Что такое полный квадрат

Описание метода выделения полного квадрата

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c – произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 — 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 — 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 = ( x — 2 ) 2 , поэтому

x 2 — 4 x + 5 = ( x — 2 ) 2 — 4 + 5 = ( x — 2 ) 2 + 1 .

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 — 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2 x 2 — 2 · 2 x · 3 + 3 2 — 3 2 + 5 = 2 x — 3 2 — 4 = ( 2 x — 3 ) 2 — 2 2 .

Теперь применяем формулу a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ) , получаем:

( 2 x — 3 — 2 ) ( 2 x — 3 + 2 ) = ( 2 x — 5 ) ( 2 x — 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен — 9 x 2 + 12 x + 5 .

— 9 x 2 + 12 x + 5 = — 9 x 2 — 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , — 12 x = — 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 — 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

— 3 x 2 — 2 · 3 x · 2 + 2 2 — 2 2 + 5 = — 3 x — 2 2 — 4 + 5 = — 3 x — 2 2 + 4 + 5 = = — 3 x — 2 2 + 9 = 3 2 — 3 x — 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

— 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 — 3 x — 2 3 + ( 3 x — 2 ) = ( 5 — 3 x ) ( 3 x + 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 — 14 x — 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена — 16 x 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: — 16 x 2 + 8 x + 6 = — 4 x 2 — 2 · 4 x · 1 + 1 — 1 + 6 = — 4 x — 1 2 — 1 + 6 = = — 4 x — 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `/` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x 2 + 2 x — 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 — 1 — 15 = x + 1 2 — 16 = x + 1 2 — 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 — 4 ) = ( x + 5 ) ( x — 3 ) .

Данную дробь привели к виду `<(x+5)(x-3)>/(x-3)^2` после сокращения на ( x — 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 — 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y — 3 y 2 .

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 — y 2 — 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 — 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y — 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x — y ) .

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `<8x^2+10x-3>/<2x^2-x-6>`.

Полный квадрат

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Содержание

Примеры

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Таблица квадратов

_0	_1	_2	_3	_4	_5	_6	_7	_8	_9
0_	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Представления и свойства

Квадрат натурального числа [math]\displaystyle< n >[/math] можно представить в виде суммы первых [math]\displaystyle< n >[/math] нечётных чисел:

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
[math]\displaystyle< n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + . + (n - 1) + (n - 1) + n >[/math]
Пример:

Сумма квадратов первых [math]\displaystyle< n >[/math] натуральных чисел вычисляется по формуле [1] :

[math]\displaystyle< \sum_^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + . + n^2 = \frac <6>>[/math]

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до [math]\displaystyle< n+1 >[/math] :
[math]\displaystyle< \sum_^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_^n (k+1)^3 = \sum_^n (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = \sum_^n k^3 + \sum_^n 3k^2 + \sum_^n 3k + \sum_^n 1 = \sum_^n k^3 +3\sum_^n k^2 +3\sum_^n k + \sum_^n 1 >[/math]
Получим:
[math]\displaystyle< (n+1)^3 = 3\sum_^n k^2 +3\sum_^n k + \sum_^n 1 = 3\sum_^n k^2 + 3\frac<(n+1)n> <2>+ (n + 1) >[/math]
Умножим на 2 и перегруппируем:
[math]\displaystyle< 6\sum_^n k^2 = 2(n + 1)^3 — 3(n + 1)n — 2(n + 1) = (n + 1)(2(n + 1)^2 — 3n — 2) = (n + 1)(2n^2 + n) = n(n + 1)(2n + 1) >[/math]
[math]\displaystyle< \sum_^n k^2 = \frac <6>>[/math] (В рассуждениях использована формула: [math]\displaystyle< \sum_^n k = \frac <(n + 1)n> <2>>[/math] , вывод которой аналогичен приведенному)

Читать:

