Принцип перестановочной двойственности
Этот принцип часто используется при решении электродинамических задач. Предположим, что получено общее решение основных уравнений для поля при а = О, JCT =0:
Заменим в этом решении Е Н, ? -р. Новые выражения для Е и Н, очевидно, будут являться решениями уравнений, которые получаются из системы посредством той же перестановки. Произведя эту перестановку в нашей системе, получим те же самые уравнения поля.
Таким образом, перестановка указанного вида в общем решении основных уравнений поля дает также общее решение системы основных уравнений поля. Значения Е и Н, полученные в результате перестановки, также являются решениями уравнений Максвелла.
В самом общем виде принцип перестановочной двойственности формулируется так: если известно общее решение задачи об определении поля от источника (диполя) одного класса Е’,Н’, то общее решение для поля от источника другого класса (типа) Е«, Н» получается с помощью указанной замены Е’ Я», Я’ Е», е -р.
Определенное таким способом поле затем необходимо подчинить соответствующим граничным условиям.
Двойственности перестановочной принцип
Двойственности перестановочной принцип — инвариантность однородной системы Максвелла уравнений относительно замены 
, 
, 
, 
, где 
-соответственно напряжённости и индукции электрич. и магн. полей. Отсюда вытекает правило замены для электрич. 
и магн. 
поляризаций: 
, а также для диэлектрич. 
и магн. 
проницаемостей: 
. При наличии источников возникает асимметрия Д. п. п., связанная с тем, что электрич. зарядам 
и токам 
сопоставляются нек-рые эфф. магн. заряды 
и токи 
: 
. Поскольку, однако, магн. монополи в природе не обнаружены, соответствующие магн. источники вводятся как совокупность магн. диполей, реализуемых с помощью кольцевых электрич. токов. Д. п. п. позволяет исходя из одного решения ур-ний Максвелла получать другое, минуя обращение к самим ур-ниям. Напр., по известному полю переменного во времени электрич. диполя в однородной среде получается поле магн. диполя (рамки с током); по известным Френеля формулам для одной поляризации падающей волны — аналогичные ф-лы для др. поляризации и т. п. Д. п. п. органически связан с дуальностью тензоров эл—магн. поля в четырёхмерном Минковского пространстве-времени, поэтому иногда его наз. принципом дуальности. В теории дифракции Д. п. п. устанавливает связь между эл—магн. полями, дифрагировавшими на отверстии S, прорезанном в бесконечно тонком идеально проводящем плоском экране, и на плоской пластине, совпадающей по форме с отверстием S. В этом случае его часто наз. обобщённым принципом Бабине (см. Бабине теорема)или просто принципом двойственности. Принцип двойственности позволил, в частности, развить теорию т. н. плоских дифракц. излучателей, в т. ч. узких щелей в плоском экране, эквивалентных тонкому электрич. вибратору.
Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла
Предположим, что известен электромагнитный процесс, описываемый следующими уравнениями Максвелла:
Обращает на себя внимание симметрия этих двух уравнений. Действительно, уравнения переходят одно в другое при замене вида
Последние соотношения являются математическим выражением принципа перестановочной двойственности для электромагнитного поля, обоснованного впервые А. А. Пистолькорсом в 1944 г.
Физическое содержание этого принципа заключается в следующем. Если известно полное решение какой-либо электромагнитной задачи, то простая перестановка позволяет автоматически получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой конфигурация линий электрического поля повторяет аналогичную конфигурацию линий магнитного поля в исходном электромагнитном процессе и наоборот. При этом, поскольку в результате перестановки уравнения Максвелла не меняют своего вида, двойственный электромагнитный процесс действительно существует.
Естественно считать, что исходное электромагнитное поле возбуждается сторонними электрическими токами. В этом случае можно полагать, что двойственный процесс возбуждается сторонними магнитными токами, как это было показано в предыдущем разделе. Однако для сохранения симметрии уравнений Максвелла плотность стороннего магнитного тока должна быть введена во второе уравнение с обратным знаком. Таким образом, получаем систему уравнений Максвелла с учетом сторонних магнитных токов:
Дополнительное перестановочное соотношение для плотностей сторонник токов приобретает вид
Магнитные токи. Магнитные заряды (определение, назначение). Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов. Принцип перестановочной двойственности
Магнитный ток— это два течения, одно течение сформировано единичными магнитами северного полюса другое магнитами южного полюса , и они создают один встречно-текущий закрученный подобно винту поток, обладающий высокой скоростью. Одно течение, если это будет течение магнитов северного полюса или течение магнита южного полюса, не может существовать отдельно. Чтобы сформировать поток, одно течение должно двигаться встречно другому.
Существуют магнитные заряды — монополи – квазичастицы, несущие на себе только положительный или только отрицательный магнитный заряд. Они не связаны в пары и могут передвигаться по отдельности. Магнитный заряд является источником статического магнитного поля совершенно так же, как электрический заряд является источником статического электрического поля. Магнитный монополь — гипотетическая элементарная частица, обладающая ненулевым магнитным зарядом — точечный источник радиального магнитного поля. Магнитный монополь можно представлять как отдельно взятый полюс длинного и тонкого постоянного магнита. Однако у всех известных магнитов всегда два полюса, то есть он является диполем. Если разрезать магнит на две части, то у каждой его части по-прежнему будет два полюса. Все известные элементарные частицы, обладающие электромагнитным полем, являются магнитными диполями.
Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.
Принцип перестановочной двойственности- инвариантность однородной системы Максвелла уравнений относительно замены 
, 
, 
, 
, где 
-соответственно напряжённости и индукции электрич. и магн. полей. Отсюда вытекает правило замены для электрич. 
и магн. 
поляризаций: 
, а также для диэлектрич. 
и магн. 
