Как из полярной системы координат перейти в декартовую

5

5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.

О — полюс, ρ — полярный радиус, φ — полярный угол

Переход от полярной системы координат к декартовой

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) ее прямоугольные координаты вычисляются по формулам:

x1=ρ*cosφ

y1=ρ*sinφ

Переход от декартовой системы координат к полярной

6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О’ относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол  (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

x = х’ cos  — y sin ,у = x’ sin  — у’ cos .

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы x = х’ cos  — y sin  + а, у = х’ sin  + y cos  + b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол .

Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе

7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.

Теорема об инвариантности порядка алгебраической линии

Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.

Действительно, пусть в аффинной системе координат уравнение имеет вид (3.4): Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):

где — координаты вектора переноса начала координат , а — элементы матрицы перехода базиса к новому . Подставим эти выражения в одночлен :

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных , степень которого не больше, чем . Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен , степень которого не превосходит степени исходного многочлена . Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.

Перевод уравнения из полярных координат в декартовы

Перевод уравнения из полярных координат в декартовы

Неверно введено число.

Полярная система координат

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Теория

Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные:

Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные :

Прямоугольная и полярная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.
Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.
Проекции точки на плоскости на оси координат, а точнее, их числовые значения, называются прямоугольными или декартовыми прямоугольными координатами точки на плоскости.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.
Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости.

Расстояние r от точки до полюса называют полярным радиусом точки . Угол между полярной осью и радиусом называют полярным углом точки.
Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки на плоскости.

Два калькулятора ниже используются для перехода от прямоугольных координат точки на плоскости к полярным и обратно.
(В предположении, что начала координат у обоих систем совпадают, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси Х)

Дипломная работа MBA

Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах

В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O — полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Если M — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом O, то ее положение на плоскости вполне определено заданием двух чисел: r — ее расстояния от полюса, выраженного в единицах масштаба, и — угла, на который следует повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы она совпала с лучом OM. Числа r и называются полярными координатами точки M. Из них первой координатой считается r, а второй . Координата r называется полярным радиусом точки M (иногда радиус-вектором точки M), а координата — ее полярным углом (полярный угол измеряется в радианах). Полярные координаты записываются в скобках справа от ее обозначения, причем на первом месте в скобках записывается координата r, а на втором — координата , например, . Полярный угол считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке.

В определенной таким образом полярной системе координат полярный радиус r — всегда величина положительная или равная нулю (), так как под r понимается расстояние от полюса O до точки M, а расстояние, как и всякая длина, не может быть отрицательным.

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. Этой системой мы и будем пользоваться.

Если точка M имеет координаты +r и , то она имеет также и координаты -r и , так как угол характеризует направление полярного радиуса, прямо противоположное тому, которое соответствует углу .

Отметим, что какой бы из двух систем полярных координат мы не использовали, всегда паре чисел r и соответствует на плоскости единственная точка.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ox совпадает с полярной осью, ось же Oy перпендикулярна оси Ox и направлена так, что ей соответствует полярный угол , то по известным полярным координатам точки ее прямоугольные координаты вычисляются из формул

(1)

Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x₀ и обозначаем

f(x₀ — 0)(f(x₀ + 0))или.

Функция f имеет предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.

Критерий Коши. Функция f имеет конечный предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда

Особую роль играют два замечательных предела:

Если , то

Функция , называется ограниченной на множестве X, если существуют числа m и M такие, что .

Число называется точной нижней гранью функции f, а число — точной верхней гранью функции f на множестве M. Разность M₀ — m₀ называется колебанием функции f на множестве X.

Если функция f: X → R имеет конечный предел в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Преобразование прямоугольных координат. Параллельный перенос координатных осей без изменения их направления

Преобразованием системы координат называется переход от одной системы координат к другой.

При такой замене надо установить формулы, позволяющие по известным координатам точки в одной системе координат определить ее координаты в другой.

Главной целью преобразования координат является определение такой координатной системы, в которой уравнение данной линии становится наиболее простым. Удачным расположением координатных осей можно добиться того, чтобы уравнение кривой приняло наиболее простой вид. Это имеет важное значение для исследования свойств кривой.

Преобразование уравнения кривой второго порядка к простейшему виду достигается в общем случае 1) параллельным переносом координатной системы без изменения направления осей и 2) поворотом осей.

