Как по графику составить функцию

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a<0\). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит \(a=-1\).

Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений . Алгоритм прост:

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Как построить график и определить формулу по имеющимся точкам (автоматически). И немного про регрессионный анализ ⁠ ⁠

► 8. Известна формула графика и значение аргумента. Если мы хотим узнать значения функции — нам требуется подставить значение в формулу.

► 9. Известна формула графика и значение функции. Если мы хотим узнать значение аргумента — нам требуется подставить значения в формулу.

► 10. Известны два или несколько значений аргумента и принимаемых при этом значений функции. Хотим узнать формулу графика. Для этого нам требуется регрессионный анализ.

Так что то, что делалось в школе было своеобразной подготовкой, пусть и на более простых линейных уравнениях.

Впрочем, вот готовый инструмент.

Вставляйте в качестве X и Y показатели, и будет рассчитываться коэффициенты для графика.

Если вы ещё не знакомы с Desmos, то это очень удобный сервис по построению графиков, решению задач и прочему.

Помимо построений по заданным точкам и формулам, если графиков несколько, то можно их нарисовать несколько, а потом определить их точки пересечения.

Есть и возможность «зарисовывать» области, что помогает при интегралах, там же можно добавлять граничные условия, многое другое.

Подробнее можно почитать и посмотреть тут (пройтись по всем интерактивным примерам):

ТЕОРИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

А). В общем случае график функции выглядит так. Линейная зависимость.

Б). Ещё в более общем виде график может выглядеть так. Нелинейная (часто квадратичная) зависимость.

В). Иногда может быть логарифмическая зависимость:

В реальной жизни часто имеются «точки» (показатели X, Y) и бывает нужно найти хотя бы приблизительную «формулу графика», некоторые тенденции — такие данные суть статистики.

А статистика применяется в различных сферах знаний — медицина, социальные науки, финансы, эконометрика и др.

Например, ориентировочно знаем, на сколько увеличивается выпуск продукции при росте капиталовложений (X1, Y1; X2, Y2; X3, Y3). Вероятно, будет некоторая логарифмическая зависимость, получилась бы какая-то формула. А была бы формула, могло бы быть интересно, сколько будет Y4 при заданном X4.

Или, например, имеются показатели ВВП на душу населения (с поправкой на инфляцию) за 10 лет. И показатели продаж, ну, допустим, импортных автомобилей. Будет, скорее всего, некоторая линейная зависимость. И если точный график мог бы не так помочь, то как минимум приблизительно можно было судить о некоторой взаимозависимости факторов (или, так называемой, «корреляции»), которая может быть как положительной (растёт X, растёт Y), так и отрицательной (растёт X, падает Y). Аналитиками также мог бы добавиться дополнительный показатель, так называемый коэффициент «автокорреляции» (поправка на время), поскольку в этом примере идёт некоторый анализ «временных рядов».

А то, насколько приблизительно «правильной» получится модель, мог бы сказать, так называемый, показатель R^2, его ещё называют «коэффициентом детерминации». Который характеризует «плотность выборки» (чем ближе к 1, тем точнее), или точность между имеющимися точками и проходящим через них графиком.

Потому что это та самая формула.

А предположи мы, что формула

Что очень близко, согласитесь, положительная часть графика параболы ведь почти проходит через нужные точки, поэтому он и не равен 1 (иногда в реальных задачах по анализу тенденций показатель R^2 до 0,9 — считается вполне терпимым, хотя лучше 0,99+).

В заключение.

Сначала идёт «сложение», потом «умножение», затем базирующееся на этом «возведение в степень». Увеличивается уровень абстракции, пусть и можно было бы обойтись одним сложением и вычитанием (например, как при японском способе умножения требуются только эти две простые операции).

Так что изучение базы в целом полезно, а также важен подход к обучению. Тогда можно во многом разобраться, в том числе и с регрессией и всяким таким.

Надеюсь, было немного интересно.

Два графика с Desmos. Остальное собственное — CC0.

3.3K постов 20.4K подписчик

Правила сообщества

Публиковать могут пользователи с любым рейтингом. Однако мы хотим, чтобы соблюдались следующие условия:

ДЛЯ АВТОРОВ:

Приветствуются:

-уважение к читателю и открытость

Не рекомендуются:

-публикация недостоверной информации

ДЛЯ ЧИТАТЕЛЕЙ:

Приветствуются:

-конструктивные дискуссии на тему постов

Не рекомендуются:

-личные оскорбления и провокации

-неподкрепленные фактами утверждения

В этом сообществе мы все союзники — мы все хотим учиться! 🙂

Ну, если что, пару моментов по регрессиям.

1. Программы, где можно проводить такой анализ:
— statistica (считается стандартом, но платное ПО)
— excel или calc от libreoffice (свободный аналог excel)
— desmos (примеры выше).

2. Про то, как же определяются коэффициенты k и b автоматически: можно взглянуть, например, тут, для этого есть формула:
#comment_67157857
Там же, кстати, есть и синтетический пример + его решение (как и положено, определяется наиболее подходящая формула и строится график на основе имеющихся данных). Разумеется, раз формула расчёта коэффициентов одна, то и неважно, в какой программе считать, результат должен оказываться одинаковым (как это видно из примера, три разных ПО).

Очень похоже на интерполяцию, это оно?

Своя арифметика⁠ ⁠

Вторым настоящим документом в моей детской жизни после свидетельства о рождении была «Ведомость оценки знаний и поведения». На невзрачной картонке были запечатлены все успехи ученицы 1-го класса «Д» начальной школы № 54 г. Красноярска. И на надписи «Переведена во 2 класс» стояла печать школы.

И если к концу года я стала учиться успешнее, о чём говорят пятёрки, то по арифметике осталась четвёрка. Поэтому на фотографии отличников всех первых классов меня нет. А Ленка Малышева и Ольга Матвеева есть. И это было ну очень обидно!

Чего уж мне не давалась эта арифметика, не знаю. Папа шутил: наследственное! И смотрел насмешливо на маму. И мама, и старшая сестра были не сильны в точных науках. И я такая же оказалась. Ну и ладно!

. Сейчас листаю этот древний учебник (да, он жив) и вспоминаю, как роились у меня в голове сюжеты и образы из задач, и как я додумывала продолжения этих коротеньких историй. Про хозяйку с двумя литрами молока от козы; про детей, расчищающих каток на реке; про печников, кладущих печи; про Валю, несущую 5 кг капусты; про Петю и Мишу с 14 кроликами и про Сеню и Володю с 13 голубями; про Лиду, что принесла 11 поленьев для печки; про Нину, что выгладила 7 носовых платков; про колхозницу, у которой было 6 гусей и 8 уток; про 8 мальчиков и 3 девочек, что лепили снежную бабу; про Митю, что накопал 2 мешка картошки, а его мама 6 мешков (и как тут можно было не задуматься о об их папе?)

На лаконичные тексты задач, как на чужой синопсис, я наворачивала свои разудалые фантазии. Все эти Нины, Пети, печники и хозяйки оживали в моём воображении — разговаривали, менялись кроликами и капустой, мёрзли на катке, грелись у печки, пили молоко, красили по 19 дверей, покупали по 5 переводных картинок, учили по 7 стихотворений и рисовали по 9 открыток. Но персонажи жили сами по себе, а цифры — сами по себе. В моих историях точность не имела никакого значения.

Поэтому после 1 класса я сфотографирована в большой группе ударников. Очевидно, в моём случае буйное воображение постижению арифметики не способствовало. Хотя, может, к таким детям — с «плохой» наследственностью — какой-то иной подход нужен? Но я была единственной, кто сказал учительнице, что батон хлеба не может весить 3 килограмма и что в учебнике ошибка.

А это я со своей любимой бабой Таней.

Работа в школе. Часть третья. О знаниях⁠ ⁠

Предисловие. Еще раз поблагодарю за коментарии. Они мне правда очень важны. Из них я могу понять, о чем писать еще. Пока публикую старые тексты

Периодически вспоминаю рассказы Артура Конан Дойля о Шерлоке Холмсе. В первом из них Ватсон выяснил, что сыщик не знает о том, что земля вращается вокруг солнца. И мотивировал это тем, что ему это не нужно. В фильме Соломин — Ватсон справедливо заметил:

– Как ужасно было бы жить в мире, где не с кем было бы поговорить о поэзии, о живописи, о политике. Где каждый знает только то, что ему нужно для дела.

Вверенные мне дети частично стоят на стороне Холмса. Зачем им география? Зачем история? Хотя… Я с ними в некотором роде согласен. В том виде, в каком есть материал в учебнике, он реально скучен и не интересен. На своих уроках я редко иду по учебнику. Я беру только тему и делаю презентацию на основании интересных фактов и личных наблюдений. И дети удивляются тому, что делаю презентации сам.

Но страшно не то, что они не знают, не помнят… Не хотят знать. Не хотят искать. Мне не нужно, чтоб они знали площадь Африки или высоту озера Титикака. Мне хочется, чтоб они знали, что это есть. Мне, человеку с диагнозом инженер головного мозга, нет необходимости помнить объем синего резинового мячика с определенным радиусом. Я знаю что есть справочник объема синих резиновых мячиков. Поэтому пытаюсь привить детям логичность бытия и желание искать знания. Быть разносторонними, рассудительными, интересными. Я разрешаю детям пользоваться литературой на контрольных работах. Память и ненависть к Александру Сергеевичу им пусть развивают на уроках литературы Онегин с Татьяной, Людмила с Русланом.

Контрольная работа по водным ресурсам России.

Вопрос: Какое самое большое болото: У четырех человек ответ: Пантанал. Это болото находится в Южной Америке. Это притом, что я предупреждал, что пользование непроверенной информацией ведет к провалу.

А самое странное, что Яндекс на запрос: «Самое большое болото» выдает в первой строке – Васюганское. Откуда они это берут?

Какое самое западное из крупнейших артезианских источников России. В учебнике два варианта – Западно-Сибирский и Подмосковный. Оба класса ответили: Западно-Сибирский.Здесь, конечно, для их уровня это задача со звездочкой. Но, стало понятно, что найти запад им проблематично, да и с логикой нелады. Кто похитрее – написали оба варианта. Ошибка Техасского стрелка.

Задание в другой контрольной работе, для седьмых классов:

Африку почти посередине пересекает_______________ и поэтому она находится в ________________________и __________________________полушариях?

Некоторые, конечно написали экватор, но делит он Африку, по их мнению, на восточное и северное полушарие. На следующем уроке объяснил про экватор и нулевой меридиан и часовые пояса. Дети переписали контрольную, но ошибки в этом вопросе все равно были. Ну, возможно, я плохо объясняю. На вопрос, что они делали на географии в предыдущих классах, они ответили, что ее не было вообще.

Тема: Океаны. На следующем уроке один безумец решил у доски показать на карте все океаны. На стене была спроецирована карта. Он вышел и осознал, что все надписи на английском. Опозорился на Пацифистском океане. А это, на минуточку – седьмой класс. Понимаете, какие знания у четырнадцатилетних детей? Я это знал в семь лет. Мне кажется, что они думают, что земля плоская.

Очередная контрольная работа. Южная Америка.

Периодически слышу вопросы из класса, адресованные друг другу. Один из них был — А где восток? Другой написал, что самая сухая пустыня Южной Америки находится в Антарктиде, ближайший материк к Южной Америке – Куба. Но, это еще ничего, сейчас они стали хоть что-то соображать. Месяц назад они находили Средиземный Океан.

Я уже иногда боюсь удивляться, возможно это дети … Как это толерантно… особенные. Ну реально, нельзя быть настолько тупыми и отрешенными от жизни. Их круг познания вписывается только в 5-6 дюймов экрана мобильного телефона, да и оттуда черпается не самое лучшее.

7 класс. Первый урок.

А надо сказать, седьмых классов три. По 17-20 человек. Фактически приходит человек 15. Мне очень комфортно работать в этих классах. Детей мало, всех можно контролировать. Если шумят, то можно рассадить, мест много.

Сидят, смотрят фильм про Амазонку. Ягуары, муравьи, пираньи и прочие твари. Все смотрят, задние парты иногда отвлекаются в телефон, а за второй парте спит тельце!

Я прошел по классу под веселое шуршание разбегающихся как тараканы телефонов. Подошел к парте со спящим телом. Убрал его рюкзак с соседнего стула. Тело спит. Сел рядом. Тело спит. В момент, когда я занес телефон для селфи, по школе разнеслись овации. Тело проснулось. Говорит: Не спал всю ночь. Уроки делал.

Однажды, в мой рабочий кабинет зашла завуч.

Их у нас две. Одна прям снежная королева из мультфильма. Благородная осанка, белые волосы с ровным каре и челкой до бровей. Абсолютно серьезное лицо. Ровный голос, четкая, безэмоциональная речь. Если бы я был в седьмом классе, то я старался бы не встречаться с ней в коридорах школы. Даже её имя – Юлия Александровна – звучит как имперский марш. Второй завуч — та как снегурочка: Всегда на драйве, с улыбкой и юмором. Всегда собирает гуманитарную помощь, пластиковые крышечки, консервные банки и прочий хлам для общественно полезных предприятий.Еще на ней всевозможные конкурсы, походы в дом пионеров и прочая активность в детском творчестве. Ведет рисование.

Так вот: пришла к нам в кабинет «снегурочка». Рассказывает, что в кабинете химии отваливается штукатурка от стены. И говорит, что ученики 7б класса забыли, как зовут учителя географии, но он добрый и похож на Винни Пуха.

Я улыбался целый день. Мило и приятно. Не знаю почему.

14 февраля я не получил ни одной валентинки. Видимо, я старый и некрасивый. Но перед Новым Годом, мне дети подарили три коробки конфет. Перед 23 февраля — одну коробку. А после – еще одну. И коробку чая. Это правда, очень приятно.

Одно плохо: нельзя детям говорить, что коньяк или виски намного вкуснее и полезнее, чем конфеты.

Работа в школе. Начало. part doux⁠ ⁠

Мой предыдущий пост вызвал некий резонанс. Прошу отнестись к моему повествованию не так серьезно, как некоторые. В нем есть немного художественного приукрашивания.

У меня нет прям маниакально-лютой ненависти к детям. О том, как я сюда попал я расскажу чуть позже. И о предыдущем опыте работы, и о своем образовании, и о преподавании предметов мной и моими коллегами из разных школ. Надеюсь, что со временем заинтересованные рассказом найдут ответы. За отзывы – спасибо. За все. И за негативные и за гативные.