проницаемостей: 
. При наличии источников возникает асимметрия Д. п. п., связанная с тем, что электрич. зарядам 
и токам 
сопоставляются нек-рые эфф. магн. заряды 
и токи 
: 
. Поскольку, однако, магн. монополи в природе не обнаружены, соответствующие магн. источники вводятся как совокупность магн. диполей, реализуемых с помощью кольцевых электрич. токов. Д. п. п. позволяет исходя из одного решения ур-ний Максвелла получать другое, минуя обращение к самим ур-ниям. Напр., по известному полю переменного во времени электрич. диполя в однородной среде получается поле магн. диполя (рамки с током); по известным Френеля формулам для одной поляризации падающей волны — аналогичные ф-лы для др. поляризации и т. п. Д. п. п. органически связан с дуальностью тензоров эл—магн. поля в четырёхмерном Минковского пространстве-времени, поэтому иногда его наз. принципом дуальности. В теории дифракции Д. п. п. устанавливает связь между эл—магн. полями, дифрагировавшими на отверстии S, прорезанном в бесконечно тонком идеально проводящем плоском экране, и на плоской пластине, совпадающей по форме с отверстием S. В этом случае его часто наз. обобщённым принципом Бабине (см. Бабине теорема)или просто принципом двойственности. Принцип двойственности позволил, в частности, развить теорию т. н. плоских дифракц. излучателей, в т. ч. узких щелей в плоском экране, эквивалентных тонкому электрич. вибратору. Получаем используя принцип:
Лабораторная работа № ВИ-104 Элементарные излучатели
К КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА
Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций
Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»
Лабораторная работа № ВИ-104
Целью работы является изучение элементарных излучателей электромагнитного поля и исследование их свойств с помощью виртуальной лабораторной установки.
2. Подготовка к работе.
Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.206-220; 2, с.126-136; 3, с.163-181; 4, с.106-129; 5, с.137-166].
3. Краткие теоретические сведения.
Устройство, предназначенное для излучения электромагнитных волн, называют излучателем или передающей антенной. Любую антенну можно представить в виде совокупности простейших элементарных излучателей. Различают элементарный электрический излучатель, элементарный магнитный излучатель и элемент Гюйгенса – элементарный поверхностный излучатель.
Элементарный электрический излучатель
Элементарным электрическим излучателем называют элемент электрического линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.
Пусть ось направлена вдоль элементарного электрического излучателя, который занимает интервал Мгновенные значения тока излучателя от координаты не зависят, т. е.
Поскольку этот ток изменяет свое значение только в точках: и , то согласно закону сохранения заряда в этих точках должны существовать сосредоточенные электрические заряды, связанные с током (1) соотношениями:
и, следовательно, равные друг другу по величине и противоположные по знаку:
Элементарный электрический излучатель со строго неизменным вдоль его длины током практически неосуществим и представляет собой идеализированную излучающую систему, удобную для теоретического, анализа.
Пусть в однородной среде без потерь с параметрами и расположен элементарный электрический излучатель с известным током .
Комплексные амплитуды векторов поля этого излучателя определим через векторный потенциал.
Если поместить начало координат O в центре элементарного излучателя (рис.1) и обозначить расстояние r между точкой наблюдения и текущей точкой излучателя , то, учитывая, что и для элементарного излучателя , имеем векторный электрический потенциал в виде:
Рис.1. Элементарный электрический излучатель
Из (4) следует, что векторный потенциал элементарного электрического излучателя направлен в точке наблюдения параллельно его оси и зависит только от расстояния R, представляющего собой радиальную координату точки наблюдения в сферической системе координат, начало которой совмещено с центром излучателя. Поэтому дальнейшие преобразования целесообразно проводить в сферической системе, направление полярной оси которой совпадает с током излучателя (рис.2).
В точке наблюдения M орт-вектор разложим в сферической системе координат по двум взаимно перпендикулярным направлениям ( рис. 2):
Рис.2. Сферическая система координат
Тогда векторный электрический потенциал имеет в точке M следующие составляющие:
Векторный электрический потенциал определяет напряжённость магнитного поля
Для определения напряжённости электрического поля воспользуемся первым уравнением Максвелла:
Электромагнитное поле (8), (10) – (12) не зависит от азимутального угла , что является следствием осевой симметрии излучателя. Зависимость поля от координаты R точки наблюдения позволяет разбить окружающее излучатель пространство на три зоны — ближнюю, промежуточную и дальнюю. В ближней и дальней зоне справедливы более простые, но приближенные формулы для составляющих векторов поля. В промежуточной зоне, переходной между ближней и дальней зоной и характеризуемой условием , должны учитываться все слагаемые в (8), (10) – (12), так как они имеют один порядок.
Поле в ближней зоне
Ближняя зона, или зона индукции, характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Конечно, одновременно R должно удовлетворять и условию , при котором были получены исходные формулы (8), (10) – (12). Оставив в каждой из этих формул лишь один член, содержащий в высшей степени, и используя справедливое при приближенное соотношение , имеем:
Учитывая, что и переходя от (13) к мгновенным значениям, получаем:
В ближней зоне векторы поля в точке наблюдения в момент времени t определяются значениями тока в этот же момент времени. Таким образом, ближняя зона представляет собой область квазистационарного поля. Использованное нами приближенное соотношение и привело к пренебрежению временем запаздывания.
Вектор Пойнтинга в ближней зоне имеет две составляющие:
Компоненты напряженности электрического поля (14), (15) отстают по фазе от напряженности магнитного поля (16) на . Вследствие этого, обе составляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону , принимая как положительные, так и отрицательные мгновенные значения. При этом средние значения составляющих вектора Пойнтинга за период T равны нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поля имеет колебательный характер — в течение четверти периода T энергия течет в одном направлении (положительные значения и ), в течение следующей четверти периода энергия течет в противоположном направлении, возвращается обратно (отрицательные значения и ). Таким образом, ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения. Электромагнитные волны, которые уносят с собой от излучателя энергию, существуют и в ближней зоне, но здесь их поля весьма малы по сравнению с рассмотренными выше полями.
Поле в дальней зоне
Дальняя зона характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Удерживая при этом в (8), (10) – (12) члены, содержащие в первой степени, имеем только две отличные от нуля составляющие поля:
где — характеристическое сопротивление среды.
