3 mod 6
This opearation (or function) rounds a value downwards to the nearest integer even if it is already negative. The floor function returns the remainder with the same sign as the divisor. This is the method used in our calculator. See how it works by examples:
- floor(2.1); // returns number 2
- floor(2.7); // returns number 2
- floor(-5.2); // returns number -6
- floor(-5.7); // returns number -6
Some hints:
- a mod 1 is always 0;
- a mod 0 is undefined;
- Divisor (b) must be positive.
This function is used in mathematics where the result of the modulo operation is the remainder of the Euclidean division.
The first result in our calcultor uses, as stated above, the function floor() to calculate modulo as reproduced below:
a mod b = a — b × floor(a/b)
To understand how this operation works, we recommend reading What is modular arithmetic? from Khan Academy.
The Modulo Operator (%) in Some Programming Languages Like PHP and Javascript
In computers and calculators due to the various ways of storing and representing numbers the definition of the modulo operation depends on the programming language or the hardware it is running.
For example, in PHP $a % $b means ‘a’ modulo ‘b’. In javascript, it is written as a % b. This symbol ‘%’, in both languages, is called modulo operator. It simply returns the remainder of ‘a’ divided by ‘b’. That explains the differences found in the calculator when ‘a’ (dividend) is negative and b isn’t equal to 1. It is because a mod b isn’t simply the remainder as returned by the operator ‘%’. See some examples:
| Operation | a mod b | $a % $b |
|---|---|---|
| 5 mod 3 | 2 | 2 |
| 3 mod 1 | 0 | 0 |
| -5 mod 3 | 1 | -2 |
| -3 mod 5 | 2 | -3 |
| 15 mod 12 | 3 | -3 |
| 29 mod 12 | 5 | 5 |
| -4 mod 12 | 8 | -4 |
| -13 mod 6 | 5 | -1 |
Notes:
There are some other definitions in math and other implementations in computer science according to the programming language and the computer hardware. Please see Modulo operation from Wikipedia.
Как понять m 3 mod6 что означает
Сравнения по модулю для задач на делимость
С ужасом обнаружил, что на пикабу нет статьи про такую прекрасную вещь, как сравнения по модулю и их применение в решении задач на делимость. А тем временем школьники страдают от сложности задачи «Найти, при каких натуральных n выражение n^4 + n^3 + n^2 + 2 делится на 4 без остатка или показать, что таких нет». Вне всяких сомнений особо шустрые школьники решат эту задачу, но сколько на это уйдёт времени? Я же предлагаю использовать метод сравнений по модулю, который в сущности своей довольно прост. В конце мы режим и эту задачу. Кстати, кажется, он может пригодиться даже на ЕГЭ. Итак.
Вспомним несколько простых фактов о делимости в Z. Собственно, иную и не рассматриваем. Поделить a на b (условимся рассматривать только целые числа) означает представить a как
a = bk + r, где r — остаток. На него накладываются определённые условия:
0 =< r < |b|. Важно запомнить, что остаток не может быть отрицательным, так что -9 равно не 4*(-2) — 1, а 4*(-3) + 3. Далее, при последовательном делении чисел на m получается m остатков со значениями 0, 1, . m — 1. Это всё простые вещи. Теперь новшества.
Два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если их разность нацело делится на m = два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если при делении на m они дают одинаковы остаток = два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если a = b + mk. Пишется это так:
a ≡ b (mod m)
Что там с примерами? Уже готовы.
Ну и зачем это? Сейчас всё будет. Для начала покажем некоторые свойства сравнений по модулю:
a — a = 0 — делится на m.
2. Если a ≡ b (mod m), а b ≡ c (mod m), то a ≡ c (mod m)
Док-во:
Если a ≡ b (mod m), то они дают при делении на m некий одинаковый остаток z. Из b ≡ c (mod m) следует, что c при делении на m даёт тот же остаток z. Отсюда уже по определению следует сравнимость a и c по модулю m.
3. Если a ≡ b (mod m), а c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m)
Док-во:
Сами докажите и не забудьте ещё про разность. Мне лень. ��
4. Если a ≡ b (mod m), то ah ≡ bh (mod m), где h — целое число.
