Как доказать что плоскость перпендикулярна ребру

Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей

Данная статья посвящена перпендикулярным плоскостям. Будут даны определения, обозначения вместе с примерами. Будет сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие, при котором он выполним. Будут рассмотрены решения подобных задач на примерах.

Перпендикулярные плоскости – основные сведения

При наличии угла между пересекающимися прямыми можно говорить об определении перпендикулярных плоскостей.

При условии, что угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусов, их называют перпендикулярными.

Обозначение перпендикулярности принято писать знаком « ⊥ ». Если в условии дано, что плоскости α и β перпендикулярные, тогда запись принимает вид α ⊥ β . На рисунке ниже показано подробно.

Когда в улови дано, что плоскость α и β перпендикулярны, это значит, что α перпендикулярна β и наоборот. Такие плоскости называют взаимно перпендикулярными. Например, стена и потолок в комнате являются взаимно перпендикулярными, так как при пересечении дают прямой угол.

Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности

На практике можно встретить задания, где необходимо определить перпендикулярность заданных плоскостей. Для начала нужно определить угол между ними. Если он равен 90 градусам, тогда они считаются перпендикулярными из определения.

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей применяют признак перпендикулярности двух плоскостей. Формулировка содержит понятия перпендикулярная прямая и плоскость. Напишем точное определение признака перпендикулярности в виде теоремы.

Если одна из двух заданных плоскостей пересекает прямую, перпендикулярную другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.

Доказательство имеется в учебнике по геометрии за 10 — 11 класс, где есть подробное описание. Из признака следует, что, если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Существует необходимое и достаточное условия для доказательства. Рассмотрим их для перпендикулярности двух заданных плоскостей, которое применяется в качестве проверки их перпендикулярности, находящихся в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Чтобы доказательство имело силу, необходимо применить определение нормального вектора плоскости, который способствует доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы перпендикулярность пересекающихся плоскостей была явной, необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы заданных плоскостей пересекались под прямым углом.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат. Если имеем n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) , являющимися нормальными векторами заданных плоскостей α и β , то необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n 1 → и n 2 → примет вид

n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0

Отсюда получаем, что n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) — нормальные векторы заданных плоскостей, а для действительности перпендикулярности α и β необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n 1 → и n 2 → было равным нулю, а значит, принимало вид n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0 .

Рассмотрим подробнее на примерах.

Определить перпендикулярность плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат O x y z трехмерно пространства, заданного уравнениями x — 3 y — 4 = 0 и x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 ?

Для нахождения ответа на вопрос о перпендикулярности для начал необходимо найти координаты нормальных векторов заданных плоскостей, после чего можно будет выполнить проверку на перпендикулярность.

x — 3 y — 4 = 0 является общим уравнением плоскости, из которого можно сразу преобразовать координаты нормального вектора, равные n 1 → = ( 1 , — 3 , 0 ) .

Для определения координаты нормального вектора плоскости x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему.

x 2 3 + y — 2 + z 4 5 ⇔ 3 2 x — 1 2 y + 5 4 z — 1 = 0

Тогда n 2 → = 3 2 , — 1 2 , 5 4 — это координаты нормального вектора плоскости x 2 3 + y — 2 + z 4 5 = 1 .

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов n 1 → = ( 1 , — 3 , 0 ) и n 2 → = 3 2 , — 1 2 , 5 4 .

Получим, что n 1 → , n 2 → = 1 · 3 2 + ( — 3 ) · — 1 2 + 0 · 5 4 = 3 .

Видим, что оно не равно нулю, значит, что заданные векторы не перпендикулярны. Отсюда следует, что плоскости также не перпендикулярны. Условие не выполнено.

Ответ: плоскости не перпендикулярны.

Прямоугольная система координат O x y z имеет четыре точки с координатами A — 15 4 , — 7 8 , 1 , B 17 8 , 5 16 , 0 , C 0 , 0 , 3 7 , D — 1 , 0 , 0 . Проверить, перпендикулярны ли плоскости А В С и A B D .

Для начала необходимо рассчитать скалярное произведение векторов данных плоскостей. Если оно равно нулю, только в этом случае можно считать, что они перпендикулярны. Находим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → плоскостей А В С и A B D .

