Треугольник описанный около окружности
Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.
На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.
△ ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;
Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.
Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.
Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.
Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника, описанного около окружности.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника, описанного около окружности.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника, описанного около окружности.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Высота треугольника
h — высота треугольника, описанного около окружности.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
\[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Свойства
Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.
Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.
Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.
Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.
Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.
Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.
Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.
Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.
Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.
Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.
Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.
Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.
Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.
Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.
Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.
Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.
Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.
Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.
Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.
Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.
Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.
Признаки существования
Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.
Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.
Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.
Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.
Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.
Признаки равенства
Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.
Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.
Признак 3. По трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.
Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:
- Разносторонний треугольник
- Равносторонний / правильный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равнобедренныйпрямоугольный треугольник
- Прямоугольный треугольник, описанный около окружности
Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.
Основные формулы:
- Равнобедренный треугольник, описанный около окружности
Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.
Основные формулы:
- Равносторонний треугольник, описанный около треугольника
Основные формулы:
Термины
Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.
Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.
Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.
Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.
Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.
Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.
Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.
Окружность, описанная около треугольника
Определение окружности, описанной около треугольника
Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).
 |
При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .
Теорема об окружности, описанной около треугольника
Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.
 |
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.
Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.
Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.
Как найти центр окружности описанной около треугольника
Вписанная и описанная окружность
Например, на рисунке 8.106 
.
Например, на рисунке 8.107 
Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают 
, а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают 
:
1) для равностороннего треугольника со стороной 
:
и площадью 
:
и гипотенузой 
:
и диагональю 
:
:
:
, при условии, что в трапецию можно вписать окружность:
и площадью , по формуле :
, (8.45)
является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.
Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна 
.
Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32 , а площадь квадрата со стороной находят по формуле 
Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и 
находят по формуле 
.
Пусть 
, тогда 
(рис. 8.118).
Получим: 
, 
, следовательно, 
, 
.
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: 
.
По формуле 
, а так как 
, то 
. Тогда 
, а 
.
Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна 
находят по формуле: 
.
По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: 
находят по формуле 8.38 . Тогда 
.
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора 
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник 
. Точка 
является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат 
со стороной 3. Если катет 
, а сторона квадрата 
, то 
.
Пусть отрезок 
. По свойству касательных 
и 
.
Тогда по теореме Пифагора 
, 
.
Найдем катет 
: 
.
Найдем площадь треугольника: 
Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: 
.
В свою очередь по формуле Герона 
, то 
Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: 
, 
.
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: 
, 
, 
.
Согласно формуле 
, а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.
Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию 
(рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции 
.
Радиус окружности, описанной около треугольника 
, найдем по формуле 8.36 :
и вводя коэффициент пропорциональности 
, получим 
, 
.
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то 
. Тогда 
, 
.
Поскольку четырехугольник 
является прямоугольником, то 
, тогда 
, а, следовательно, и около трапеции :
.
Ответ: 
.
Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна 
.
Длину окружности радиуса находят по формуле:
. (8.30)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
Верно и обратное утверждение.
Для доказательства можно использовать тот же рисунок. Пусть точка М находится на одинаковом расстоянии от ВК и ВL. То есть КМ = МL. Тогда ∆ВКМ и ∆ВМL снова оказываются равными, но уже как прямоугольные треуг-ки с одинаковыми катетом и гипотенузой. Из равенства треуг-ков вытекает, что
Действительно, если в ∆AВС построить биссектрисы ∠А и ∠В, то они должны будут пересечься в какой-нибудь точке О:
Опустим из О перпендикуляры на все стороны треуг-ка. Так как О принадлежит биссектрисе ∠А, то она находится на одинаковом расстоянии от АС и AВ, то есть
Из него следует, что О также находится на одном расстоянии от АС и ВС и потому принадлежит биссектрисе ∠С. Получается, что О – общая точка для всех трех биссектрис ∆AВС.
Серединный перпендикуляр
Введем новое понятие – серединный перпендикуляр.
На рисунке О – это середина AВ. Через нее проведена прямая m, образующая прямой угол с AВ. Тогда по определению m – это серединный перпендикуляр:
Рассмотрим две теоремы, которые связаны с серединным перпендикуляром и являются обратными друг для друга.
Сначала рассмотрим первое утверждение. Пусть точка М находится на серединном перпендикуляре, проведенному к AВ. Нам надо
Изучим∆АОМ и ∆ВОМ. Они прямоугольные, имеют одинаковые катеты АО и ОВ (ведь О – середина AВ) и общий катетОМ. Получается, что ∆АОМ и ∆ВОМ равны. Значит, одинаковы и отрезки АМ и МВ, ч. т. д.
