Как представить 3 в виде логарифма
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln\).
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).
Множеством (областью) значений показательной функции 
Такое значение аргумента единственное, так как если 
и 
то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают 
т. е.
Таким образом, равенство 
означает, что 
Сформулируем определение логарифма еще раз.
Пусть 
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
- а)
- б)
- в)
- г)
- д)
не имеет смысла, так как значение выражения 
при любом значении х положительно и не может быть равно -9; - е) по определению логарифма не имеют смысла и такие выражения, как
поскольку основанием логарифма должно быть положительное число, отличное от единицы.
Обозначим 
Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство 
т. е.
Согласно этому тождеству, например, имеем: 
Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.
Например: 
а) Записать число 
в виде логарифмов по основанию 
б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию 
и х 
Между какими целыми числами находится число
Пусть 
тогда верно равенство 
Поскольку 
По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем 
Значит,
находится между числами 4 и 5.
Ответ: 
а) Поскольку 
то по определению логарифма имеем 
б)
Ответ: 
Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается 
. Таким образом, 
по свойствам степени
I используя равенство (1), получим 
по свойствам степени 
Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).
Следствие 1. Если числа 
одного знака, то имеет место равенство
Следствие 2. При любом целом 
имеет место равенство
Пример №1
Ответ: 
При любых значениях 
и 
верно равенство
Так как 
Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на 
В результате получим тождество (6). 
Способ 2. Пусть 
тогда 
Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем
Итак, 
Пример №2
Найти значение выражения, если 
согласно тождеству (6) имеем
с учетом условия 
получим
6)
Ответ: 
Пример №3
Упростить выражение 
по свойству (2) логарифмов имеем
Ответ: 
Рассмотрим выражение 
где х — переменная, а — постоянная, 
Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении 
Таким образом, естественной областью определения выражения 
является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток 
Логарифмической функцией называется функция вида 
где а — постоянная, 
Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения 
т.е. множество 
График функции 
расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).
Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции 
при а > 1 (рис. 35). График функции 
расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).
Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции 
при 0 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале 
И при 0 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда 
и лежит в I координатном угле, когда 
При 0 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0
![\[c = <\log _a><a^c>\]» width=»77″ height=»18″ /></p>
<p><img decoding=](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5cdce8cc4d8c06ea0ad81138ca00caa_l3.png)
Аналогично и формулу разности логарифмов можно представить в более общем случае, при котором допускаются отрицательные значения переменных:
Можно ли записать равенство logaх 2 = 2logaх, если допускается, что х может быть и отрицательным? Нет, нельзя, ведь при отрицательных х выражение левая часть равенства будет иметь смысл, а правая нет. Однако использование модуля поможет и в этом случае. Можно написать, что
Аналогичным образом можно упростить и любые другие логарифмы, аргументы которых возведены в четную степень:
Ещё раз уточним, что эти правила используются при упрощении выражений с переменными, если те могут принимать отрицательные значения. Если же известно, что числа b и c положительны, то лучше использовать формулы, не содержащие модулей.
Переход к новому основанию алгоритма
До этого мы рассматривали преобразования, в ходе которых не менялось основание логарифма. Однако иногда возникает необходимость сложить или вычесть логарифмы с различными основаниями. Пусть надо вычислить значение выражения
Так как основания двух логарифмов различны, то мы не можем использовать выведенную нами формулу разности логарифмов. Однако можно попытаться привести один из логарифмов к новому основанию. Для такой операции существует специальная формула.
Докажем это утверждение. Для этого введем новые переменные:
Тогда по определению логарифма можно записать равенства
Отсюда следует, что a x = c y . Подставим в это равенство вместо а выражение c z и получим:
Отсюда следует, что zx = у, или х = y/z. Теперь заменим х, у и z на логарифмы и получим то самое тождество, которые необходимо доказать:
Вернемся к примеру
Теперь мы можем произвести эти вычисления, но для этого сначала приведем log259 к основанию 5:
Теперь можно вычислить, чему равна искомая разность:
Формула перехода к новому основанию позволяет иначе взглянуть на графики логарифмических функций. Пусть дана функция у =log4x. Попытаемся привести ее к показателю 2:
Выходит, что график у = log4x можно получить из графика у = log2x его сжатием в 2 раза. Убедимся в этом, построив оба графика в одной плоскости:
Заметим, что и более общем случае графики функций у = logax и у = logbx могут быть получены друг из друга растяжением или сжатием в некоторое число раз. Действительно, формулу перехода к новому основанию можно переписать в таком виде:
Теперь подставим вместо числа b переменную х и получим соотношение, связывающее любые две логарифмические функции:
В данном случае logсx и logax – это логарифмические функции, а logca – некоторое число. В результате можно заключить, что график функции у = logсx может быть получен из графика logax его растяжением в logca раз.
Попытаемся привести логарифм logab к обратному основанию, то есть к основанию 1/а:
Итак, logab = – log1/аb. Именно из-за этого графики логарифмов с обратными основаниями (например, 2 и 0,5) симметричны относительно оси Ох:
Покажем примеры использования этой формулы:
А что будет, если мы попробуем logab привести к основанию b? Сделаем это:
Получили ещё одну замечательную логарифмическую формулу.