Как отправить запрос к api сайта и получить ответ json

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени [math]\displaystyle< N >[/math] может быть выражена как функция [math]\displaystyle< N+1 >[/math] степени. Исходя из этого факта предположим:
[math]\displaystyle< \sum_^n k^2 = f(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D >[/math]
[math]\displaystyle< f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; f(2) = 5 ; f(3) = 14 >[/math]
Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
[math]\displaystyle < \begin0A + 0B + 0C + D = 0 \\ A + B + C + D= 1 \\ 8A + 4B + 2C + D = 5\\ 27A + 9B + 3C + D = 14 \\ \end >[/math] Решив её, получим [math]\displaystyle < A = \frac<1><3>, B = \frac <1><2>, C = \frac <1><6>, D = 0 >[/math]
Таким образом:
[math]\displaystyle< \sum_^n k^2 = f(n) = \frac <1><3>n^3 + \frac <1><2>n^2 + \frac <1><6>n + 0 = \frac <6>>[/math]

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. [3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

Идеальный квадрат: что это такое, как рассчитать, примеры и правила

Полный квадрат или полный квадрат — это натуральное число, которое, если оно корень, дает другое натуральное число.

То есть они являются результатом умножения числа на само себя.

1 × 1 = 1
2 × 2 = 4
3 × 3 = 9
4 × 4 = 16

Формула полного квадрата представлена следующим образом: n × n = a или n 2 = a. Таким образом, n — натуральное число, а a — точное квадратное число.

Что такое точные квадратные числа?

Определение полного квадратного числа можно понимать как положительное натуральное целое число, квадратный корень которого также является натуральным положительным целым числом.

Итак, мы имеем: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10…

Таблица умножения и вывески полных квадратных чисел до 15

Если мы возьмем за основу геометрию, мы можем думать, что квадрат — это фигура, стороны которой имеют одинаковую меру.

Таким образом, площадь квадрата равна l × l или l 2 .

Любой квадрат, стороны которого являются целыми числами, будет идеальным квадратом.

Примеры квадратов: 1 2 = 1 и 4 2 = 16

Как вычислить, является ли число полным квадратом?

Исходя из факторизации числа, если оно имеет точный квадратный корень и является результатом квадрата других чисел, мы можем сказать, что это полный квадрат.

Пример:

2704 — идеальный квадрат?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо разложить 2704 на множитель, то есть вычислить

Следовательно, имеем: 2704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 2 4 × 13 2.

√2704 = √ (2 2 × 2 2 × 13 2) = 2 × 2 × 13 = 52

2704 — идеальное квадратное число 52.

Правила идеального квадрата

Совершенное квадратное число — это число, имеющее точный корень.
Нечетное совершенное квадратное число имеет нечетный корень, а четное — четное.
Полные квадратные числа никогда не заканчиваются числами 2, 3, 7 и 8.
У чисел, оканчивающихся на 0, есть квадраты, заканчивающиеся на 00.
У чисел, оканчивающихся на 1 или 9, квадраты заканчиваются на 1.
У чисел, оканчивающихся на 2 или 8, квадраты заканчиваются на 4.
У чисел, заканчивающихся на 3 или 7, есть квадраты, заканчивающиеся на 9.
У чисел, заканчивающихся на 4 или 6, есть квадраты, заканчивающиеся на 6.
У чисел, заканчивающихся на 5, есть квадраты, заканчивающиеся на 25.

Другие отношения

Квадрат числа равен произведению его соседей плюс один. Например: квадрат семи (7 2 ) равен произведению смежных чисел (6 и 8) плюс один. 7 2 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49. х 2 = (х-1). (х + 1) + 1.

Совершенные квадраты являются результатом математической последовательности между предыдущим точным квадратом и арифметической прогрессией.

Урок 28. Выделение полного квадрата

Вы познакомились с формулами сокращённого умножения и научились раскладывать по ним квадрат разности и квадрат суммы. На этом уроке вы узнаете, как выделить из многочлена полный квадрат.

Этот многочлен можно преобразовать следующим образом.

6а мы представим в виде удвоенного произведения двух множителей: 3 и a:

Далее применим формулу квадрата суммы для двучлена а +3.

Таким образом, получили равенство:

Представим 10у как удвоенное произведение 5 и у:

Применим формулу квадрата разности для двучлена

Выделение полного квадрата используется, например, при доказательстве неравенств или определения знака выражения. Например:

Доказать, что для любых чисел а и в верно неравенство

В левой части неравенства две переменных, поэтому разделим одночлены на две группы. Число 45 можно добавить в любую группу, например, в группу, где переменная b.