Во второй теореме уже изначально известно, что
Надо доказать, что М принадлежит серединному перпендикуляру. Изучим∆АМВ, он равнобедренный, ведь АМ = МВ. Теперь из М опустим медиану МО на AВ. ∆АМВ – равнобедренный, поэтому эта медиана окажется также и высотой. Получается, что отрезок ОМ перпендикулярен AВ и одновременно делит его пополам. Значит, ОМ – это серединный перпендикуляр.
Из этих двух теорем вытекает важное утверждение:
Действительно, в ∆AВС проведем серединные перпендикуляры к сторонам треугольника AВ и АС:
Здесь N и K – середины сторон AN и AC, а О – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике. Так как О лежит на серединном перпендикуляре, проведенному к AВ, то справедливо равенство
Аналогично О равноудаленная от вершин А и С, ведь она лежит на серединном перпендикуляре, проведенному к АС:
В итоге можно составить двойное равенство:
Оно показывает, что О также расположена на одном расстоянии от В и С. Отсюда вытекает, что она должна принадлежать серединному перпендикуляру, проведенному к ВС, ч. т. д.
Точка пересечения высот треугольника
Следующая теорема касается высот треуг-ка.
Для доказательства выполним такое построение – через вершины ∆AВС проведем прямые, которые будут параллельны сторонам ∆АВС. Они образуют новый ∆А1В1С1:
Из условий AВ||A1В1 и АС||А1С1 вытекает, что четырехуг-к АСА1В – это параллелограмм. Значит, у него одинаковы противоположные стороны:
Аналогично можно показать, что четырехуг-ки AВСВ1 и АСВС1 – также параллелограммы, откуда вытекают равенства:
Теперь обозначим на рисунке все отрезки, равные AВ, одной черточкой, отрезки, равные ВС – двумя чертами, в тремя черточками отметим те отрезки, равные АС:
Получается, что А, В и С являются серединами сторон А1В1, А1С1 и В1С1. Построим в ∆А1В1С1 серединные перпендикуляры. Они по определению будут проходить через середины А, В и С и при этом будут иметь общую точку О:
Заметим, что проведенные перпендикуляры будут также перпендикулярны сторонам исходного ∆AВС. Например, ОВ⊥А1С1 и А1С1|| АС, значит, ОВ⊥АС (прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой). Аналогично можно продемонстрировать, что АО⊥ВС, а СО⊥AВ. Другими словами, прямые АО, ВО и СО оказываются высотами, и при этом они пересеклись точке О. Так как ∆AВС был выбран произвольно, то получается, что в любом треуг-ке высоты пересекутся в одной точке, ч. т. д.
Ранее, изучая подобие треуг-ков, мы уже выяснили, что и медианы треуг-ка будут пересекаться в одной точке. В итоге можно сформулировать следующее утверждение:
Задание. На рисунке ∠MKN = 66°. Вычислите величину ∠FNO.
Решение. Судя по рисунку, в точке О пересекаются высоты MF и KE. Но тогда и прямая ON также должна быть высотой. Достроим рисунок с учетом этого факта:
Теперь на рисунке множество прямоугольных треуг-ков. Напомним, что у каждого из них острые углы в сумме составляют 90°. Например, в ∆MKF
Задание. В ∆AВС биссектрисы АА1 и ВВ1 пересеклись в точке М, причем ∠АМВ = 128°. Вычислите ∠МСВ1.
Решение. Изучим ∆АМВ. В сумме его углы должны составлять 180°:
Ясно, что МС – это биссектриса ∠АСВ, ведь она проходит через общую точку двух других биссектрис ∆AВС. То есть МС делит ∠АСВ пополам:
Задание. На рисунке RO = 20. Вычислите длину OK:
Решение. На рисунке видно, что OM и ON – это серединные перпендикуляры. Отсюда вытекает, что точка О равноудалена от ОР и OR:
Теперь можно рассмотреть ∆РОК. Он прямоугольный, и в нем есть ∠30°. Напомним, что катет, лежащий против такого угла, вдвое короче гипотенузы:
OK = OP/2 = 20/2 = 10
Вписанная окружность
Иногда в многоугольник можно вписать окруж-ть. Это значит, что возможно построить такую окруж-ть (ее именуют вписанной окружностью), которая будет касаться каждой стороны многоуг-ка (его в таком случае называют описанным около окружности многоуг-ком).