Если имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены, то между координатами одной и той же точки в этих системах существует зависимость

где x, y — координаты точки в первоначальной системе координат, x₁, y₁ — ее координаты в новой системе координат, а x₀, y₀ — координаты нового начала O₁ в первоначальной системе координат.

Эти формулы позволяют определить первоначальные координаты точки x и y, если известны ее новые координаты и координаты нового начала в первоначальной системе координат.

Для обратного перехода от первоначальных к новым служат формулы

Первоначальную систему координат иногда называют исходной, иногда — старой.

Преобразование координат поворотом координатных осей без изменения начала координат

Если — угол поворота, x и y — первоначальные координаты точки, x₁ и y₁ — координаты той же точки в новой, повернутой системе координат, то имеют место формулы

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 4).

Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy и проходящей через точку A(1, 2, -4).

Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку A(3, 7, -1).

Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и через точку A(2, 1, 3).

Какие отрезки на координатных осях отсекает плоскость 2x + 3y — 5z + 30 = 0?

Уравнение плоскости 2x + 3y — 4z + 24 = 0 преобразовать к виду x/a + y/b + z/c = 1 в отрезках на осях.

Уравнение плоскости 5x + 7y — 34z + 5 = 0 привести к нормальному виду.

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 10x + 15y — 6z — 380 = 0, и углы, образуемые этим перпендикуляром с координатными осями.

Найти расстояние от точки A(2, 3, -1) до плоскости 7x — 6y — 6z + 42 = 0.

Найти расстояние между параллельными плоскостями 5x + 3y — 4z + 15 = 0; 15x + 9y — 12z — 5 = 0.

Через точку M(2, 3, -1) провести плоскость, параллельную плоскости 2x — 3y + 5z — 4 = 0.

Через точки M(1, 2, 3) и N(-2, -1, 3) провести плоскость, перпендикулярную плоскости x + 4y — 2z + 5 = 0.

Найти острый угол между двумя плоскостями 5x — 3y + 4z — 4 = 0, 3x — 4y — 2z + 5 = 0.

Выяснить геометрический смысл коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Найти следы плоскости 3x + 2y — 4z + 5 = 0 на координатных плоскостях.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1, 2, -1); M₂(-1, 0 , 4); M₃(-2, -1, 1).

Построить точку M с координатами (3, + π/4) в полярной системе координат.

Построить в полярной системе координат точку M(1, 3π/4).

Построить в полярной системе координат точку M(-2, 5π/4).

Прямоугольные координаты точки A(2, 3). Найти ее полярные координаты.

Найти прямоугольные координаты точки A, полярные координаты которой (2, π/4).

Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой A(-3, 5π/4).

Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.

Построить кривую r = a cos 2φ и найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Построить кривую (x 2 + y 2 ) 2 = 2ax 3 (a > 0).

Координаты точки относительно некоторой системы координат x = 2, y = -1. Чему будут равны координаты этой точки, если сохраняя направления осей, перенести начало координат в точку (7, -4).

Относительно двух систем координат xOy и x₁O₁y₁, имеющих одно и то же направление осей, координаты некоторой точки (12, -7) и (0, 15). Чему равны координаты начала каждой из этих систем относительно другой?

Уравнение y = ax 2 + bx + c преобразовать так, чтобы в преобразованном виде оно не содержало члена с первой степенью x и свободного члена.

Упростить уравнение параболы y = x 2 — 7x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

Привести к простейшему виду уравнение параболы y = 2x 2 + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.

Из точки O под углом α к горизонту брошена материальная точка с начальной скоростью v₀. Найти: 1) уравнение траектории полета, 2) высоту подъема, 3) дальность полета (сопротивление воздуха в расчет не принимать).

Привести к простейшему виду уравнение x 2 + 2y 2 — 5x + 4y — 6 = 0.

Чему будут равны координаты точки , если повернуть оси координат на угол без изменения начала координат?

Координатные оси прямоугольной системы координат переносятся без изменения направления осей в точку O₁(3, -1) и поворачиваются на угол 30 ° . Найти новые координаты точки A, если старые ее координаты были A(3, 4).

Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы x 2 — y 2 = a 2 , если оси координат повернуть на угол φ = -45 ° ?

