Как решать теорию игр в excel

Решение антагонистической игры в программе MS Excel

Покажем на рассмотренном ниже примере, как можно решить антагонистическую игру в смешанных стратегиях средствами MS Excel 1 . Подробно пройдем все этапы решения.

Проверьте, установлена ли надстройка «Поиск решения» в вашей программе MS Excel. Для этого в меню «Данные > Анализ» найдите надстройку «Поиск решения». Если она не установлена, то ее несложно установить (рис. 2.13).

Рис. 2.13

1 Рассматривается версия MS Excel 2007.

Пусть матрица игры размерности 3×3 имеет следующий вид:

Как отмечалось выше, такая игра сводится к задаче линейного программирования

Сначала вводим в таблицу матрицу игры и выделим ячейки для значений векторов р и q, а также для цены игры V. Заполним эти ячейки (А7 — А9; D4 — F4, В1) произвольными числами (начальные значения) вероятностей и зарезервируем под переменную v ячейку В2. Кроме того, поместим в ячейки А10 и G4 формулы сумм: А10: =СУММ (А7: А9), G4: =СУММ (D4: F4). В ячейку Е1 поместим целевую функцию Е1: =В2 (рис. 2.14).

Далее введем в ячейку D11 формулу =СУММПРОИЗВ ($А$7:$А$9; D7: D9) — $В$ 1 и скопируем ее в соседние ячейки Е11 и F11. Эти ячейки мы готовим для последующего ввода неравенств (1) — (3) в задачу оптимизации (рис. 2.15).

Мы все подготовили для решения задачи. Запускаем надстройку «Поиск решения» в меню «Данные» (рис. 2.16).

Установим в качестве целевой ячейку Е1 и выбираем опцию «Равной максимальному значению». В окне «Изменяя ячейки» выбираем ячейки А 7 — А9, зарезервированные под вероятности р_а,р_Ьур_с и ячейку В1 (для цены игры).

Далее вводим несколько ограничений:

• 1) сумма вероятностей равна 1;
• 2) ограничения на неотрицательность вероятностей;
• 3) система неравенств (1) — (3).

Для запуска программы осталось нажать кнопку «Выполнить». Все изменения видны в таблице (рис. 2.17).

Программа вычислила вектор и цену игры v = 0.

Для нахождения вектора вероятностей q добавим в таблицу еще несколько элементов. Ранее было показано, что решение антагонистической игры в смешанных стратегиях приводит к системе неравенств для второго игрока вида (2.5).

Применительно к нашей задаче получим

Добавим в ячейку Н7 формулу для ограничения (4): и скопируем формулу в ячейки Н8 и Н9 (рис. 2.18).

Снова запускаем программу «Поиск решения» и перенастраиваем ее (рис. 2.19).

Обратите внимание, что мы поменяли задачу на максимум на задачу на минимум. Кроме того, изменились переменные в окне «Изменяя ячейки» и ограничения на переменные. После нажатия на клавишу «Выполнить» получим результат (рис. 2.20).

Ответ: цена игры v = 0.

2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях с помощью Excel

Как уже отмечалось, любая парная игра с нулевой суммой может быть сведена к решению задачи линейной оптимизации. Используя значение функции и неизвестных взаимно двойственных задач линейной оптимизации, легко найти цену игры и вероятности применения стратегий каждым из игроков.[5.c.89]

В качестве примера применения информационных технологий Excel найдем решение парной игры с платежной матрицей

II I

Для данной задачи (седловая точка отсутствует). Запишем пару двойственных задач линейной оптимизации для решения игры.

Решим исходную и двойственную задачи с помощью Excel.

Внесем данные на рабочий лист в соответствии с Ри.1.

матричный игра решение линейный

Рис.1.14лист в соответствии с Рис. Данные для решения исходной задачи примера 1

В ячейки E3:E6 введем формулы для расчета функций – ограничений, ячейки B9:D9 отведем для переменных , ячейку B15 – для расчетного значения цены игры, диапазон ячеек F12:H12 – для расчетных значений вероятностей применения стратегий игроком I, и, наконец, ячейку F9 – для расчета целевой функции. Введем все необходимые формулы в соответствующие ячейки. Установим все необходимые ограничения исходной задачи перед запуском Поиска решения. С помощью Поиска решения получим следующий ответ

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока I:

Решим двойственную задачу. Во избежание возможных ошибок расположим данные для ее решения на отдельном рабочем листе Excel (Рис.2.).

Рис 2 Данные для решения двойственной задачи примера 1

Ввод данных и формул производится аналогично предыдущему случаю. Поиск решения дает ответ:

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока II есть

. [7]

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Таким образом, теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

В теории игр страте́гия игрока в игре или деловой ситуации — это полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации .Вданной работе были изучены понятия стратегий ,и выявлены их решения,т.ж было проведенно ознакомление решений стратегий с помощью программы Excel.

К тому же с помощью теории игр можно выработать такую оптимальную стратегию, при которой система не будет существенно изменяться под управлением каких-то внешних воздействий, да и потери будут не столь существенными.