Перейдя к мгновенным значениям, имеем:
Согласно (20), (21) в среде без потерь векторы и в любой точке дальней зоны имеют одинаковую фазу, в которую время t и расстояние R входят в виде линейной комбинации , где м/с. Уравнение постоянных значений фазы имеет вид:
Подставив в (22) два последовательных момента времени и , получим , откуда . Это означает, что с увеличением времени t постоянное значение фазы поля распространяется в направлении возрастающих значений R ее скоростью v. Таким образом, в дальней зоне распространяется электромагнитная волна в радиальных направлениях. Фаза постоянна при , значит поверхность равных фаз (фазовый фронт) – сфера. Скорость v движения точек с постоянной фазой называют фазовой скоростью.
Вектор направлен по касательной к дуге меридиана, — по касательной к дуге параллели, причем вектора поля и направление распространения волны взаимно перпендикулярны и образуют правую ортогональную тройку векторов (рис.3).
Рис.3. Вектора поля излучения элементарного электрического излучателя
При этом мгновенные значения векторов связаны между собой соотношениями:
Вектор Пойнтинга в дальней зоне имеет только одну радиальную составляющую:
Причем ее мгновенное значение всегда оказывается положительным вследствие того, что векторы поля имеют одинаковую фазу колебаний. Это означает, что энергия движется в направлении радиусов только от излучателя. Она не возвращается обратно к излучателю и представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.
Это поле называют полем излучения, а дальнюю зону называют также зоной излучения или волновой зоной.
Рассмотрим зависимость амплитуд векторов поля излучения от сферических координат точки наблюдения. Согласно (20), (21) амплитуды векторов поля изменяются обратно пропорционально первой степени расстояния R, то есть значительно медленнее, чем в ближней зоне. Убывание по закону величин векторов поля сферических бегущих волн является следствием закона сохранения энергии для среды без потерь.
Входящая в выражения для амплитуд векторов поля излучения антенны функция угловых сферических координат , определяющая их зависимость от направления на точку наблюдения, носит название амплитудной характеристики направленности. Графическое изображение характеристики направленности называют диаграммой направленности.
Согласно (20), (21) характеристика направленности элементарного электрического излучателя . Она не зависит от азимутального угла вследствие осевой симметрии излучателя. Поле излучения максимально в экваториальной плоскости и равно нулю вдоль оси излучателя . В плоскости, которая проходит через ось излучателя, характеристика направленности, построенная в полярной системе координат, изображена на рис.4а. (Уравнение в полярных координатах представляет собой две соприкасающиеся окружности). Пространственная характеристика направленности есть тор, образованный вращением фигуры рис.4а вокруг вертикальной оси (рис.4б).
Рис.4. Характеристика направленности элементарного электрического излучателя
Элементарный магнитный излучатель
Если в некотором объеме известна напряженность стороннего магнитного поля , то она вводится во второе уравнение Максвелла:
В этом случае первичное возбуждение электромагнитного поля вызывается известной в каждой точке объема величиной:
которую по аналогии с плотностью стороннего электрического тока называют плотностью стороннего магнитного тока.
Напомним, что в природе не существует магнитных зарядов и магнитного тока, представляющего собой упорядоченное движение этих зарядов. Поэтому формулу (26) следует рассматривать как результат формального введения в теорию фиктивных магнитных зарядов и обусловленных ими фиктивных магнитных токов, благодаря которому приобретается удобство в описании магнитных полей.
Если монохроматическое поле обусловлено электрическими токами и фиктивными магнитными токами, то оно удовлетворяет симметричным уравнениям Максвелла следующего вида:
Из симметрии соотношений (27), (28) следует, что при известном решении задачи при заданных сторонних электрических токах , решение задачи при заданных сторонних магнитных токах получим, осуществив в известном решении перестановки:
Конечно, это возможно только в том случае, если в обеих задачах одинакова форма поверхности , на которой заданы граничные условия, и если перестановка (29) преобразует граничные условия исходной задачи в граничные условия новой задачи.
Этот прием называют принципом перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Этот принцип широко используется при решении различных задач и имеет большое практическое значение.
Элементарным магнитным излучателем называют элемент фиктивного магнитного линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.
Поле, которое создает элементарный магнитный излучатель в безграничной однородной среде без потерь, проще всего найти с помощью принципа перестановочной двойственности, позволяющего сразу перейти от известного нам поля элементарного электрического излуча, (21) к искомому полю:
По своей структуре формулы (30), (31) аналогичны (20), (21). Поэтому отмеченные выше особенности поля излучения электрического излучателя полностью присущи и полю излучения элементарного магнитного излучателя. Поверхностью равных фаз является сфера, вектора поля лежат по касательной к ней, они взаимно ортогональны и пропорциональны по величине, сохраняется форма диаграммы направленности. Различие между полями электрического и магнитного элементарных излучателей состоит в разной ориентировке в пространстве векторов (рис.5.42).
Рис.5. Вектора поля излучения элементарного магнитного излучателя
Простейшей физически осуществимой моделью элементарного магнитного излучателя является плоская проводящая рамка (одиночный виток провода) с электрическим током, периметр которой весьма мал по сравнению с длиной волны создаваемого ею поля. Такой излучатель называют элементарной электрической рамкой. Эквивалентный такой рамке фиктивный элементарный магнитный излучатель ориентирован перпендикулярно плоскости рамки. Следовательно, при расположении элементарного магнитного излучателя в центре сферической системы координат вдоль полярной оси элементарная электрическая рамка должна лежать в экваториальной плоскости .
Элемент Гюйгенса
Элементом Гюйгенса называют элемент волновой поверхности бегущей волны, линейные размеры которого много меньше , который поэтому можно считать плоским и в пределах которого касательные составляющие и поля сохраняют постоянные значения.
Совместим начало декартовой системы координат с центром прямоугольного элемента Гюйгенса, стороны и площадь которого равны , и , в пределах которого параллельна оси , — оси (рис.6).
Рис.6. Элемент Гюйгенса
При определении поля элемента Гюйгенса в полупространстве можно, в соответствии с теоремой эквивалентности, заменить касательные составляющие , плотностями поверхностных эквивалентных токов , и найти комплексные амплитуды эквивалентных сторонних электрического и магнитного токов, которые на равны соответственно:
Элемент электрического тока длиной и элемент магнитного тока длиной можно рассматривать как эквивалентные элементарные электрический и магнитный излучатели. Таким образом, элемент Гюйгенса можно представить совокупностью взаимно перпендикулярных элементарных электрического и магнитного излучателей.