Преобразовать дробно-линейную функцию y = (2x + 3)/(3x + 4) так, чтобы в преобразованном виде она не содержала членов первого измерения, и начертить эскиз кривой.

Найти углы, которые прямая (x — 5)/2 = (y + 1)/3 = (z — 4)/6 составляет с координатными осями.

Общие уравнения прямой преобразовать к каноническому виду.

Уравнения прямой преобразовать к каноническому виду и определить углы, образуемые этой прямой с координатными осями.

Найти уравнения плоскостей, проектирующих прямую на координатные плоскости.

Составить уравнение окружности, проходящей через полюс системы координат, центр которой C лежит на полярной оси, а радиус равен R, и найти уравнение этой окружности в прямоугольных координатах.

Отрезок AB неизменной длины 2l скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины угла на этот отрезок опущен перпендикуляр OC. Найти геометрическое место оснований таких перпендикуляров. Построить кривую и найти ее уравнение в прямоугольных координатах.

Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a 2 . Длину AB считать равной 2a.

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Найти расстояние от начала координат до прямой x + y — 2 = 0.

Найти расстояние от точки (2, 5) до прямой 6x + 8y — 5 = 0.

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 3x + 4y — 12 = 0 и 3x + 4y + 13 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-4, 3) и удаленной от начала координат на расстояние 5 единиц.

Через точку (-1, 2) провести прямую, расстояние от которой до точки (3, -1) равно 2 единицы.

Через точку M₁(1, 2) провести прямую, расстояния до которой от точек M₂(2, 3) и M₃(4, -5) были бы равны.

Дана прямая 4x + 3y + 1 = 0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на 3 единицы.

Найти расстояние от начала координат до прямой x + y — 2 = 0.

Найти расстояние от точки (2, 5) до прямой 6x + 8y — 5 = 0.

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 3x + 4y — 12 = 0 и 3x + 4y + 13 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-4, 3) и удаленной от начала координат на расстояние 5 единиц.

Через точку (-1, 2) провести прямую, расстояние от которой до точки (3, -1) равно 2 единицы.

Через точку M₁(1, 2) провести прямую, расстояния до которой от точек M₂(2, 3) и M₃(4, -5) были бы равны.

Дана прямая 4x + 3y + 1 = 0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на 3 единицы.

Построить прямые: а) x + 2y — 4 = 0; б) 2x — 3y + 6 = 0; в) y = 3x + 2; г) y = -2x; д) 2x + 3y = 0; е) x/4 + y/5 = 1; ж) x/2 — y/4 = 1; з) 3x/5 — 4y/5 — 4 = 0; и) y = 2; к) x + 3 = 0.

Общее уравнение прямой 4x — 3y + 12 = 0 представить в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.

Под каким углом прямая y = x + 2 пересекает ось Ox?

Найти уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Прямая проходит через точку (2, -3) и отсекает на оси ординат отрезок b = 3. Найти ее уравнение.

Написать уравнение прямой, отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки a = 3 и b = 4.

Указать особенности в расположении относительно координатных осей прямых: 1) 2x — 5y = 0; 2) 3x — 2 = 0; 3) 7y + 12 = 0; 4) 5x = 0; 5) 3y = 0.

Уравнение прямой x + 3y — 4 = 0 привести к нормальному виду.

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x — 6y + 5 = 0, а также координаты основания этого перпендикуляра.

Найти равнодействующую двух сил и , модули которых равны F₁ = 5, F₂ = 7, угол между ними θ = 60 ° . Определить также углы α и β, образуемые равнодействующей с силами и .

При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору , если ?

Векторы лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы 2π/3. Разложить вектор по векторам и , если .

Определить координаты точки C — середины вектора по известным радиусам-векторам его концов A и B.

Даны два вектора: и . Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁. Доказать, что векторы коллинеарны.

Вектор />задан координатами своих концов A и B: A(2, 1, -4); B(1, 3, 2). Найти проекции вектора />на координатные оси и его направляющие косинусы.