Список используемой литературы

Вентцель Е. С. «Элементы теории игр» 2-ое изд. М.: Физматгиз,2001. — 68 с.

Дуплякин В.М. Теория игр: учеб. пособие / В.М.Дуплякин — Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2011. – 191 с.

Олейник А.Н.. Институциональная экономика: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М,2002. — 416 с. — (Серия «Высшее образование»)., 2002.

Писарук, Н. Н.Введение в теорию игр .Учебник .М.:— Минск : БГУ, 2015. —256 c.

Холявин И.И. Математическое программирование и экономико-математические методы. Учебное пособие для студентов экономических вузов Часть 2. Гатчина 2009.

Экономико- математический энциклопедический словарь(под ред. В.И.Данилова-Данильяца),М.:Изд.Дом «ИНФРА-М»,2003.

Моделирование простейших игр в Excel

После ввода пользователем ответа в ячейку B2 случайным образом генерирует одно из указанных чисел, которое выводится в ячейке В3, и определяется результат прогноза («Верно» или «Неверно»).

Решение:

В ячейку В3 введите формулу: =1 + ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*2), а в ячейку В4 — формулу: = ЕСЛИ(В2 = В3; ”Верно”;”Неверно”).

Однако, при таком оформлении листа еще до ввода играющим своего мнения в ячейку В2 проявятся 2 недостатка:

1. В ячейке В3 будет выводиться какое-то число, нужно чтобы оно появлялось только после ввода значения в ячейку В2. Это можно сделать, используя функцию ЕПУСТО: =ЕСЛИ(ЕПУСТО(B2);" ";1+ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*2))
2. В ячейке В4 будет выводиться ответ «Неверно», что некорректно. Чтобы устранить этот недостаток, здесь также следует применить функцию ЕПУСТО:

Теперь ответы в ячейке будут появляться только при наличии чисел в ячейке В2.

2. Игра «Чет или нечет» (вариант 2)

Правила игры. Играющий дожжен спрогнозировать 11 случайных чисел 1 или 2 (ячейки В3:В13), после чего в ячейках С3:С13 появляются числа, сгенерированные компьютером, а также определяется результат игры.

В ячейке В18 должен быть выведен текст «Вы выиграли!» или «Выиграл компьютер!» (ничьей быть не может). Текст в ячейках А15:А18 и В16:В18 должен выводиться только после заполнения играющим ячейки В13 и исчезать после ее очистки. Необходимые формулы оформите самостоятельно.

*Для подсчета количества правильных и неправильных ответов можно использовать функцию СЧЕТЕСЛИ.

Игра моделирует бросание игрального кубика каждым из 2 участников, после чего определяется результат:

Результат выводится в ячейке В6 в виде «Выиграл Петя» или «Выиграл Вася» или «ничья». Число в ячейке В3 и текст в ячейках А3 и А4 должны выводиться только после ввода имени первого игрока, а число В5 и текст в ячейках А5, А6, В6 – только после ввода имени второго игрока.

Решение задачи в MS Excel

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана матрицей.

Определим нижнюю и верхнюю цены игры. Так как б?в, то седловая точка отсутствуют, и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков:

Обозначив =/v, =/v, составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

Задача 1. Игрок А

Задача 2. Игрок В

Рекомендуется решать задачу на максимум, как например задача 2, поскольку первое базисное решение для нее будет допустимым. Введем добавочные переменные и перейдем к уравнениям, то есть приведем задачу линейного программирования к каноническому виду. Учитывая соответствие между переменными задач (вторая теорема двойственности) получим:

Свободные (первоначальные) переменные:

Базисные (дополнительные) переменные:

То есть х*=(0; 0; 0,059), у*=(0; 0,006; 0,052)

Используя первую теорему двойственности, получим Z min=max=0,058. По формуле v=1/0,058=17,1. Учитывая, что =/v, =/v, получим:

=•v; =0,006•17,1=0,1; =0,052•17,1=0,9; =0•17,1=0.

Оптимальная стратегия игрока A-=(0; 0; 0,6), игрока B-=(0,1; 0,9; 0) представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 Решение задачи теории игр с помощью MS Excel “Поиск решения” игра модель матричный задача

• 2.3 Блок-схема алгоритма решения задач
• 2.4 Решение задачи в разработанной программе

Программа для решения задачи находится в папке «Simplex». Для ее запуска нужно нажать на файл LP. После запуска откроется интерфейс программы, затем в меню выбираем Файл >новый. Интерфейс представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 Интерфейс программы

Следующие действия выбираем в меню Вычисления >параметры задачи. В появившемся окне вводим значение целевой функции и с необходимостью регулируем размерность задачи (рис. 3).

Рисунок 3 Параметры задачи

Во вкладке «Ограничения» указываем коэффициенты ограничения, знак и чему равен. Далее нажимаем на кнопку добавить, после этого все коэффициенты добавятся в задачу (рис. 4).

Рисунок 4 Ограничения

После всех выполненных вышеизложенных операции выбираем в меню Вычисления > Симплекс-метод. На форме «Задача 1» будет показан результат решения (рис. 5).