Во скольких точках функция не определена

10 Лекция №10. Непрерывность и точки разрыва функции

Посмотрим, каким образом может нарушаться какое-либо условие определения 9.2.2, если в точке наблюдается разрыв функции . От того, какое именно условие нарушается, зависит тип разрыва.

Классификация точек разрыва:

1. а) Функция не определена в точке , но в этой точке у функции есть односторонние пределы и они совпадают: . Данный случай изображен на рисунке 43.

б) Функция в точке определена, но ее значение не равно пределу функции в этой точке (рисунок 44).

;

.

В этих случаях разрыв называется устранимым. Для устранения разрыва надо доопределить функцию в точке или изменить ее значение в этой точке так, чтобы было равно .

2. Если не существует, но существуют оба односторонних предела в точке , которые не равны друг другу, то разрыв в точке называется разрывом первого рода, скачком или конечным разрывом.

Величиной скачка будет называться разность (рисунок 45).

, , , — величина скачка.

3. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке не существует, в частности, равен бесконечности, то разрыв в этой точке называется разрывом второго рода или бесконечным разрывом (рисунок 46).

Разрывы первого и второго рода не являются устранимыми.

Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Все элементарные функции непрерывны во всей своей области определения, т.е. область непрерывности элементарной функции полностью совпадает со своей областью определения.

Элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, и не может быть разрывной во всех точках некоторого интервала.

Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена, при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.

Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке также будут непрерывны и функции при условии, что . (Это следует из теоремы об арифметических свойствах пределов).

Суперпозиция двух непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если функция — непрерывна в точке , а функция — непрерывна в точке , то функция — непрерывна в точке .

Если функция непрерывна, и у нее существует обратная функция , то функция также непрерывна.

10.2 Примеры исследования функций на непрерывность

Исследуем на непрерывность функцию .

Функции sin x и x непрерывны в любой точке. Значит, их частное — непрерывная функция во всех точках, кроме х = 0. В этой точке функция не определена, и поэтому разрывная.

Установим характер разрыва.

Существует , значит, разрыв в точке устранимый.

Доопределим функцию в точке .

Пусть f(0) = 1. Новое задание функции: График функции представлен на рисунке 47:

.

Эта функция определена при . Во всей области определения эта функция непрерывна, как и всякая элементарная функция. Она не определена в точках и , но определена вблизи них. В этих точках функция терпит разрыв. Найдем ее односторонние пределы в этих точках:

;

;

— бесконечный разрыв;

;

;

в точке — бесконечный разрыв.

График функции изображен на рисунке 48.

.

Эта функция элементарная. Она определена, а следовательно, и непрерывна на всей числовой оси кроме точки . В этой точке она имеет разрыв, поскольку определена в любой ее окрестности, за исключением самой точки . Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

Предварительно вспомним, как выглядит график функции и изобразим его (рисунок 49).

В точке х = 0 функция имеет скачок, т.е. конечный разрыв, который равен -π.

График функции представлен на рисунке 50.

Эта функция определена на всей оси, кроме точки х = 3. Из этого следует, что в точке х = 3 функция имеет разрыв.

Разрыв конечный первого рода.

. Величина скачка равна двум.

График функции изображен на рисунке 51.

Эта функция определена и непрерывна для всех значений х, которые удовлетворяют неравенству

Во всех точках отрезка функция не определена. Но точками разрыва являются только точки х = -3 и х = 0.

В этих граничных точках функция также не определена, но она определена в точках, слева сколь угодно близких к точке х = -3 и справа в сколь угодно близких к точке х = 0.

Внутренние точки отрезка точками разрыва не являются, потому что вблизи каждой из них функция не определена.

График функции представлен на рисунке 52.

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции

;

Решение: Функция определена для всех значений х. Если x>-1, то x+1>0, в этом случае

Поэтому функция непрерывна (многочлен первой степени).

Аналогично при функция принимает вид и непрерывна.

Исследуем точку

Односторонние пределы существуют, но не равны между собой. В точке х = -1 функция имеет разрыв первого рода

.

Точки разрыва функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения точек разрыва функции онлайн.
Точки разрыва функции – это точки, в которых функция имеет разрыв, при этом функция в этих точках не является непрерывной.
Существует определенная классификация точек разрыва функции. Точки разрыва функции (нули знаменателя) делятся на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Точки разрыва первого рода при x=a имеют место быть, если существуют левосторонний и правосторонний пределы: lim(x→a-0)⁡f(x) и lim(x→a+0)⁡f(x). Эти пределы должны быть конечны. Если хотя бы один из односторонних пределов равен нулю или бесконечности, то в таком случае функция имеет точки разрыва второго рода.
Для того чтобы найти точки разрыва функции онлайн, необходимо указать функцию и значение аргумента.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

: x^a

Как найти точки разрыва функции — пошаговая инструкция

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

• первый род;
• второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² — 25)/(y — 5):

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

• находят область определения функции; точки, в которых функция не определена, являются точками подозрительными на разрыв: если функция задана словесным образом, т.е. описывается разными формулами на разных интервалах, то точками подозрительными на разрыв являются точки, определяющие границы интервалов;
• исследуют подозрительные на разрыв точки, для чего вычисляют лево- и правосторонние пределы; классифицируют точки разрыва;
• при наличии точек разрыва строят график функции в малой -окрестности точки .

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

• точка является точкой подозрительной на разрыв.
• вычислим левосторонний и правосторонний пределы; так как пределы бесконечные, то точка является точкой разрыва второго рода;
• построим график функции в небольшой окрестности точки разрыва (Рис. 65).

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.