Что такое полное метрическое пространство

7.2.4. Полнота и пополнение метрических пространств

Определение 6. Последовательность точек метрического пространства X называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если при . Это означает, что для любого числа найдется номер , такой, что при .

Иными словами, у последовательности Коши члены с большими номерами не могут сильно отличаться друг от друга, и .

Фундаментальные последовательности также называют сходящимися в себе.

На вещественной прямой работает

Критерий Коши: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

В произвольном метрическом пространстве это уже не так. Принципиальную роль играет полнота X.

Теорема 4. Если последовательность сходится к пределу , то она фундаментальна.

Доказательство. В самом деле, пусть . Тогда найдется номер такой, что при . Следовательно,

Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно, так как существуют метрические пространства, в которых имеются фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому пределу.

Пример 1. Пусть X – множество рациональных чисел, причем расстояние определяется по формуле . Тогда X есть метрическое пространство.

Возьмем последовательность , ,…, ,… Эта последовательность сходится фундаментально и к пределу .

Возьмем теперь последовательность . Эта последовательность сходится фундаментально, но не имеет предела в пространстве X, так как не является рациональным числом.

Определение 7. Метрическое пространство X называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.

Вернемся к рассмотренным ранее метрическим пространствам

1. Пространство с метрикой полное, так как в этом пространстве фундаментальны только стационарные последовательности, т.е. такие, что начиная с некоторого номера повторяется все время одна и та же точка. Всякая такая последовательность, естественно, сходится.

2. Пространство . Сходимость точек этого пространства равносильна сходимости по координатам. Таким образом, из сходимости

которую мы предполагаем данной, следует сходимость

Так как предел каждой сходящейся последовательности координат (как последовательности действительных чисел) является числом действительным, то точка , а это и означает полноту пространства .

3. Пространство . Как следует из определения расстояния в пространстве , сходимость последовательности точек этого пространства сводится к равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция, то есть элемент того же пространства .

4. Пространство . Для доказательства полноты пространства будем считать, что некоторая последовательность точек фундаментальна и докажем, что она сходится, т. е. что в пространстве существует точка , для которой . Возьмем произвольное . Так как данная последовательность является фундаментальной, то для этого найдется такое число N, что для всех k, l > N расстояние , т.е.

отсюда для любого i и любых k, l > N ,

Следовательно, последовательности фундаментальны, каждая из них сходится к действительным пределам. Обозначим и рассмотрим последовательность . Докажем, что эта последовательность является элементом пространства .

Из (7.2.1) следует, что , откуда при любом m. Пусть в последнем неравенстве .

Тогда в пределе получим: при любом m, следовательно,

Отсюда и из сходимости ряда следует сходимость ряда , что и доказывает принадлежность последовательности к пространству .

Полнота пространства следует из доказанного как частный случай.

5. Пространство m полно. Пусть — фундаментальная последовательность элементов пространства m. Это значит, что для любого существует такое N, что для всех n, m > N выполняется неравенство .

для любого i. Отсюда следует, что последовательность действительных чисел фундаментальна, то есть существует предел .

Заставив n стремиться к бесконечности в неравенстве (7.2.2), получим , откуда . Следовательно, , т.е. последовательность ограничена и, значит, она принадлежит пространству m.

6. Рассмотрим метрическое пространство функций, определенных и ограниченных на множестве E, расстояние между которыми задается формулой

В этом пространстве последовательность функций является фундаментальной, если для любого числа существует такой номер , что для всех номеров и выполняется неравенство

т.е. последовательность удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости последовательности на множестве E. В силу этого критерия последовательность равномерно на множестве E сходится к некоторой функции , т.е.

Покажем, что эта функция также ограничена и, следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действительно, в силу (7.2.3) для любого числа , в частности для , существует такой номер , что

для всех , поэтому .

Так как функция ограничена, то ограничена и функция . Т.е. мы доказали, что рассматриваемое пространство является полным.

Приведем примеры неполных пространств.

1. Рассмотрим множество , непрерывных функций , в котором расстояние определяется формулой

Это пространство будет неполным. Действительно, легко проверить, что последовательность arctg , предел же этой последовательности , так как он является разрывной функцией:

2. Рассмотрим множество дифференцируемых функций , расстояние в котором определяется формулой

Это пространство также будет неполным. Присоединяя к множеству множество непрерывных функций, мы получим полное пространство.

Замечание. Заметим, что в метрических пространствах полнота может быть обеспечена также изменением метрики. Так, например, для обеспечения полноты пространства определим формулу расстояния следующим образом:

Определение 8. Множество M называется ограниченным, если все его элементы могут быть заключены сферу радиуса r с центром в точке a, т.е. если существует такая точка a и радиус r, что для любого .

Полное метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Содержание

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) » width=»» height=»» /> (где $\mathbb<R>» width=»» height=»» /> обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x,y,z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям: <ol> <li><img decoding=$ (аксиома тождества).

d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).

$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

$d(x,y)\geqslant 0$

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x ) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Обозначения

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается

d(x,y) ,
| xy | или | xy | _M , если необходимо подчеркнуть что речь идет о M ,
xy
| x − y |

Примеры

$d(x,y)=\|y-x\|$

Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния , в случае конечной размерности это называется пространством Минковского [1] (не надо путать с другим пространством Минковского).

Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.

Любое связное риманово многообразиеM можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графаG можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

\exist y\in Y: d(x,y)&lt;r,\quad\forall y\in Y

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y) .
Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
Расстояниеd(x,S) от точкиxдо подмножестваS в M определяется по формуле:

Свойства

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
Вариации и обобщения

Для данного множества где $x\sim y \Leftrightarrow d(x,\,y)=0$ .

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех

M» width=»» height=»» /> .

Иногда рассматривают метрики со значениями $[0;\infty]$ , соответствующие пространства называются $\infty$ -метрическими пространствами. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику или
Читать:
Chkdskgui что это за программа