3 Приложения двойных интегралов
Рассмотрим приложения двойного интеграла к решению ряда геометрических задач и задач механики.
3.1.1 Вычисление площади и массы плоской пластины
Рассмотрим тонкую материальную пластину D, расположенную в плоскости Оху. Площадь S этой пластины может быть найдена с помощью двойного интеграла по формуле:
Пусть в каждой точке пластины задана ее поверхностная плотность γ = γ (x, y) ≥ 0. Будем считать, что функция γ = γ (x, y) непрерывна в области D. Тогда масса m этой пластины равна двойному интегралу от функции плотности γ (x, y) по области D:
3.1.2 Статические моменты. Центр масс плоской пластины
Статическим моментом Mx относительно оси Ox материальной точки P(x;y), лежащей в плоскости Oxy и имеющей массу m, называется произведение массы точки на ее ординату, т.е. Mx= my. Аналогично определяется статический момент My относительно оси Oy: My = mx. Статические моменты плоской пластины с поверхностной плотностью γ = γ (x, y) вычисляются по формулам:
Как известно из механики, координаты xc , yc центра масс плоской материальной системы определяются равенствами:
где m – масса системы, а Mx и My – статические моменты системы. Масса плоской пластины m определяется формулой (1), статические моменты плоской пластины можно вычислить по формулам (3) и (4). Тогда, согласно формулам (5), получаем выражение для координат центра масс плоской пластины:
3.2 Содержание типового расчета
Типовой расчет содержит две задачи. В каждой задаче задана плоская пластина D, ограниченная линиями, указанными в условии задачи. Г(x,y) – поверхностная плотность пластины D. Для этой пластины найти: 1. S – площадь; 2. m – массу; 3. My , Mx – статические моменты относительно осей Оy и Ох соответственно; 4. 
, 
– координаты центра масс.
3.3 Порядок выполнения типового расчета
При решении каждой задачи необходимо: 1. Выполнить чертеж заданной области. Выбрать систему координат, в которой будут вычисляться двойные интегралы. 2. Записать область в виде системы неравенств в выбранной системе координат. 3. Вычислить площадь S и массу m пластины по формулам (1) и (2). 4. Вычислить статические моменты My , Mx по формулам (3) и (4). 5. Вычислить координаты центра масс 
, 
по формулам (6). Нанести центр масс на чертеж. При этом возникает визуальный (качественный) контроль полученных результатов. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.
3.4 Примеры выполнения типового расчета
Задача 1. Пластина D ограничена линиями: y = 4 – x 2 ; х = 0; y = 0 (x ≥ 0; y ≥ 0) Поверхностная плотность γ0 = 3. Решение. Область, заданная в задаче, ограничена параболой y = 4 – x 2 , осями координат и лежит в первой четверти (рис. 1). Задачу будем решать в декартовой системе координат. Эта область может быть описана системой неравенств: 
Рис. 1
Площадь S пластины равна (1): 
Так как пластина однородная, ее масса m = γ0S = 3· 
= 16. По формулам (3), (4) найдем статические моменты пластины: 
Координаты центра масс находятся по формуле (6): 
Ответ: S ≈ 5,33; m = 16; Mx = 25,6; My = 12; 
= 0,75; 
= 1,6.
Задача 2. Пластина D ограничена линиями: х 2 + у 2 = 4; х = 0, у = х ( х ≥ 0, у ≥ 0). Поверхностная плотность γ(x,y) = у. Решение. Пластина ограничена окружностью и прямыми, проходящими через начало координат (рис. 2). Поэтому для решения задачи удобно использовать полярную систему координат. Полярный угол φ меняется от π/4 до π/2. Луч, проведенный из полюса через пластину, «входит» в неё при ρ = 0 и «выходит» на окружность, уравнение которой: х 2 + у 2 = 4 <=> ρ = 2.
Рис. 2
Следовательно, заданную область можно записать системой неравенств: 
Площадь пластины найдем по формуле (1): 
Массу пластины найдем по формуле (2), подставив γ(x,y) = у = ρ sinφ: 
Для вычисления статических моментов пластины используем формулы (3) и (4): 
Координаты центра масс получим по формулам (6): 
Ответ: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; Mx = 2,57; My = 1; 
= 0,53; 
= 1,36.
3.5 Оформление отчета
В отчете должны быть представлены все выполненные расчеты, аккуратно выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.
Определить площадь пластин плоского воздушного конденсатора электроемкостью 1 мкФ
Определить площадь пластин плоского воздушного конденсатора электроемкостью 1 мкФ, если расстояние между пластинами 1 мм.