Определим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне, т. е. на расстояниях , для которых выполняется условие . Это поле проще всего найти суммированием в дальней зоне уже известных полей элементарных электрического и магнитного излучателей. При записи полей этих излучателей необходимо учесть связь их амплитуд (32) и изменённое положение элементов тока в пространстве. В итоге получаем две составляющих напряжённости электрического поля:
В дальней зоне электромагнитному полю элемента Гюйгенса присущи все основные особенности поля излучения элементарных излучателей. Это поле представляет собой сферические бегущие волны, расходящиеся в полупространстве от элемента Гюйгенса вдоль радиусов в бесконечность со скоростью и убывающие по амплитуде по закону .
Определим амплитуду поля элемента Гюйгенса:
Следовательно, амплитудная характеристика направленности, определяющая зависимость амплитуды поля от угловых координат, одинакова во всех меридиональных полуплоскостях и выражается формулой:
Выражение (36) является уравнением кардиоиды (рис.7).
Рис.7. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса
Пространственная характеристика направленности представляет собой тело вращения кардиоиды рис.7 вокруг оси .
4. Описание лабораторной установки.
С помощью виртуальной лабораторной установки планируется изучать изменение продольной и поперечной компонент напряженности электрического поля от расстояния до элементарного электрического излучателя. Кроме того, должна иметься возможность наблюдать диаграммы направленности элементарных излучателей и определять их характеристики.
В верхней части лицевой панели лабораторной установки расположен заголовок «Исследование элементарных излучателей» и кнопка останова STOP (рис.8).
Виртуальная лабораторная установка состоит из двух частей, отображаемых в двух страницах на экране: «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»(рис.8) и «Диаграммы направленности элементарных излучателей» (рис.9).
Рис.8. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»
Работа с установкой начинается в закладке «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Справа на ней находится графический индикатор «Амплитуда компоненты поля», на котором отображаются зависимости продольной и поперечной составляющих поля от расстояния между излучателем и точкой наблюдения.
Под индикатором находится панель управления двумя курсорами, в которой имеются названия измеряемых компонент поля «Продольная компонента» и «Поперечная компонента» и окна с координатами курсоров.
В левой верхней части расположен регулятор, задающий значение угловой координаты «Угол от оси излучателя».
Ниже расположен регулятор размера шкалы расстояния (горизонтальная шкала экрана).
На странице «Диаграммы направленности элементарных излучателей» находится два графических индикатора. На левом индикаторе диаграмма направленности отображается в декартовой системе координат. Под индикатором есть панель управления курсором, позволяющая измерять графики на экране.
Рис.9. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Диаграммы направленности элементарных излучателей»
На правом индикаторе диаграмма направленности отображается в полярных координатах.
Над экранами имеется переключатель на три положения: «Электрический», «Магнитный», «Площадка». Он осуществляет переключение на экране всех изучаемых элементарных излучателей.
Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.
5. Порядок выполнения работы.
1. Запустить лабораторную установку «Элементарные излучатели», ознакомиться с органами управления.
2. Перейти на страницу «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Выполнить исследования в соответствии с вариантом, выбранным в таблице 1.
Таблица 1. Исходные параметры для исследования элементарных излучателей радиоволн
Различные формы уравнений Максвелла. Анализ уравнений
Принцип перестановочной двойственности. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд. Разделение переменных во второй паре уравнений Максвелла. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца. Плотность потока мощности электромагнитного поля, вектор Пойнтинга.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.10.2017 |
| Размер файла | 265,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Различные формы уравнений Максвелла. Анализ уравнений
В этой главе вводится комплексная форма уравнений Максвелла и потенциалы для полей. Будут получены волновые уравнения и уравнения Гельмгольца для векторов , и для потенциалов. Проанализированы энергетические соотношения в электромагнитном поле. Рассмотрена форма уравнений Максвелла в различных частных случаях.
1. Принцип перестановочной двойственности
Сравним между собой первое и второе уравнения в каждой паре 1.3.1 . 1.3.4. Они очень похожи друг на друга. Нетрудно заметить, что если в одном из первых уравнений заменить
то получим второе уравнение той же пары, и наоборот, если во втором уравнении провести такие замены, то получим первое. В этом и состоит принцип перестановочной двойственности.
Если в одном из уравнений Максвелла произвести замены (2.1), то получим другое уравнение Максвелла. Более того, такие замены можно проводить в результатах расчета. Таким образом, посчитав, например, электрическое поле несложно получить магнитное, проведя замены (2.1).
2. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд
Уравнения Максвелла записаны для векторов , , , , зависящих от четырех переменных — три координаты и время. Чтобы упростить решение уравнений, нужно сократить число переменных, исключив время. Это возможно, если входящие в уравнения переменные изменяются во времени по закону синуса или косинуса с известной круговой частотой . Тогда зависимость от времени можно исключить, воспользовавшись методом комплексных амплитуд.
Рассмотрим, например, в прямоугольной системе координат электрическое поле, проекции которого на координатные оси изменяются по закону косинуса:
E(x,y,z,t) = Excos (t+x) + Eycos (t+y) + Ezcos (t+z).
Аналогично тому, как это делалось в теории цепей, введем комплексные амплитуды проекций поля, отображающие соответствующие временные функции в комплексную область:
Excos (t+x) x = Ex exp;
Eycos (t+y) y = Ey exp;
Ezcos (t+z) z = Ez exp.
Символ используется для того, чтобы показать взаимно однозначное соответствие временной функции и ее комплексной амплитуды. Комплексную амплитуду для вектора электрического поля можно записать так:
Комплексные амплитуды, используемые при изучении электромагнитных полей, величины векторные. Поэтому изобразить их в виде проекций вращающегося вектора невозможно. Векторные диаграммы для электромагнитного поля не строят. В крайнем случае, можно построить векторную диаграмму для проекций вектора.