Для того чтобы, построить вписанную в многоуг-к окруж-ть, надо сначала определить, возможно ли вообще это сделать. Оказывается, что в треуг-к окруж-ть можно вписать всегда.
Действительно, построим произвольный ∆AВС и биссектрисы в нем. Они пересекутся в какой-нибудь точке О. Далее из О проведем перпендикуляры на стороны ∆AВС.
Эти перпендикуляры являются, по сути, расстояниями от О до сторон углов ∠А, ∠В и ∠С. По свойству биссектрисы они окажутся одинаковыми. Теперь проведем окруж-ть с центром в О, радиус которой будет равен длине этих перпендикуляров.
Ясно, что точки M, L и K будут принадлежать окруж-ти, ведь они находятся на расстоянии R от ее центра. При этом отрезки OK, OM, OL будут радиусами. Заметим, что прямая AВ перпендикулярна радиусу OK, а потому является касательной. По той же причине ВС и АС также окажутся касательными. В итоге окруж-ть оказывается вписанной, ч. т. д.
В данном доказательстве мы не просто доказали, что для каждого треуг-ка существует вписанная окруж-ть, но и показали, как ее построить. Надо сначала провести биссектрисы углов, найти точку их пересечения (это и будет центр вписанной окруж-ти), после чего из этой точки надо опустить перпендикуляр на одну из сторон треуг-ка. Осталось лишь построить окруж-ть, радиус которой будет этот перпендикуляр. Заметим, что так как в треуг-ке есть только одна точка пересечения биссектрис, то и окруж-ть в треуг-к можно вписать лишь одну.
Ещё раз посмотрим на окружность, вписанную в треугольник:
Заметим, что радиусы OK, ОМ и ОL одновременно являются и высотами в ∆AВО, ∆АОС и ∆ВОС. Тогда через радиус можно выразить площади этих треуг-ков:
Сумма сторон AВ, АС и ВС – это периметр ∆AВС (его обозначают буквой Р), а потому можно записать, что
Эту формулу часто используют не для вычисления площади треуг-ка, а для нахождения радиуса вписанной окружности.
Задание. Найдите радиус окруж-ти, вписанной в равнобедренный треуг-к, основание которого имеет длину 20, а боковая сторона – 26.
Теперь надо найти его площадь. Для этого опустим на основание MN высоту KH, которая одновременно будет и медианой:
Отрезок HN будет вдвое короче MN:
Зная в ∆MKN высоту и основание, к которой она проведена, сможем найти его площадь:
Теперь запишем формулу площади, содержащую радиус вписанной окруж-ти, и найдем из нее этот радиус:
Задание. В прямоугольный треуг-к, длина гипотенузы которого составляет 52, вписана окруж-ть радиусом 8. Вычислите периметр этого треуг-ка.
Решение. Проведем радиусы ОМ и ОК из центра окруж-ти к катетам:
Буквой N обозначим точку касания окруж-ти и гипотенузы. Сначала изучим четырехуг-к МОКС. В нем∠С – прямой, ведь ∆AВС – прямоугольный, а ∠ОМС и ∠ОКС также составляют 90°, так как образованы радиусом и касательной. Тогда и ∠МОК тоже должен быть прямым. Значит, МОКС – это квадрат, и его стороны одинаковы:
Заметим, что отрезки AN и AM одинаковы, ведь они представляют собой отрезки касательных, которые построены из одной точки:
Аналогично одинаковы ВК и BN:
Тогда периметр можно записать так:
Задание. Вписанная в ∆AВС окруж-ть касается его сторон AВ, ВС и АС в точках Е, М и F. Известно, что АЕ = 4, СF = 6, МВ = 10. Определите периметр ∆AВС.
Решение. Заметим, отрезки касательных, проведенных к окруж-ти из одной точки, одинаковы, поэтому
Это позволяет найти каждую из сторон ∆AВС:
В многоугольники, имеющие 4 и более вершины, вписать окруж-ть можно лишь в отдельных случаях. В частности, четырехуг-к должен для этого обладать особым свойством.
Действительно, пусть в четырехуг-к AВСD вписана окруж-ть. Тогда отрезки касательных, которые построены из точек А, В, С и D, будут одинаковыми.
Обозначим их маленькими буквами a, b, cи d:
Тогда стороны четырехуг-ка будут вычисляться так:
Действительно, пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого
AD + BC = CD + AB (1)
Проведем биссектрисы ∠Aи ∠B, они пересекутся в некоторой точке О. Эта точка окажется равноудаленной от сторон AD, AB и ВС, то есть можно построить окруж-ть, которая коснется этих трех прямых. Докажем, что она также коснется и CD. Возможны три варианта:
1) СD вообще не пересекается с окруж-тью;
2) CD – секущая, и пересекается с окруж-тью в 2 точках;
3) CD – касательная.