Задача №6.4.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Решение задачи:
Электроемкость плоского конденсатора определяется по следующей известной формуле:
Выразим из этой формулы искомую площадь пластин конденсатора \(S\):
Задача решена в общем виде, остается только произвести расчет. Напомним, что электрическая постоянная \(\varepsilon _0\) равна 8,85·10 -12 Ф/м, диэлектрическая проницаемость воздуха \(\varepsilon\) равна 1. Не забывайте переводить численные значения величин в систему СИ.
Мы получили какое-то огромное число, тем не менее в ответах в конце сборника указан такой же ответ.
Ответ: 113 м 2 .
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Катод в ячейках представляет набор одинаковых по площади поверхности пластин или фольгу, которую затем разрезают на полос одинаковой ширины. Допускается разделить поверхность фольги на две части в определением соотношении площадей, например 1: 10, при этом полоса наиболее удаленной части фолы и должна иметь меньшую площадь. [4]
Следует отметить, что при вычислении сопротивления по его коэффициенту необходимо знать площадь поверхности пластины , соприкасающейся с водой. Эти теоретические результаты, в основном принадлежащие Блазиусу, превосходно согласуются с экспериментальными данными. [6]
Емкость конденсатора определяется теми же факторами, которые влияют на емкость одиночных проводников: площадь поверхности пластин , расстояние между пластинами, диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами. [7]
Для удобства рассмотрим раздельно вклад излучения и конвекции в общий тепловой поток, приходящийся на единицу площади поверхности пластины . [8]
На рис. 3.5, б показан промежуточный момент процесса коммутации, когда щетка соприкасается одновременно с обеими коллекторными пластинами, покрывая равные площади поверхности пластин . [9]
Поверхностные пластины изготовляются из чистого свинца. Для увеличения площади поверхности пластин их делают ребристыми. [11]
Сопротивление в фильтросах зависит от скорости прохода через них воздуха. По техническим условиям сопротивление фильтросных пластин при проходе через них 2 м3 / мин воздуха на 1 м2 площади поверхности пластины не должно превышать 200 мм. Практически, как указывалось ранее, сопротивление пластин быстро возрастает, поэтому при определении общего напора воздуходувки сопротивление через фильтросы следует принимать 500 — 800 мм. [12]
Что такое формула площади поверхности?
Площадь поверхности — это сумма площадей всех граней (или поверхностей) 3D-фигуры. … Мы также можем обозначить длину (l), ширину (w) и высоту (h) призмы и использовать формулу SA = 2lw + 2lh + 2hw, чтобы найти площадь поверхности.
В связи с этим, какова площадь 96-луночного планшета?
| Кат | Бренд | Площадь роста |
|---|---|---|
| 83-3300 | Корнинг® | 0.32cm 2
|
| 83-3596 | Корнинг® | 0.32cm
2 |
| 83-3997 | Корнинг® | 0.32cm
2 |
| 83-3598 | Корнинг® | 0.32cm
2 |
Относительно этого, что такое примеры площади поверхности?
Общая площадь поверхности трехмерного объекта. Пример: Площадь поверхности куба — это площадь всех 6 граней, сложенных вместе. См .: Площадь.
Кроме того, какова формула площади поверхности прямоугольника?
Какова формула расчета площади поверхности прямоугольной призмы? Формула для расчета общей площади поверхности прямоугольной призмы имеет следующий вид: TSA прямоугольной призмы = 2 (фунт × ширина × высота), где l — длина, b — ширина, h — высота призмы.
Каковы формулы для определения площади поверхности и объема? Какова формула площади поверхности и объема?
| Форма | Общая площадь поверхности | Формула объема |
|---|---|---|
| Кубоид | 2 (lb + bh + hl) Где l = длина, b = ширина и h = высота | Длина * Ширина * Высота |
| Призма | ph + 2B, где p = периметр основания, h = высота и B = площадь основания | Площадь основания x Высота |
Что такое конфлюэнтность ячеек?
Слияние ячеек определяется как процент площади поверхности 2D-культуры, покрытой клетками. Обычно оценка конфлюэнтности используется для определения того, когда клетки необходимо пассировать. Правильное определение этого момента имеет важное значение для поддержания фенотипа клеток и качества культуры.
Как найти площадь тарелки?
Площадь пластины определяется по общей формуле А = πr 2. Подставьте числа, чтобы получить A = π (0.089) 2 = 0.0249 м 2. Преобразуйте расстояние между пластинами (1 мм) в метры, разделив на 1000.
Как начать культивирование клеток?