Из заданных координат точек вычислим координаты векторов A B → , A C → , A D → . Получаем, что:

A B → = 47 8 , 19 16 , — 1 , A C → = 15 4 , 7 8 , — 4 7 , A D → = 11 4 , 7 8 , — 1 .

Нормальный вектор плоскости А В С является векторным произведением векторов A B → и A C → , а для A B D векторное произведение A B → и A D → . Отсюда получим, что

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → 47 8 19 16 — 1 15 4 7 8 — 4 7 = 11 56 · i → — 11 28 · j → + 11 16 · k → ⇔ n 1 → = 11 56 , — 11 28 , 11 16 n 2 → = A B → × A D → = i → j → k → 47 8 19 16 — 1 11 4 7 8 — 1 = — 5 16 · i → + 25 8 · j → + 15 8 · k → ⇔ n 2 → = — 5 16 , 25 8 , 15 8

Приступим к нахождению скалярного произведения n 1 → = 11 56 , — 11 28 , 11 16 и n 2 → = — 5 16 , 25 8 , 15 8 .

Получим: n 1 → , n 2 → = 11 56 · — 5 16 + — 11 28 · 25 8 + 11 16 · 15 8 = 0 .

Если оно равно нулю, значит векторы плоскостей А В С и A B D перпендикулярны, тогда и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Можно было подойти к решению иначе и задействовать уравнения плоскостей А В С и A B D . После нахождения координат нормальных векторов данных плоскостей можно было бы проверить на выполнимость условие перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.

Перпендикулярность плоскостей — определение, признаки и свойства

Поэтому так важно не только знать теоремы, но и уметь доказывать утверждение о расположении поверхностей в пространстве.

Общие сведения

Пожалуй, одним из главных понятий в математике является плоскость. Различные вычисления геометрических параметров связаны с ней. Согласно определению, плоскость не имеет ограничений. То есть это бесконечная поверхность, состоящая из множества точек. Все линии, проходящие через две и более точки, считаются принадлежащими ей. Поэтому в какой-то мере плоскость можно назвать геометрической фигурой.

Любую поверхность можно описать с помощью уравнения первой степени: Ax + By + Cz + D = 0. Латинскими буквами обозначают постоянные коэффициенты, которые не могут одновременно равняться нулю. В произвольном пространстве может находиться множество различных плоскостей. Они могут принимать три положения относительно друг друга:

1. быть параллельными — не иметь одинаковых точек;
2. совпадать — если координаты хотя бы трёх их точек совпадают;
3. пересекаться по прямой — это поверхности, располагающиеся по отношению друг к другу под различным углом.

При этом если в базисе имеется прямая, то через неё может проходить неограниченное число незамкнутых поверхностей. Грани, не имеющие ограничений, обозначают на чертежах маленькими греческими буквами. Изображают их в виде произвольного размера параллелограмма или имеющей любую форму замкнутой линии, образующей область. Рассмотрение плоскости построено на изучении расположения точек и линий. Принадлежащие плоскости геометрические элементы записывают через символ «Є». Например, если вектор AB принадлежит поверхности γ, то математически это записывают так: AB Є γ.

Расстояние от точки до плоскости является наименьшей длиной между ней и элементами поверхности.

Определяется оно через перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Прямая же может как лежать на поверхности, так и пересекать её. В первом случае геометрические объекты будут иметь как минимум две общие точки, а во втором — только одну. При рассмотрении темы особое значение имеет ненулевой вектор, располагающийся на линии, перпендикулярной этой поверхности. Такой отрезок также можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому его называют нормальным вектором плоскости.

Аксиомы и теоремы

Вся теория изучения признаков, построения и свойств перпендикулярных плоскостей строится на различии положений линий и точек в пространстве. Занимается этим стереометрия. В науке есть пять основных теорем и аксиом, являющихся базисными для всего курса:

1. В любом пространстве находится плоскость, в которой выполняются без исключения аксиомы планиметрии.
2. Если взять произвольные три точки, не принадлежащие одной прямой линии, то через них может быть пропущена плоскость и только одна.
3. По отношению к любой рассматриваемой плоскости существуют точки и прямые как принадлежащие ей, так и нет.
4. Если через две точки, лежащие в плоскости, можно провести прямую, то можно утверждать, что она также будет принадлежать этой поверхности.
5. Если две поверхности имеют общую точку, то местом их пересечения будет общая прямая.

