Как по графику потенциала построить график напряженности

2. Рабочие формулы

Экспериментальное изучение пространственного распределения потенциала и напряженности произвольной системы зарядов весьма трудоемкая задача. Для ее решения необходимо определить потенциал в различных точках пространства, окружающего систему зарядов, а затем рассчитать напряженность поля в каждой точке.

В данной работе ограничимся изучением электростатического поля в плоскости XOY (при z = 0).

Рассмотрим, как меняется потенциал в направлении оси OX (при y = 0). Для этого при заданном расположении заряженных тел измерим значение потенциала вдоль оси OX через равные расстояния x . Получим зависимость ϕ = ϕ ( x ).

Между каждыми двумя точками можно вычислить изменение потенциала Δϕ . Средняя напряженность поля между двумя точками равна

Так как полученное значение напряженности является средним для выбранного отрезка, будем считать, что поле имеет такую напряженность в середине отрезка

Проведя измерения в различных точках вдоль оси OX, можно по-

строить графическую зависимость напряженности электрического поля от координаты E = E ( x ) вдоль оси OX (при y = z = 0).

Аналогично рассуждая можно экспериментально получить графические зависимости напряженности электрического поля в любом направлении.

2.2. Построение силовых линий поля

Находя точки с одинаковым

потенциалом и соединяя их плавной

линией, для заданного пространст-

венного распределения зарядов

можно построить эквипотенциаль-

ные поверхности (поверхности с

одинаковым потенциалом). По из-

построить силовые линии поля .

С одной стороны, как было

показано ранее, силовые линии по-

ля всегда перпендикулярны эквипо-

С другой стороны, напряженность электрического поля связана с

При одном и том же изменении потенциала Δϕ = ϕ 2 – ϕ 1 производная по

будет максимальна, если расстояние r , на котором

потенциал меняется на величину Δϕ , будет минимальным.

Следовательно, силовые линии пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом и по кратчайшему расстоянию .

Чтобы провести силовую линию, выберите на эквипотенциальной поверхности точку (рис. 5). Проведите в ней перпендикуляр к поверхности. Найдите на соседней эквипотенциальной поверхности другую точку, расстояние от которой до первой точки будет минимальным. Проведите перпендикуляр и в этой точке. Плавно соедините обе точки так, чтобы полученная линия пересекала эквипотенциальные поверхности под прямым углом. Укажите направление полученной силовой линии.

При построении линий напряженности необходимо помнить, что силовые линии начинаются (выходят) на положительном заряде и заканчиваются (входят) на отрицательном.

2.3. Суперпозиция напряженности и потенциала заряженных тел различной формы

Напряженность поля – векторная величина. Поэтому аналитические выражения для напряженности обычно приводят в проекции на некоторое характерное направление, которое выбирается исходя из симметрии распределения зарядов в пространстве.

В таблице приведены аналитические выражения и графики напряженности и потенциала для некоторых заряженных тел. Расположение тел в выбранной системе координат также приведено на графиках. (В таблице r , α – координаты в полярной системе координат; x – координата в декартовой системе координат. E r – радиальная составляю-

щая напряженности электрического поля; E x – x -компонента напря-

женности электрического поля. В записи потенциала константа C выбирается так, чтобы на бесконечности потенциал был равен нулю и непрерывен.)

Потенциальная диаграмма

ads

Потенциальной диаграммой замкнутого контура называется графическая интерпретация распределения электронного потенциала вдоль замкнутого контура в зависимости от входящих в него сопротивлений.

Потребитель энергии отображается на электрической схеме как резистор с заданным сопротивлением R. Если такое элемент присутствует в участке цепи, то изменение потенциалов на концах участка будет соответствовать падению напряжения на этом резисторе.

Если на участке цепи присутствует источник напряжения, то на концах такого участка также будет наблюдаться разность потенциалов, численно равная ЭДС источника.

Построение потенциальной диаграммы

Для построения потенциальной диаграммы, замкнутый контур разбивается на участки таким образом, чтобы каждый из них содержал только одного потребителя или один источник электроэнергии.

Потенциальная диаграмма строится в декартовой системе координат, где по оси абсцисс откладывается, с соблюдением масштаба, сопротивление участков цепи, а по оси ординат – потенциалы точек. Точки замкнутого контура и сопротивления элементов откладываются (отмечаются на диаграмме) в той последовательности, в которой они встречаются при обходе контура.

В начало координат диаграммы помещается точка, потенциал которой условно выбран нулевым.

