Признаки делимости на 11
Всего существует три важных признака делимости на 11.
Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.
Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.
Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.
б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.
Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.
б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.
Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.
Признак делимости на 11
Существует и другие признаки делимости кроме перечисленных, но они на порядок сложнее. Для тех, кому интересно, приводим пример признака делимости на 11 .
Признак делимости на 11
Запомните!
Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11 .
В самом деле признак делимости на 11 очень интересен, попробуем разобраться на примере:
- Проверим, делится ли 671 на 11 .
Итак, цифры которые стоят на нечетных местах — это 6 (стоит на первом месте) и 1 (стоит на третьем месте). Цифра, которая стоит на четном месте, это 7 (стоит на втором месте). 6 + 1 = 7 . Сумма цифр стоящих на нечетном месте равна сумме цифр на четном месте, значит 671 делится на 11 .
- Проверим делится ли 3905 на 11 .
Цифры которые стоят на нечетных местах — это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьем месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте).
Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, не равна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на 11 , т.к. 14 − 3 = 11 . Значит 3905 делится на 11 .
Уточнение для признака делимости на 11
На самом деле, правило, описанное выше — это упрощенная версия полного признака делимости на 11 . В большинстве случаев при решении задач школьного курса математики его достаточно.
Но если быть точным, признак делимости звучит следующим образом.
Запомните! 
Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11 .
Признак делимости на 11
Признаки делимости позволяют ускорить счет. Но многие из них повторяются, используя схожие методы доказательства, как делимость на 7 и 19. Но делимость на число 11 немного сложнее, поэтому разберем правило и примеры делимости на 11.
Число и цифра
Различие между цифрой и числом играют большую роль в признаках делимости, в особенности это касается признака делимости на 11. Поэтому разберемся в теме подробно.
Цифр всего 10: это знаки от 0 до 9, которые используются для записи чисел. Число это реальное значение, записанное с помощью цифр. Цифры записываются на определенной позиции. Так, цифра 7 может одновременно может обозначать 7 единиц, 7 сотен, 7 тысяч – в зависимости от расположения.
Делимость на 11
Делимостью называют способность числа разделиться на другое число без остатка. Признаки делимости позволяют определить, делится ли одно число на другое или нет без выполнения самого деления.
Число делится на 11, если разность сумм цифр, находящихся на четных позициях и цифр, находящихся на нечетных позициях равна 0 или 11. Рассмотрим делимость на примере. Определим, делится ли число 173840 на 11.
- Шаг первый это выявить сумму цифр на нечетных позициях: 1+3+8+0=12
- Сумма чисел на четных позициях: 7+8+0=15
- Разность: 15-12=3 – это не 11 и не ноль, следовательно, число на 11 не делится.
Что мы узнали?
Мы поговорили о разности в понятии цифр и чисел. Рассмотрели признак делимости на 11, пошагово решили пример. На примере принцип использования признака выглядит более понятным, поэтому, чтобы лучше усвоить тему, стоит решить несколько задач на определение делимости числа на 11.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);
471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);
532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1 3 ).
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.
4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);
9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.
375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;
9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.
462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);
3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);
24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);
861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;
3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;
34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.
2 4 2 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 2 + 2 = 4 ; сумма цифр на четных позициях S2n = 4 и S2n+1 = S2n .
3 1 9 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 3 + 9 = 12 ; сумма цифр на четных позициях S2n = 1 , а их разность S2n+1 — S2n = 11 — делится на 11.
9 1 9 3 8 0 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 9 + 9 + 8 = 26 ; сумма цифр на четных позициях S2n = 1 + 3 + 0 = 4 , а их разность S2n+1 — S2n = 22 — делится на 11.
2 8 3 8 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 2 + 3 = 5 ; сумма цифр на четных позициях S2n = 8+ 8 = 16 , а их разность S2n — S2n+1 = 11 — делится на 11.
2 4 4 — не делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 2 + 4 = 6 ; сумма цифр на четных позициях S2n = 4 и S2n+1 — S2n = 2 — не делится на 11.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.