Иногда поле изменяется по гармоническому закону вдоль какой-либо из координатных осей. Тогда можно ввести комплексную амплитуду по координатам, воспользовавшись тем же правилом.
Все операции над одномерными комплексами приложимы к векторам. Например, дифференцирование заменяется умножением на i, интегрирование делением на i.
Перепишем уравнения Максвелла в комплексной форме. Сначала преобразуем первое уравнение Гаусса для вещества (1.3.1) в интегральной форме:
Здесь введена комплексная диэлектрическая проницаемость
которая позволила представить запись уравнения в компактной форме. Ее действительная часть описывает диэлектрические свойства среды, а мнимая — процессы, определяемые проводимостью, то есть потери за счет сопротивления среды.
Перевод в комплексную форму других уравнений Максвелла производится таким же образом. При преобразовании первого и третьего уравнений достаточно комплексной диэлектрической восприимчивости, а для второго и четвертого приходится вводить комплексную магнитную восприимчивость. Преобразуем, например, четвертое уравнение в дифференциальной форме (см. 1.3.4).
Вместо векторов , и в уравнение будут входить их комплексные изображения, производная по времени заменяется умножением на i.
Здесь введена комплексная магнитная проницаемость.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Преобразование остальных уравнений проведите самостоятельно. Система уравнений Максвелла в комплексном виде приведена ниже.
3. Разделение переменных во второй паре уравнений Максвелла. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца
Вторую пару уравнений Максвелла (2.1.2 и 2.1.4) не всегда удобно использовать из-за того, что в оба вектора и входят и в первое, и во второе уравнение пары. Преобразуем их так, чтобы вектора разделились. Это преобразование можно проделать во временной области и для комплексных амплитуд. В первом случае уравнения называют волновыми, а во втором — уравнениями Гельмгольца.
Получим волновое уравнение. Считаем, что среда однородна, а электрическая и магнитная проницаемости постоянны. Запишем вторую пару уравнений Максвелла (см. 1.3.4):
Если от обеих частей первого уравнения взять ротор, а затем в правой части вместо rot подставить его значение из второго уравнения, то получим соотношение, содержащее только вектор. Проделаем эти операции.
rot rot = rot+rot + Э rot
Для того, чтобы упростить выражение, воспользуемся известным тождеством векторной алгебры (см. приложение)
rot rot = grad div — .
Вместо rot подставим его значение из первого уравнения (1.3.4).
Перенесем все слагаемые, содержащие магнитное поле влево и получим уравнение для вектора.
Воспользовавшись принципом перестановочной двойственности, получим аналогичное уравнение для электрического вектора
— (Э +М)- ЭМ- grad div =
Эти соотношения называют волновыми уравнениями для векторов магнитного и электрического полей. В частном случае, когда исследуются процессы распространения электромагнитных волн и сторонние токи и заряды, возбуждающие поле, находятся за пределами анализируемой части пространства, неоднородные волновые уравнения переходят в однородные. Если к тому же не учитывать потери, связанные с конечной проводимостью, то уравнения упрощаются и принимают следующий вид:
Комплексная форма волновых уравнений получила название — уравнения Гельмгольца. Запишем неоднородные уравнения Гельмгольца. Переходя в (2.8, 2.9) к комплексным амплитудам и вводя обозначение
+ 2 = — rot + i+ grad ; (2.13)
+ 2 = rot + i+ grad . (2.14)
максвелл уравнение амплитуда по ле
4. Плотность
потока мощности электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга
Электромагнитное поле способно накапливать и переносить энергию. Законы изменения, сохранения и распространения энергии можно получить из уравнений Максвелла. Воспользуемся для этого второй парой уравнений Максвелла в дифференциальной форме (см.1.3.4).
Преобразуем эти уравнения следующим образом. Умножим скалярно первое на , а второе на и вычтем из второго первое
Воспользуемся известной формулой векторного анализа. Для двух векторов и выполняется тождество (см. П2.17):
Тогда в левую часть равенства можно заменить дивергенцией от векторного произведения на .
Проинтегрируем полученное выражение сначала по бесконечному, а затем по конечному объему. Тогда в первом случае получим полную энергию системы зарядов, токов и электромагнитного поля, а во втором можно проанализировать динамику изменения энергии в объеме.
Проинтегрируем (2.15) по всему бесконечному объему, полагая, что проводимость отсутствует (Э = 0, М = 0 ). Электромагнитная энергия не преобразуется в тепловую и убыли энергии у электромагнитного поля нет.
Рассмотрим три полученных интеграла. Интеграл слева равен нулю. Действительно, используем теорему Остроградского-Гаусса и преобразуем интеграл по объему от дивергенции вектора в интеграл по охватывающей его поверхности от потока вектора.
Ограничивающая объем поверхность находится на бесконечности и никогда не будет достигнута электромагнитным полем. Поток вектора через нее отсутствует.
Рассмотрим первый интеграл в правой части (2.15). Ток связан с движением заряженных частиц, а значит и с изменением их энергии. Рассчитаем скорость изменения кинетической энергии частицы массой m движущейся со скоростью v.
В правой части стоит произведение импульса частицы на производную от скорости, то есть на ускорение. Это ускорение можно определить из уравнения движения частицы. Уравнение движения частицы массой m с зарядом e, которая находится в электромагнитном поле с напряженностью электрического поля и магнитного поля , можно записать так:
Подставим (2.18) в (2.17) и получим для одной частицы:
Второе слагаемое в правой части равно нулю из-за свойств скалярного произведения. Теперь запишем это равенство для N частиц и вспомним, что .
Слагаемые и — это производные от кинетической энергии движения электрических и магнитных зарядов в поле — то есть мощность электрического и магнитного токов. Учитывая это (2.16) можно записать так:
Таким образом, в бесконечном объеме, в котором существуют электромагнитное поле и частицы, сохраняется величина, стоящая в скобках. Ек — кинетическая энергия частиц, следовательно
— энергия электромагнитного поля. Величину
называют плотностью энергии электромагнитного поля.