Демонстрацию алгоритма и правил построения потенциальной диаграммы выполним на примере замкнутого контура abcdef (точки a и f совпадают), представленного на рисунке 1. Положительное направление обхода контура – по часовой стрелке. Для расчетов примем:

Е₁ = 2 В, Е₂ = 3 В;
R₁ = 1 Ом, R₂ = 1 Ом, R₃ = 2 Ом;
I₁ = 1 А, I₂ = 2 А, I₃ = 1 А.

Замкнутый контур разбит на участки, каждый из которых содержит либо источник ЭДС, либо резистор.

Примем нулевым потенциал точки а

Следующая точка согласно выбранному направлению движения – b. На участке ab находится источник ЭДС E₁. Так как движение на данном участке происходит от отрицательного полюса источника к положительному (направление обхода контура совпадает со стрелкой источника ЭДС), то значение потенциалы на участке повысится на величину E₁:

Следующий рассматриваемый участок – bc. На нем происходит уменьшение потенциала на величину падения напряжения на резисторе R1.

Аналогичные процессы происходят на участках cd и de. Следовательно,

На участке ef находится еще один источник ЭДС E₂. Движение по данному участку реализуется от отрицательного полюса к положительному, следовательно потенциал повысится на величину E₂

Если направление обхода контура не совпадает с направлением ЭДС, тогда ЭДС записывают со знаком минус

Значения потенциалов в точках а и f совпадают , что подтверждает правильность расчетов.

На основании полученных данных можно построить потенциальную диаграмму (рисунок 2).

Рис. 2. Потенциальная диаграмма

По потенциальной диаграмме легко можно найти разность потенциалов между любыми точками электрической цепи.

Определение напряженности электрического поля с помощью потенциала

Формулу можно использовать для определения разности потенциалов между двумя точками электрического поля, если напряженность поля в области между этими точками известна. Обращая эту формулу мы можем выразить напряженность электрического поля через его потенциал, т. е., зная V, мы сможем определить Е.
Посмотрим, как это делается.
Уравнение можно переписать в дифференциальной форме:

где dV — бесконечно малая разность потенциалов между точками на расстоянии dl друг от друга, а E_l — составляющая напряженности электрического поля в направлении этого бесконечно малого перемещения dl.
Тогда:

Таким образом, составляющая напряженности электрического поля по любому направлению равна градиенту потенциала в этом направлении, взятому с обратным знаком. Градиентом величины V называется ее производная по определенному направлению dV/dl. Если направление не указывается, то градиент соответствует направлению наиболее быстрого изменения V; это соответствует направлению вектора Е в данной точке, поскольку именно в таком направлении составляющая вектора Е совпадает с полной величиной напряженности поля:

Если расписать составляющие вектора Е по координатам х, у, z и в качестве l взять направления вдоль осей х у, z, то уравнение (24.8) можно записать в виде:

Здесь dV/dx — частная производная V по направлению х при условии, что у и z фиксированы.

В последнем примере мы вычислили напряженность электрического поля Е диполя в произвольной точке пространства. Складывая векторы напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, получить этот результат было бы гораздо сложнее. Вообще говоря, для многих распределений зарядов гораздо проще рассчитать потенциал, а затем по формуле (24.9) — напряженность электрического поля Е, чем вычислять по закону Кулона по отдельности Е для каждого заряда: скалярные величины складывать намного проще, чем векторы.

Электростатическая потенциальная энергия

Предположим, что точечный заряд q перемещают в пространстве из точки а в точку b, электрические потенциалы в которых, обусловленные другими зарядами, равны соответственно V_a и V_b. Изменение электростатической потенциальной энергии заряда q в поле других зарядов составляет:

Пусть теперь имеется система нескольких точечных зарядов. Чему равна электростатическая потенциальная энергия системы?
Удобнее всего выбрать за нуль потенциальную энергию зарядов на очень больших (в идеале бесконечно больших) расстояниях друг от друга. Потенциальная энергия уединенного точечного заряда Q₁ равна нулю, поскольку в отсутствие других зарядов на него не действует никакая сила. Если к нему поднести второй точечный заряд, Q₂, потенциал в точке, где находится второй заряд, будет равен:

Здесь r_{1 2} — расстояние между зарядами. Потенциальная энергия двух зарядов равна:

Она характеризует работу, необходимую для перемещения заряда Q₂ из бесконечности (V = 0) на расстояние r_{1 2} до заряда Q_i (или со знаком минус работу, необходимую для разнесения зарядов на бесконечно большое расстояние).

