Что является результатом отношения бесконечно малых величин

Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.), или, просто, бесконечно малой, при или при , если ее предел равен нулю:

.

Например, функции при и при есть бесконечно малые величины, ибо их пределы равны нулю.

Не следует путать бесконечно малую переменную величину с очень малым, но постоянным числом , ибо по мере приближения значений к (при ) или по мере увеличения по модулю значений (при ) функция окажется меньше этого числа (по абсолютной величине).

Теорема (о связи бесконечно малых величин с пределами функций). Если функция имеет при () предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при ()

. (4)

Верна и обратная теорема.

Теорема. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой величины при (), то число есть предел этой функции при (), т.е. .

Свойства бесконечно малых величин

1 0 . Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2 0 . Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3 0 .Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Пусть, например, , есть бесконечно малые при ; функция есть функция, ограниченная при (точнее, ограничена в любом промежутке, а не только в окрестности точки , так как ). Функция при имеет предел (-1), не равный нулю.

Тогда, (по свойству 1 0 ), , , (по свойству 2 0 ), (по свойству 3 0 ) есть величины бесконечно малые при .

Замечание: Свойство 3 0 не рассматривает предел отношения двух бесконечно малых из-за его неопределенности. Этот предел может быть равен нулю, числу , символу . При этом б.м.в. называется соответственно бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , одного порядка малости, более низкого порядка малости, чем . Тот факт, что есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем записывается следующим образом: при ().

Если , то бесконечно малые величины и при () называются эквивалентными; в этом случае пишут

.

Если предел отношения двух бесконечно малых величин конечный или бесконечный, то он не изменится, если эти бесконечно малые заменить их эквивалентными:

, (5)

если , при ().

Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для х, неравных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Записывают или при .

С помощью логических символов это определение можно представить в виде

.

Если стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Функция , заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 найдется такое число , что при всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В краткой форме .

Так, например, функции при , при являются бесконечно большими.

Не следует путать бесконечно большую переменную величину с очень большим, но постоянным числом , ибо по мере приближения значений к или по мере увеличения по модулю () функция превзойдет это число (по абсолютной величине).

Замечание: Следует иметь ввиду, что бесконечно большая величина есть функция неограниченная при (). В то же время неограниченная функция не обязательно бесконечно большая.

Например, функция является неограниченной (ее значения могут быть как угодно большими), но не бесконечно большой при , так как с ростом функция все время колеблется, переходя от положительных к отрицательным значениям (и наоборот) и обращаясь в нуль при сколь угодно больших значениях .

Свойства бесконечно больших величин

1 0 . Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2 0 . Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3 0 . Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Например, если функция — б.б.в. при , функция при имеет предел равный , отличный от нуля, а функция — ограниченная, то функции (по свойству 1 0 ), (по свойству 2 0 ), (по свойству 3 0 ) являются бесконечно большими при .

Теорема (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами). Если функция — б.м.в. при (), то функция является б.б.в. при (). И наоборот, если функция — б.б.в. при (), то функция есть величина б.м. при ().

Например, если функции при и при есть величины бесконечно малые, то функции при и при есть величины бесконечно большие.

И наоборот, если функции при и при есть величины бесконечно малые.

Бесконечно малая величина

Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Содержание

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если функции f(x) = 2x 2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

• При ).
  Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

  При ;

• ;

• .

Теорема

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

• Найти

  Рисунок 1. Функция y = f (x) пересекает ось Ох

  

  Рисунок 2. Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

  Что такое исчисление бесконечно малых величин

  Вычисления с бесконечно малыми величинами, при которых результатом является бесконечно непрерывная сумма бесконечно малых, называют исчислением бесконечно малых величин.

  Бесконечно малой последовательностью является такая последовательность an, для которой выполняется равенство:

  Последовательность бесконечно убывает, а значит, является бесконечно малой величиной.

  Функция называется бесконечно малой в окрестности точки х0, если выполняется условие:

  Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если выполняется одно из условий:

  Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если:

  Бесконечно малая величина является переменной величиной, которая будет меньше числа $\varepsilon $ лишь в результате своего стремления х к а.

  Функция y = f (x) называется бесконечно малой (при $x>+∞$), если каково бы ни было $ <\mathbf \varepsilon >> 0$, можно найти такое число N, что при всех $x > N$ выполняется неравенство:

  Доказать, что функция

  является бесконечно малой при $x>+∞$.

  Доказательство: Определим, что при $x>+∞$ предел функции b=0, т.е. что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое N, что при $x > N$ выполняется неравенство:

  \[\left|f(x)\right|=\left|\frac<1> > \right|=\frac<1> > Данное неравенство справедливо только если \[x>\frac<1> <\sqrt<\varepsilon >> =N\]

  Аналогично для функции вида

  Справедливо утверждение, что функция бесконечно малая.

  Докажем, что функция $y = x^3$ является бесконечно малой при $x > 0$.

  Доказательство: Зададим $\varepsilon $ $>$ 0. Неравенство |f(x)| = |x3| $ \[\left|x\right|Таким образом, неравенство $|x^3| \[N=-\sqrt[<3>] <\varepsilon >\begin <> & <\begin <8>& ] <\varepsilon >> \end> \end\]

  т.е. функция $y = x^3$ бесконечно малая при $x > 0$.

  Определим, является ли бесконечно малой при $x > +∞$ функция:

  Ответ: Функция не является бесконечно малой при $x > +∞$.

  Свойства бесконечно малых

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  2. Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
  3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную (или константу) — бесконечно малая.
  4. Если $a_n$ — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=1 / a_n$ — бесконечно большая последовательность.

  Докажем, что функция

  Является бесконечно малой функцией при $x > +∞$.

  Доказательство: Так как каждое слагаемое функции является бесконечно малой при $x > +∞$ (см. пример 2), по свойству 1 — функция является бесконечно малой величиной.

  Бесконечно малая величина

  Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной Бесконечно малая

  Последовательность

  Читать:

  Что лучше паскаль или питон