Найти проекцию вектора на ось L, которая составляет с координатными осями углы λ, μ и ν.

qwlj.php» STYLE=»color:#000000; text-decoration:none;»>Дан вектор . Найти его проекцию a_L на ось L, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Полярная система координат: основные понятия и примеры

Полярная система координат: основные понятия и обозначения

Если уж речь зашла о полярной системе координат, то вообразите себя полярниками, стоящими на Северном полюсе. Или на Южном (это не так важно). Пусть в точке полюса находится начало линейки. В точку полюса также положим начало карандаша, а весь карандаш полностью прилегает к линейке. Теперь повернём карандаш так, чтобы его начало оставалось там же, на полюсе, а между ним и линейкой образовался некоторый угол поворота. Конец карандаша оказался в некоторой точке, назовём её M. Вот мы и получили полярные координаты точки M: длина карандаша и угол, на который был повёрнут карандаш. А теперь об этом же в более строгих и точных определениях.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA (обозначается также и как Ox), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Кроме того, при задании полярной системы координат должно быть определено, какие повороты вокруг точки O считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Итак, выберем на плоскости (рисунок выше) некоторую точку O (полюс) и некоторый выходящий из неё луч Ox. Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки M называются два числа ρ и φ, первое из которых (полярный радиус ρ) равно расстоянию точки M от полюса O, а второе (полярный угол φ, который называют также амплитудой) — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM.

Точку M с полярными координатами ρ и φ обозначают символом M(ρ, φ) .

Связь полярных координат с декартововыми координатами

Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка M имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты ρ и φ.Тогда

Полярные координаты ρ и φ точки M определяются по её декартовым координатам следующим образом:

Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y, определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла φ равен .

Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Одно из наиболее частых применений полярных координат в высшей математике — решения двойных интегралов в полярных координатах.

Задачи о точках в полярной системе координат

Пример 1. В полярной системе координат на плоскости даны точки

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полярной оси.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата — длина луча — у симметричной относительно полярной оси точки будет как и у данной точки. Как видно из рисунка в начале урока, при построении симметричной относительно полярной оси точки данную точку нужно повернуть вокруг полярной оси на тот же угол φ. Следовательно, в полярной системе координат второй координатой симметричной точки будет угол для исходной точки, взятый с противоположным знаком, то есть -φ. Итак, полярные координаты точки, симметричной данной относительно полярной оси будут отличаться лишь второй координатой, и эта координата будет с противоположным знаком. Полярные координаты искомых симметричных точек будут следующими:

Пример 2. В полярной системе координат на плоскости даны точки

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полюса.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата — длина луча — у симметричной относительно полюса точки будет как и у данной точки. Симметричная относительно полюса точка получается вращением исходной точки на 180 градусов против часовой стрелки, то есть на угол π. Следовательно, вторая координата точки, симметричной данной относительно полюса рассчитывается как φ + π (если в результате получится числитель больше знаменателя, то вычтем из полученного числа один полный оборот, то есть 2π). Получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно полюса:

Пример 3. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

Найти декартовы координаты этих точек.

Решение. Используем формулы перехода от полярных координат к декартовым:

Получаем следующие декартовы координаты данных точек:

Пример 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки

Найти полярные координаты этих точек.

Решение. Определяем первую из полярных координат по формуле , а тангенс угла φ — второй из полярных координат как . Получаем следующие полярные координаты данных точек:

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Вычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Следовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол (Рис. 47):

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны а координаты этой точки в старой системе координат равны Таким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид В матричном виде эти равенства можно записать в виде где матрица перехода

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу обратную к матрице А:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Запишем обратную матрицу

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Следовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол

Решение:

Воспользуемся полученными формулами т.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы к каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат получим Выберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства тогда уравнение принимает вид Выполним поворот системы координат на угол тогда Подставим найденные соотношения в уравнение параболы где параметр параболы

Пример:

Преобразовать уравнение параболы к каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса т.е. точка — начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Проведем поворот системы отсчета на угол тогда

следовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция

Проведем следующее преобразование Производя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

и новые координаты получим уравнение которое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом между радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки).

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла являются значения, лежащие в интервале Из рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда где число (Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу и на каждом луче отложим ему соответствующее значение р.

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение описывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение описывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает вид

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды:

Рис. 52. Кардиоида

Рис. 53. Кардиоида

Аналогично выглядят кардиоиды но они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Величина равна нулю при

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.