Если система состоит из трех зарядов, то ее полная потенциальная энергия будет равна работе по перемещению всех трех зарядов из бесконечности в место их расположения. Работа по сближению зарядов Q₂ и Q₁ определяется выражением (24.10);
чтобы перенести заряд Q₃ из бесконечности в точку на расстоянии r_{1 3} от Q₁ и на расстоянии r_{2 3} от Q₂, требуется совершить работу:

В этом случае потенциальная энергия системы трех точечных зарядов будет равна:

Для системы четырех зарядов выражение для потенциальной энергии будет содержать шесть таких членов и т.п. (При составлении подобных сумм необходимо следить за тем, чтобы не учитывать одну и ту же пару дважды). Часто нас интересует не полная электростатическая потенциальная энергия, а лишь часть ее. Например, может возникнуть необходимость найти потенциальную энергию одного диполя в присутствии другого диполя. Во взаимодействии участвуют четыре заряда: Q₁ и -Q₁ первого диполя и Q₂ и -Q₂ второго диполя.
Потенциальная энергия одного диполя и в присутствии другого (иногда ее называют энергией взаимодействия) представляет собой работу по сближению диполей с бесконечно большого расстояния. В этом случае нас не интересует взаимная потенциальная энергия зарядов Q₁ и -Q₁ или Q₂ и -Q₂; выражение для потенциальной энергии двух диполей будет содержать лишь четыре члена, соответствующие энергиям взаимодействия между зарядами: Q₁ и Q₂ ; Q₁ и -Q₂ ; -Q₁ и Q₂ ; -Q₁ и -Q₂.

Заключение

Электрический потенциал в любой точке пространства определяется как электростатическая потенциальная энергия единицы заряда. Разность потенциалов между двумя точками определяется взятой с обратным знаком работой, которая совершается полем при перемещении единичного электрического заряда между этими точками. Разность потенциалов измеряется в вольтах (1 В = 1 Дж/Кл) и иногда называется напряжением. Изменение потенциальной энергии заряда q при прохождении им разности потенциалов V_bа равно ΔU = qV_ba.
Разность потенциалов V_bа между точками b и a в однородном электрическом поле напряженностью Е определяется формулой V = — Ed, где d — расстояние вдоль силовой линии поля между этими точками.
В неоднородном электрическом поле Е соответствующее выражение имеет вид .
Таким образом, зная Е, всегда можно определить V_bа. Если значение V известно, то составляющие напряженности поля Е можно найти, обращая приведенное соотношение:

Эквипотенциальные линии или поверхности представляют собой геометрическое место точек одного потенциала; они всюду перпендикулярны силовым линиям поля. Электрический потенциал уединенного точечного заряда Q относительно нулевого потенциала (на бесконечности) равен:

Потенциал произвольного распределения зарядов можно определить, суммируя (интегрируя) потенциалы отдельных зарядов.

где r — расстояние от элемента заряда dq до точки, в которой определяется V.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Электрическая емкость, диэлектрики, накопление электрической энергии.
Конденсатор — устройство для накопления электрического заряда, который состоит из двух проводников (обкладок), расположенных близко друг к другу, но не соприкасающихся.

Как по графику потенциала построить график напряженности

Каждая точка электрического поля характеризуется векторной величиной – напряженностью поля. Напряженность поля в данной точке равна силе, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку, и отнесенной к единице заряда. Это – силовая характеристика электрического поля.

Иногда задавать в каждой точке скалярную величину – потенциал φ – удобнее, чем векторную величину напряженность . Естественно, что эти две величины должны быть связаны друг с другом.

Рассмотрим вначале однородное электрическое поле. Его напряженность одинакова во всех точках; силовые линии такого поля – параллельные прямые (рис. 1).

Найдем разность потенциалов между точками B и D. Потенциал φ_B точки B равен работе по перемещению единицы заряда из этой точки в бесконечность. Форма траектории при подсчете работы не имеет значения, поэтому будем перемещать заряд сначала по отрезку BC потом по отрезку CD а затем из точки D в бесконечность. Сила, действующая на единицу заряда со стороны электрического поля, равна напряженности. На отрезке ВС работа этой силы равна E·l, где E – проекция вектора напряженности на силовую линию, a l – длина отрезка ВС. На отрезке CD сила работы не совершает, так как она перпендикулярна перемещению. Наконец, работа по перемещению единицы заряда из точки D в бесконечность равна потенциалу φ_D. Поэтому: или для разности потенциалов:

(1)

Для того чтобы формула (1) давала правильный знак разности потенциалов, величине l надо приписывать определенный знак в зависимости от расположения точек B и C на силовой линии. Будем считать, что l – это проекция вектора BD на направление силовой линии. Тогда знак положителен, если точка C лежит «ниже» по силовой линии, чем точка B и отрицателен в противоположном случае. Для случая, изображенного на рисунке 1, l > 0, и разность потенциалов , что соответствует убыванию потенциала вдоль силовой линии .