Док-во:
Из сравнимости следует, что
Домножим обе части на целое число h
ah — bh = mkh
Вот тут можно как перейти к модулю mh, так и остаться в модуле m. Мы останемся, так что воспользуемся ассоциативностью умножения в кольце (Z, +, *) и очевидной замкнутостью относительно * (это, впрочем, следует из определения кольца):
ah — bh = m(kh)
ah — bh = mg, где g = kh — целое число
Итак, мы получили, что ah — bh делится на m с нулевым остатком. Следовательно.
5. Если a ≡ b (mod m), то a^n ≡ b^n (mod m), где n — натуральное число.
Док-во:
Так хочется полежать.
6. Ну тут сами или загляните в википедию. Я и так написал слишком много, чтобы изобрести уже два велосипеда. Вы совершенно справедливо заметите, если скажете, мол, хватит нам пудрить мозги — давай уже за дело. Даю.
Но! Сперва я введу ещё одну структуру — класс вычетов по модулю m. Чтобы объяснить взаимозаменяемость, которой мы позже коснёмся. ��
Будем последовательно делить на m, отвлекаясь от неполного/полного частного. Нас интересуют только остатки от деления. Скажем, будем последовательно делить на 4 (из дидактических соображений не увожу в область отрицательных чисел) и искать значение числовой функции Rest, которая выдаёт остатки от деления:
Далее получится 0 и снова будут повторяться остатки. Цикл замкнулся. Далее заметим, что числа с равными остатками в общем виде представимы как a = 4k + r, где r принадлежит множество [ мы берём модуль 4, то есть делим на 4]. Эти числа разбивают всё множество Z на определённые группы чисел, которые имеют одинаковые остатки при делении на 4. Обобщим это на любой модуль m: последовательное деление на m разбивает множество Z на классы чисел, дающие при делении на m одинаковый остаток. Эти числа, очевидно, сравнимы по модулю m. Такие классы называются классами вычетов по модулю m. Их всего будет m штук. Множество классов вычетов по модулю m обозначается как G(m). Образуем, примера ради, множество G(2). Итак, всего будет 2 класса вычетов, причём они будут сравнимы по модулю 2 с числам 0 и 1. Если обозначить класс вычетов по модулю m как [k], где k — наименьший положительный вычет, то получатся два класса:
[0] =
Таким образом классы вычетов суть множества (классы, если точнее). Зачем они нам? В нашем случае — на самом деле это очень богатая структура — они позволяют взаимозаменять числа, сравнимые по модулю m, ибо тогда они попадут в один класс вычетов по модулю m. Иными словами, все числа из одного класса вычетов по модулю m тождественны при решении задач на остатки. Вот теперь мы готовы к задачам.
1. При каких натуральных n выражение n^2 + 2 делится на 2 без остатка?
Решение:
Переформулируем задачу на языке сравнений по модулю 2:
n^2 + 2 ≡ 0 (mod 2)
Будем смотреть на n в упор, для которого существует всего два случая:
1. n ≡ 0 (mod 2)
Далее возводим в квадрат обе части сравнения:
n^2 ≡ 0 (mod 2)
Многие здесь недоумевают, почему n^2 + 2 ≡ 0 (mod 2), а не n^2 + 2 ≡ 0 (mod 2). На самом деле всё просто: прибавляя к обеим частям число вида ml, где m — модуль сравнения, правая или левая часть не меняется, «счётчик обнуляется» (подумайте почему, см. остатки и определение сравнения).
Итак, наше требование выполняется только при n ≡ 0 (mod 2), то есть n = 2k -чётном натуральном числе. Записывайте ответ.
2. Доказать, что a^n + b^n, где n — натуральное число, делится на a — b без остатка.
Решение:
Нужно доказать, что a^n + b^n ≡ 0 (mod a — b)
Давайте с галёрки:
a ≡ b (mod a — b) — проверьте!
