19. Операции над линейными операторами.
Определения. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем .
Суммой линейных операторов и называется отображение такое, что : .
Произведением линейного оператора на число называется отображение такое, что : .
Произведением линейных операторов и называется отображение такое, что : (т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).
Теорема 4.3. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число и произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если , А и В – матрицы линейных операторов f и g соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов , и gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А + В, αА и ВА.
►Доказательство проведем для произведения линейных операторов.
Пусть и – линейные операторы. Тогда
= [линейность f ] = =
=[ линейность g ] = = ;
Таким образом, gf – линейный оператор.
Пусть – матрицы линейных операторов и соответственно в базисе пространства , и пусть – матрица оператора gf в том же базисе. Тогда по определению матрицы линейного оператора
С другой стороны,
[линейность g] = (4.26)
Сравнивая (4.25) и (4.26), на основании единственности координат вектора в данном базисе делаем вывод: , откуда и получаем матричную запись: С = ВА.◄
20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.
►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда
Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄
21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
26.Определение невырожденного линейного оператора и его свойства
Как известно (см. § 4 гл. IV) преобразование матрицы линейного оператора A при переходе от базиса (E) к базису (E’) осуществляется по формуле , где T – матрица перехода от (E) к (E’). Отсюда вытекает следствие согласно которому определитель матрицы оператора явл-ся инвариантным, т. е. его значение не меняется при переходе от одного базиса к другому (см. § 4 гл. IV). Следовательно если матрица линейного оператора явля-ся невырожденной (т. е. имеет определитель отличный от нуля) в одном базисе, то матрица данного лин. оператора будет невырожденной и в любом другом базисе.
Линейный оператор наз-ся невырожденным, если он задается невырожденной матрицей.
Из определения следует, что любой невырожденный оператор обратим, и наооборот (См. Критерий обратимости линейного оператора, § 3 гл.IV).
Свойства невырожденного оператора:
1. Если A и B – невырожденные операторы, то их произведение AB также является невырожденным оператором.
Пусть C=AB , тогда в любом базисе имеем для матрицы данных операторов. Поскольку A и B – Невырожденные операторы, то det, det det= det= det det. Отсюда С – невырожденный оператор #
2. Если оператор A является невырожденным, то обратный ему оператор также является невырожденным.
Доказательство:
Т. к. , то, например, , отсюда . Так как , то и — невырожденный оператор #
3. Если оператор A явл-ся невырожденным, то сопряженный ему оператор также невырожденный.
В произвольном ОНБ имеет , отсюда , т. к. , то — невырожденный оператор. #
4. Если оператор A Явл-ся невырожд., то равенство Ax=Θ твозможно только при X=Θ (на это свойство мы ссылаемся § 5 гл. IV).
Доказательство: Пусть , выбрав произвольный базис запишем однородную СЛАУ , здесь Ae — матрица данного оператора А в базисе (Е), — координатный столбец вектора Х. Поскольку однородная СЛАУ с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда (См. параграф 5 Главы II), а у нас ( в силу невырожденности оператора А) то однородная СЛАУ может иметь только тривиальное решение. #
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Если мы покажем, что для любого невырожденного оператора А существует такой невырожденный оператор, который в произведении с А дает тождественный, то это будет означать, что множество всех невырожденных операторов образует группу по умножению. [23]
Рассмотрим модель [4,2] схемы (3.1) с невырожденными операторами 2 2 ( т) и А А А А. Согласно теореме 3.1, для всякого оператора U. [24]
Для простоты считаем, что Е — невырожденный оператор . [25]
Для простоты считаем, что S — невырожденный оператор . [26]
Рассмотрим евклидово пространство Rn и в нем самосопряженный невырожденный оператор L : W1 — R, пусть Xk — ортогональный собственный базис, k — о; — собственные значения. [27]
Сумма невырожденных операторов уже не обязательно будет невырожденным оператором . [28]
Если Н — положительно определенный, а А — произвольный невырожденный оператор , то операторы А НА и AHA положительно определены. [29]
Отсюда, в частности, вытекает, что для любого невырожденного оператора А операторы А А и А А положительно определены. Если же А — вырожденный оператор, то операторы А А и АА — неотрицательные. [30]
Как доказать что оператор невырожденный
Линейный оператор мы назвали невырожденным, если из равенства вытекает, что Далее, в § 1 было показано, что матрица невырожденного линейного оператора в любом базисе имеет отличный от нуля определитель, а в § 2, — что для всякого невырожденного линейного оператора существует обратный линейный оператор Наоборот, если для линейного оператора существует обратный оператор
то этот оператор — невырожденный, так как из равенства применяя к. обеим его частям оператор получаем но и значит,
Ранг невырожденного линейного оператора в пространстве равен так как определитель его матрицы отличен от нуля; дефект невырожденного линейного оператора равен нулю. Обратно, всякий линейный оператор ранга будет, очевидно, невырожденным. Область значенийневырожденного линейного оператора -мерна и, значит, совпадает со всем невырожденный линейный оператор отображает в с Ядро невырожденного линейного оператора состоит лишь из нулевого вектора. Невырожденный линейный оператор взаимно однозначно отображает пространство на себя, так как из равенства вытекает, что и, значит,
Под действием невырожденного линейного оператора линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, если векторы линейно независимы и
Следовательно, если — невырожденный линейный оператор и подпространство -мерно, то и подпространство имеет ту же размерность
Покажем, что если — линейный оператор ранга — невырожденный линейный оператор, то оба оператора будут ранга
Действительно, область значений (невырожденного) линейного оператора совпадает со всем пространством; и следовательно, область значений оператора -мерна, т. е. ранг оператора равен
С другой стороны, область значений оператора -мерна, а так как оператор -невырожденный, то он переводит -мерное подпространство в -мерное же подпространство и значит, область значений оператора тоже т. е. ранг оператора равен