Сначала рассмотрим первый вариант, когда СD и окруж-ть не имеют общих точек. Тогда можно провести касательную С’D’, параллельную CD:
Мы видим, что существует описанный четырехуг-к AВС’D’, а значит, суммы его противоположных сторон будут одинаковыми:
Мы получили, что в четырехуг-ке С’D’DC сторона CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно, то есть мы получили противоречие. Значит, принятое нами предположение о том, что CD не имеет общих точек с окруж-тью, является ошибочным. С помощью аналогичных утверждений можно отбросить и вариант, согласно которому CD – это секущая. Остается один вариант, по которому СD – касательная, ч. т. д.
Задание. В четырехуг-к MCЕА вписана окруж-ть, причем МС = 5, СЕ = 10, АЕ = 8. Какова длина АМ?
Решение. Если в четырехуг-к можно вписать окруж-ть, то суммы его противоположных сторон одинаковы:
Рассмотрим частные случаи четырехуг-ков. Очевидно, что в ромб и квадрат вписать окруж-ть можно, ведь у них одинаковы все стороны, значит, одинаковы и суммы противоположных сторон. С другой стороны, если параллелограмм НЕ является ромбом, то есть его смежные стороны различны, то вписать в него окруж-ть не получится. Также ее нельзя вписать и в прямоугольник, если он НЕ является квадратом:
Ранее мы составили формулу, которая связывала периметр треуг-ка с его площадью и радиусом вписанной окруж-ти. Оказывается, она справедлива и для четырехуг-ка. Действительно, пусть есть произвольный описанный четырехуг-к AВСD. Соединим центр вписанной окруж-ти с вершинами, а также проведем из нее радиусы к точкам касания:
В результате мы разбили AВСD на ∆АОD, ∆DOC, ∆COВ и ∆АОВ, причем высотой для каждого из них являются радиусы длиной r. Тогда площади этих треуг-ков можно вычислить так:
Аналогичным образом эту формулу можно доказать и для пятиугольника, и для шестиугольника, и т. д.
Задание. В четырехуг-к AВСD, у которого стороны AB и CD соответственно составляют 13 и 8, вписана окруж-ть радиусом 5. Какова площадь AВСD?
Мы можем найти сумму сторон AВ и CD:
AB + CD = 13 + 8 = 21
Так как в четырехуг-к вписана окруж-ть, то и сумма двух других сторон, AD и BC, будет такой же:
AD + BC = AB + CD = 21
Теперь можно вычислить и периметр AВСD:
P = AB + CD + AD + BC = 21 + 21 = 42
Осталось только применить формулу и рассчитать площадь:
Задание. В квадрат вписана окруж-ть с радиусом 6. Какова площадь квадрата?
Решение. Проведем в окруж-ти радиусы, которые коснутся противоположных сторон квадрата:
В результате получится прямоугольник ВСНК. КН – диаметр окруж-ти, поэтому он вдвое длиннее радиуса:
В прямоугольнике противоположные стороны одинаковы, поэтому
Но ВС – это сторона квадрата, площадь которого и надо найти. Для этого ВС надо возвести в квадрат:
S = BC 2 = 12 2 = 144
Описанная окружность
Возможна и ситуация, при которой не окруж-ть вписана в многоуг-к, а наоборот, многоуг-к в окруж-ть. В таком случае все его вершины будут лежать на окруж-ти.
Есть несколько важных теорем, касающихся описанных окружностей.
Для доказательства построим в произвольном ∆AВС серединные перпендикуляры. Они пересекутся в некоторой точке О:
Каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка, к которому этот перпендикуляр проведен. Значит, и точка О равноудалена от вершин ∆AВС:
Но тогда из О можно провести окруж-ть, на которой будут лежать точки А, В и С. Она как раз и окажется окружностью, описанной около треугольника. Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной точке, то и окруж-ть около треуг-ка можно описать лишь одну.
Из теоремы следует важный вывод:
Действительно, три точки, не лежащие на прямой, образуют на плоскости треуг-к.Окруж-ть, проведенная через его вершины, по определению и будет описанной окруж-тью.
Задание. Около равнобедренного треуг-ка с основанием длиной 6 описана окруж-ть радиусом 5. Какова длина боковых сторон этого треуг-ка?