3. Найти последнюю цифру 17^2132
Нас просят найти x с условием 17^2132 ≡ x (mod 10)
Идём с галёрки:
17^2132 ≡ 7^2132 [помните про классы вычетов. ] (mod 10)
3 mod 6
This opearation (or function) rounds a value downwards to the nearest integer even if it is already negative. The floor function returns the remainder with the same sign as the divisor. This is the method used in our calculator. See how it works by examples:
- floor(2.1); // returns number 2
- floor(2.7); // returns number 2
- floor(-5.2); // returns number -6
- floor(-5.7); // returns number -6
Some hints:
- a mod 1 is always 0;
- a mod 0 is undefined;
- Divisor (b) must be positive.
This function is used in mathematics where the result of the modulo operation is the remainder of the Euclidean division.
The first result in our calcultor uses, as stated above, the function floor() to calculate modulo as reproduced below:
a mod b = a — b × floor(a/b)
To understand how this operation works, we recommend reading What is modular arithmetic? from Khan Academy.
The Modulo Operator (%) in Some Programming Languages Like PHP and Javascript
In computers and calculators due to the various ways of storing and representing numbers the definition of the modulo operation depends on the programming language or the hardware it is running.
For example, in PHP $a % $b means ‘a’ modulo ‘b’. In javascript, it is written as a % b. This symbol ‘%’, in both languages, is called modulo operator. It simply returns the remainder of ‘a’ divided by ‘b’. That explains the differences found in the calculator when ‘a’ (dividend) is negative and b isn’t equal to 1. It is because a mod b isn’t simply the remainder as returned by the operator ‘%’. See some examples:
| Operation | a mod b | $a % $b |
|---|---|---|
| 5 mod 3 | 2 | 2 |
| 3 mod 1 | 0 | 0 |
| -5 mod 3 | 1 | -2 |
| -3 mod 5 | 2 | -3 |
| 15 mod 12 | 3 | -3 |
| 29 mod 12 | 5 | 5 |
| -4 mod 12 | 8 | -4 |
| -13 mod 6 | 5 | -1 |
Notes:
There are some other definitions in math and other implementations in computer science according to the programming language and the computer hardware. Please see Modulo operation from Wikipedia.
Калькулятор остатка
Операция нахождения остатка от деления называется делением по модулю Когда вы делите a на b, то запись в виде ‘a mod b’ означает получение остатка. Его еще называют остатком от деления. Используйте этот калькулятор для выполнения деления по модулю и нахождения остатка от деления.
Онлайн-калькулятор деления по модулю
Операция нахождения остатка от деления называется делением по модулю Когда вы делите a на b, то запись в виде ‘a mod b’ означает получение остатка. Его еще называют остатком от деления. Используйте этот калькулятор для выполнения деления по модулю и нахождения остатка от деления.
Mod и остаток — не одно и то же
Приготовьтесь, вас ждёт крайне педантичная статья, которая вполне может спасти вас на собеседовании или сэкономить несколько часов при вылавливании бага в продакшне!
Я сейчас активно работаю над вторым сезоном «Руководства для самозванца» и пишу о шифре RSA для SSH, который, очевидно, является самым загружаемым фрагментом кода в истории IT.
Хочется полностью разобраться в этой истории. Кто придумал этот шифр, как он работает, почему работает и будет ли работать в будущем. Сейчас я раскопал одну чертовски интересную историю. Я не криптоманьяк и вижу, как других буквально засасывает в эту область. Но мне это тоже интересно, потому что повсюду есть маленькие норки, а меня как сороку привлекают блестящие штучки в глубоких норках. Я также очень хорош в метафорах.
В любом случае: на прошлой неделе я узнал что-то странное и хочу поделиться: оказывается, mod и остаток от деления — не одно и то же. Действительно забавно то, что некоторые читатели при этих словах выпрыгивают со своих кресел и орут: «А ведь именно это я всегда пытался сказать вам и всем остальным!»
Позовите ребят из секты «mod не остаток»! Это для вас.
Что такое mod?
Я должен был изучить это, как и в прошлый раз, когда всплыла такая тема. Это одна из тех вещей, которые ты знаешь, но не запоминаешь. Когда вы применяете mod, то делите одно число на другое и берёте остаток. Итак: 5 mod 2 будет 1, потому что 5/2=2 с остатком 1.
Термин mod означает операцию modulo, с модулем 2 в данном случае. Большинство языков программирования используют % для обозначения такой операции: 5 % 2 = 1 .