Этот рассказ я начал писать давно. Один из друзей посоветовал. Сначала написал много, теперь пишу реже. Я описываю свои ощущения, стараясь не врать. Конечно, не все так плохо, как я пишу. Мне нравится здесь работать. Да, я не профессиональный учитель, но это не так важно. И работаю я здесь, потому что люблю детей. Но любовь – это эмоция, не всегда положительная. И я хочу сделать этот мир чуточку лучше. А для того, чтоб загрузить в эти головы информацию, больше чем 7 тик-токовых секунд, надо сильно постараться и проявить жесткость, а иногда и жестокость. И если я пишу что дети идиоты и придурки, это не значит, что я к ним так отношусь. Добро будет восприниматься как слабость, его можно применять, когда дети понимают, что револьвер где-то рядом. Ведь, как известно, добрым словом и револьвером можно достичь большего, чем просто добрым словом.

Однажды я показывал в седьмом классе фильм про жизнь в одной бедной Африканской стране и понял,что если не заниматься отловом детей и не вбивать в их голову желание к поиску знаний, через 30 – 40 лет мы будем жить как там.

Мой первый урок.

Мне нужно было подготовить четыре урока. Естественно, я самый умный и все знаю. Мне не надо готовится. Мне нужно знать только тему, а дальше все пойдет само… Я даже заготовил высокоинтеллектуальное вступление для каждой темы.Оно начиналось со слов: Великий кто ни будь однажды сказал что то умное…

Скачал с интернета презентации и решил въехать в профессию на чужом труде. Получилось, мягко говоря, отвратно.

Расскажу немного о первом свидании.

Первое, что делают эти сатаны на первом для учителя уроке – пробивают его. Насколько этот взрослый сможет держать удар. Не ждите добрых детских лиц. Там нет скромных девочек и мальчиков-джентльменов. Там все против всех и все против тебя. Эта стая может разбудить все самые темные черты характера, вызвать тебя на бой и проиграв – выиграть. Они делают это бессознательно, но очень эффективно. А потом, когда покажется, что авторитет начинает завоевываться, неожиданно найдется бандформирование, которое захочет раскороновать авторитета.

…И так каждые 45 минут. На протяжении долгого времени.

Я вошел в класс, как в хату. Суровые взгляды с обоих сторон. Осмотрел весь класс и подошел к доске. Взял мел и написал белым по деревянному, как меня зовут. Потом повернулся к детям и строго сказал:

— На моих уроках три правила:

1. Никаких мобильных телефонов

2. Говорит только один

3. Взаимоуважение ко всем присутствующим

Правила были забыты в ту же секунду и никогда не выполнялись.

Первым вопросом ко мне было мое отношение к СВО. Это повторялось в каждом классе.Уходил от ответа.

В течение первых пяти учебных часов я потел как шлюха в церкви. Я узнал, что ничего не знаю. На все вопросы из зала отвечал витиевато и сильно поверхностно. Заикаясь сухим горлом.

Короче, поплыл я по полной. Но этот день я запомнил надолго. Правда, он прошел как в тумане.

Вывод в этот день я сделал следующий: риск без опыта ведет к провалу. И мой мир перестал быть тем, каким был до этого. «Большая перемена» стал не просто фильмом, он стал моей жизнью.

Теперь на подготовку уроков я трачу почти все время. Даже в те 20-30 минут дороги смотрю видео по теме. Презентации для уроков делаю сам, обращаясь к различным источникам. Перед уроками обязательно пробегаюсь по презентации и в голове прогоняю его.

С тех пор я каждую неделю прощупываю почву на предмет как заинтересовать детей географией, и почти нашел ответ. Он ближе к слову «невозможно». Как невозможно было заинтересовать тринадцатилетнего меня к истории, географии, математике, литературе. И это притом, что и учителя были хорошие и читать я любил. Мне нравились только Физика и Труды (сейчас -Технология).

Как устроена музыкальная гармония. Пространство кратностей – математик Роман Олейников | Научпоп⁠ ⁠

Что общего между фортепианной клавиатурой и построчной развёрткой телевизора? 😉 Сколько измерений можно выделить в музыкальной гармонии и что это за измерения? Что такое пространство кратностей и как оно помогает понимать и создавать новую музыку? Почему для построения музыкальной гармонии важны простые числа и что такое микрохроматика? Рассказывает Роман Олейников, математик, музыкальный теоретик, соавтор канала Пространство музыки (Science 4 Music), сотрудник лаборатории биомеханических систем Института машиноведения РАН.

Король и Шут⁠ ⁠

«Математика» калейдоскопа | Лекции по математике – математик Николай Андреев | Научпоп⁠ ⁠

Как устроена игрушка-калейдоскоп с математической точки зрения? Как сделать калейдоскоп из двух зеркал? На каких геометрических фигурах можно строить калейдоскопы и что произойдёт, если попробовать использовать что-то другое? В чём заключается свойство калейдоскопичности и какой раздел математики описывает связанные с ним закономерности? Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Ответ на пост «Прекрасное далеко не будь ко мне жестоко»⁠ ⁠

Прекрасное далеко не будь ко мне жестоко⁠ ⁠

Если вы что-то не поняли в детстве, есть шанс вникнуть сейчас;-)⁠ ⁠

С удовольствием продолжаю делиться с вами очаровательными выпусками цикла короткометражных телефильмов «Геометрия для малышей», который в лёгкой игровой форме рассказывает малышам об основных понятиях раздела математики — геометрии, науке древней и очень необходимой в жизни.
Сегодня для вас — серия «Про точку и королевскую дочку». Итак. Геометрия – это наука о том, как быстро и просто изображать сложные предметы. Это наука трудная, и знакомство с ней начнется с геометрического понятия точки. Что такое изображение, и что общего между точкой, бочкой и королевской дочкой? Обо всём этом по порядку…

Новосибирсктелефильм, 1982 г. Источник: канал на YouTube «Советское телевидение. Гостелерадиофонд России», www.youtube.com/c/gtrftv

Правописание НЕ с причастиями⁠ ⁠

В каких случаях «не» с причастиями пишется слитно, в каких – раздельно. Смотри в нашем новом видео!

Ученики Carmel High School (штат Индиана) показали свою школу⁠ ⁠

Пишут, что школьный совет округа Гамильтон, к которому относится эта школа, тратит на одного ученика $10,3 тыс. в год.

Ответ на пост «Бедные старшеклассники»⁠ ⁠

Хаха. Приезжал давеча в одну из наших школ губернатор. Самые буйные классы отправились на удаленку в этот день, остальных НЕ ВЫПУСКАЛИ из классов, пока губер был в школе. Его провели по самых красивым и современным помещениям, бОльшую часть школьников он не увидел, как и они — его. От такое вот «общение» с простыми смертными. В новостях, конечно же, вышел красивый пост и ни слова об идиотизме с запертыми школьниками.

Советские короткометражки "Геометрия для малышей". Просто чудо!⁠ ⁠

На советском телевидении выходило много образовательных программ и телефильмов для младшего поколения — дошкольников и школьников, которые раскрывали молодому поколению основы различных наук. Причём всегда — в доступной форме, с юмором, наглядно и очень увлекательно! Вот и цикл короткометражных телефильмов «Геометрия для малышей» в лёгкой игровой форме, на простых примерах объясняет малышам основные понятия геометрии, потому что в действительности она присутствует повсеместно.
Предлагаемый вам фильм цикла состоит из двух игровых сюжетов. «История с ромбами» знакомит не только с ромбами, но и с подобием и равенством фигур, а также с устройством пантографа – прибора, с помощью которого можно скопировать изображение и нарисовать равные фигуры. «Кино и зеркала» рассказывает о симметрии и о применении зеркал в киносъёмке.

Новосибирсктелефильм, 1983 г. Источник: канал на YouTube «Советские фильмы, спектакли и телепередачи. Гостелерадиофонд», https://www.youtube.com/channel/UC7FDlGcSUqeSZHh1LRMM1OQ?sub_confirmation=1

Ответ на математический пример⁠ ⁠

случайно увидел тему, где люди спорили. Вот ответ

Помогите решить задачу за 2 класс⁠ ⁠

Работаю учителем в старшей школе. Одна из коллег обратилась за помощью к нашим математикам, с просьбой решить задачу, заданную внуку — второкласснику. Пытливые математические умы решить задачу не смогли.

Коллеги, учителя начальных классов, сжальтесь, расскажите как это решать!

Алексей Савватеев о популяризации математики | Научпоп⁠ ⁠

Мы продолжаем цикл, посвящённый популяризации науки в России. Вы узнаете мнение наших лекторов о том, какой должна быть популяризация науки, её проблемах и достижениях, социальном и практическом значении, о том, как они пришли к этой деятельности, и зачем ею необходимо заниматься.

Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.

Как выйти на орбиту при помощи пушки⁠ ⁠

Всем доброго времени суток. Чуть менее года назад мне попался пост про SpinLaunch, где в комментариях речь зашла о том, можно ли выйти на орбиту при помощи пушки и без включения двигателей. Ну и мне захотелось узнать ответ на этот вопрос. Захотелось, но то времени не было, то просто лень было что-то делать. Но вот руки дошли до поста, поэтому прямо сейчас проверим, можно ли выйти при помощи пушки на орбиту? А также в конце затрону вопрос о том, как лучше всего выходить на орбиту с использованием и пушки, и двигателей

На первый взгляд кажется, что выйти на орбиту, придав спутнику импульс на поверхности планеты, невозможно. Если не учитывать сопротивление воздуха, то точка старта будет принадлежать орбите аппарата, а еще там вертикальная скорость будет положительна, из чего следует, что перицентр окажется ниже поверхности. Но вот если добавить атмосферу, то картина изменится. Спутник всегда будет двигаться только вверх в атмосфере (ему все-таки из нее выбраться надо). Поэтому аэродинамическое сопротивление будет толкать спутник вниз. Если вы знакомы с орбитальной механикой и/или играли в Kerbal Space Program, то, я уверен, знаете, что если включить двигатель по направлению к или от небесного тела, то орбита начнет как бы «поворачиваться» относительно положения аппарата. Более понятно это показано на картинке, где орбита будет отчасти похожа на текущую орбиту нашего спутника в какой-то момент времени при движении в атмосфере:

Можно сразу заметить, что при таком «повороте» орбиты перицентр увеличивается. Значит теоретически может быть такой случай, когда спутник сам выйдет на орбиту. Давайте это проверим и попытаемся найти такой случай

Модель спутника

Так как основы никакой нет, то сами выберем, каким будет спутник. В качестве модели я решил взять конус диаметром 1 м, углом раствора 30 градусов и массой 500 кг. Этакий набор кубсатов под бронированным колпаком 🙂
В полете важную роль будет играть сопротивление воздуха, поэтому вычислим среднее значение коэффициента сопротивления воздуха. Но не совсем того, что нам дает классическая формула F = p * S * c * v^2 / 2, а немного другого. Запишем формулу ускорения от аэродинамического сопротивления: a = p * S * c * v^2 / 2m, заметим, что все, кроме p и v, — это константы. p, то есть плотность среды, мы заменим на p0 * e^(k * H), то есть аппроксимируем плотность от высоты при помощи экспоненты. Перепишем формулу ускорения: a = (p0 * S * c /2m) * v^2 * e^(k * H). Теперь все константы перепишем в одну a = C * v^2 * e^(k * H). Вот эту C мы и найдем
Сама по себе C — это не константа, так как коэффициент сопротивления воздуха для одной и той же формы разный при разных скоростях. Однако на больших скоростях он колеблется незначительно (что мы дальше и увидим), поэтому его можно принять константой (в целом, для более точного решения нужно C найти через интерполяцию его значений при конкретных скоростях, но для этого нужно взять довольно много точек, что делать не особо хочется, да и на точность это сильно не повлияет, зато прибавит лишней работы)
Ну коль надо измерять сопротивление воздуха, то нам понадобится САПР, в моем случае это SolidWorks. Запускаем, создаем модель, заходим во FlowSimulation и создаем проект:

Скорость -30000 м/с — один из расчетных случаев

Теперь поставим в проекте цель находить силу по оси Oy и по несколько раз запустим расчет, каждый раз меняя значение скорости потока воздуха. Я буду измерять с 8000 м/с до 30000 м/с с шагом в 1000 м/с. Для каждой скорости записываем действующую силу. Дальше, возвращаясь к формуле ускорения, мы избавимся от e^(k * H). Так как в SolidWorks-е воздух имеет такую же плотность, что и воздух у поверхности Земли при н.у., то переменная H становится равна нулю, а экспонента — единице. Ну а чтобы вычислить тот самый коэффициент, мы будем силу делить на массу и на квадрат скорости (сила на массу даст ускорение, а если ускорение поделить на квадрат скорости, то получим только коэффициент, ну и еще экспоненту, но мы от нее избавились). Короче говоря, пишем таблицу в экселе:

1-ый столбец — скорость, 2-ой — искомый коэффициент, 3-ий — сила, действующая на модель при данной скорости
Осталось найти среднее значение. Но как это сделать? Будем действовать так же, как при нахождении средней скорости: проинтегрируем функцию C(v), полученную интерполяцией табличных значений, а затем разделим на разность пределов интегрирования. В качестве пределов интегрирования будут использованы минимальная и максимальная скорость, что логично. Запускаем Wolfram Mathematica, пишем и выполняем следующий код:

Можно заметить, что сам коэффициент колеблется незначительно, что нам на руку

В целом, это все, что нужно знать про модель. В решении мы пренебрежем уменьшением массы от испарения аблятора, напряжения и деформацию рассматривать не будем (так как первое нам не нужно, а второе будет очень маленьким). Также примем, что наш конус при движении острием вперед устойчив, то есть его ось всегда совпадает с вектором скорости воздуха. На деле так случается не всегда, все зависит от центра масс, но будем считать, что спутник мы сделали устойчивым

Плотность атмосферы

У нас остался неизвестный коэффициент при экспоненте, его тоже надо найти (конечно, можно и плотность интерполировать, но для этого нужно много точек при больших высотах, что, опять же, делать не очень приятно, к тому же приближение через экспоненту работает довольно точно). Находим ГОСТ 4401-81 Атмосфера стандартная и из него берем плотности воздуха при разных высотах, далее записываем их в эксель и строим график. Создаем линию тренда, делаем ее экспоненциальной и выводим уравнение на график

Тут же сразу замечаем, что у полученной функции в нуле плотность не равна плотности воздуха при нулевой высоте. Поэтому полученный прежде коэффициент для сопротивления воздуха нужно переделать. В нем есть начальная плотность, которая как раз равна 1,225 кг/м^3. А при приближении экспонентой она должна быть равна 1,3611 кг/м^3. Поэтому сам коэффициент разделим на 1,225 и домножим на 1,3611. На картинке он есть, вон в низу красуется)

