Как найти точка пересечения

Как решать задачи на квадратичную функцию

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

Как найти нули квадратичной функции

Запомните!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .

Найти нули квадратичной функции .

Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 = ±√ 3

Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Запомните!

Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

• вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
• решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».

При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».

Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».

Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

• приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
• решить полученное уравнение относительно « x »;
• подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».

Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».

Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.

2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (−3; 9) и (·) B (1; 1) .

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

• Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
• Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .

Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .

Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».

Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».

Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.

Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».

y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .

Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.

Запомните!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

• провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
• определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
• записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.

Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

• Содержание
• 1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде.
• 2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
• 3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

и плоскость α:

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁=<m₁, p₁, l₁> − направляющий вектор прямой L₁, а n=<A,B,C> − нормальный вектор плоскости α.

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

,

(3)

(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

(7)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

(8)

и плоскость α:

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁=<m₁, p₁, l₁> − направляющий вектор прямой L₁, а n=<A,B,C> − нормальный вектор плоскости α.

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

(10)

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

(11)

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

(13)

Откроем скобки и найдем t:

(14)

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

(15)

и плоскости α:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

(17)

(18)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

(21)

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Читать:

Как узнать есть combox или нет

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

(22)

и плоскости α:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

(24)

(25)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

(28)

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

(29)

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

(30)

и плоскости α:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Точка пересечения двух прямых

В данной публикации мы рассмотрим, что такое точка пересечения двух прямых, и как найти ее координаты разными способами. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

• Нахождение координат точки пересечения
• Пример задачи

Нахождение координат точки пересечения

Пересекающимися называются прямые, которые имеют одну общую точку.

M – точка пересечения прямых. Она принадлежит им обоим, значит ее координаты одновременно должны удовлетворять обоим их уравнениях.

Для нахождения координат этой точки на плоскости можно использовать два способа:

• графический – чертим графики прямых на координатой плоскости и находим их точку пересечения (не всегда применимо);
• аналитический – более универсальный метод. Мы объединяем уравнения прямых в систему. Затем решаем ее и получаем требуемые координаты. От количества решений зависит то, каким образом ведут себя прямые по отношению друг к другу:
  • одно решение – пересекаются;
  • множество решений – совпадают;
  • нет решений – параллельны, т.е. не пересекаются.

  Пример задачи

  Найдем координаты точки пересечения прямых и .

  Решение

  Составим систему уравнений и решим ее:

  

  В первом уравнении выразим x через y :
  x = y – 6

  Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение вместо x :
  y = 2 (y – 6) – 8
  y = 2y – 12 – 8
  y – 2y = -12 – 8
  -y = -20
  y = 20

  Значит, x = 20 – 6 = 14

  Таким образом, общая точка пересечения заданных прямых имеет координаты .

  Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики

  Существует определенный класс задач по дисциплине «Алгебра и начало анализа», в которых нужно найти точки пересечения графиков функций без их построения. Решать такие задания довольно просто, когда известна определенная методика нахождения координат по оси абсцисс и ординат. Однако для этого необходимо научиться правильно находить корни уравнений различных типов.

  

  Общие сведения

  

  Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

  Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

  Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

  Классификация уравнений

  Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

  Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

  Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

  

  При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

  Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .

  Математические преобразования

  Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

  

  Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

  Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

  Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

  Разложение на множители

  Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

  В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

  Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

  Методики нахождения точек

  Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

  

  Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

  Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

  

  Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными вообще не имеет решений. Определить значение корней возможно по таким соотношениям: t1=[-S-(Д)^(1/2)]/2P и t2=[-S+(Д)^(1/2)]/2P, где t1 и t2 — точки пересечения с осью абсцисс.

  Если коэффициент при второй степени (P) эквивалентен 1, то дискриминант можно не высчитывать, а воспользоваться сокращенным вариантом решения — теоремой Виета. Суть ее заключается в подборе корней по таким формулам: t1+t2=-S и t1*t2=U. Иногда для реализации этой методики нужно сократить обе части на коэффициент Р. Алгоритм решения квадратных уравнений имеет следующий вид:

  Следует отметить, что распространенная ошибка новичков — отсутствие проверки. В результате неправильных действий образуются ложные корни, а оценка на контрольной, зачете или экзамене существенно снижается.

  

  Для проверки рекомендуется воспользоваться онлайн-приложениями, позволяющими вычислить корни, а также построить графики функций. Кроме того, для кубического многочлена Pt 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

  Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

  Пример решения

  Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

  

  В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

  Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.