Вот где мы попадаем в странную серую область.
Математика циферблата
Помню, как учил это в школе, а потом забыл. Существует тип математики, называемый «модульной арифметикой», которая имеет дело с циклическими структурами. Самый простой способ представить это — циферблат с циклом 12. Для математика циферблат — это mod 12 . Если хотите понять, можно ли равномерно разделить 253 часа на дни, то можете применить операцию 253 mod 24 , результатом будет 13, поэтому ответ «нет»! Мы можем ответить «да» только если результат 0.
Другой вопрос, который вы можете задать: «Если я выеду в 6 вечера, сколько времени будет по приезду через 16 часов?». Это будет 6 + 16 mod 12 , то есть 10.
Криптографы любят mod , потому что при использовании с действительно большими числами можно создать нечто, известное как «односторонние функции». Это специальные функции, которые позволяют легко вычислить что-то в одном направлении, но не в обратном.
Если я скажу вам, что 9 является результатом возведения в квадрат, вы можете легко определить, что на входе было 3. Перед вами весь процесс от начала до конца. Если я скажу, что 9 является результатом mod 29 , то будет сложнее понять, что на входе.
Криптографам нравится эта идея, потому что они могут использовать деление с остатком с гигантскими простыми числами для генерации криптографических ключей. Это совсем другая история: если хотите прочитать об этом, то можете купить книгу или, ещё лучше, поддержать мои усилия написать её.
Впрочем, не будем отклоняться от темы.
Остатки и математика циферблата
Теперь переходим к сути: modulo и простой остаток одинаковы, когда числа положительны, но отличаются в случае отрицательных чисел.
Рассмотрим такую задачу:
Каково значение x ? Делим числа и получаем 7 как остаток от 12. Это верный ответ. Как насчет такого:
Используя обычную математику, мы можем умножить -12 на -1, что даёт 12, и у нас по-прежнему остаётся 7, поэтому наш ответ снова 7.
JavaScript с этим согласен:
C# тоже согласен:
Google согласен с первым утверждением, но не согласен со вторым:
Ruby согласен с Google:
Во имя Дейкстры, что здесь происходит?
Вращение часов назад
Чтобы ответить на вопрос, следует понять разницу между остатком и modulo. Программисты объединяют эти операции, но не должны этого делать, потому что они дают одинаковый результат только в случае, если делитель (в нашем случае 12) положителен. Вы можете легко отправить баги в продакшн, если делитель отрицательный.
Но почему существует разница? Рассмотрим положительный делитель 19 mod 12 на часах:
Конечный результат 7. Мы это знаем и мы можем доказать математически. Но что насчёт 19 mod -12 ? Здесь нужно использовать другие часы:
Модуль равен -12, и мы не можем игнорировать или изменить его, умножив на -1, поскольку модульная арифметика так не работает. Единственный способ правильно рассчитать результат — переставить метки на часах так, чтобы мы двигались от -12 или вращали часы против часовой стрелки, что даёт тот же результат.
Почему не начать метки с -1, двигаясь к -2, и т.д.? Потому что в таком случае мы будем двигаться назад и постоянно уменьшать результат, пока не достигнем -12, и в этот момент сделаем прыжок +12, а modulo так не работает.
Это известная вещь
Прежде чем назвать меня сумасшедшим и начать гуглить тему: это известный факт. На самом деле MDN (Mozilla Developer Network) даже дошла до того, чтобы назвать % операцией «остатка» (remainder), а не modulo:
Вот что Эрик Липперт, один из богов C#, говорит о modulo в C#:
А как на вашем языке?
Ну и что?
Могу понять, если вы дочитали досюда, а теперь чешете голову и задаётесь вопросом, стоит ли беспокоиться. Думаю, что стоит по двум причинам:
Операции div и mod в Pascal
В нашей статье мы разберем такие операции, как div и mod в Паскале. Сейчас вы узнаете, что это такое и зачем эти операции нужны.
Div, mod или обычное деление
Вообще, div и mod очень похожи на обычное деление, которому нас учат в школе. Но если они зачем-то существуют, значит, все-таки отличия есть. И уже в самом начале очень хочется отметить, что обе операции работают только с целыми числами (integer).