Составление модели полета

Вводные данные есть — значит можем приступать к самой модели полета. Сразу определимся, что в ней будем учитывать, а что не будем. Во-первых, в учет пойдут только сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Остальные силы очень малы, поэтому ими можно пренебречь. Помимо этого не будем учитывать моменты. Мы заранее приняли, что аппарат будет устойчив, поэтому можно не записывать уравнения моментов и не вводить зависимость сопротивления воздуха от ориентации: спутник всегда направлен по движению (a.k.a. по програду). Также по мелочи, не будем учитывать изменение радиуса Земли (и эллиптичность самой Земли в сечении) при разной широте старта
Систему координат возьмем декартову, трехмерную. Нуль координат будет совпадать с центром Земли
Приступим к формулам. Нам надо выразить ускорения по 3 осям
Начнем с силы тяжести. При помощи чертежа находим, как будет зависеть проекция силы на ось от координат тела:

Выражение записано только для оси Ox, однако оно аналогично для и для Oy и Oz
Теперь выражаем F, вернее a, и записываем проекции ускорения от силы тяжести на каждую из осей

Теперь строим чертеж для силы сопротивления воздуха:

И также выражаем ускорение от АС, а затем и ускорение в проекциях

Однако здесь можно сразу заметить один нюанс: мы не все выразили через x, y и z и их производные. Дело в том, что Земля крутится, а вместе с ней и атмосфера. При помощи чертежа определим, как зависит скорость воздуха от координат и перезапишем v-шки через них:

Перезапишем формулы для сопротивления воздуха:

И составим сами уравнения модели:

Казалось бы все, модель готова. Но тут есть нюанс. Работать с трехмерной моделью полета не очень удобно, к тому же это более ресурсозатратно (а еще у меня Wolfram может сильно косячить с графиками в 3D). Поэтому сократим количество измерений до 2
Для этого примем, что орбита находится в одной плоскости (на деле она чуть-чуть смещается, как раз из-за вращения атмосферы, но это смещение довольно мало). Плоскость орбиты должна проходить через место старта и нуль системы координат. Из этого следует, что ее наклон к плоскости Oxy равен широте места старта. Теперь для удобства примем, что ось Ox принадлежит этой плоскости (это соответствует случаю, когда x-координата места старта равна нулю). Теперь на этой плоскости проведем систему координат Ox0y0, причем x0 совпадает с x (поэтому вместо x0 будем писать просто x). Построим чертеж и выразим y и z через y0, а также запишем их производные первого и второго порядка:

Перепишем систему в двух измерениях. y0 выразим из y (выражение через z и y дают разные формулы, которые численно не сильно отличаются. Это как раз из-за того, что на деле орбита не находится в одной плоскости):

Вот теперь модель готова

Поиск решений для задачи

Теперь надо найти такие комбинации начальных скоростей по обеим осям, чтобы аппарат вышел на орбиту (или убедиться, что их нет). Так как данная модель не имеет аналитического решения, то придется просто перебирать решения (сразу добавлю, что для всех параметров сразу все же можно найти решение, для этого нужно решить систему R(t0) = (6371000 + 180000) м) и R'(t0) = 0 (здесь вводится полярная система координат), однако я не нашел способа сделать это в Wolfram-е, а также для такого решения банально не хватает мощностей моего компьютера). Это не даст стопроцентный ответ на поставленный в начале вопрос, но по самим траекториям можно будет предположить, каков ответ
Как будем перебирать? Я решил выбрать более менее подходящий вариант между точностью и затратами на расчет, поэтому выбрал ограничения для начальных горизонтальной и вертикальной скоростей в 3000 м/с и 8000 м/с соответственно снизу и 30000 м/с сверху (да, стоило в начале посчитать коэффициент вплоть до 30000*Sqrt(2) м/с, но коэффициент ведь считаем постоянным, а поэтому можно использовать и тот, что есть). Шаг для обеих скоростей выберу в 500 м/с. В итоге получим 2475 траекторий, которые надо отсмотреть и проанализировать
Также в решении надо будет ввести ограничение по времени внутри системы (то есть от какого до какого момента моделировать полет). Для этого нижнее (оно же начальное) значение времени будет равно 0, а верхнее я решил принять равным орбитальному периоду для спутника на эллиптической орбите с апогеем ровно на границе сферы тяготения и перигеем в 180 км (число взято не совсем из головы, изначально я предполагал вводить уплощенную модель, которая имеет аналитическое решение, чтобы определить, среди каких скоростей искать решение, и вот там как раз спутник должен был выйти на орбиту с перигеем в 180 км. Но решение этой модели давало вообще неправильные цифры (для примера — чтоб хотя бы просто не упасть на Землю, нужна была горизонтальная скорость в

150 км/с, что в полной модели давало достижение второй космической), поэтому я от него отказался)
Итак, пишем код, запускаем его и идем пить чай, че еще делать то)

Через несколько минут приходим назад и мотаем вниз в поиске кучи надписей Null в фигурных скобочках. Если они есть и новых графиков не появляется, значит расчет окончен. Можем приступать к анализу
Но перед этим сразу определим, какие графики мы можем теоретически получить. Их 4 типа:

Прямая с малой кривизной. На координатных осях значения до примерно 1*10^11. Это случай, когда аппарат набрал вторую космическую скорость и покинул сферу тяготения Земли

Прямая с малой кривизной. На координатных осях очень большие значения, больше чем в первом типе. Это случай когда спутник упал на Землю. Из-за экспоненциальности плотности воздуха и учета вращения атмосферы спутник, оказавшись под поверхностью планеты, начинает испытывать очень сильное действие силы сопротивления воздуха, которое не останавливает его, а заставляет двигаться. В купе с этим из-за перехода к 2 измерениям спутник не движется по «орбите» под землей, а очень сильно ускоряется крутящейся атмосферой, из-за чего набирает гигантскую скорость и улетает от Земли на миллионы световых лет

Разомкнутый эллипс. Это тот случай, когда апогей оказался не сильно выше границы сферы тяготения. Так как есть ограничение по времени, заданное максимально высокой орбитой, то при апогее ниже границы, эллипс должен быть замкнутым (или почти замкнутым, но там расстояние между началом и концом кривых должно быть маленьким)

Замкнутый эллипс. Это как раз стабильная орбита. Эллипс может быть чуть-чуть разомкнутым, об этом написал выше

И теперь скроллим все две с половиной тысяч графиков и смотрим на них. Пока прикреплю пару примеров:

Первый тип траектории

Второй тип траектории. Видны очень большие значения координат на осях

Эллипс, который «не шмог» ) Неизвестно, какой у него перигей, но вот апогей оказался выше границы сферы тяготения, поэтому на такую траекторию в реальности все же не выйти. Ах да, это третий тип

Еще один довольно причудливый график. Здесь спутник вышел из атмосферы, сделал виток и упал на Землю (об этом говорит последний кусок траектории), после чего полетел далеко-далеко от Земли. Ну и это второй тип траектории

Как вы могли заметить, я не привел пример 4 типа графиков. А все потому что таковых не было. Хоть выборка и довольно грубая (шаг аж в 500 м/с), она дает понять, что скорее всего выйти на орбиту без включения двигателей не получится (на самом деле то довольно много есть итераций, в которых спутник покинул атмосферу, но потом упал на Землю). Что ж, удручающе, хотелось найти какое-нибудь решение. Хоть и такой результат неудивителен

Как все же можно выйти на орбиту?

Но представим, что нам ну очень хочется на орбиту. Мы уже и пушку купили, и спутник. Логичным становится то, что к спутнику нужно приделать ступень. Представили, что приделали, теперь надо узнать, как из пушки нужно выстрелить и сколько надо дельты
Пусть мы хотим выйти на круговую орбиту радиусом R + R0. Если в описанной прежде системе закрепить угол наклона к горизонту и менять только скорость, то можно заметить, что при росте скорости растет апогей (ну то есть высота апогея от скорости — функция монотонная). А значит, для данного угла существует только одно значение скорости, которому соответствует требуемое значение апогея. Тогда общее множество решений для случая, когда апогей равен R, является некоторой кривой (при решении R(t) = R + R0 это будет поверхность t(v0, a), и это будут все траектории, проходящие через R + R0. Так как при увеличении скорости растет апогей, то нам для каждого угла a нужна одна скорость, которая будет минимальна для этого угла a в t(v0, a). А это как раз и получается кривая)
Теперь из этого множества решений нужно взять одно подходящее. И оно соответствует той комбинации угла наклона и начальной скорости, при которой последняя будет минимальна. Это следует из того, что с ростом скорости максимальное значение силы сопротивления воздуха растет квадратично, а скорость в апогее — приблизительно линейно. В данном случае увеличение скорости незначительно понизит нужную дельту (линейно уменьшится), зато сильно повысит массу конструкции спутника и ступени (будет также увеличиваться квадратично). Учитывая сильный рост массы конструкции, чтоб дельты было достаточно, нужно будет также увеличить начальную массу по сравнению со случаем для минимальной скорости (это следует из того, что нужная дельта убывает медленнее, чем растет масса конструкции). В итоге получим большие затраты по топливу, материалам для ступени, большие ограничения на спутник из-за перегрузок и большие энергозатраты на запуск из пушки. А это нам не особо надо. Конечно, могут быть случаи, когда подходящая начальная скорость не равна минимальной. Но тут уже нужно конкретно рассматривать конкретную ступень и спутник.
Если сократить, то получим, что для выхода на орбиту нужно решить один из вариантов модели полета из поста (в идеале — трехмерную, используя плотность и коэффициент сопротивления воздуха как функции, полученные интерполяцией, а также учитывая все все все силы, испарение аблятора, моменты и т.д.) в параметрическом виде, причем в полярных координатах (перейти к ним не сложно: выражаем декартовы координаты через произведения радиуса и синусов/косинусов угла/углов -, так что это не проблема), далее найти функцию t(v0, a), удовлетворяющую условию R(v0, a)(t) = R + R0, затем найти кривую, в которой каждому a соответствует минимальная v0 и среди v0, принадлежащих этой кривой, найти либо минимальную v0 (то есть минимальную v0 для t(v0, a)), либо найти такую v0, которая даст минимум массы спутника со ступенью (в большинстве случаев она совпадает с минимальной). Затем по v0 найти a, решить модель с заданными параметрами и уже по ней определить все остальные требования к спутнику (дельта, прочностные характеристики и т.п.). Замечу, что процесс итерационный, так как коэффициент сопротивления воздуха берется из модели аппарата, а модель из характеристик, которые берутся из решения модели полета, для которой нужен коэффициент сопротивления воздуха.

Ну а на этом пост заканчивается, ведь ответы на все вопросы из его начала получены. Надеюсь, читать было интересно, а содержание было понятным. Если есть какие-либо вопросы или что-то оказалось непонятным — пишите в комментариях, постараюсь более подробно разобрать. Буду рад критике, советам и дополнениям к содержанию поста.

Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением

Функция — одно из важнейших понятий математики, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояния, но и процессы. Исследование процессов и явлений с помощью функций — один из основных методов современной науки. Вы будете изучать функции во всех последующих классах и в высших учебных заведениях.

Содержание:

Функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

В различных процессах, которые происходят в природе, можно увидеть, как одни величины изменяются в зависимости от других. Например, путь, пройденный пешеходом, зависит от времени, стоимость покупки зависит от её количества. Путь и время, стоимость и количество, переменные величины. Одна из этих величин независимая, другая изменяется в зависимости от первой. Так, время является независимой переменной, путь — величина, зависимая от времени, количество купленного товара — независимая величина, стоимость покупки зависит от количества. Понятно, что каждая из переменных величин принадлежит какому-то определённому множеству.

Если каждому элементу х из множества X, по определённому правилу ставится в соответствие определённое и единственное значение у из множества У, то такое соответствие называется функцией. Здесь х называется независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией. Обычно функцию обозначают так

Множество значений, которые может принимать аргумент, называется областью определения и обычно обозначается множество значений, которая может принимать функция для заданных значений переменной, называется множеством значений функции (областью значений) и обычно обозначается .

Подробное объяснение функции:

Напомним, что зависимость переменной от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение .

В курсе алгебры и начал анализа пользуются определением числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу из множества D ставится в соответствие единственное число .

Понятие числовой функции:

Числовой функцией с областью определения называется зависимость, при которой каждому числу из множества (области определения) ставится в соответствие единственное число .

Записывают это соответствие так:

Обозначения и термины:

• — область определения
• — область значений
• — аргумент (независимая переменная)
• — функция (зависимая переменная)
• — функция
• — значение функции в точке

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию Число соответствующее числу (на рисунке к пункту 1 табл. 3 это показано стрелкой), называют значением функции в точке и обозначают

Область определения функции — это множество тех значений, которые может принимать аргумент . Она обозначается

Область значений функции — это множество, состоящее из всех чисел , где принадлежит области определения. Ее обозначают .

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой , то ее область определения: то есть а область значений: то есть

Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множествах значений аргумента. Например,

Функцию можно задать не только с помощью формулы, но и с помощью таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке графически задана функция с областью определения и множеством значений

График функции:

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами где первая координата «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции в точке

Значение, которое принимает функция в некоторой точке множества , на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим на этом множестве), если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. То есть для всех выполняется неравенство (соответственно для наименьшего значения).

Иногда это записывают так: (соответственно ). Например, для м функции , графически заданной на отрезке на рисунке 16, наименьшее значение равно 1, а наибольшее — 4. То есть

Что такое функция

Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Каждому значению длины стороны квадрата соответствует единственное значение его площади (рис. 53).

Масса куска мела зависит от его объёма. Каждому значению объёма V куска мела соответствует единственное значение его массы m.

Каждому значению массы груза, подвешенного на пружине, соответствует определённая длина пружины (рис. 54).

Каждому значению температуры воздуха t соответствует единственное значение высоты h столбика жидкости в термометре.

Каждому значению переменной х соответствует единственное значение выражения 2х — 1.

Примеров зависимостей и соответствий между переменными можно привести много» Для науки и практики важно уметь исследовать такие соответствия. Их называют функциональными соответствиями, или функциями.

В рассмотренных примерах речь идёт о связи между двумя переменными. Одну из них, значения которой выбирают произвольно, называют независимой переменной, или аргументом. Другую переменную, зависящую от аргумента, называют зависимой переменной, или функцией.

Независимыми переменными (аргументами) в приведённых выше примерах являются: длина стороны квадрата, объём куска мела, масса груза, температура воздуха. Их значения можно выбирать произвольно. Зависимыми переменными будут: площадь квадрата, масса мела, длина пружины, высота столбика жидкости в термометре.

Если каждому значению переменной х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, то переменную у называют функцией от х.

При таких условиях переменную х называют аргументом функции у, множество D — областью определения функции, а соответствие между х и у — функциональным соответствием, или функцией.

Все значения, которые может принимать аргумент функции, — её область определения. А все соответствующие значения функции — область значений функции (Е).

Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а. Здесь S — функция, а — аргумент. Область определения этой функции — множество всех положительных чисел.

Высота h столбика жидкости в термометре — функция от температуры t. Здесь h — функция, t — аргумент. Пусть, например, на протяжении суток температура воздуха повышалась от -5° до 7°, а высота столбика жидкости в термометре — от 20 до 32 см. Этому изменению соответствует некая функция, областью определения которой является промежуток от -5° до 7°, а областью значений — промежуток от 20 до 32 см.

Задавать функциональные соответствия можно разными способами. Часто их задают формулами. Например, соответствие между длиной а стороны квадрата и -его площадью S можно задать формулой

Соответствие между радиусом окружности r и её длиной С можно задать формулой

Соответствие между значениями переменной х и значениями у выражения 2х — 1 можно задать формулой у = 2х — 1.

Задание функции формулой удобно, так как это даёт возможность находить значение функции для произвольного значения аргумента. Такое задание функции довольно экономно: в основном формула занимает одну строку.

Если функцию задают формулой и ничего не говорят об области её определения, то считают, что эта область — множество всех значений переменной, при которых формула имеет смысл. Например, область определения функции у = 2х-1 — множество всех чисел, а функции — множество всех чисел, кроме 1, так как на 0 делить нельзя.

Областью определения функции, которая задаётся многочленом

Областью определения функции, которая задаётся многочленом с одной переменной, есть множество всех чисел.

Задавать функции можно и в виде таблицы. Например, функцию у = 2х — 1 для первых десяти натуральных значений х можно задать в виде такой таблицы.

• область определения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10;
• область значений: 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19.

Табличный способ задания функции удобен тем, что для определённых значений аргумента в таблицу уже занесены соответствующие значения функции, поэтому не нужно проводить вычисления. Неудобен он тем, что таблица занимает больше места. Вдобавок, как правило, содержит значения функции не для всех значений аргумента, а только для некоторых.

Функцию можно задавать и словесно. Например, если каждому целому числу поставить в соответствие его квадрат, то получим функцию, областью определения которой является множество целых чисел, а областью значений — множество квадратов натуральных чисел и число 0.

Слово функция имеет и другое значение: деятельность, выполнение. Например, говорят о функциях старосты класса, функции печени в организме человека.

И слово аргумент нередко используют в другом значении. В логике под словом аргумент понимают доказательство, основание, на основе которого устанавливают истинность или ошибочность того или иного суждения.

Обратите внимание на соотношение понятий «функциональная зависимость» и «функциональное соответствие» (рис. 55). Из рисунка видно, что существуют соответствия, не являющиеся зависимостями. Например, формулы задают функции, но в них переменные у не зависят от х.

На координатной прямой кроме точек с рациональными координатами существует множество таких точек, координаты которых — числа не рациональные. Их называют иррациональными.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел (R). Подробнее с действительными числами и их свойствами вы ознакомитесь в 8 классе. А пока, имея в виду множество действительных чисел, будем использовать термин «все числа».

Пример №1

Найдите значения функции, заданной формулой у = 2х + 7, соответствующие таким значениям аргумента: 0; 4; 0,8; — 125; 105. Результаты сведите в таблицу.

Решение:

Пример №2

Найдите область определения функции:

Решение:

а)Формула, с помощью которой задаётся функция, — многочлен, а потому область её определения — множество всех чисел;

б)переменная х может иметь любые значения, кроме тех, при которых знаменатель дроби равен нулю. Чтобы их найти, решим уравнение

Итак, область определения функции — множество всех чисел, кроме х = 3, х = -3.

График функции

Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые х и у, пересекающиеся в начале отсчёта — точке О (рис. 60).

Плоскость, на которой заданы такие координатные прямые, называют координатной плоскостью, прямую х — осью абсцисс, прямую у — осью ординат, точку О — началом координат.

Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел. Например, точке А соответствует пара (3; 2), так как прямая перпендикулярная оси х, пересекает её в точке с координатой 3, а прямая перпендикулярная оси у, пересекает её в точке с координатой 2 (рис. 61). Говорят, что точка А имеет координаты 3 и 2. Записывают: А (3; 2). Здесь 3 — абсцисса, 2 — ордината точки А. Первой всегда пишут абсциссу. Начало координат — О (0; 0).

Каждой паре чисел на координатной плоскости соответствует единственная точка. На рисунке 61 показано, как обозначить, например, точки Пусть имеем функцию у- 2х-3, где Составим таблицу значений этой функции для целых значений аргумента.

Нанесём на координатную плоскость точки, координаты которых представлены в этой таблице. Абсциссы точек равны значениям аргумента x; данной функции, а-ординаты — соответствующим значениям функции у, то есть А (- 1; — 5), В (0; — 3) и т. д. Получим 7 точек (рис. 62, а), все они лежат на одной прямой.

Дадим аргументу х ещё несколько дробных значений и вычислим соответствующие им значения функции:

Дополним рисунок 62, а точками, координаты которых представлены в этой таблице (рис. 62, б). Они также размещены на той же прямой. Если придавать аргументу х другие значения и обозначать на координатной плоскости соответствующие точки, то эти точки образуют отрезок (рис. 62, в). Этот отрезок — график функции у = 2x — 3. Её область определения — промежуток а область значений

Если построенный отрезок мысленно продолжить в обе стороны, то получим прямую. Эта прямая — график функции, заданной той же формулой (у = 2х — 3), но на множестве всех чисел (рис. 63).

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, ординаты — соответствующим значениям функции.

Если описанным способом построить график функции условии, что то получим кривую линию, изображённую на рисунке 64.

Имея график функции, можно для любого значения аргумента (из области определения) указать соответствующее значение функции. Для примера найдём значение функции на графике находим точку М с абсциссой 4, а на оси ординат — ординату точки М; она равна 1,5. Следовательно, пользуясь графиком функции, можно составить таблицу её значений, то есть график задаёт функцию. Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Видя перед собой график, можно сразу выяснить свойства функции, заданной им. В частности, можно установить такие её характеристики:

• область определения и область значений функции;
• при каких значениях аргумента значения функции положительны, при каких — отрицательны, при каких — равны нулю;
• на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему-значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В современной математике функции играют важную роль. Их часто используют для создания математических моделей разных процессов, явлений. Когда растёт ребенок, то изменяются его рост, объём, масса; когда взлетает самолёт — изменяются его скорость, расстояние от поверхности земли, масса горючего в баках; когда строят высотный дом — изменяются его высота, масса, стоимость и т. п. Все такие процессы (а их — миллиарды) удобно моделировать с помощью функций. Функция — математическая модель реальных процессов. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Существуют приборы, сами вычерчивающие графики функций: барографы, термографы, кардиографы и т. п. Например, кардиограф чертит график-кардиограмму (рис. 65), характеризующий работу сердца. Прибор термограф отмечает изменение температуры за сутки, неделю, месяц. Специалистам надо уметь читать такие графики.

Пример №3

Является ли графиком функции линия, изображённая на рисунке 66?

Решение:

На данной линии есть три разных точки с абсциссами 4. Если бы такая функция у от аргумента х существовала, то одному значению х = 4 соответствовали бы три разных значения функции. По определению функции такого быть не может.

Ответ. Данная линия не является графиком функции.

Пример №4

Определите, принадлежат ли графику функции точки

Решение:

Если точка принадлежит графику функции, то её координаты должны удовлетворять равенство, задающее данную функцию. Проверим это для каждой точки А, В, С и D этого графика.

Подставим координаты точки А (-4; -4) в равенство

Имеем: Значит, точка А принадлежит графику функции

Для точки

Значит, точка В не принадлежит графику функции

Для точки точка С принадлежит графику.

Для точки

точка D принадлежит графику.

Ответ. Точки А, В и D принадлежат графику функции а точка В не принадлежит этому графику.

Линейная функция её свойства и график

Многие функции, которые приходится исследовать, можно задать формулой — данные числа. Например, если масса пустой бочки равна 30 кг, а плотность бензина — то зависимость между массой m бочки с бензином и объёмом V л бензина в ней можно выразить формулой m = 0,8V+ 30.

Если масса 1 м провода равна 50 г, а катушки без провода — 200 г, то зависимость между массой m. катушки с проводом и длиной l м намотанного на неё провода можно выразить формулой (рис. 76). Такие функции называют линейными.

Линейною называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где х — аргумент, k и b — данные числа.

Рассмотрим две линейные функции, заданные формулами

на множестве всех чисел (R). Описанным в предыдущем параграфе способом построим графики данных функций (рис. 77 и 78).

Видим, что график каждой из приведённых функций — прямая. Можно обобщить примеры и доказать такое утверждение.

График каждой линейной функции — прямая. И каждая прямая на координатной плоскости, не перпендикулярная оси абсцисс, — график некоторой линейной функции.

Для построения прямой, являющейся графиком любой линейной функции, достаточно знать координаты двух точек. Чтобы построить график функций у = 1,5х + 3, надо составить таблицу для двух любых значений аргумента. Например:

Обозначим на координатной плоскости точки с координатами 0 и 3, 2 и 0 и проведём через них прямую (рис. 79). Это и есть график функции

Свойства линейной функции для разных значений k можно определить по графикам, представленным, например, на рисунках 77 и 78. Представим их в виде таблицы.

Свойства линейной функции при условии, что k = 0, предлагаем сформулировать самостоятельно.

Рассмотрим частные случаи линейных функций.

Если k = 0, то функция

имеет вид у = b. График такой функции — прямая, параллельная оси х (рис. 80).

Если то линейная функция имеет вид

Эту функцию называют прямой пропорциональностью, так как любые (отличные от нуля)

Значение такой функции пропорциональны соответствующим значениям аргумента. Для примера составим таблицу значений функции

Здесь числа 12 и 15 пропорциональны числам 4 и 5, ведь 12:15=4:5; числа — 6 и 9 пропорциональны числам — 2 и 3, ведь — 6:9 = -2:3ит. д.

График прямой пропорциональности— прямая, проходящая через начало координат. На рисунке 81 изображены графики функций

Пример №5

Постройте график функции, заданной формулой

Решение:

Данная функция — линейная, её график — прямая. Определим координаты двух точек этой прямой, составив таблицу.

Нанесём на координатную плоскость точки А(0; 1) и В(2; 2) и проведём через них прямую (рис. 82). Это и есть график данной функции.

Существуют функции, не являющиеся линейными на всей области определения, но на отдельных промежутках области определения имеют свойства линейных. Их графики — ломаные линии. Рассмотрим одну из таких функций.

Пример №6

Постройте график функции

Решение:

По определению модуля можем записать:

Следовательно,

Это функция, которая на двух разных промежутках задаётся разными формулами линейных функций:

Составим такие таблицы их значений.

Построим график функции (рис. 83).

Исторические сведения:

Некоторые примеры соответствий между переменными, теперь называющимися функциями, учёным были известны очень давно. В Вавилоне ещё более 3000 лет тому назад были составлены таблицы квадратов и кубов натуральных чисел, которые сейчас можно считать табличным заданием функций

Общее понятие функции было введено только в XVII в. Сначала Р. Декарт ввёл понятие переменной величины и систему координат, начал рассматривать зависимость ординат точек графика от их абсцисс. Слово «функция» (с латинского — действие, выполнение) впервые ввёл немецкий математик Г. Лейбниц.

Функциями он называл абсциссы, ординаты и некоторые отрезки, связанные с точкой, которая в процессе движения описывает определённую линию.

Г. Лейбниц — выдающийся немецкий учёный. По образованию — юрист. Работал библиотекарем, историографом, организовал Берлинскую академию наук. Исследовал проблемы математики, философии, языковедения, химии, геологии, конструировал вычислительные машины.

Усилиями многих математиков (И. Бернулли, Л. Эйлера, Н. Лобачевского, Б. Больцано и др.) понятие функции уточнялось, расширялось и наполнялось новым смыслом. Наиболее общее современное определение функции предложила в XX в. группа математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки: «Функция — это отношение, при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия». Под отношением они понимают соответствие , под областью отправления (областью определения функции) и областью прибытия (областью её значений) — любые множества, а не только числовые. С таким общим понятием функции вы ознакомитесь в старших классах.

Напомню:

Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то переменную у называют функцией от х, переменную х называют независимой переменной, или аргументом функции. Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а.

Функции можно задавать с помощью формул, таблиц, графиков и т. п. Графики функций чаще всего строят в декартовой системе координат, состоящей из двух взаимно перпендикулярных координатных осей — горизонтальной оси абсцисс, или оси х, и вертикальной оси ординат, или оси у (рис. 88). Плоскость с системой координат называют координатной плоскостью, каждой её точке соответствует одна пара чисел. Например, на рисунке 88 точке А соответствует пара чисел (3; 2), её координаты записывают так: А (3; 2). То есть 3 — абсцисса точки А, а 2 — ордината точки А.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Все значения, которые может принимать аргумент функции, образуют её область определения, а все соответствующие значения функции — область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой у = kx + b, где х — аргумент, a k и Ъ — данные числа. Если b = 0, то линейную функцию называют прямой пропорциональностью.

График каждой линейной функции — прямая. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. На рис. 88 прямая КР — график линейной функции у = 2х — 2, прямая MN — график прямой пропорциональности y = — 0,5х.

Дополнительное объяснение графиков функции:

Рассмотрим функцию где Составим таблицу значений этой функции с шагом 1:

Рассмотрим пары чисел, записанные в каждом столбце этой таблицы, как координаты точек координатной плоскости. При этом значение аргумента является абсциссой точки, а соответственное значение функции — ее ординатой.

Эти точки изображены на рисунке 14.

Очевидно, что, придавая аргументу другие значения из области определения и находя соответственные значения функции, можно отметить все больше и больше точек на координатной плоскости (рис. 15, 16).

Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким образом, образуют график функции.

Определение. Графиком функции alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответственным значениям функции alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />.

Очевидно, что описанный метод построения графика функции на практике реализовать невозможно. Ведь точек, которые следовало бы отметить, бесконечно много. Однако, если отметить достаточно много точек, а затем соединить их плавной линией, то полученная кривая (рис. 17) будет тем меньше отличаться от искомого графика, чем больше точек мы отметим.

Поскольку описанный метод построения графика функции требует значительной технической работы, то существенную ее часть может взять на себя компьютер. Сегодня существует много программ, предназначенных для построения графиков. Так, на экране монитора (рис. 18) изображен график функции где

Подчеркнем, что если какая-то фигура является графиком функции , то выполняются два условия:

1. если — некоторое значение аргумента, a — соответственное значение функции, то точка с координатами обязательно принадлежит графику;
2. если — координаты произвольно выбранной точки графика, то и — соответственные значения независимой и зависимой переменных функции , т. е.