Какова связь между потенциалом и напряженностью в случае неоднородного электрического поля? В таком поле напряженность меняется от точки к точке. Пусть, для простоты рассуждений, изменение напряженности происходит только в одном направлении, которое примем за ось ОХ (рис. 2).

Тогда напряженность поля зависит только от координаты x: . Ясно, что в небольших участках пространства напряженность меняется мало, и электрическое поле там можно приближенно считать однородным. Возьмем близкие точки B и D и найдем разность потенциалов между ними. Воспользуемся формулой (1). Потенциал так же, как и напряженность, зависит только от координаты x (*Плоскость x = const эквипотенциальна, так как при перемещении единицы заряда в этой плоскости электрическое поле работы не совершает.):

Проекция вектора на ось ОХ равна разности координат точек D и B:

(2)

(3)

(4)

Знак минус в формуле (4) означает, что потенциал убывает вдоль силовой линии: поскольку проекция напряженности на силовую линию , что и означает убывание потенциала.

Если нарисовать график зависимости φ от x, то тангенс угла наклона α касательной к графику в каждой его точке равен производной в этой точке (рис. 3). Поэтому можно сказать, что напряженность электрического поля определяет наклон касательной к графику потенциала.

Найдем вначале напряженность поля. Внутри сферы электрического поля нет: при r < RE = 0. Вне сферы напряженность поля такая же, как у точечного заряда Q помешенного в центр сферы: при r> R проекция напряженности на выбранное направление от центра , где ε₀ – электрическая постоянная. На поверхности сферы, при r = R электрическое поле испытывает скачок . Зависимость E от r графически показана на рисунке 4, а.

Величину скачка ΔE можно выразить через поверхностную плотность заряда (равную заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности сферы):

Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности его проекция на направление нормали всегда испытывает скачок независимо от формы поверхности.

Вне сферы, при r > R производная отрицательна и величина ее убывает с расстоянием r. Поэтому и потенциал должен убывать с расстоянием, стремясь к нулю при . Действительно, чем дальше расположена точка, в которой мы ищем потенциал, тем меньшую работу надо совершать при перемещении единицы заряда из этой точки в бесконечность. Величина потенциала φ при r > R такая же, как у точечного заряда, помещенного в центр сферы:

должно оставаться конечным при что невозможно. Таким образом, потенциал не испытывает скачков.

Таким образом, внутри шара напряженность поля – она линейно растет с расстоянием.

всегда отрицательна (E ≥ 0). Поэтому с увеличением r потенциал должен монотонно убывать. В точке r = 0 производная потенциала равна нулю. Следовательно, касательная к графику в. этой точке горизонтальна: в точке r = 0 потенциал имеет максимум. В точке r = R ни потенциал, ни его производная скачков не испытывают. Первое следует из общего правила для потенциала, о втором мы уже говорили выше. Поэтому кривые, изображающие зависимость потенциала от расстояния при r < R и r > R в точке r = R должны сопрягаться – гладко без излома переходить одна в другую. При потенциал . График зависимости φ от r представлен на рисунке 5, б.

Заметим, что в данной задаче потенциал не стремится к нулю при . Это, очевидно, связано с тем, что плоскость бесконечна. В действительности размеры реальных пластин всегда ограничены; это приводит к тому, что потенциал падает с увеличением расстояния от пластин.

Пока расстояние между пластинами значительно меньше их размеров, такую систему можно считать плоским конденсатором. Тогда – напряжение линейно растет с расстоянием (начальный участок на рисунке 8).

Это соответствует тому, что напряженность поля . Как только расстояние между пластинами становится сравнимым с размерами пластин, электрическое поле появляется и вне пространства между пластинами. Тогда становятся существенными так называемые краевые эффекты, и зависимость потенциала от расстояния – довольно сложная. Однако качественно ясно, что, вследствие ослабления поля в области между пластинами, напряжение будет расти медленнее, чем по линейному закону (средний участок на рисунке 8). При дальнейшем увеличении расстояния между пластинами оно станет много больше их размеров. Тогда каждую пластину уже можно считать изолированным телом, и ее потенциал где C₀ – емкость уединенной пластины. Таким образом, при очень больших расстояниях разность потенциалов перестает зависеть от расстояния между пластинами (график зависимости U от d. на рисунке 8 имеет горизонтальную асимптоту).