Оператор div в Pascal
На самом деле здесь все довольно просто. Div применяется для поиска целой части от деления.
Приведем в пример код, чтобы разобраться:
В итоге наше n будет равняться двум. Если делить 9 на 4, то выходит 2,25. То есть, применяя операцию div в Паскале, вы получите результат до запятой (целую часть числа).
Оператор mod в Pascal
Данная операция действует немного наоборот — она уже ищет остаток от деления. Бывает, что новички в Паскале ошибочно думают, что mod ищет дробную часть. Нет, это не так.
Возьмем в пример все тот же код:
В итоге мы получаем n, которое равно единице. Как так получилось? Когда мы делим 9 на 4, мы можем взять два раза по 4 (получается 8). Но у нас остается единица, которая не делится на 4. Такую вот “единицу” и будет искать mod, или, говоря по-другому, остаток от деления ваших чисел.
Вообще, нередко mod в Паскале используют для того, чтобы определить кратности чисел. Обратите внимание, что число является кратным, если его остаток равняется нулю.
Использование оператора div и mod при решении задач
Мы приведем несколько примеров использования этой программы для того, чтобы вам было еще легче разобраться, как это работает.
Таким образом, используя div, мы получим ответ 2 (13 разделить на 5 равняется 2,6; нам же нужна только целая часть). А используя mod, получаем результат 3 (остаток от деления).
Вот еще один пример:
Конечно, программа все сама посчитает. Но еще раз уточним: здесь div будет равняться 26 (берем только целую часть), а mod — 4 (остаток от деления).
Надеемся, мы ответили на ваш вопрос, что же значат mod и div в программе Pascal, и тем самым смогли облегчить вашу работу в этой программе. Свои предложения вы можете оставить в комментариях.
Как понять m 3 mod6 что означает
Известно, что m= -3(mod 6), n= -4(mod 6). Найти остаток при делении на 6 числа
3m-4n
док-ть что p mod 6 = 1 или 5
док-ть что p mod 6 = 1 или 5; p — простое >=5;
Что означает оператор MOD?
Вот есть программа var a, s: integer; begin s:= 0; readln(a); while a<>0 do begin if.
3 mod 6
This opearation (or function) rounds a value downwards to the nearest integer even if it is already negative. The floor function returns the remainder with the same sign as the divisor. This is the method used in our calculator. See how it works by examples:
- floor(2.1); // returns number 2
- floor(2.7); // returns number 2
- floor(-5.2); // returns number -6
- floor(-5.7); // returns number -6
Some hints:
- a mod 1 is always 0;
- a mod 0 is undefined;
- Divisor (b) must be positive.
This function is used in mathematics where the result of the modulo operation is the remainder of the Euclidean division.
The first result in our calcultor uses, as stated above, the function floor() to calculate modulo as reproduced below:
a mod b = a — b × floor(a/b)
To understand how this operation works, we recommend reading What is modular arithmetic? from Khan Academy.
The Modulo Operator (%) in Some Programming Languages Like PHP and Javascript
In computers and calculators due to the various ways of storing and representing numbers the definition of the modulo operation depends on the programming language or the hardware it is running.
For example, in PHP $a % $b means ‘a’ modulo ‘b’. In javascript, it is written as a % b. This symbol ‘%’, in both languages, is called modulo operator. It simply returns the remainder of ‘a’ divided by ‘b’. That explains the differences found in the calculator when ‘a’ (dividend) is negative and b isn’t equal to 1. It is because a mod b isn’t simply the remainder as returned by the operator ‘%’. See some examples:
| Operation | a mod b | $a % $b |
|---|---|---|
| 5 mod 3 | 2 | 2 |
| 3 mod 1 | 0 | 0 |
| -5 mod 3 | 1 | -2 |
| -3 mod 5 | 2 | -3 |
| 15 mod 12 | 3 | -3 |
| 29 mod 12 | 5 | 5 |
| -4 mod 12 | 8 | -4 |
| -13 mod 6 | 5 | -1 |
Notes:
There are some other definitions in math and other implementations in computer science according to the programming language and the computer hardware. Please see Modulo operation from Wikipedia.