Из последнего утверждения следует, что две пересекающиеся поверхности называются перпендикулярными в том случае, когда третья поверхность перпендикулярная прямой пересечения и проходит через них по перпендикулярным прямым. При построении таких плоскостей образуются две полуплоскости. Их общая граница формирует четыре двухгранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным параметром. Для этого на ребре можно выбрать произвольную точку и провести через неё два к нему перпендикуляра. Получится четыре линейных угла: φ, 180 0 — φ, φ, 180 0 — φ. Углом между плоскостями называется наименьшим из указанных углов. Так как ∠ φ меньше либо равняется 180 градусам, то угол между поверхностями лежит в пределах от нуля до 90 градусов. Отсюда следует, что плоскости называются взаимно перпендикулярными, когда угол между ними составляет 90 градусов.

Это означает, что если на ребре L взять точку M и провести перпендикуляр к плоскости альфа и бета, то получится линейный угол ABM. Если его измерить или посчитать и он будет равняться 90 0 , то можно утверждать, что пересекающиеся поверхности перпендикулярны.

Если начертить эту конструкцию в пространстве, то можно увидеть, что прямая L перпендикулярна стороне b, а она, в свою очередь, грани a. Иными словами, прямая b составляет с двумя пересекающими линиями, расположенными на плоскости альфа, угол 90 градусов. А это означает, что она перпендикулярна альфе. Аналогично можно сказать и про поверхность бета.

Признак перпендикулярности

Две плоскости являются перпендикулярными друг другу, если одна из них пересекает прямую, расположенную под ∠ 90 градусов к другой грани. Для наглядности доказательства признака нужно начертить рисунок. На нём изобразить две области — альфа и бета, перпендикулярно пересекающие друг друга.

Будем считать, что прямая, принадлежащая альфа, перпендикулярна бета. За начало этой линии можно принять точку B, а место, в котором грани проникают одна в другую, отрезок С. А также на полуплоскости бета нужно изобразить линию, берущую начало в точке D и пересекающуюся с прямой, относящейся к альфе в точке A. Отрезок BA лежит на полуплоскости альфа, то есть она проходит через перпендикуляр другой поверхности.

Доказать признак — значит, построить линейный угол и показать, что он не наклонный, а равняется строго 90 градусам. Можно констатировать, что противоположные бока поверхностей пересекаются по некой прямой AC: α n β = AC. Далее, отрезок AB перпендикулярен АС. Это можно утверждать исходя из того, что AB ┴ β .

Для построения линейного угла необходимо из некой точки построить два перпендикуляра к ребру. Посмотрев на рисунок, можно увидеть, что они уже проведены. Это отрезки, лежащие на полуплоскостях AB и AD. То есть на чертеже уже имеется линейный угол BAD, разворот которого равняется 90 0 .

Прямая AB перпендикулярна к поверхности бета, а значит, она будет иметь прямой угол с любой линией или точкой, принадлежащей β. При этом отрезок AD не является исключением.

Отсюда следует, что линейный угол будет равняться 90 0 , а значит, плоскости обладают взаимной перпендикулярностью. Это и нужно было доказать.

Следствие из критерия

Из доказанного признака вытекает важное следствие, которое и используется при решениях задач. Оно гласит, что плоскость, перпендикулярная к прямой, через которую проходят две рассматриваемые поверхности, будет составлять с каждой из них прямой угол.

Доказательство следствия удобно выполнять с помощью рисунка. Пусть имеется грань альфа и бета, которые пересекаются по прямой L.

Тогда будет существовать некая поверхность гамма, перпендикулярная этой линии. Нужно доказать, что гамма составляет прямой угол как с альфой, так и с бетой.

Если прямая перпендикулярна к поверхности, это означает то, что они имеют единственную общую точку. Пусть на чертеже она будет обозначена M. По условию L с плоскостью гамма составляет прямой угол. Причём L лежит на грани альфа. Отсюда следует, что альфа будет пересекать прямую, перпендикулярную к другой плоскости. А это значит, что они взаимно перпендикулярные: α ┴ γ.