Проинтегрируем (2.15) по конечному объему. Интеграл по объему от дивергенции заменим интегралом по поверхности от потока вектора
В выражение (2.22) входит мощность электромагнитного поля в объеме (второе слагаемое), мощность электрических и магнитных токов в объеме (третье слагаемое), мощность потерь в объеме (четвертое слагаемое). Вероятно, и первое слагаемое должно описывать какую-то мощность. Это поток мощности электромагнитного поля через ограничивающую объем поверхность. Равенство (2.22) — закон сохранения энергии для электромагнитного поля и системы зарядов в нем в том случае, когда существует обмен энергией между выделенным объемом и остальным пространством. Вектор плотности потока мощности электромагнитного поля называют вектором Пойнтинга.
Запишем дифференциальную форму равенства (2.22). Для этого заменим интеграл от потока вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого вектора по объему. Ввиду произвольности объема запишем равенство для подынтегральных выражений.
Вектор Пойнтинга возникает тогда, когда уменьшается энергия электромагнитного поля, энергия заряженной частицы или уменьшаются потери в выбранной точке.
Если электромагнитное поле изменяется во времени гармонически, то вектор Пойнтинга можно выразить через комплексные амплитуды полей. Снова воспользуемся второй парой уравнений Максвелла, но теперь уже в комплексной форме (см. 2.1.4).
Возьмем комплексное сопряжение от второго равенства
Помножив (2.25) скалярно на, а (2.26) на и вычитая из первого результата второй, получим
Это равенство называют теоремой Пойнтинга в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов поля. Получим интегральную форму равенства, проинтегрировав его по всему объему, содержащему источники. Слева будет стоять интеграл от дивергенции вектора по объему. Используя теорему Остроградского-Гаусса преобразуем его в поток этого вектора через ограничивающую объем поверхность.
В левой части равенства находится комплексный вектор Пойнтинга , который содержит действительную и мнимую часть. Действительная часть описывает поток активной, а мнимая — поток реактивной мощности. В правой части первое слагаемое комплексное и имеет действительную и мнимую часть, второе чисто действительное, а третье — чисто мнимое. Выделим поток активной Р и реактивной Q мощности. При этом учтем, что мощность находится через действующие значения, а комплексный вектор Пойнтинга рассчитан через амплитудные. Действующее значение в корень из двух раз меньше.
Электрическое и магнитное поле изменяется в течение периода, и, чтобы найти среднее значение мощности, нужно проводить усреднение за период. Выражение (2.28) записано для усредненной за период мощности.
Анализируя (2.28) можно заметить, что мощность потерь за счет электрической и магнитной проводимости всегда активная. Мощность электрических и магнитных токов смещения всегда реактивная и имеет противоположные знаки. Мощность, связанная с движением заряженных частиц в поле, имеет и реактивную, и активную составляющую.
5. Лемма Лоренца
Лемма Лоренца устанавливает связь между полями, возбуждаемыми в пространстве двумя независимыми системами сторонних токов. Чтобы воспользоваться методом комплексных амплитуд, обе системы токов должны иметь одинаковую частоту. Для простоты не будем учитывать потери.
Первая совокупность гармонических токов и создает электромагнитное поле с комплексными амплитудами и, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла
Вторая совокупность и создает поля с комплексными амплитудами и .
Преобразуем эти уравнения примерно так же, как мы поступали в предыдущем разделе. Для этого умножим второе уравнение системы (2.31) на, а первое уравнение системы (2.30) на — и сложим их. Учтем, что для любой пары векторов и
Тогда слева получим дивергенцию от векторного произведения и , а справа комбинацию произведений токов и полей.
Аналогично, умножим первое уравнение системы (2.31) на , а второе (2.30) на (-) и сложим их.
После вычитания из (2.32) выражения (2.33) получим соотношение, которое и называют леммой Лоренца в дифференциальной форме.
Векторные произведения и можно интерпретировать как взаимные векторы Пойнтинга двух независимых электромагнитных процессов.
Чтобы получить интегральную форму, проинтегрируем (2.34) по объему, в который включены интересующие нас токи, и преобразуем левую часть в интеграл от потоков взаимных векторов Пойнтинга по ограничивающей объем поверхности, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса.
Лемма Лоренца широко используется при анализе процессов возбуждения электромагнитных волн.
6. Потенциалы электромагнитного поля
Во многих задачах необходимо знать численное значение амплитуды и фазы электромагнитного поля. Это задачи излучения электромагнитных волн, возбуждения электромагнитных волн в резонаторах и волноводах, подвода энергии к линии передачи. Такие задачи можно решать с помощью волновых уравнений (2.8, 2.9) и неоднородных уравнений Гельмгольца (2.13, 2.14). Однако эти уравнения очень громоздки и содержат в правой части производные. Целесообразно ввести новые векторные функции такие, которые были бы связаны с и простыми соотношениями, а уравнения для них не содержали бы дифференциальные операции в правой части. Такие функции, называемые потенциалами, существуют. Их вводят, пользуясь не уравнениями Гельмгольца, а уравнениями Максвелла.
Введем комплексную амплитуду для потенциалов, воспользовавшись комплексной формой уравнений Максвелла (2.1.3, 2.1.4). Будем анализировать линейный процесс, для которого выполняется принцип суперпозиции и каждое из уравнений можно разбить на два. Одно будет содержать в правой части электрический заряд, или ток, а второе — магнитный. Объединим уравнения с электрическими зарядами и токами в одну систему, а с магнитными зарядами и токами в другую. Тогда из (2.1.3, 2.1.4) получим две системы уравнений. Уравнения с электрическими источниками:
и уравнения с магнитными источниками:
Если будет найдено решение одной системы, то решение другой несложно получить, используя принцип перестановочной двойственности.
Электрические потенциалы поля получим, решая первую систему (2.36). Сначала рассмотрим два уравнения с нулевой правой частью. В первом из них воспользуемся векторным тождеством, которое выполняется для любого вектора :
Тогда можно утверждать, что есть ротор какого-то вектора, то есть
где — произвольный вектор, который называют векторным электрическим потенциалом. Ротор векторного электрического потенциала определен равенством (2.38), а дивергенция может быть произвольной. В дальнейшем мы используем произвольность div для того, чтобы упростить уравнения, описывающие векторный потенциал.