Подсчитайте количество ячеек с помощью Микроскоп с гемоцитометром или автоматическим счетчиком клеток. Определите правильное разведение для получения желаемой плотности клеток, добавьте соответствующее количество свежей среды и повторно суспендируйте клетки. Засейте заранее определенное количество клеточной суспензии в новый культуральный сосуд.
Что такое площадь поверхности и объем?
Компания Площадь поверхности любого данного объекта — это площадь или область, занимаемая поверхностью объекта.. В то время как объем — это объем доступного пространства в объекте. В геометрии существуют разные формы и размеры, такие как сфера, куб, кубоид, конус, цилиндр и т. Д.
В чем разница между площадью поверхности и объемом?
Площадь поверхности двумерная мера, а объем — трехмерная мера. Две фигуры могут иметь одинаковый объем, но разные площади поверхности. Например:… Прямоугольная призма с длинами сторон 1 см, 1 см и 4 см имеет тот же объем, но площадь поверхности 18 смXNUMX.
Как пишется площадь поверхности?
Площадь поверхности — это общая открытая площадь внутри заданной границы. Мы пишем площадь в единицах в квадрате.
Как определить площадь и объем прямоугольника?
длина × ширина × высота . Объем V любого прямоугольного твердого тела является произведением длины, ширины и высоты. Мы также могли бы написать формулу объема прямоугольного твердого тела через площадь основания. Площадь основания B равна длине × ширине.
Как определить площадь прямоугольной призмы?
Формула выглядит так: SA = 2lw + 2lh + 2hw, где SA = площадь поверхности, l = длина, w = ширина и h = высота. В сетке прямоугольной призмы выше l = 8 дюймов, w = 5 дюймов и h = 3 дюйма.
Какова площадь поверхности прямоугольной призмы внизу?
Ответ: Вариант А: 612 квадратных единиц есть ответ.
В чем разница между общей площадью поверхности и объемом?
Площадь поверхности сумма площадей всех граней твердого тела. … Объем — это количество единичных кубиков, составляющих твердую фигуру. Объем — это объем пространства внутри твердой фигуры.
Почему важны объем и площадь поверхности?
Важным моментом является то, что отношение площади поверхности к объему становится меньше по мере увеличения ячейки. Таким образом, если клетка вырастет за определенный предел, недостаточное количество материала сможет пересечь мембрану достаточно быстро, чтобы приспособиться к увеличенному клеточному объему. … Вот почему клетки такие маленькие.
Что такое площадь поверхности объема?
Отношение площади поверхности к объему, также называемое отношением площади поверхности к объему и по-разному обозначаемое sa / vol или SA: V, равно количество площади поверхности на единицу объема объекта или коллекции объектов.
Что такое прохождение клеток?
Субкультивирование, также называемое пассированием клеток, удаление среды и перенос клеток из предыдущей культуры в свежую питательную среду, процедура, которая позволяет дальнейшее размножение клеточной линии или клеточного штамма.
Что такое клеточная линия?
Клеточная линия. (Наука: культура клеток) линия клеток постоянно укоренившаяся клеточная культура, которая будет бесконечно размножаться при наличии подходящей свежей среды и пространства. линии отличаются от клеточных штаммов тем, что они вышли за пределы Хейфлика и стали бессмертными.
Что означает переход?
a. Процесс перехода от одного состояния или этапа к другому; переход: переход из детства во взрослую жизнь. б. Введение в действие законопроекта. 3.
Как определить площадь прямоугольной пластины?
Формула для определения площади поверхности прямоугольной призмы: А = 2WL + 2LH + 2HW, где w — ширина, l — длина, а h — высота.
Какая формула конденсатора?
Основное уравнение для конструкции конденсатора: C = εA / d, В этом уравнении C — емкость; ε — диэлектрическая проницаемость, термин, обозначающий, насколько хорошо диэлектрический материал сохраняет электрическое поле; А — площадь параллельной пластины; и d — расстояние между двумя проводящими пластинами.
Какой объем тарелки?
Рассчитать или измерить объем тарелки; если известна плотность пластины, вес плиты разделить на плотность. Например, пластина изготовлена из алюминия (плотность 2.7 г / куб. См) и весит 41.85 г. Тогда объем плиты 41.85 / 2.7 = 15.5 куб.
Лизирует ли соскоб клетки?
Клетки умрут от соскабливания, но их все равно нужно лизировать.
Можно ли запатентовать линию клеток человека?
В Соединенных Штатах природные биологические объекты, включая стволовые клеток и Сотовые линии, считаются патент неприемлемо. Однако стебель клеток or Сотовые линии которые были созданы с помощью генной инженерии, считаются патент имеют право, поскольку они не являются продуктами природы.