Неверно считать, что график функции — это непременно какая-то линия. На рисунке 19 изображен график функции, заданной таблицей:

Он состоит всего лишь из двух точек. Рассмотрим пример построения графика функции, заданной описательно.

Область определения данной функции — все числа. Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно -1; если аргумент равен нулю, то значение функции равно нулю. График этой функции изображен на рисунке 20.

Он состоит из трех частей: точки О (0; 0) и двух лучей, у каждого из которых «выколото» начало.

Далеко не всякая фигура, изображенная на координатной плоскости, может служить графиком некоторой функции. Например, окружность не может являться графиком функции (рис. 21). Здесь по заданному значению аргумента не всегда однозначно находится значение переменной .

Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки.

Рисунок, схема, фотография какого-то объекта или процесса дают о нем наглядное представление. Ту же роль играет для функции ее график. Так, изучая график, изображенный на рисунке 22, можно, например, найти:

1. область определения функции: все такие, что
2. область значений функции: все такие, что
3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю:
4. значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:
5. значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения: и т. д.

После изучения материала этого пункта становится понятно, почему в технике, медицине, экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы, которые позволяют строить графики различных функциональных зависимостей.

Пример №7

Принадлежит ли графику функции, заданной формулой точка:

Решение:

Чтобы установить, принадлежит ли точка графику функции, найдем значение функции при значении аргумента, равном абсциссе данной точки. Если значение функции будет равно ординате данной точки, то точка принадлежит графику, если не равно — не принадлежит.

имеем Следовательно, точка А принадлежит графику данной функции.

имеем Значит, точка В не принадлежит графику функции

Пример №8

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Решение:

Точка принадлежит оси абсцисс тогда и только тогда, когда ее ордината равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение Имеем или Следовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс две точки пересечения:

Точка принадлежит оси ординат тогда и только тогда, когда ее абсцисса равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при Имеем Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке

Ещё раз повторим пройденное рассмотрев два примера:

Пример №9

В бассейне было 200 л воды. В течение мин в бассейн каждую минуту наливали 80 л воды. Тогда объем воды в бассейне вычисляется по формуле

Эта формула задает функциональную зависимость переменной от переменной .

Пример №10

Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было рабочих. Обозначим количество всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой . Тогда зависимость переменной от переменной выражается формулой где — натуральное число.

В этих примерах мы построили функции, описывающие различные реальные ситуации. Однако они похожи тем, что формулы, их задающие, имеют вид

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида где — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.

Вот примеры линейных функций:

Построим график функции

Составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента:

Точки принадлежат искомому графику (рис. 28). Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции (рис. 29).

В старших классах вы докажете, что графиком линейной функции, область определения которой — все числа, является прямая.

Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу, имеющую лишь два числовых столбца.

Пример №11

Постройте график функции

Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости точки (0; 2) и (1; -1) и проведем через них прямую (рис. 30).

Эта прямая и является графиком линейной функции

В формуле задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда

Рассмотрим случай, когда Тогда формула приобретает вид Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что Эта формула показывает, что для функции при отношение соответственных значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно .

Напомним, что в б-м классе, изучая прямую пропорциональность, вы уже познакомились с подобными зависимостями между величинами. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой называют прямой пропорциональностью.

Функции — примеры прямых пропорциональностей.

Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции (это выражает схема, изображенная на рисунке 31), то ее график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом проходит через точку Действительно, если в формуле положить то получим Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эту точку и точку

На рисунке 32 изображены графики прямых пропорциональностей, которые приводились выше в качестве примеров.

Рассмотрим еще один частный случай линейной функции.

В формуле положим Получим Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента.

Пример №12

Постройте график функции

Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например, равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки (рис. 33). Эта прямая параллельна оси абсцисс.

Заметим, что графиком функции является ось абсцисс. Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс.

Пример №13

Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 34.

График данной функции пересекает ось ординат в точке (0; 4). Подставив координаты этой точки в формулу получаем откуда

Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3; 0), то, подставив ее координаты в формулу получим:

Ответ:

Свойства и графики основных видов функций

графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами , где первая координата «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции в точке .

На рисунках к пункту 4 таблицы 3 приведены графики функций и , а на рисунке 17 — график функции .

Приведем также график функции , где — обозначение целой части числа , то есть наибольшего целого числа, не превышающего (рис. 18). Область определения этой — множество всех действительных чисел, а область значений всех целых чисел.

На рисунке 19 приведен график числовой функции , где — обозначение дробной части числа (по определению

Свойства и графики основных видов функций:

Объяснение и обоснование:

Линейная функция y=kx+b

Линейная функция .

Линейной функцией называется функция вида , где и — некоторые числа.

Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.

Область определения — множество всех действительных чисел: поскольку формула имеет смысл при всех действительных значениях (то есть для любого действительного мы можем вычислить значение ) .

Область значений линейной функции будет разной в зависимости от значения коэффициента .

Если , то функция имеет вид , то есть ее область значений состоит из одного числа . В таком случае графиком линейной функции является прямая, параллельная оси , которая пересекает ось в точке (рис. 28).

Если , то (обоснование приведено в примере 3 на с. 35).

Четность и нечетность линейной функции существенно зависит от значений коэффициентов и .

При и функция превращается в функцию , которая является нечетной, поскольку для всех из ее области определения

Таким образом, график функции (рис. 29) симметричен относительно точки .

При получаем функцию , которая является четной, поскольку для всех из ее области определения То есть график функции симметричен относительно оси (рис. 28).

В общем случае при и функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку и также

Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента .

При получаем функцию — постоянную.

При функция возрастает, а при — убывает (обоснование приведено в примере 4 на с. 35).

В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции всегда является прямая линия.

Поскольку при функция принимает значение , то эта прямая всегда пересекает ось в точке . Графики линейных функций приведены в таблице k

Функция y=k/x (k ≠ 0)

Функция .

Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.

Область определения: . Это можно записать также так:

Область значений: . Это можно записать также так:

Для обоснования области значений функции обозначим .

Тогда из этого равенства получим для всех . То есть для всех существует значение , при котором . Таким образом, принимает все действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество, симметричное относительно точки , и

Таким образом, ее график симметричен относительно начала координат (рис. 30 и 31).

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента

Если (то есть ), то для сравнения значений

и рассмотрим их разность:

На промежутке значение и , следовательно, На промежутке значение и , значит, Учитывая, что на каждом из промежутков или , при из равенства (1) получаем , а при получаем

При на каждом из промежутков и , если то , таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

При на каждом из промежутков и , если , то , следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Из курса алгебры известно, что график функции называется гиперболой (она состоит из двух ветвей). При ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а при — во II и IV четвертях (рис. 30 и 31).

Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции , следует помнить, что, например, функция (рис. 32) убывает на каждом из промежутков и , но на всей области определения эта функция не является убывающей (и не является возрастающей). Действительно, если взять и то но а , то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции, и на всей ее области определения функция не является убывающей.

Поэтому же нельзя сказать, что функция убывает при

Функция y=ax 2 (a ≠ 0)

Функция

Как известно из курса алгебры, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при (рис. 33) и вниз при (рис. 34). Поскольку при значение , то график всегда проходит через начало координат.

Область определения: поскольку значение можно вычислить при любых значениях .

Функция четная, поскольку . Таким образом, ее график симметричен относительно оси .

Для описания других свойств воспользуемся графиком функции (рис. 33 и 34). Эти свойства можно обосновать аналитически (проведите такое обоснование самостоятельно) или опираясь на свойства функции и на геометрические преобразования ее графика, которые будут рассмотрены далее в пункте 2.3.

Область значений. При график проходит через начало координат, а все остальные его точки находятся выше оси . Если значение увеличивается до бесконечности, то и значение у также увеличивается до бесконечности , таким образом, , то есть .

Аналогично при график также проходит через начало координат, но все остальные его точки находятся ниже оси . Если значение увеличивается до бесконечности, то значение уменьшается до минус бесконечности , таким образом, , то есть .

Возрастание и убывание. При на промежутке функция убывает, а на промежутке — возрастает.

При на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Квадратичная функция y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0).

Квадратичная функция .

Из курса алгебры 9 класса известно, что функция вида , где — действительные числа, причем , называется квадратичной. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх при и вниз при .

Абсцисса вершины этой параболы . Для обоснования этого достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:

, то есть

( — дискриминант квадратного трехчлена ).

Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта парабола или пересекает ось , или не пересекает , или касается ее .

Основные варианты расположения графика функции представлены в таблице 5.

Охарактеризуем свойства функции , опираясь на эти известные нам графики (самостоятельно обоснуйте соответствующие свойства аналитически).

Область определения: , поскольку значение можно вычислить при любых значениях .

Область значений. При функция принимает все значения , то есть . При функция принимает все значения , то есть .

Четность и нечетность. При получаем четную квадратичную функцию . Действительно,

В общем случае (если ) функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (и не равно ).

Возрастание и убывание. При на промежутке функция убывает, а на промежутке — возрастает.

При на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Поскольку при значение , то график всегда пересекает ось в точке .

Соответствующие графики при приведены также в таблице 4.

Примеры решения задач:

Пример №14

Постройте график функции:

1)

2)

3)

Решение:

1) ►График функции — прямая.

2) ►График функции — прямая.

3) ►График функции — прямая, параллельная оси , которая проходит через точку 4 на оси .

Все данные функции линейные, поэтому их графиками являются прямые.

Чтобы построить прямые в заданиях 1 и 2, достаточно построить две точки этих прямых. Например, можно взять и и найти соответствующие значения . Оформлять эти вычисления удобно в виде таблички:

В задании 3 рассматривается частный случай линейной функции . Для построения этого графика полезно помнить, что прямая — это прямая, параллельная оси (при любом значении значение равно 4).

Пример №15

По приведенному графику функции укажите знаки и .

Решение:

► При значение . По приведенному графику определяем, что . Поскольку изображен график убывающей линейной функции, то .

Ответ:

График функции — прямая, пересекающая ось в точке . На рисунке эта точка лежит выше нуля, таким образом, . Линейная функция при возрастающая, а при — убывающая. На рисунке изображен график убывающей функции, следовательно, .

Пример №16

Постройте график функции .

Решение:

► График заданной функции — парабола (вида ), ветви которой направлены вверх.

Тогда и график имеет вид

Функция — квадратичная (имеет вид , где ). Таким образом, ее графиком будет парабола (вида ), ветви которой направлены вверх ().

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле , а ордината — это соответствующее значение заданной функции при , то есть .

Если необходимо уточнить, как проходит график, то можно найти координаты нескольких дополнительных точек, например, при получаем .

Построение таких графиков с помощью геометрических преобразований графика функции будет рассмотрено в пункте 2.3.

Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций

Объяснение и обоснование:

Рассмотрим способы построения графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

Построение графика функции y=-f(x)

Построение графика функции .

Сравним графики функций и (см. первую строку табл. 6). Очевидно, что график функции можно получить из графика функции симметричным отображением его относительно оси . Покажем, что всегда график функции можно получить из графика функции симметричным отображением относительно оси .

Действительно, по определению график функции состоит из всех точек координатной плоскости, которые имеют координаты . Тогда график функции состоит из всех точек координатной плоскости, имеющих координаты Точки и расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси (рис. 38). Таким образом, каждая точка графика функции получается симметричным отображением относительно оси некоторой точки графика . Поэтому график функции можно получить из графика функции его симметричным отображением относительно оси .

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции. Имеем:

Следовательно, график функции графика функции может быть построен так: часть — , лежащая выше оси (и на самой оси), остается без изменений, а часть, лежащая ниже оси , отображается симметрично относительно этой оси.

Например, на рисунке 39 и в таблице 6 (строка седьмая) с использованием этого правила изображен график функции .

Построение графика функции .

Для построения графика функции учтем, что в определении графика функции первая координата для точек графика выбирается произвольно из области определения функции. Если выбрать как первую координату значение , то график функции будет состоять из всех точек координатной плоскости с координатами . Напомним, что график функции состоит из всех точек . Точки и расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси (рис. 40). Таким образом, каждая точка графика функции ) получается симметричным отображением относительно оси некоторой точки графика функции . Поэтому график функции можно получить из графика функции его симметричным отображением относительно оси .

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции . Имеем:

Следовательно, для того чтобы получить график функции при х -1, то

Заметим, что для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной скобки:

Пример №37

Функции заданы формулами При каком значении аргумента эти функции принимают равные значения?

Решение:

Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение

Ответ: при

Более лёгкое объяснение способов задания функции

Пусть сторона квадрата равна см, а его периметр — см. Зная сторону а, по формуле можно найти соответствующее ей значение периметра . Например,

Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы выбирали для длины стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Так, значению соответствует значение значению — значение

В данном примере имеем две зависимые переменные — длину стороны квадрата и его периметр. Значения переменной а можно выбирать произвольно, а значения переменной зависят от выбранных значений . Поэтому называют независимой переменной, а — зависимой переменной.

Рассмотрим еще один пример зависимости между переменными.

Водитель решил проследить по спидометру, какое расстояние он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдении он записал в таблицу:

В данном примере имеем две зависимые переменные: время и расстояние пройденное за это время. Значения расстояния зависят от значений времени. Так, времени соответствует значение расстояния времени — значение расстояния Каждому значению времени соответствует одно определенное значение расстояния. Поэтому в данном случае является независимой переменной, а — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой а зависимую переменную — буквой В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимой переменной используют термин «функция».

Определение:

Переменную называют функцией переменной , если каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной .

Для независимой переменной также существует специальный термин: ее называют аргументом. Говорят: является функцией аргумента

Итак, в рассмотренных примерах:

периметр квадрата является функцией длины его стороны ; тут — функция, — аргумент;

расстояние является функцией времени ; тут — функция; — аргумент.

Первая функция задана формулой . Вторая функция задана таблицей.

Область определения и область значений функции:

Все значения, принимаемые независимой переменной (аргументом), образуют область определения функции; все значения, принимаемые зависимой переменной (функцией), образуют область значений функции.

Так, область определения функции, заданной формулой , образуют все значения, которые может принимать переменная . Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то может принимать только положительные значения. Таким образом, область определения этой функции образуют все положительные числа.

Область значений функции, заданной формулой , образуют все значения, которые может принимать зависимая переменная . Периметр не может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, может равняться 2, так как 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Таким образом, область значений этой функции образуют все положительные числа.

Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

Рассмотрим функцию, заданную формулой Такая запись означает, что область определения функции образуют все значения которые удовлетворяют неравенству

Если функция задана формулой и не указано, какие значения может принимать аргумент, то считают, что область определения функции образуют все числа.

Примеры решения заданий:

Пример №38

Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км\ч, проходит за ч расстояние 5 км. Задать формулой как функцию аргумента . Найти значения функции, соответствующие значениям аргумента: 2; 2,5; 4.