Её работу иллюстрируют следующие примеры:
Ещё одна логарифмическая формула позволяет возводить основание логарифма и его аргумент в одинаковую степень:
Докажем это тождество в «обратном порядке», то есть из правой части выведем левую. Для этого просто перейдем к основанию а:
Проиллюстрируем, как это свойство можно применять на практике:
Использование логарифма для вычислений
Исторически развитие теории логарифмов было связано с необходимостью выполнять громоздкие вычисления. Например, пусть надо возвести число 7 в пятисотую степень, то есть вычислить величину 7 500 . Сделать напрямую это довольно затруднительно. Однако в силу основного логарифмического тождества мы можем записать, что
Напомним, что десятичный логарифм обозначают символом lg, поэтому перепишем это равенство в более привычном виде:
Степень из-под знака логарифма можно вынести:
Значение числа lg 7 можно узнать с помощью калькулятора, в древности же использовали специальные таблицы, в которых были указаны десятичные логарифмы всех чисел от 1 до 10 (с маленьким шагом, равным, например, 0,001). Так или иначе, можно узнать, что
Получили число, записанное в стандартном виде. При этом наши расчеты были относительно простыми, если сравнить их с необходимостью умножить число 7 само на себя 500 раз. Аналогично и многие другие сложные операции выполняются значительно быстрее, если используются логарифмы. Поэтому долгое время знание теории логарифмов было необходимо для выполнения сложных инженерных расчетов. Но сегодня развитие компьютерной техники позволило избавиться от необходимости использования логарифмических линеек и таблиц.
Логарифмическая функция в природе и науке
Логарифм – это не просто инструмент для выполнения сложных операций. Например, в теории вероятностей существуют логарифмическое и логнормальное (от слов «логарифм» и «нормальное») распределение случайных величин, которые используются в генетике и физике. Так, размеры астероидов в Солнечной системе описываются логарифмическим распределением, а размеры градин во время града – логнормальным.
В компьютерной технике многие величин можно вычислить с использованием логарифмов. Например, ясно, что чем больше телефонных номеров находится в базе данных, тем дольше компьютер будет искать требуемый необходимый номер в ней. Зависимость времени поиска от количества номеров в базе данных описывается логарифмической функцией.
Огромное значение логарифмы имеют в астрономии. Так, яркость звезд на небе характеризуется таким параметром, как «видимая звездная величина». Однако в физике для оценки яркости света используют величину «освещенность», измеряемую в люксах. Зависимость между освещенностью звезд и их видимой величиной также является логарифмической.
Используются логарифмы и в термодинамике для вычисления такой характеристики систем, как энтропия. При расчете количества топлива, необходимого ракете для набора определенной скорости, используется формула Циолковского, содержащая натуральный логарифм:
В биологии давно замечено, что зависимость человеческих ощущений от силы воздействующих на них факторов окружающей среды носит логарифмический характер. В связи с этим для измерения громкости звуков используется специальная шкала децибелов, которая является логарифмической.
В строении ряда организмов можно обнаружить логарифмические кривые. Классическим примером является форма некоторых ракушек.
Логарифм. Как вычислить логарифм?
Объясним проще. Например, \(\log_<2><8>\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_<2><8>=3\).
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac<1><3>\) ? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени ).
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt<5>\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt<7>\), чтобы получить \(\sqrt<7>\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt<3>\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac<1><2>\) .
В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.
Пример: Вычислить логарифм \(\log_<4\sqrt<2>><8>\)
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_
Что связывает \(4\sqrt<2>\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
\(4=2^<2>\) \(\sqrt<2>=2^<\frac<1><2>>\) \(8=2^<3>\)
Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^
Основания равны, переходим к равенству показателей
Умножим обе части уравнения на \(\frac<2><5>\)
Получившийся корень и есть значение логарифма
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^
А теперь решите уравнение: \(3^
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_<3><8>\).
Хочу подчеркнуть, что \(\log_<3><8>\), как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714. \)
Пример: Решите уравнение \(4^<5x-4>=10\)
\(4^<5x-4>\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма:
\(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
Поделим уравнение на 5
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln\).
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
| \(a^<\log_ |
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения \(36^<\log_<6><5>>\)
Зная формулу \((a^
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_<2><4>\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_<2><4>\).
Но \(\log_<3><9>\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_<3><9>\) . Аналогично и с \(\log_<5><25>\), и с \(\log_<9><81>\), и т.д. То есть, получается
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_<2><8>\), или как \(\log_<3><27>\), или как \(\log_<4><64>\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
Логарифмы и их свойства
Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.
Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:
Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)
Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
Или логарифм шести по основанию 4:
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:
$$ log_<4>(4) \lt log_<4>(6) \lt log_<4>(16);$$ $$ 1 \lt log_<4>(6) \lt 2. $$
Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:
Как посчитать логарифм
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
- Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
- Разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
- \(x\) и будет искомым значением логарифма.
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)
- Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
- Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(3^1\), чтобы получить \(3^2\) $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^<1*x>=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
- Вот мы и решили: $$log_<3>(9)=2.$$
Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, \qquad \frac<1><125>=\frac<1><5^3>=5^<-3>;$$
- В какую степень \(x\) надо возвести \(5^1\), чтобы получить \(5^<-3>\): $$ (5^1)^x=5^<-3>, $$ $$ 5^<1*x>=5^<-3>,$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
- Получили ответ: $$ log_<5>(\frac<1><125>)=-3.$$
Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
- В какую степень \(x\) надо возвести \(2^6\), чтобы получить \(2^<2>\): $$ (2^6)^x=2^<2>, $$ $$ 2^<6*x>=2^<2>,$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac<2><6>=\frac<1><3>.$$
- Получили ответ: $$ log_<64>(4)=\frac<1><3>.$$
Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
- В какую степень \(x\) надо возвести \(2^3\), чтобы получить \(2^<0>\): $$ (2^3)^x=2^<0>, $$ $$ 2^<3*x>=2^<0>,$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac<0><3>=0.$$
- Получили ответ: $$ log_<8>(1)=0.$$
Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 \qquad 15= . ;$$ \(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_<5>(15).$$
Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.
\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.
Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — \(lg(a)\).
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\). Обозначение — \(ln(x)\). Что такое \(e\)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, \(2,718281828459…\). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием \(e\) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.