Теперь рассмотрим другое уравнение системы (2.36) с нулевой правой частью. Если вместо подставить его выражение через векторный потенциал из (2.38), то получим:
Учтем то обстоятельство, что ротор — это дифференциальный оператор, а производная от суммы равна сумме производных. Тогда последнее соотношение можно переписать в виде:
Воспользуемся известным векторным тождеством, которое утверждает, что для любого скаляра
Тогда можно ввести скалярный электрический потенциал , для которого выполняется равенство
+ i = — grad , = — i- grad . (2.39)
Итак, электрическое и магнитное поле легко посчитать, используя электрический и магнитный потенциалы. Это пока почти произвольный вектор и скаляр, но эту произвольность можно устранить, воспользовавшись второй парой уравнений (2.36). Потенциалы будут выражены через электрический заряд и ток. Возьмем последнее уравнение системы (2.36)
и подставим в него вместо и их выражение через потенциалы. Тогда получим первое уравнение для потенциалов и. :
rot rot + igrad — 2 =. .(2.40)
Умножим уравнение на и воспользуемся тождеством
rot rot = grad div — .
Тогда (2.40) преобразуется к виду:
grad div — + i grad — 2 = .
В выражение входит два слагаемых с градиентом. Объединим их и используем обозначение для (2.12)
— + grad (div + ) — 2 = . (2.41)
Теперь воспользуемся произвольностью в выборе divи выберем ее так, чтобы выражение в скобках было равно нулю.
div + = 0; div = -. (2.42)
Соотношение (2.42) называют калибровкой Лоренца для потенциалов. Воспользуемся калибровкой Лоренца для упрощения выражения (2.41).
Это соотношение называют уравнением Гельмгольца для векторного потенциала.
Воспользуемся оставшимся уравнением в системе (2.36)
и получим аналогичное соотношение для скалярного электрического потенциала. Подставим выражение через потенциалы из (2.39)
div (- i- grad ) = Э
и, раскрывая скобки, воспользуемся калибровкой Лоренца и выражением для дивергенции от градиента.
Итак, получены уравнения для расчета электрических потенциалов через токи и заряды (см.2.43, 2.44) и расчета электрического и магнитного полей через потенциалы (см. 2.38, 2.39).
Магнитные потенциалы поля и выражения для расчета полей через эти потенциалы можно получить из системы (2.37) или воспользоваться принципом перестановочной двойственности. Воспользуемся этим принципом и из (2.43, 2.44, 2.38, 2.39) получим.
Связь между векторным и скалярным потенциалом задается соотношением, которое можно получить из (2.42).
Здесь в дополнение к (2.1) использованы замены , .
Таким образом, действие электрических и магнитных зарядов можно описать с помощью потенциалов. Зная потенциалы, можно рассчитать электрическое и магнитное поле. Эти поля рассчитываются отдельно для электрических и магнитных токов и зарядов. Полное поле можно получить, складывая отдельные составляющие. Потенциалы рассчитываются с помощью уравнений Гельмгольца для двух скалярных и двух векторных величин.
7. Частные случаи
Рассмотрим, как изменяются уравнения Максвелла, если существуют не все, а лишь определенные виды источников электромагнитного поля. В простейшем случае отсутствуют и электрические, и магнитные токи, а заряды не изменяются во времени. Такое приближение называют статическим. В зависимости от того, какие заряды присутствуют, говорят об электростатике и магнитостатике.
Электростатика
В электростатическом приближении электрическое поле создается электрическими зарядами, не изменяющимися во времени. Магнитного поля нет. Уравнения Максвелла в интегральной форме запишутся так
Электрический векторный потенциал отсутствует, а для скалярного потенциала в электростатике принято обозначение .
Уравнения электростатики позволяют рассчитать электрическое поле при произвольном расположении зарядов. Задача по расчету электрического поля произвольной системы зарядов сводится к задаче по определению поля точечного источника. Заряд в объеме нужно представить в виде суммы конечного или бесконечного числа точечных зарядов. Рассчитать в интересующей нас точке электрическое поле и потенциал от каждого заряда, а результаты сложить и задача будет решена.
Определим напряженность электрического поля и потенциал, создаваемый точечным зарядом на расстоянии r от него. В качестве объема выберем сферу радиусом r. Из-за сферической симметрии электрическое поле на поверхности этой сферы одинаково во всех точках. Его можно посчитать из первого уравнения (2.47).
Из (2.48) определим потенциал в этой точке, учитывая симметрию задачи. И электрическое поле, и потенциал будут зависеть только от радиуса, поэтому градиент потенциала можно заменить производной по радиусу.
где А — значение потенциала на бесконечности.
Для описания системы зарядов используют понятие — электрическая емкость. Пусть два тела расположенные на расстоянии R друг от друга имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд q. Электрической емкостью называют отношение заряда q к разности потенциалов U этих двух тел:
Чтобы рассчитать электрическую емкость системы зарядов нужно рассчитать распределение потенциалов в объеме.
Для пары точечных зарядов, расположенных на расстоянии R
Магнитостатика
В магнитостатическом приближении магнитное поле создается магнитными зарядами, не изменяющимися во времени. Уравнения для расчета магнитного поля будут выглядеть так:
rot = 0; ; = — grad . (2.53)
Магнитостатическое приближение используется при расчете поля постоянного магнита.
Стационарные магнитные процессы (Магнитные цепи)
В этом приближении отсутствуют всякие заряды. Существует только электрический ток. Электрическое поле возникает за счет конечной проводимости вещества и описывается законом Ома (1.5)
Магнитное поле порождается электрическим током и описывается уравнениями Максвелла, которые в этом случае выглядят так:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Первое уравнение (2.54) утверждает, что поток вектора замкнут и суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Поток этого вектора через незамкнутую поверхность может быть отличен от нуля. Его называют магнитным потоком.
Магнитный поток имеет знак и может подходить к точке разветвления или выходить из нее. Как следует из первого равенства (2.54), сумма магнитных потоков в узле равна нулю.
Размещено на http://www.allbest.ru/
На рисунке 2.1 сумма магнитных потоков в узле А равна нулю.