Решение:

Функция задается формулой

Пример №39

Начиная с трех часов, через каждый час измеряли атмосферное давление и данные записывали в таблицу:

Зависимость между какими переменными задает таблица? Задаст ли таблица функцию? Какое давление в мм ртутного столбика было в 4 ч; в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

Решение:

Таблица задаст зависимость между временем суток и атмосферным давлением . Переменная является функцией переменной , поскольку каждому значению соответствует единственное значение . Если , то по таблице находим: Итак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст.

Область определения функции образуют числа 3,4, 5,6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746,748, 751,752, 755 и 756.

Пример №40

Функция задана формулой Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, выбирая для аргумента такие значения: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.

Пример №41

При каких значениях аргумента значение функции равно -3, если функция задана формулой:

Решение:

Чтобы найти значения , при которых решим уравнение

Итак, значение функция принимает при

Значение -3 функция принимает при

— уравнения корней не имеет. Значение -3 функция не принимает.

График функции:

Рассмотрим функцию, заданную формулой где Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и запишем результаты в таблицу:

Значения мы выбирали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

Отметим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 4).

Выбирая другие значения , удовлетворяющие неравенству и вычисляя соответствующие значения , получим другие пары значений и . Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой где (рис. 5).

График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции:

Имея график функции, можно находить ее значение при известном значении аргумента и наоборот: находить значения аргумента при известном значении функции.

Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 6. (О такой функции говорят, что она задана графически.)

Найдем с помощью графика значение функции при Для этого через точку оси с абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси . Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Следовательно, при значение функции равно 8. Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, при которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси у с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси . Получим две точки ее пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Таким образом, функция принимает значение 6 при

Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если, пользуясь ею, для каждого значения переменной можно найти только одно значение переменной .

Рассматривая график, изображенный на рисунке 6, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

1. Область определения функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству
2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция принимает при ).
3. Наименьшее значение функции равно -2 (это значение функция принимает при ).
4. Область значений функции образуют все значения у, удовлетворяющие неравенству
5. Значение функции равно нулю при Те значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение является нулем данной функции.
6. Функция принимает положительные значения, если отрицательные значения — если

Функция как математическая модель реальных процессов:

Рассмотрим рисунок 7, на котором изображен график изменения температуры воды на протяжении 20 мин.

Из графика видно, что начальная температура воды равнялась 20°С; на протяжении первых 8 мин температура воды увеличилась до 100°С, потом на протяжении 6 мин (от 8 мин до 14 мин) температура воды не изменялась, а на протяжении следующих 6 мин температура воды понизилась до 80°С.

Функция, график которой изображен на рисунке 7, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то расстояние м, пройденное ним за время с, можно вычислить по формуле В этом случае функция, заданная формулой является математической моделью равномерного движения.

В седьмом и последующих классах мы познакомимся со многими функциями, которые можно использовать при моделировании реальных процессов и зависимостей между разными величинами.

Примеры решения упражнений:

Пример №42

Построить график функции, заданной формулой:

составив таблицу значений функции с шагом 1;

Составим таблицу значений функции:

Решение:

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то увидим, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние отмеченные точки. Этот отрезок и является графиком функции (рис. 8).

Составим таблицу значений функции:

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой (рис. 9). •

Пример №43

Принадлежит ли графику функции точка

Решение:

Точка будет принадлежать графику данной функции, если значение функции при равно 9.

Находим: если , то Значение функции не равно 9. Следовательно, точка графику функции не принадлежит.

Для точки имеем: Точка принадлежит графику функции.

Пример №44

На рисунке 10 изображен график функции. Используя график, заполнить таблицу:

Разные способы задания функции

Функция может быть задана различными способами: таблицей, парой соответствующих значений, графом зависимости, графиком, формулой и т.д.

Если область определения конечное множество, то зависимость между аргументом и соответствующим значением можно показать стрелками. Такое представление называется графом зависимости.

Пример:

Здесь каждое из соответствий и являются функцией, гак как для каждого числа из множества X ставится в соответствие единственное число из множества Y. Соответствие h не является функцией (почему?). В соответствии с правилом можно написать:

(1) = 15, 2) = 20, (3) = 25 и (0) = 0, (-1) = 1, (1) = 1, (-2) = 4, (2) = 4

Эти функции также можно задать множеством упорядоченных пар аргументов и соответствующих значений. Для функции <(1;15),(2;20),(3; 25)>, для функции

Функция может быть задана таблицей:

В таблице в одной строке (или в столбце) показаны значения независимой переменной, в другой строке (или в столбце) значения зависимой переменной.

Пример:

Координаты (2009; 3), (2010; 4), (2011; 2), (2012; 3), (20013; 5), (2014; 3),

(2015; 4) показывают изменение количества собранного урожая с 1 гектара в зависимости от года.

Область определения (года):

Множество значений (количество собранного урожая):

Функция может быть задана аналитически — формулой.

Пример: , . Эта запись показывает, что область определения функции отрезок [1; 3], и каждому числу из данного отрезка ставится в соответствие его квадрат.

и т.д.

В этом случае запись не имеет смысла, так как число 4 не принадлежит области определения функции, а именно отрезку [1; 3].

Функция может быть задана графически. Зависимость, между двумя величинами, наиболее удобно изображать геометрически на координатной плоскости. Для каждого значения аргумента вычисляется соответствующее значение . Точки, с координатами (х; у), строятся на координатной плоскости. Множество таких точек образует график функции. График функции это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Пример:

На рисунке на промежутке графически задана линейная функция. Точки, являющиеся концами отрезка, имеют координаты , т.е. (-4; -1) и , т.е. (4; 5) и принадлежат графику. На рисунке они закрашены.

Множество значений: [- 1, 5].

Примечание: если концевые точки кривой графика функции (или отрезка прямой) не отмечены специальными точками, то это показывает, что линия может быть продолжена до бесконечности (обычно изображается стрелками на концах).

Является или нет зависимость между двумя величинами функцией, можно определить по множеству точек, координаты которых выражены упорядоченными парами, или по графику.

По координатам точек. Если среди значений аргумента (первое значение) есть повторяющееся, то зависимость не является функцией. Для множества точек <(1; А), (1; В), (2; С), (3; О)>зависимость не является функцией, зависимость <(1; А), (2; В), (3; С), (4; С), (5; О)>является функцией.

По графику. Если любая прямая, проведённая параллельно оси ординат, пересекается с графиком самое большее в одной точке, то эта зависимость является функцией (рис.а ). Если существует прямая, параллельная оси ординат, которая пересекает график в двух (или более точках)(рис.б ), то эта зависимость не является функцией. Это указывает на то, что одним и тем же значениям аргумента (х) соответствует несколько значений функции, что противоречит определению функции.

Аналитический способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называют аналитическим.

Так, функции — заданы аналитически.

Отметим, что одна и та же функция может быть задана разными формулами. Например, формулы и задают одну и ту же функцию.

Словесный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, т. е. если объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции — словесный.

Рассмотрим пример функции, заданной словесно: «Функция определена на множестве натуральных чисел, и каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи». Вычислим несколько значений данной функции:

Табличный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй — соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.

Например, метеорологи составляют таблицы, которые описывают различные зависимости между значениями наблюдаемых величин.

Таблица 1. Суточные суммы солнечной радиации при отсутствии атмосферы (Северное полушарие, зимнее солнцестояние)

Таблица 1 задает функцию зависимости суточной суммы солнечной радиации от широты, на которой выполняется наблюдение.

С помощью таблицы найдем и выясним, на какой широте значение суточной суммы радиации равно нулю. Для этого найдем значения функции по значениям аргумента: А затем найдем значение аргумента по значениям функции: значение суточной суммы радиации равно нулю на широтах:

Графический способ задания функции

Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.

Пусть кривая (рис. 2) — некоторое множество точек на координатной плоскости.

Напомним, как по значению аргумента найти значение функции Возьмем на оси абсцисс произвольную точку и проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Она пересечет кривую в некоторой точке Ордината этой точки является значением функции при значении аргумента, равном

Таким образом указывается соответствие между множеством значений аргумента и значениями функции.

Областью определения функции является множество абсцисс точек кривой а множеством значений функции — множество ординат этих точек.

По графику определяем, что

Важно помнить, что не любое множество точек на координатной плоскости задает функцию. Например, кривую, изображенную на рисунке 3, прямая пересекает в двух точках, т. е. значению соответствует не единственное значение Значит, эта кривая не задает функцию.

Произвольная кривая на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой кривой не более одной общей точки.

Определение: Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называют графиком функции.

Со свойствами и графиками некоторых функций вы познакомились в 7—8-х классах. Так, вам известно, что графиком линейной функции является прямая (рис. 4, а), графиком квадратичной функции — парабола (рис. 4, б), графиком обратной пропорциональности — гипербола (рис. 4, в). Кроме того, вы изучали свойства функций графики которых изображены на рисунках 4, г—е.

Пример №45

Найдите значение функции:

а)

б)

в) — если значение аргумента равно

Решение:

а) Значение аргумента подставим в формулу функции и получим:

б)

в)

Пример №46

Найдите, при каком значении аргумента значение функции:

а)

б)

в) — равно 1.

Решение:

а) Решим уравнение:

Таким образом, значение функции равно 1 при значениях аргумента, равных и

б) Значит, значение функции равно 1 при значении аргумента, равном

в) Значение функции равно 1 при значениях аргумента, равных 1 и -1.

Пример №47

Функция задана аналитически на множестве

Решение:

а) Вычислим по заданным значениям аргумента значения функции и заполним таблицу:

б) Построим точки, координаты которых заданы таблицей.

Пример №48

Найдите и по графику функции, изображенному на рисунке 5.

Решение:

а) Областью определения данной функции является множество абсцисс точек графика функции, а множеством значений множество ординат этих точек.

По данному графику определяем, что а

б) Областью определения функции, график которой изображен на рисунке 5, б, является отрезок т. е. Поскольку то

в)* Так как на графике функции нет точки с координатами то

а

Пример №49

Найдите область определения функции:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а) Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю, т. е. Тогда

б) Дробь имеет смысл для всех значений переменной кроме а дробь имеет смысл для всех значений переменной кроме Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме чисел и

Таким образом,

в) Областью определения функции является множество всех значений переменной при которых подкоренное выражение неотрицательно, т. е. Решим полученное квадратное неравенство. Нулями функции являются числа и Ветви параболы направлены вверх. Неотрицательные значения функции принимает при Значит,

г) Область определения данной функции совпадает со множеством решений системы неравенств:

Пример №50

Найдите множество значений функций:

а)

б)

в)

Решение:

а) Так как по определению модуля числа для любого числа то Значит,

б) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз Значит, множеством значений данной функции является промежуток Найдем абсциссу вершины параболы:

Тогда

Значит,

в) По определению арифметический квадратный корень из неотрицательного числа является числом неотрицательным. Значит, для всех значений переменной, принадлежащих области определения функции. Поскольку то т. е.

Свойства функции

При изучении функций вы познакомились с их свойствами, например такими как нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции. Обобщим эти свойства для функции числового аргумента заданной графически и аналитически.

Повторим важнейшие сведения о свойтвах функции:

Если каждому значению переменной из некоторого множества соответствует единственное значение переменной то такое соответствие называют функцией.

При этом называют независимой переменной, или аргументом, — зависимой переменной, или функцией.

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают буквой

Множество всех значений которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой (рис. 1).

Две функции считаются разными, если у них разные области определения или правила соответствия. Например, функция заданная на промежутке и функция заданная на разные. заданные на функции и одинаковые, поскольку выражения и тождественно равны.

Чтобы задать функцию, достаточно указать её область определения и правило соответствия. Если область определения не указывают, то считают, что она такая же, как и область допустимых значений формулы, которой задаётся функция.

Задавать функции можно разными способами: формулами, таблицами, графиками и т. д.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Определение важнейших свойств функции

Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Глядя на график, сразу можно оценить функцию, которую он задаёт, т. е. выявить её важнейшие свойства:

1. найти область определения, область значений;
2. выяснить, является ли данная функция периодической, чётной или нечётной;
3. найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства;
4. определить промежутки возрастания или убывания.

Если функция задана графически, то область определения функции — проекция её графика на ось область значений — проекция её графика на ось (см. рис. 1).

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения из области определения

График чётной функции симметричен относительно оси (рис. 2), а нечётной — симметричен относительно начала координат (рис. 3).

Например, из функций, заданных на чётные, нечётные, а ни чётные, ни нечётные.

Функция называется периодической с периодом если для любого из области её определения

График периодической функции с периодом отображается на себя параллельным переносом на расстояние вдоль оси (рис. 4). Функции периодические с наименьшим положительным периодом а функции — с наименьшим положительным периодом

Область определения периодической функции — вся числовая прямая, или периодически повторяющееся бесконечное с обеих сторон множество числовых промежутков.

Функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению соответствует большее (меньшее) значение

Например, функция на промежутке возрастает, на убывает. Функция возрастает на всей области определения

Опишем для примера свойства функции график которой представлен на рисунке 5.

1. Область определения
2. Область значений
3. Функция чётная.
4. Функция не периодическая.
5. График функции с осью пересекается в точке
6. Функция имеет пять нулей:
7. 
8. Функция убывает, если и функция возрастает, если и
9. Функция имеет наибольшее значение если и наименьшее значение если

Исследовать функцию можно и без построения графика — с помощью формулы, которая её задаёт, и специальных методов математического анализа. С такими методами исследования функций вы ознакомитесь в следующих разделах.

Функция называется рациональной, если — рациональное выражение относительно переменной Таковыми, в частности, есть линейные, квадратичные и степенные функции с целыми показателями. Из всех рациональных функций только функция может быть периодической (рис. 6).

Функция задана формулой (на области, симметричной относительно нуля) — одновременно чётная и нечётная.

Пример №51

Для функции найдите:

а) значение функции, если значение аргумента равно 10;

б) значение аргумента, при котором значение функции равно 10.

Решение:

а) Если

б) если отсюда

Пример №52

Докажите, что функция — нечётная.

Решение:

Область определения функции множество всех действительных чисел — симметричное относительно начала координат. Найдём учитывая, что — нечётная функция, а — чётная функция. Имеем: Итак, функция нечётная.

Пример №53

Постройте график функции

Решение:

Раскроем модуль в формуле, задающей функцию:

Графиком функции если является часть параболы, которая проходит через точки и имеет вершину в точке Если то графиком функции является часть параболы, которая проходит через точки и имеет вершину в точке

Графиком данной функции является объединение обоих графиков (рис. 7).

Нули функции

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

Нулями функции график которой изображен на рисунке 11, являются значения аргумента, равные -2, 4 и 8, так как при значение функции равно нулю.