Учитывая, что линия L принадлежит также и β, верно будет сказать, что плоскость бета проходит через ось, перпендикулярную к грани гамма. Значит, угол между бетой и гаммой составляет девяносто градусов. Следствие доказано.

Правило линейного угла

Эта закономерность позволяет сформулировать правило для линейного угла. Когда имеется фигура, состоящая из двух полуплоскостей и берущая начало из отрезка вместе с определённой областью пространства, при этом части плоскости ограничивают геометрическое тело, то она называется двугранным углом. Если угол находится между двумя перпендикулярами к ребру этой фигуры, построенными из её боковых поверхностей и одной точки ребра, то его называют линейным.

Плоскость же такого угла будет перпендикулярна любым элементам соответствующей ему фигуре, то есть ребру и граням. Пусть имеется двугранный угол, образованный полуплоскостями альфа и бета. Грани этого угла пересекаются по прямой L. Имеется некая третья плоскость угла, построенная из ребра. Образована она путём взятия L произвольной точки и проведения из неё двух перпендикуляров к альфа и бета. Нужно доказать, что она будет перпендикулярна L, α и β.

Рассуждать нужно следующим образом. Плоскость гамма составляет с L угол, равняющийся девяноста градусам, так как отрезок перпендикулярен двум пересекающимся отрезкам из плоскости гамма.

Поверхность альфа проходит через прямую L, перпендикулярную грани гамма. Значит, альфа и гамма пересекаются под ∠ 90 0 . Полярная боковина бета проходит через перпендикуляр L к плоскости гамма. Отсюда следует, что они располагаются относительно друг друга под ∠ 90 градусов. Это и следовало доказать.

Из всего рассмотренного можно вывести ещё одно утверждение, характеризующее геометрию перпендикулярных плоскостей. Если в одной из них проведён отрезок, расположенный под ∠ 90 0 к общей линии пересечения, то этот отрезок будет составлять с другой плоскостью такой же угол.

Пусть даны две поверхности с линией пересечения L. На гране бета построена прямая B, перпендикулярная к линии пересечения, то есть линия B и альфа образуют прямой угол. Доказательство строится через свойства двугранного угла. Для его видимости нужно построить дополнительно угол, перпендикулярный L.

Тогда получаем, что линия B перпендикулярна А и L. То есть она составляет прямой угол с двумя прямыми, принадлежащим альфа, а это значит, что она также перпендикулярна α, что и требовалось подтвердить.

Примеры решения задач

На уроках учащимся для закрепления результата предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся рассматриваемой темы. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Вот некоторые из них:

Нужно выяснить, являются ли две плоскости перпендикулярными, если они заданы в трёхмерном измерении следующими уравнениями: x — 3y — 4 = 0 и x / (2 / 3) + (y / -2) + z / (4 / 5) = 1. Согласно правилу, если два вектора принадлежат двум поверхностям и при этом перпендикулярны друг другу, то грани также будут перпендикулярными. Поэтому необходимо найти координаты векторов и проверить их на выполнение условия. Из заданного координаты отрезков будут следующими: a = (1, -3, 0); b = (3 / 2, 1 / 2, 5 / 4). Теперь нужно найти скалярное произведение: (a x b) = 3 / 2 + 3 /2 + 0 * 5 / 4 = 3. Так как полученное число больше трёх, то условие не выполняется, вектора не перпендикулярны, а значит, и поверхности тоже.

В пространстве имеются четыре точки: A (-15 / 7, -7 / 8, 1); B (17 / 8, 5 / 16, 0); C (0, 0, 3 / 7); D (-1, 0, 0). Проверить перпендикулярность ABC и ABD. Для решения задачи нужно определить попарные координаты AB, AC, AD. После вычитания векторов получится: AB = (47/8, 19 / 16, -1), AC = (15/4, 7 / 8, -4 / 7), AD = (11 / 4, 7 / 8, -1). Следует найти нормальный вектор, образуемый векторным произведением AB на AD и AC: AB * AC = (11 / 56, — 11 /28, 11 / 16); AB * AD = (-5 / 16, 25 / 8, 15 / 8). Далее, нужно искать скалярное произведение. После выполнения действия получится ноль. Это указывает на то, что градусный угол между поверхностями будет 90 0 .

