Что такое характеристическая функция

Характеристическая функция множества

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества — это функция, определенная на множестве X , которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A .

Термин характеристическая функция уже занят в теории вероятностей. По этой причине, почти исключительно одни вероятностники используют термин индикаторная функция для определяемой здесь функции, в то время как математикам из других областей для описания принадлежности элементов множеству больше нравится использовать термин характеристическая функция.

Содержание

Определение

Пусть — выбранное подмножество произвольного множества X . Функция .

(Греческая буква χ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение с его индикатором , то

— это набор подмножеств X . Ясно, что для любого

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех , которые не принадлежат ни одному множеству A_k и 0 иначе. Поэтому

— мнимая единица, t — вещественная переменная, e it =cost+isint — формула Эйлера, M(η+iζ)=Mη+iMζ — способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины η+iζ, если математические ожидания ее действительной (η) и мнимой (ζ) частей существуют.

Модулем комплексного числа z=х+iу называется |z|= , так что |e it |=1.

Определение. Функция φ_ξ(t)=Me itξ называется характеристической функцией случайной величины ξ.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ =e it ∙0 Р(ξ=0)+e it ∙1 Р(ξ=1)=1–р+рe it .

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами п и р. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ = = = =(1-р+рe it ) n .

Последнее равенство является биномом Ньютона.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ = = =

= = exp<λ(e it -1)>.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ = = = =

= = ,

поскольку при х→∞ модуль величины е -х ( α — it ) =e — αx ·e itx стремится к нулю: |е -х( α — it ) |=e — αx →0.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)= = =

= = .

При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и учли, что интеграл по всей прямой от функции =1.

Свойства характеристических функций.

Свойство 1. Характеристическая функция всегда существует:

|φ_ξ(t)|=|Me itξ |≤M|e itξ |=M1=1

Обычные математические ожидания существуют не у всех распределений.

Свойство 2. По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, а также плотность или таблица распределения). То есть если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих случайных величин совпадают.

Формулы, с помощью которых это делается, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения, и она находится по формуле

f_ξ(x)= .

Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.

Свойство 3. Характеристическая функция случайной величины а+bξ связана с характеристической функцией случайной величины равенством

φ_а+bξ(t)=Me it ( а + bξ ) =e it а φ_ξ (tb).

Пример. Вычислим характеристическую функцию случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами а и σ 2 . У стандартизованной случайной величины ζ= характеристическая функция равна φ_ζ(t)= . Тогда характеристическая функция случайной величины ξ=а+σζ равна

φ_ξ (t)=φ_{а +σζ} (t)=e it а φ_ζ (tb)=e it а =exp .

Свойство 4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины ξ и η независимы, то, по свойству математических ожиданий

φ_ξ+η(t)=Me it ( ξ + η ) =Me itξ Me itη =φ_ξ(t)φ_η(t).

Этим свойством воспользуемся для доказательства леммы, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.

Лемма. Пусть случайные величины ξ и η независимы. Характеристическая функция суммы ξ+η равна

φ_ξ+η(t)=φ_ξ(t)φ_η(t)=exp exp =exp .

То есть характеристическая функция суммы есть характеристическая функция нормального распределения с параметрами а₁+а₂, . Тогда ξ+η по свойству характеристической функции.

Пример. Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения и распределения Пуассона, используя вычисленные в предыдущих примерах характеристические функции.

Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона П_λ и П_μ характеристическая функция суммы

равна характеристической функции распределения Пуассона с параметром λ+μ.

Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями В_п,р и В_т,р характеристическая функция суммы

φ_ξ+η(t)=φ_ξ(t)φ_η(t)=(1-р+рe it ) n (1-р+рe it ) т =(1-р+рe it ) n +т

равна характеристической функции биномиального распределения с параметрами п+m, p.

Свойство 5. Пусть существует момент порядка k=1,2. случайной величины ξ, то есть M|ξ| k <∞. Тогда ее характеристическая функция φ_ξ(t) непрерывно дифференцируема k раз, и ее k-я производная в нуле связана с моментом порядка k равенством:

= = =i k Mξ k . .

Существование и непрерывность k—й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.

Свойство 6. Пусть существует момент порядка k=1,2. случайной величины ξ, то есть M|ξ| k <∞. Тогда ее характеристическая функция φ_ξ(t) в окрестности точки t=0 разлагается в ряд Тейлора

φ_ξ(t)=φ_ξ(0)+ +o(|t k |)=1+ +o(|t k |)=

=1+itMξ— Mξ 2 +…+ Mξ k +o(|t k |).

Ряды Тейлора, как правило, возникают при предельном переходе. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем.

Теорема (о непрерывном соответствии). Случайные величины ξ_п слабо сходятся к случайной величине ξ тогда и только тогда, когда для любого t характеристические функции сходятся к характеристической функции φ_ξ(t).

Слабая сходимость случайных величин имеет место, когда последовательность функций распределений случайных величин ξ_п сходится к функции распределения случайной величины  в точках непрерывности последней.

Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами функций распределения со слабой сходимостью и характеристических функций со сходимостью в каждой точке. «Непрерывность» этого соответствия — в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом классе.

Характеристическая функция случайной величины

Для случайной величины $\xi$ характеристическая функция (ХФ) определяется следующим образом:

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_k,p_k)$ характеристическая функция выражается как

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

Характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

По известной характеристической функции можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. ХФ суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций (это свойство используется для доказательства композиционной устойчивости, например в примере 3 для нормального распределения). ХФ существует всегда, непрерывна, ограничена ($|\phi_<\xi>(t)| \le 1$), в нуле равна единице.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения характеристической функции и моментов для разных законов распределения.

Примеры решений: характеристическая функция

Задача 1. По заданному закону или плотности распределения случайной величины $\xi$ найти характеристическую функцию $\phi(t)$.
Закон Пуассона: $$P(\xi=k)=a^k/k!\cdot e^<-a>, k=1,2. a=0.38$$

Задача 2. По заданному закону распределения найти характеристическую функцию $\phi(t)$, кумулянтную функцию $\gamma(t)$ и первые четыре семиинварианта этого распределения.
Биномиальный закон (Бернулли)

$$P(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^, 0 \lt p \lt 1, k=0,1,2. n.$$

Задача 3. С помощью характеристических функций, доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Указать параметры этого распределения.

Задача 4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х, подчиняющейся закон распределения Паскаля $P(X=m)=a^m/(1+a)^ (a\gt 0)$. По ней найти $M[X]$ и $D[X]$.

Задача 5. Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения $p_<\xi>(x)=e^<-|x|>/2.$