Что такое ядро матрицы

9.5. Ядро и образ линейного оператора

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker, т. е.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker = d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im, т. е. Im = <(х) | х  V>.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x]₍_₃₎ найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker = <f | f = c> и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im = R[x]₍_₂₎ и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M()[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e₁), (e₂), …, (e_n). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается  –1 .

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(), при этом M( –1 ) = (M()) –1 .

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.4 1) Определить, обратим ли линейный оператор , если (x) = (2х₁ – х₂, –4х₁ + 2х₂).

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M() = . Так как = 0 то матрица M() необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

2) Найти линейный оператор, обратный оператору , если (x) = (2х₁ + х₂, 3х₁ + 2х₂).

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M() = , обратима, так как |M()| ≠ 0. (M()) –1 = , поэтому  –1 = (2х₁ – х₂, –3х₁ + 2х₂).

Ядро и образ линейного отображения

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства . Образ преобразования , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства , которое каждому вектору его проекции на направление, задаваемое единичным вектором — множество векторов, ортогональных , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество

Следовательно, множество 2. Образ любого линейного отображения . Тогда , то есть Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы .

4. Линейное отображение , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве и дополним его векторами до базиса всего пространства образуют базис подпространства , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. Следствие. Линейное отображение

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Ядро (алгебра)

В различных разделах математики ядром отображения $\ f : A \rightarrow B$ называется некоторое множество $\ker\,f$ , в некотором смысле характеризующее отличие от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество $\ker\,f$ всегда должно быть тривиально. Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то $\ker\,f$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ $\mathrm<Im>\,f» width=»» height=»» /> и фактормножество <img decoding=$ .

Содержание

Ядро линейного отображения

Ядром линейного отображения $f:\, V\to U$ называется прообраз нулевого элемента пространства :

$\ker f = \< x\in V: f(x) = 0 \>» width=»» height=»» /> <img decoding=$ является подпространством в . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ изоморфен фактору пространства по ядру :

$\mathrm<Im>\,f \simeq V / \ker f.» width=»» height=»» /> Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна: <img decoding=$ размера $m \times n$ , содержащий элементы поля (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор $g: \mathbb<K>^n \rightarrow \mathbb<K>^m» width=»» height=»» /> умножения векторов слева на матрицу: <img decoding=$

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с неизвестными

$\left\< \begin<matrix>a_ <1 1>x_1 + \ldots + a_ <1 n>x_n = b_1; \\ \ldots \\ a_ <m 1>x_1 + \ldots + a_ <m n>x_n = b_m. \end<matrix>\right.» width=»» height=»» /> можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора <img decoding=$ .

Пример

Пусть будет линейным отображением $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ и:

$f(\vec<x>)= \begin<pmatrix>1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end<pmatrix>\begin <pmatrix>x_1\\x_2\\ x_3\end <pmatrix>= \begin <pmatrix>x_1\\x_2\\ 0\end<pmatrix>.» width=»» height=»» /> Тогда его ядро является векторным подпространством: <img decoding=$ — гомоморфизм между группами, то $\ker f$ образует нормальную подгруппу .

Гомоморфизм колец

Если — гомоморфизм между кольцами, то $\ker f$ образует идеал кольца .

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

См. также

Абстрактная алгебра

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Ядро (алгебра)» в других словарях:

Ядро (значения) — Ядро нечто центральное и самое важное, часто круглое. Это слово имеет различные значения в разных областях: Содержание 1 Ядерная физика 2 Биология 3 Науки о Земле 4 Спорт … Википедия

Ядро — Содержание 1 Ядерная физика 2 Биология 3 Науки о Земле … Википедия

Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… … Википедия

Ядро гомоморфизма — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

СИММЕТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная инволюцией . Примерами С. а. являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в к рой инволюция определяется как переход к комплексно сопряженной функции; алгебра ограниченных линейных операторов … Математическая энциклопедия

КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т … Математическая энциклопедия

Идеал (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения). Идеал одно из основных понятий абстрактной алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других… … Википедия

ЛИ АЛГЕБРА — векторное пространство, на к ром определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной; если … Физическая энциклопедия

КЛИФФОРДА АЛГЕБРА — конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Клиффордом (W. Clifford) в 1876. Пусть К коммутативное кольцо с единицей, Е свободный K модуль, Q квадратичная форма на Е. К. а. квадратичной формы Q(или пары … Математическая энциклопедия

Проектор (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проектор. Преобразование P является ортогональной проекцией на прямую m. В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор P, действующи … Википедия

01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора

Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1) тогда и т. к то

и т. к. , то является подпространством пространства V.

является подпространством пространства V. #

Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI=<θ>

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.

Доказательство:

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N—R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N—R. В результате получаем, что

Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .

Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.