Решение: Проведем радиусы ОА, ОВ и ОС к вершинам вписанного треуг-ка, а на основание ВС опустим перпендикуляр:
Стоит обратить внимание, что точки А, О и Н лежат на одной прямой. Это высота, проведенная к основанию. Она же, по свойству равнобедренного треуг-ка, является медианой, то есть Н – середина ВС. Тогда ОН оказывается серединным перпендикуляром.
Сначала найдем ВН, он равен половине ВС:
Далее изучим ∆ОНВ. Он прямоугольный, то есть для него верна теорема Пифагора:
Задание. Выведите формулу, которая связывает длину стороны равностороннего треуг-ка с радиусом описанной окружности.
Решение. Обозначим буквой a сторону треуг-ка, а буквой R – радиус описанной окруж-ти. Также проведем один серединный перпендикуляр:
Так как ∆AВС – равносторонний, то все его углы, в частности, ∠AВС, составляют 60°.
Заметим, что ∆ВОС и ∆АОВ равны по трем одинаковым сторонам, поэтому
В четырехуг-к окруж-ть удается вписать не всегда. Для этого должно соблюдаться одно условие:
Действительно, пусть около четырехуг-ка ABCD описана окруж-ть:
Тогда вся окруж-ть может быть разбита на две дуги: ⋃ВАD и ⋃ВСD. Их сумма составляет 360°:
Аналогично доказывается утверждение и для другой пары противоположных углов, ∠ADC и ∠ABC.
Обратное утверждение также справедливо:
Докажем эту теорему методом от «противного». Пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого сумма противоположных углов составляет 180°, но вокруг него нельзя описать окруж-ть. Тогда проведем окруж-ть через любые три его вершины. Четвертая вершина (пусть это будет D) не может оказаться на окруж-ти. То есть она находится либо внутри окруж-ти, либо вне ее. Сначала рассмотрим случай, когда точка оказывается внутри окруж-ти:
Продолжим прямые AD и CD до пересечения окруж-ти в точках А’ и C’, а потом выберем произвольную точку D’ на окруж-ти между ними.
Теперь сравним ∆АСD и ∆АСD’. У обоих сумма углов одинакова и составляет 180°:
Получается, что ∠D и ∠D’ должны быть равны, но ранее мы показали, что ∠D больше. Это противоречие означает, что точка D не может быть внутри окруж-ти. Аналогичным образом рассматривается второй случай, когда D лежит вне окруж-ти:
Здесь, рассматривая ∆АСD и АСD’, можно показать, что ∠D меньше, чем ∠D’. Однако они должны быть равны друг другу, ведь в сумме с∠В должны давать 180°.
Задание. В окруж-ть вписан четырехуг-к AВСD, причем∠А составляет 110°, а ∠В – 62°. Найдите два других угла четырехуг-ка.
Здесь надо просто использовать тот факт, что противоположные углы в AВСD должны давать в сумме 180°:
Задание. Докажите, что если трапеция вписана в окруж-ть, то она равнобедренная.
Пусть в окруж-ть вписана трапеция AВСD, причем AD и ВС– ее основания. Тогда∠А и ∠В – это односторонние углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AВ, и в сумме они дают 180°. Но так как AВСD вписана в окруж-ть, то и ее противоположные углы, ∠А и ∠С, также должны составлять в сумме 180°:
Естественно, эти равенства могут одновременно справедливыми только в том случае, если∠В и ∠С одинаковы. Они являются углами при основании трапеции. Если они одинаковы, то трапеция – равнобедренная (это признак равнобедренной трапеции).
Построение вписанной и описанной окружности
Дополнительно уточним, как выполнить построение вписанной окружности либо описанной окруж-ти. Мы уже говорили, в центр вписанной окружности в треуг-ке – это центр пересечения его биссектрис, ведь он равноудален от сторон. То же самое относится и к многоуг-кам. Вписанная окруж-ть равноудалена от его сторон, поэтому будет лежать на биссектрисе каждого из углов многоуг-ка. При этом строить биссектрисы всех углов не нужно, достаточно выбрать любые два из них. Найдя таким способом центр вписанной окруж-ти, из нее надо опустить перпендикуляр на любую сторону – он и будет радиусом окруж-ти:
При построении описанной окружности нужно помнить, что ее центр описанной окруж-ти находится уже в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Снова достаточно провести только два перпендикуляра:
Итак, мы узнали про вписанные и описанные окруж-ти, как определять их центры, и какими свойствами обладают вписанные и описанные многоуг-ки. Это поможет решить ряд задач на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.