Ф1 — Ф2 — Ф3 — Ф4 = 0.
Если считать магнитный поток аналогом тока в электрической цепи, то уравнение (2.56) аналогично первому уравнению Кирхгофа для электрической цепи. Его можно считать первым уравнением Кирхгофа для магнитной цепи.
Если магнитный поток равномерно распределен по сечению, то связь между В и Ф упрощается. Вместо (2.55) получим:
Пусть имеется катушка, витки которой пронизываются различным магнитным потоком (рис.2.2). Сумма магнитных потоков, пронизывающих интересующий нас виток называется потокосцеплением . На рис.2.2 потокосцепление различно у различных витков катушки.
1 = Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4; 2 = Ф2 + Ф3 + Ф4;
3 = Ф3 + Ф4; 4 = Ф4.
Полное потокосцепление для всей катушки
= 1 +2 +3 +4 =Ф1 + 2Ф2 + 3Ф3 +4Ф4.
Если в катушке с током отсутствует магнитный поток рассеяния и все w витков пронизываются одним и тем же магнитным потоком Ф, то потокосцепление для нее
Между током в катушке и потокосцеплением существует линейная связь,
Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью катушки.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Если первое уравнение в (2.54) приводит к первому закону Кирхгофа для магнитной цепи, то второе уравнение — ко второму. Действительно, пусть магнитная цепь состоит из отдельных элементов длиной ?i и площадью Si, по которым проходит один и тот же магнитный поток Ф. Тогда второе уравнение (2.54) можно переписать в виде:
H1?1 + H2 ?2 + H3 ?3 = IЭ,
где IЭ — сумма электрических токов, создающих магнитный поток Ф. Произведение Hi??i называют падением магнитного напряжения на участке ?i, а сумму токов, возбуждающих магнитный поток, — магнитодвижущей силой F.
Это равенство можно интерпретировать, как второй закон Кирхгофа для магнитной цепи. Чаще всего магнитный поток создается с помощью катушки. Если по катушке с w витками проходит электрический ток I, то магнитодвижущая сила
Размещено на http://www.allbest.ru/
Для магнитной цепи выполняются не только законы Кирхгофа, но и законы Ома. Преобразуем второе равенство в (2.54) так, чтобы слева было произведение магнитного потока на какую-то величину. Эту величину можно будет назвать магнитным сопротивлением, а равенство — законом Ома для магнитной цепи. Для этого из (2.57) и (1.3.5) получим:
Подставим это значение в (2.54), заменив интеграл суммой, а электрический ток — на магнитодвижущую силу.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тогда выражение, стоящее под знаком суммы в правой части можно назвать сопротивлением i — го участка магнитной цепи
В дальнейшем можно рассчитывать разветвленные и неразветвленные магнитные цепи, пользуясь законами Кирхгофа и Ома, однако при аналитическом расчете точность невелика из-за нелинейной зависимости магнитной индукции от магнитного поля. Поэтому здесь чаще, приходится пользоваться графоаналитическими методами. В этом основная сложность расчета магнитных цепей.
Задачи и упражнения
1. Получите уравнение Гельмгольца для вектора из волнового уравнения для этого вектора.
2. Известно, что некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все декартовы проекции полей зависят только от z. Используя уравнения Максвелла, покажите, что продольные составляющие вдоль оси z отсутствуют и возможно только постоянное поле вдоль этой оси.
3. Вектор поляизменяется по гармоническому закону с частотой 2ГГц, имея в фиксированной точке пространства комплексную амплитуду =120exp(-i300)+50exp(i450)+75 exp(i600). Найдите мгновенное значение этого вектора, как функции времени.
4. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля = 28exp(-i0,15) + 105 exp(i1,2) + 75 exp(i2,3).
5. Частота колебаний 2 ГГц. Найдите мгновенное значение вектора при t = 0,1 с.
6. В фиксированной точке пространства известны мгновенные значения векторов поля = Е0 cos (t + 1); = H0 cos (t + 2). Определите вектор Пойнтинга в этой точке, если Е0 = 10 В/м; Н0 = 0,1 А/м; = 12,56109 1/с; 1 = 2 = 600.
7. Векторы напряженности электромагнитного поля не имеют составляющих вдоль оси z. Покажите, что вектор Пойнтинга имеет единственную проекцию на ось z, а проекции на оси х и у отсутствуют
8. В некоторой точке пространства заданы вектор напряженности электрического поля = 20 В/м и вектор Пойнтинга = 10 + 30. Определите вектор напряженности магнитного поля в этой точке.
9. В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды полей
= (5 + 8i + 12exp(i300));
= (0,4 exp(i450) + 1,6 + 0,75 ).
Найдите комплексный вектор Пойнтинга.
10. Пользуясь законом Гаусса рассчитайте емкость коаксиального кабеля.
11. Рассчитайте емкость двухпроводной линии.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные формы уравнений Максвелла, дифференциальная форма уравнений. Свойства уравнений Максвелла. Общие представления о колебательных и волновых процессах. Гармонические колебания, их характеристики и использование. Теоремы векторного анализа.
презентация [114,1 K], добавлен 24.09.2013
Закон полного тока. Единая теория электрических и магнитных полей Максвелла. Пояснения к теории классической электродинамики. Система уравнений Максвелла. Скорость распространения электромагнитного поля. Релятивистская трактовка магнитных явлений.
презентация [1,0 M], добавлен 14.03.2016
Макроскопическое электромагнитное поле в сплошных неподвижных средах. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга. Применение метода комплексных амплитуд. Волновой характер электромагнитного поля.
реферат [272,7 K], добавлен 19.01.2011
Описание произвольного электромагнитного поля с помощью вектор-потенциала. Волновые уравнения. Асимптотические выражения. Решение волнового уравнения для напряженностей полей. Электромагнитное мультипольное излучение. Уравнение Максвелла в пространстве.
презентация [92,5 K], добавлен 19.02.2014
Вихревое электрическое поле. Интегральная форма уравнений Максвелла. Единая теория электрических и магнитных явлений. Понятие о токе смещения. Постулат Максвелла, выражающий закон создания электрических полей действием зарядов в произвольных средах.