Таким образом признаки и следствия перпендикулярности позволяют довольно быстро и точно определять расположение плоскостей в пространстве.

Признак перпендикулярности двух плоскостей — ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

4) показать применение этого признака при решении задач.

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний

Двое учеников у доски записывают решение домашнего задания: первый — № 167, второй — № 170.

Остальные отвечают на вопросы:

Точка А лежит на ребре двугранного угла.

1. Верно ли, что ∠ABC — линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру? (Нет.)

2. Верно ли, что ∠BAC — линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла? (Нет.)

3. Верно ли, что ∠BAC — линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру, а точки В а С лежат на гранях угла? (Да.)

4. Линейный угол двугранного угла равен 80°. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани? (Нет.)

5. ∠ABC — линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC? (Да.)

6. Верно ли, что все прямые, перпендикулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости? (Да.)

— Что называется углом между прямыми?

— Двугранным линейным углом двугранного угла?

— Углом между прямой и плоскостью?

III. Изучение нового материала

1. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

2. Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

3. Приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей (плоскости стены и пола, стены и потолка комнаты).

Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2).

4. Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3).

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости β AD ⊥ AC. ∠BAD — линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α ⊥ β.

IV. Формирование навыков и умений учащихся

1. При решении задач используются утверждения:

а) Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням (следствие).

б) Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости (№ 178).

2. № 172. Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС — проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК — линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника ∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора: Из ΔВКС: (Ответ: 6√3 см.)

3. Разобрать домашнее задание № 173, 174.

Наметить план решения № 173, 174.

V. Подведение итогов

№ 173. Дано: ABCD — тетраэдр, CD ⊥ (ABC). AB = BC = AC = 6, BD = 3√7 (рис. 5).

Найти: двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

1) Так как DC ⊥ (ABC), то (DCA) ⊥ (ABC) (признак перпендикулярности двух плоскостей) следовательно, двугранный угол DACB прямой.

2) Проведем СК ⊥ АВ, тогда АВ ⊥ DK по Теореме о трех перпендикулярах, следовательно, ∠DKC — линейный угол двугранного угла при ребре АВ тетраэдра. Из ΔАСК:

3) Из ΔBDK имеем:

4) Пусть ∠CKD = α, тогда Значит, двугранный угол DABC = 45°.

5) Так как ВС ⊥ DC и АС ⊥ DC, то ∠ABC — линейный угол двугранного угла BDCA. ∠ACB = 60° (ΔАВС — равносторонний), то двугранный угол BDCA равен 60°. (Ответ: 90°, 45°, 60°.)

№ 174. Дано: ABCD — тетраэдр,

Найти: двугранный угол ABCD.

1) Так как ∠DAB = ∠DAC = ∠ACB = 90° по условию, то DA ⊥ АВ, DA ⊥ AC. Значит, DA — перпендикуляр к плоскости ABC, АС — проекция наклонной DC на плоскость ABC.

2) По условию задачи ∠ACB прямой, то есть ВС ⊥ АС, следовательно, ВС ⊥ DC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, ∠ACD — линейный угол двугранного угла ABCD.

3) Из ΔDCB: по теореме Пифагора

4) Из ΔDAC получаем: пусть ∠ACD = x, тогда (Ответ: 60°.)

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Как доказать что плоскость перпендикулярна ребру

§ 15. Перпендикулярность плоскостей

15.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Две плоскости называются перпенди кулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 ° (рис. 102).

Взаимную перпендикулярность плоскостей α  и β  обозначают α ⊥ β . При этом также говорят, что плоскость α перпендикулярна плоскости β  или плоскость β  перпендикулярна плоскости α .

Заметим, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые .

Примерами взаимно перпендикулярных плоскостей могут служить плоскости пола и стены комнаты в хорошо построенном доме, плоскости двух соседних граней куба или прямоугольного параллелепипеда.

Для стены и пола перпендикулярность проверяют при помощи «отвеса». А как определить, проверить, перпендикулярны ли две плоскости? Ответы на эти вопросы дают признаки перпендикулярности двух плоскостей, а также свойства, которыми обладают перпендикулярные плоскости.

