 1 раз.

, при котором:

а) Не будет решений системы
б) Будет 1 решения системы
в) Будет 2 решения системы
г) Будет 3 решения системы
д) Будет 4 решения системы

Вот такая картинка. Я так понял, что окружность в зависимости от параметра будет ездить вдоль оси икс, а парабола будет расширяться и сужаться.

При ветви вправо

При ветви влево.

Полезно заметить, что вершина параболы будет в любом случае в начале координат.

a) При — точно нет решений. Я так понял, что при , так как, если является решением, то и — тоже. Из этого следует, что решение единственно, когда , а это достигается при

в) Два решения будет — до положения «касания»

г) Три решения должны быть — когда парабола «касается» окружности. Но как найти эти 2 точки касания и соответствующие этим значениям параметра? Я подумал, что угловые коэффициенты касательных прямых должны совпасть, значит производные соответствующих функций должны совпасть.

. Ваша же задача для «графического» решения требует точнейшего рисования вовлечённых кривых. Например, случай трёх решений — это на самом деле случай 4-х решений, когда одна пара становится кратным решением. Это парабола, касающаяся окружности в вершине. Только что их было 4, чуть чуть подвинули, два решения слились в одно, и вот-вот исчезнут. Останется два. До поры, до времени.

Думаю, в данном случае надо решать аналитически. Графическое сопровождение полученных выводов тогда можно делать приближённо. И, да, — будет оно весьма полезным, и для самопроверки, и для понимания сути. Но вряд ли оно, «графическое», здесь может быть основным методом.

— 03 сен 2012, 02:21:40 —

А если так, то я бы записал что-то в таком духе

Ну да, так получше, чем предложенные мной биквадратности. Не заметил — значит, спать мне надо. Даже пока, пардон, не буду анализировать то, что Вы дописали. Завтра.

— 03 сен 2012, 02:23:44 —

Последний раз редактировалось Keter 03.09.2012, 01:28, всего редактировалось 2 раз(а).

ole-ole-ole , графически, пожалуйста. Постройте график и рассуждайте. Посмотрите на условия существования окружности и параболы.

Например, если то . Тогда, окружность существует при , но этот промежуток отрицателен при , то есть . И значит парабола не будет существовать. То есть решений при нет. Ну это так, примитивно.

Таким макаром рассмотрите промежуток . Ну при и графическими рассуждениями легко понять, что будет соответственно одно и два решения. Кстати, постройте графики и найдите значения .

Ну а потом можно смотреть . Но здесь уже графически никак.

Алексей К. прав, решая графически, Вы можете только рассуждать(может Вам так легче) в данном случае, а вот точное решение все равно аналитически прийдется искать.

Последний раз редактировалось Алексей К. 03.09.2012, 01:48, всего редактировалось 1 раз.

В первом случае я долго думал: как я мог быть прав, решая графически? Да и не предлагал я решать графически! Потом я понял, но Вы вынудили читателя (меня) застопориться и вчитываться.
Во втором случае мы имеем: «Алексей К. прав:» Хорошая пауза после двоеточия. Дальше следует остальное: «решая графически, Вы делаете то-то и то-то неправильно». Никаких стопоров.

ole-ole-ole , не пропустите за этой словесностью ошибку, на которую я выше указал.

И вообще, — дайте поспать!

Последний раз редактировалось ole-ole-ole 03.09.2012, 02:12, всего редактировалось 2 раз(а).