В точках с абсциссами -2, 4 и 8 график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем нули функции заданной аналитически. Для этого решим уравнение т. е.

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т. е.

Значит, числа -1, 1 и 2,5 являются нулями функции

Самым удобным способом изучения свойств функции является графический способ.

Определив но графику абсциссы точек можно установить область определения функции. В точках пересечения графика функции с осью абсцисс. Поэтому абсциссы этих точек называются нулями функции. Нулями функции называются значения аргумента, которые превращают функцию в нуль.

Нулями функции являются корни уравнения . Нули функции разбивают область определения на несколько промежутков, в каждом из которых функция, сохраняет свой знак, принимая положительные или отрицательные значения. На графике, изображённом на рисунке схематично, представлены промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции

Промежуток, на котором функция принимает значения только одного знака, называется промежутком знакопостоянства функции.

На промежутках и график функции лежит ниже оси абсцисс (рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках отрицательны, т. е. при

На промежутках и график функции лежит выше оси абсцисс (см. рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках положительны, т. е. при

Промежутки являются промежутками знакопостоянства данной функции.

Обычно при изучении свойств функций рассматривают промежутки знакопостоянства максимальной длины.

Найдем промежутки знакопостоянства функции заданной аналитически. Для этого решим неравенства и т. е. выясним, при каких значениях аргумента значения данной функции отрицательны, а при каких положительны. Получим: т. е. при

Очевидно, что при т. е. на промежутке значения функции положительны.

Промежутки являются промежутками знакопостоянства функции

Монотонность функции

Функция возрастает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента и из этого промежутка, таких, что выполняется неравенство (рис. 13).

Другими словами, функция возрастает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента и из этого промежутка, таких, что выполняется неравенство (рис. 14).

Иначе говоря, функция убывает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции, а функцию называют монотонной на промежутке возрастания или убывания.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

Определим промежутки возрастания функции заданной графически (рис. 15). При увеличении абсциссы от до значения функции увеличиваются (точки на графике «поднимаются вверх»), значит, на отрезке функция возрастает. Функция возрастает еще на двух промежутках: и

При увеличении абсциссы от до значения функции уменьшаются (точки на графике «опускаются вниз»), значит, на отрезке функция убывает. Данная функция убывает также на промежутке

Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть . Тогда функция возрастает на промежутке , если , и убывает, если (см. рис. 5.4).

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями. Рис. 5.4

! Если говорить точнее, то строго монотонными; к монотонным функциям, наряду с возрастающими и убывающими, относятся неубывающие и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых при удовлетворяющих условию , соответственно .

Так, например, функция (см. рис. 5.6) при убывает и при возрастает.

Пример №54

Докажите, что при линейная функция возрастает на области определения, т. е. является возрастающей, а при убывает на области определения, т. е. является убывающей.

Доказательство:

Пусть и — произвольные значения аргумента из области определения функции, причем

Тогда и Рассмотрим разность

Поскольку т. е. то знак произведения зависит от знака числа

Если то тогда т. е.

Значит, для при получим, что т. е. функция при является возрастающей.

Если то тогда т.е.

Значит, для при получим, что т. е. функция при является убывающей.

Пример №55

На рисунке 16 изображен график функции у = f(x). Найдите:

• а) нули функции;
• б) промежутки знакопостоянства функции;
• в) промежутки монотонности функции.

Решение:

• а) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс: При этих значениях аргумента значения функции равны нулю, т. е. числа являются нулями функции.
• б) Функция принимает положительные значения (график функции расположен выше оси абсцисс) на промежутках и а отрицательные значения (график функции расположен ниже оси абсцисс) на промежутках и
• в) Функция убывает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика уменьшаются) на промежутках: и

Функция возрастает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика увеличиваются) на промежутках:

Пример №56

Найдите нули функции:

• а)
• б)
• в)*

Решение:

• а) Для того чтобы найти нули данной функции, нужно решить уравнение т.е. Значение аргумента является нулем данной функции.
• б) Нулями данной функции являются корни уравнения Решим квадратное уравнение Воспользуемся теоремой Виета и получим: Числа 1 и 3 являются нулями функции
• в)* Решим уравнение т. е. Поскольку модуль не может быть равен отрицательному числу, то уравнение не имеет корней, а значит, функция не имеет нулей.

Пример №57

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

• а)
• б)
• в)*

Решение:

а) Найдем, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, т. е. решим неравенство:

Таким образом, при Функция принимает отрицательные значения, т. е. при

б) Найдем промежутки знакопостоянства функции

при

при

Таким образом, на промежутках и значения функции положительны, а на промежутке значения функции отрицательны.

в)* Решим неравенство т. е.

Решением полученного неравенства является любое действительное число Значит, функция принимает положительные значения при любых значениях аргумента, т. е. при

Пример №58

Найдите промежутки монотонности функции

Решение:

Покажем, что функция возрастает на каждом из промежутков и

Пусть и — произвольные значения аргумента из промежутка причем По свойству числовых неравенств, если то

и Следовательно, функция возрастает на промежутке

Если и — произвольные значения аргумента из промежутка причем то по свойству числовых неравенств а

Значит, функция возрастает на промежутке

Таким образом, функция возрастает на каждом из промежутков и

Отметим, что функция возрастает на каждом из промежутков и но не возрастает на всей ее области определения

Покажем это, приведя контрпример.

Пусть а тогда

В данном случае для получили что противоречит определению.

Если для любых значений на области определения функции из следует , , т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то этот промежуток называется промежутком возрастания , если же , т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то промежуток называется промежутком убывания . Возрастание функции на промежутке будем показывать стрелкой, а убывание стрелкой.

Если функция возрастает (убывает) на каком го промежутке, то функция на этом же промежутке убывает (возрастает).

Например, функция возрастает на промежутке , а функция на этом же промежутке убывает.

Если знакопостоянная функция возрастает (убывает) на каком — то промежутке, то функция убывает (возрастает) на этом же промежутке.

Например, функция возрастает на промежутке , а

убывает на этом же промежутке.

По знаку углового коэффициента можно определить возрастает или убывает линейная функция.

Если угловой коэффициент положителен, то функция возрастает.

Если угловой коэффициент отрицателен, то функция убывает.

Покажем аналитически что функция при на всей числовой оси возрастающая, а при — убывающая. Возьмём из промежутка аргументы, удовлетворяющие условию и найдём разность :

По условию, при разность имеет одинаковый знак

со знаком . Таким образом при , т.е. функция возрастающая, при , т.е. функция убывающая.

Функции, возрастающие или убывающие на данном промежутке, называются монотонными на этом промежутке. Точки, в которых происходит переход от убывания к возрастанию или от возрастания к убыванию, являются точками максимума или минимума. Любой интервал, содержащий точку хо называется окрестностью точки.

Если для любых точек х в некоторой окрестности точки выполняется условие , то точка называется точкой минимума функции, а называется минимальным значением функции. Если для любых точек х в некоторой окрестности точки выполняется условие , то точка называется точкой максимума функции, а максимальным значением функции.

Точки максимума и минимума обозначаются как и называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Функция в точке имеет минимум, в точке имеет максимум и это записывается так:

Среди всех значений функции на области определения наибольшее обозначается НБЗ, а меньшее НМЗ (если они есть). Если функция непрерывна на заданном отрезке (график сплошная линия), то она принимает все значения между НБЗ и НМЗ.

Пример №59

Перечислите все свойства функции на графике.

Решение:

1. Область определения функции промежуток [-1; 5). Если х = -1, то (соответствующая точка закрашена). Точка (5; 2) не принадлежит графику (она выколота). Множество значений функции промежуток [—3;3]

2. Нули функции. График пересекает ось х в точках с абсциссами: х = 1 и х = 4. То есть, значения х= 1 и х = 4 являются нулями функции: .

Нули функции разбивают область определения функции на три промежутка знакопостоянства: [-1; 1), (1; 4) и (4; 5).

На промежутке (1; 4) функция принимает отрицательные значения, в каждом из промежутков [-1; 1) и (4; 5) положительные значения.

3. Возрастание и убывание функции. По графику видно, что при увеличении значений х от -1 до 0, значения у увеличивается от 1 до 3, а при увеличении значений х от 0 до 2, значения у уменьшаются от 3 до -3, при увеличении х от 2 до 5, у увеличивается от -3 до 2. Функция на каждом из промежутков [-1; 0] и [2; 5) возрастает, а на промежутке [0; 2] убывает.

4. Экстремумы функции — максимумы и минимумы. Точки (0; 3) и

(2; -3) на графике являются точками экстремума. Соответственно эти точки показывают максимум и минимум функции: .

Четные и нечетные функции

Для построения графиков функций, решения уравнений и неравенств вы используете свойства функций. Еще одним свойством, позволяющим найти рациональное решение, является свойство четности (нечетности) функции.

Определение: Функция называется четной, если:

• (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
• (2) для любого выполняется условие

Рассмотрим функцию, область определения которой симметрична относительно точки х = 0.

Если для любого х из области определения функции , то называется чётной функцией.

Если для любого х из области определения функции , то называется нечётной функцией.

Вовсе не все функции бывают чётными или нечётными. Если область определения функции не симметрична относительною точки х = 0, то функция ни чётная и ни нечётная. Аналогично, если для функции, область определения которой симметрична относительною 0, нарушается выполнение условий , то функция также является ни чётной и ни нечётной.

Пример №60

Выясним чётной или нечётной является функция

Решение:

Областью определения данной функции являются множество всех действительных чисел и оно симметрично относительно точки х = 0.

Однако, так как ,

то .

Значит, функция ни чётная и ни нечётная.

Пример №61

Выясним чётной или нечётной является функция .

Решение:

Область определения функции множество всех действительных чисел и

Таким образом данная функция нечётная.

Пример №62

По графику выясним чётной или нечётной является функция.

Функция называется четной, если для любых значений х из области определения и нечетной, если В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является четной (так как а функция — нечетной (так как

В то же время, например, функция является функцией общего вида, так как и

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции на рис. 5.6), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции на рис. 5.5)

Чётные функции

Рассмотрим отрезок Он не может быть областью определения четной функции, так как значение аргумента, например, равное принадлежит этому отрезку, а противоположное значение не принадлежит.

Условие означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
2. Записать выражение
3. Показать, что

Докажите, что функция является четной.

• (1) симметрична относительно нуля.
• (2)
• (3)

Функция является четной.

Пример №63

Докажите, что функция является четной:

а)

б)

Решение:

а) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является четной.

б) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является четной.

Пример №64

Выясните, является ли функция четной.

Решение:

Областью определения функции является луч он не симметричен относительно нуля. Первое условие определения четной функции не выполнено, значит, данная функция не является четной.

Пример №65

Определите, является ли функция

Решение:

Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю, т.е.

Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия

Функция является четной.

Пример №66

Докажите, что функция не является четной.

Решение:

Чтобы доказать, что функция не является четной, достаточно привести контрпример, т. е. найти хотя бы одно значение х из ее области определения, для которого не выполняется равенство

Например, пусть тогда Получили, что значит, функция не является четной.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 26).

На рисунке 27 даны примеры графиков четных функций.

Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является четной.

Определение:

Функция называется нечетной, если:

• (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
• (2) для любого выполняется условие

Условие означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

Нечетные функции

Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
2. Записать выражение
3. Показать, что

Докажите, что функция является нечетной.

(1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является нечетной.

Пример №67

Докажите, что функция является нечетной.

Решение:

(1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция является нечетной.

Пример №68

Определите, является ли функция нечетной.

Решение:

симметрична относительно нуля.

Функция является нечетной.

Пример №69

Известно, что функция нечетная и Найдите значение выражения

Решение:

Так как функция нечетная, то выполняется условие

Поскольку то Так как то

Тогда

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 28).

На рисунке 29 приведены примеры графиков нечетных функций.

Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечетной.

Если необходимо исследовать функцию на четность, то нужно выяснить является ли данная функция четной; нечетной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №70

Исследуйте на четность функцию

Решение:

Так как то область определения данной функции симметрична относительно нуля, значит, первое условие четности (нечетности) функции выполнено.

Проверим, верно ли одно из равенств: или

для значит, функция не является четной.

для значит, функция не является нечетной.

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №71

Определите, может ли областью определения четной или нечетной функции являться множество чисел:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение:

Множества чисел а); в); д) симметричны относительно нуля, значит, они могут быть областью определения четной или нечетной функции. Множества чисел б); г); е) не симметричны относительно нуля, следовательно, они не могут быть областью определения четной или нечетной функции.

Пример №72

Докажите, что функция:

а) является четной;

б) является нечетной.

Решение:

а) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция — четная.

б) (1) симметрична относительно нуля.

(2)

(3)

Функция нечетная.

Пример №73

Какой (нечетной; четной; ни четной, ни нечетной) является функция:

а)

б)

в)

г)

д)

е)*

Решение:

а) — область определения функции симметрична относительно начала координат; -функция нечетная;

б) — область определения функции симметрична относительно начала координат;

—

в) — область определения функции не симметрична относительно начата координат, значит, функция не является ни четной, ни нечетной;

г) — область определения функции симметрична относительно начала координат; — функция четная;

д) — область определения функции симметрична относительно начала координат, но функция ни четная, ни нечетная, так как, например, т. е.

е)* — область определения функции симметрична относительно начата координат; — функция четная.

Пример №74

Исследуйте на четность функцию

Решение:

Область определения функции симметрична относительно нуля.

Так как то функция является нечетной.

Пример №75

Известно, что функция является четной и Найдите значение выражения

Решение:

Так как функция является четной, то выполняется условие Тогда и

Найдем значение выражения

Пример №76

Известно, что функция является нечетной и Найдите значение выражения

Решение:

Так как функция является нечетной, то Тогда и Найдем значение выражения

Пример №77

Определите вид функции (четная; нечетная; ни четная, ни нечетная), заданной графически (рис. 30).

Решение:

На рисунках 30, а, г изображены графики четных функций, так как они симметричны относительно оси ординат.

Графики функций на рисунках 30, б, в имеют несимметричные области определения, значит, эти функции не являются ни четными, ни нечетными.

На рисунке 30, д изображен график нечетной функции, так как он симметричен относительно начала координат.

Пример №78

На рисунке 31 изображена часть графика функции с областью определения Изобразите график функции если известно, что она является: а) четной; б) нечетной.

Решение:

Построение графиков функций y=f(x)±b, y=f(x±a)

Ранее вы рассматривали такие преобразования геометрических фигур, как симметрию относительно точки, симметрию относительно прямой и др.

Построение графиков функций

Вам известно, что графики четных функций симметричны относительно оси ординат (например, ), а нечетных — относительно начала координат (например, ).

Геометрические представления можно применять для построения графиков одних функций, используя графики других, уже известных функций.