Рассмотрим признаки перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема 28 ( признак перпендикулярности двух плоскостей ) . Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоcкости перпендикулярны.

Доказательств о.  Обозначим: A = a ∩ α , b  = α ∩ β . Так как по условию теоремы прямая a  перпендикулярна плоскости  α , то эта прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α . Значит, a ⊥ b .

Проведём в плоскости α  через точку A прямую AC , перпендикулярную прямой b . Тогда ∠ BAC  — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей α  и β . Так как AB ⊥ α , то ∠ BAC = 90 ° (почему?). Это означает, что ( α ; β ) = 90 ° , т. е. α ⊥ β (по определению перпендикулярных плоскостей). Теорема доказана. ▼

Следстви е 1. Если в плоскости есть хотя бы одна прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Следстви е 2. Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, то эта плоскость перпендикулярна каждой из данных плоскостей.

Докажите эти следствия самостоятельно.

15.2. Свойства перпендикулярных плоскостей

Теорема 29. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.

Доказательство. Обозначим O = a ∩ c  и в плоскости β проведём через точку O прямую b , перпендикулярную прямой c . Тогда ( a ; b ) = 90 ° (как линейный угол прямого двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей α и β ). Получаем ( a ⊥ c , a ⊥ b ) ⇒ a ⊥ β  (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Теорема доказана. ▼

Теорема 30. Если прямая, проведённая через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.

Доказательств о.  Обозначим c  = α ∩ β  и через точку A проведём в плоскости α  прямую m , перпендикулярную прямой c . По теореме 29 прямая m  перпендикулярна плоскости β . Так как в пространстве через точку можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной плоскости, то прямая a  совпадает с прямой m , лежащей в плоскости α . Значит, a   ⊂ α . Теорема доказана. ▼

Докажите самостоятельно следующее предложение («теорему отвеса»). Если прямая, проведённая через точку одной из двух пересекающихся плоскостей, перпендикулярна другой плоскости и не лежит в первой, то данные плоскости не перпендикулярны .

В планиметрии две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не могут пересекаться. Проводя аналогию, можно предположить, что не могут пересекаться и две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости. Однако это не так. Достаточно посмотреть на две соседние стены вашей комнаты (мы надеемся, что они обе перпендикулярны к полу), чтобы убедиться, что эти стены не параллельны. Вообще, если две плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости, то каждая из них перпендикулярна этой третьей плоскости .

Верно и обратное утверждение.

Теорема 31. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Доказательств о. Отметим на прямой a  произвольную точку A и проведём через неё прямую b , перпендикулярную плоскости γ . Так как точка A принадлежит плоскости  α  ( A ∈ a  = α ∩ β ), которая перпендикулярна плоскости γ , то прямая b  лежит в плоскости α  (т. 30). Аналогично, точка A принадлежит плоскости β , поэтому прямая b  лежит в плоскости β .

Таким образом, прямая b проходит через точку A , перпендикулярна плоскости γ  и лежит в плоскостях α  и β . Это означает, что прямая b  совпадает с прямой a , т. е. a ⊥ γ . Теорема доказана. ▼

В дальнейшем придётся часто рассматривать три попарно взаимно перпендикулярные плоскости, имеющие общую точку (рис. 106, б ).

Вернёмся к вопросу об измерении угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Прямую, перпендикулярную данной плоскости, называют нормалью к этой плоскости .

Пусть плоскости α  и β , величина угла между которыми равна ϕ , пересекаются по прямой c . На рисунке 107 плоскость γ , перпендикулярная прямой c , пересекает плоскость α  по прямой m , а плоскость β  по прямой n ; через точки P ∈ m  и H ∈ n  проведены прямые соответственно a  и b , перпендикулярные плоскостям α  и β .

Так как c ⊥ γ , то по признаку перпендикулярности двух плоскостей каждая из плоскостей α  и β  перпендикулярна плоскости γ . По теореме 30 прямые a  и b  лежат в плоскости γ , в которой лежат также и прямые m  и n . Тогда в плоскости γ угол между прямыми m  и n  (линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α  и β ) и угол между прямыми a  и b  равны (как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Таким образом, величина угла между двумя пересекающимися плоскостями равна величине угла между нормалями к этим плоскостям .