Рассмотрим функции и Составим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 46).

Сравним расположение точек графиков этих функций, имеющих одинаковые абсциссы. Например, рассмотрим точку (1; 1) на первом графике и точку (1; 5) на втором. Эти точки лежат на прямой, параллельной оси ординат, причем точка (1; 5) находится на 4 единицы выше точки (1; 1). Точка (4; 6) лежит на 4 единицы выше точки (4; 2). Таким же образом расположены все другие точки этих графиков, имеющие одинаковые абсциссы. Можно сделать вывод, что график функции получен сдвигом (параллельным переносом) графика на 4 единицы вверх вдоль оси ординат.

Рассматривая точки графиков функций и с одинаковыми абсциссами (рис. 47), заметим, что график функции получен сдвигом (параллельным переносом) графика на 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси ординат на единиц вверх, если (рис. 48, а).

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси ординат на единиц вниз, если (рис. 48, б).

Например, на рисунке 49 показано построение графиков функций и

Рассмотрим функции и Составим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 50).

Определим значения аргумента, при которых обе функции принимают одинаковые значения. Например, значение первая функция принимает при а вторая — при Значение первая функция принимает при а вторая — при

Можно заметить, что функция принимает те же значения, что и функция на 4 единицы «позже».

Графически это означает, что график функции получен сдвигом (параллельным переносом) графика функции на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (см. рис. 50).

Рассматривая графики функций и заметим, что вторая функция принимает те же значения, что и первая, на 4 единицы «раньше».

Графически это означает, что для получения графика функции точки графика функции сдвигают на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 51).

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси абсцисс на единиц вправо, если (рис. 52, а).

График функции можно получить сдвигом графика функции вдоль оси абсцисс на единиц влево, если (рис. 52, б).

Например, на рисунке 53 показано построение графиков функций и

Построение графиков функции :

Пример №79

График функции получен из графика функции сдвигом вдоль оси: а) ординат на 3 единицы вверх; б) абсцисс на 3 единицы вправо; в) абсцисс на 3 единицы влево; г) ординат на 3 единицы вниз. Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как рассматриваются функции и при то график функции получен сдвигом графика функции вдоль оси ординат на 3 единицы вниз.

Правильный ответ г).

Пример №80

График какой из функций получен из графика функции его сдвигом вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо:

а)

б)

в)

г)

Решение:

Рассматриваются функции и при . Сдвигом графика функции вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо получен график функции

Пример №81

Установите зависимость между графиками функций (рис. 54) и их аналитическим представлением:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а) Графиком функции является кубическая парабола 2).

б) Так как график функции получается из графика функции сдвигом его на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс, то графиком функции является кубическая парабола 1).

в) Функции соответствует график 4), поскольку график функции получается сдвигом графика функции на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

г) Функции соответствует график 3), поскольку график функции получается сдвигом графика функции на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

Пример №82

С помощью преобразований графика функции постройте график функции:

а)

б)

в)

Решение:

а) Выполним сдвиг графика функции на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и получим график функции

б) Выполним сдвиг графика функции на 4 единицы вниз вдоль оси ординат и получим график функции

в) Выполним сдвиг графика функции на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат и получим график функции

Ограниченность функции

Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число что для любого В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция ограничена на всей числовой оси, ибо для любого

Периодичность функции

Функция называется периодической с периодом , если для любых х из области определения функции

Например, функция имеет период , так как для любых

Под термином «период» подразумевается наименьший положительный период функции, равный ; любой период функции , как известно, равен n, где е Z

Основные элементарные функции

В таблице приводятся наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций:

Область определения и множество значений некоторых функций

Если для функции, заданной аналитически, область определения не указана, то под областью определения функции подразумеваются такие значения аргумента, при которых формула, при помощи которой задана функция, имеет смысл (такие значения х называются естественной областью определения функции). В этом случае необходимо выяснить, какие значения не может принимать аргумент.

Найдём область определения некоторых функций, заданных в алгебраической форме.

1. Если функция от независимой переменной задана в виде многочлена, то область определения такой функции множество всех действительных чисел. Например, область определения функции является: .

2. В рациональной функции значение выражения, стоящего в знаменателе не может равняться нулю. Например, для рациональной функции значения аргумента, которые удовлетворяют условию , не входят в область определения функции. Это значения , т.е. функция определена на множестве

3. Подкоренное выражение функции, содержащей квадратный корень не может принимать отрицательных значений. Исследуем это на двух примерах:

1) Область определения функции все значения х удовлетворяющие условию , т.е. промежуток . С другой стороны, если , т.е.. А это значит, что область значений функции промежуток .

2) Найдём область определения и множество значений функции . По определению квадратного корня . Решением данного неравенства является отрезок [-2; 2]. Значит функция определена на отрезке [-2; 2]. Для любого х из области определения . Отсюда , т.е. . Другими словами, множеством значений является отрезок [0; 2].

4. Нахождение области определения и множества значений функции по графику.

На рисунке представлен график линейной функции на определённом промежутке. По графику, запишем область определения и множество значений функции в виде неравенства. Определим, принадлежат ли абсциссы граничных точек области определения, а ординаты множеству значений в соответствии с видом граничной точки (закрашенный кружочек или нет). Так как кружочек граничной точки (2; 1) не закрашен, то это говорит о том, что х = 2 не принадлежит области определения и у = 1 не принадлежит области значений. Область определения: , а множество значений:

Что такое линейная функция

Рассмотрим несколько примеров. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением оси (рис. 22). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через с тело будет находится на расстоянии метров от него.

Пусть в бассейн через трубу вливается каждую минуту 2,5 м 3 воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м 3 воды, то объем воды (в м 3 ), которая будет в бассейне через мин, можно вычислить по формуле

Формулами где — независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

Определение:

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида где — независимая переменная, — некоторые числа.

В формуле переменная может принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

График линейной функции

Построим график линейной функции Для этого составим таблицу нескольких значений и соответствующих значений

Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости (рис. 23). Приложив линейку, убеждаемся, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Если бы для других значений вычислили соответствующие значения и отметили точки с такими координатами на координатной плоскости, то и они лежали бы на этой прямой.

Через отмеченные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции достаточно было взять две точки, например, (0; -1) и (2; 0) и провести через них прямую.

Угловой коэффициент в функции

В формуле линейной функции коэффициент при переменной положителен: График этой функции образует острый угол с положительным направлением оси (см. рис.23). На рисунке 24 изображен график линейной функции Для этой функции и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси .

Таким образом, от коэффициента зависит угол, который образует график функции с положительным направлением оси . Поэтому число называют угловым коэффициентом прямой .

Если то прямая образует с положительным направлением оси острый угол, если — тупой угол.

Если то формула, которой задается линейная функция, имеет вид то есть Такая функция при всех значениях принимает одно и то же значение Например, линейная функция при всех значениях принимает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (; 2), где — любое число. Эта прямая параллельна оси (рис.25).

Чтобы построить график функции , достаточно было отметить на оси точку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси :

Свойства линейной функции y=kx+b.

Свойства линейной функции .

1. Область определения функции образуют все числа.
2. Еслито область значений функции образуют все числа; еслито функция принимает только одно значение
3. Графиком функции является прямая.
4. График функции образует с положительным направлением осиострый угол, еслитупой угол, еслиЕслито график параллельный оси, в частности, еслито он совпадает с осью.

Функция y=kx

Функция

В формуле , которой задается линейная функция, положим Получим формулу которой задается функция, являющаяся частным, но очень важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов.

1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь м, пройденный им за время с, можно вычислить по формуле Эта формула задает путь как функцию времени .
2. Плотность железа 7,8 г/см 3 . Массу г железа объемом см 3 можно вычислить по формуле Эта формула задает массу как функцию объема .

Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функции, которые задаются формулами и то есть формулами вида где

Функцию, которую можно задать формулой вида где — независимая переменная, — некоторое число, называют еще прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (потому что, если ).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Построим график функции Найдем координаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала координат: если Отметим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и через начало координат прямую (рис. 26). Эта прямая является графиком функции

На рисунке 27 изображены графики функций вида при разных значениях .

Если то график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, а если — во второй и четвертой четвертях.

Точки пересечения графиков функций

На рисунке 28 изображены графики двух линейных функций При функции принимают одно и то же значение Следовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение , при котором обе функции принимают одно и то же значение.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Рассмотрим две линейные функции формулы которых имеют разные коэффициенты при . Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 29). Для этого проверим, существует ли значение , при котором обе функции принимают одни и то же значение; другими словами: существует ли значение , при котором выполняется равенство Решим данное уравнение:

При обе функции принимают одно и то же значение:

Следовательно, графики функций пересекаются в точке (-30; -17).

Рассмотрим две линейные функции , формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при . Уравнение не имеет корней. Поэтому прямые, которые являются графиками функций (рис. 30), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

Вообще, графики функций вида пересекаются, если (коэффициенты при разные), и параллельны, если (коэффициенты при одинаковы) и

Примеры решения упражнений:

Пример №83

Построить график функции, заданной формулой Используя график, найти:

а) значение которое соответствует

б) значение , которому соответствует

Решение:

Построим график функции.

а) Пусть Через точку (-1;0) проводим прямую, параллельную оси и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (-1; 3,5). Следовательно, значению соответствует значение

б) Пусть Через точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси , и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (3; -2,5). Следовательно, значение соответствует значению

Пример №84

Дана функция Не выполняя построение графика функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

Решение:

Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

(0; -6) — точка пересечения графика с осью

(2,5; 0) — точка пересечения графика с осью .

Значение функции равно нулю если откуда Следовательно, нулем функции является

Пример №85

Найти значения функции при Сравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

Решение:

Сравним значения аргумента: 2 -15.

Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сведения из истории функции:

«В одну реку нельзя войти дважды» — эти слова приписывают древнегреческому философу Гераклиту Эфесскому (из города Эфес). Они отображают важную особенность реального мира: все в нем пребывает в процессе изменения и развития. Именно выясняя закономерности в бескрайнем море видоизменений природы, ученые пришли к понятиям переменной величины и функции.

Понятие переменной величины впервые было введено в математику французским математиком Рене Декартом (1596-1650) в его знаменитой работе «Геометрия» в 1637 году. Именно после введения этого понятия начинает формироваться современное представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Следует отметить, что хотя некоторые зависимости между величинами, которые мы называем функциями, использовались еще в древние времена, математика до первой половины XVII в. оставалась наукой о постоянных величинах.

Термин «функция» (от латинского functio — выполнение, свершение) впервые использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1694 году.

Благодаря работам Лейбница и известного английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) сформировалась новая ветвь математики — математический анализ, в котором понятие функции является одним из главных. Лейбницем и Ньютоном были разработаны методы исследования функций, которые уже более 300 лет служат мощным средством изучения окружающего мира с помощью математики.

О весомой роли функций как математических моделей реальных процессов Ньютон писал так: «Я не смог бы получить многие свои фундаментальные результаты, если бы не отказался от непосредственного рассмотрения самих тел и не свел все просто к исследованию функций».

Функция в высшей математике

При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость — одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

Пусть X — некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) , по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число обозначаемое

Тогда говорят, что на множестве X задана функция и записывают: или Чаще используют более простую терминологию: задана функция

Множество X называют областью определения функции . Множество называют множеством значений функции . При этом л: называют независимой переменной или аргументом функции, — зависимой переменной или значением функции, а — характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву ( и т.д.)- Частное значение функции f(x) при записывается как

В высшей математике функцию можно объяснить вот так:

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении где путь и время — переменные величины, a — параметр.

Перейдем к понятию функции:

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция

При этом называется независимой переменной (или аргументом), — зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество — областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция

Например, область определения функции есть полуинтервал так как если же переменная обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок

Дополнительное объяснение функции:

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

Определение: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (или вообще, или в данном процессе; в последнем случае постоянная величина называется параметром).

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Приведем примеры переменных и постоянных величин.

Пример:

Диаметр и длина окружности, в зависимости от обстоятельств, могут принимать различные значения и, следовательно, вообще говоря, являются величинами переменными, в то время как отношение длины окружности к ее диаметру сохраняет всегда одно и то же значение и, следовательно, есть величина постоянная, называемая числом

Пример:

Объем V и давление р определенной массы газа являются величинами переменными; однако, как известно из курса физики, произведение Vp при неизменной температуре есть величина постоянная. При изменении же температуры произведение Vp, вообще говоря, меняется.

Заметим, что во многих вопросах ради общности формулировок удобно бывает рассматривать постоянную величину как переменную, принимающую одно и то же значение.

Понятие функции в высшей математике

Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные, или функции).

Например, изучая газ, мы интересуемся его объемом V, температурой t, давлением р. Согласно закону Менделеева—Клапейрона, зная объем и температуру газа, мы можем однозначно определить его давление; следовательно, величины Vat можно рассматривать как независимые переменные, а р — как зависимую (функцию).

Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием высшей математики, причем вначале ограничимся случаем двух переменных величин.

Определение: Переменная величина у называется функцией (однозначной) от переменной величины ху если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х (допустимые значения) соответствует единственное вполне определенное значениевеличины у.

Это определение впервые в общих чертах было сформулировано Н. И. Лобачевским.

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Совокупность всех значений независимой переменной ху для которых функция у определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Наиболее часто область определения функции представляет собой или интервал (а, b) (рис. 48, а), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

а х b

(подчеркнем, что здесь значения х = а и х = b исключаются!), или отрезок (сегмент) [а, b] (рис. 48, б), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

(здесь значения х = а и х = b включаются!). В некоторых случаях

Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, если не оговорено противное, что величины и числа, которые мы рассматриваем, принимают только действительные значения.

областью определения функции является полуинтервал, закрытый слева, [а, Ь), или закрытый справа, (а, ], т. е. множество чисел х> определяемых условиями а х b или соответственно ах. Множество точек, представляющее собой или интервал, или отрезок, или полуинтервал, будем называть промежутком и обозначать через а, >.

Рассматриваются также бесконечные интервалы: , т. е. множество всех чисел, меньших а; т. е. множество всех чисел, больших множество всех действительных чисел. Аналогичный смысл имеют промежутки .

Тот факт, что у есть функция от х, сокращенно обозначают так:

где символ f называется характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости (1) вместо буквы f можно употреблять любую другую букву (например, g, h, F, ф и т. д.), причем понятно, что различные функции должны обозначаться в одном и том же вопросе различными буквами.

Частное значение функции f(x) при х — а записывается так: Да). Например, если

то

Приведем несколько примеров, поясняющих понятие функции.

Пример:

Из формулы площади круга

следует, что каждому допустимому (т. е. положительному) значению радиуса R соответствует определенное значение площади S. Следовательно, S есть функция от R> определенная в бесконечном интервале:

Пример:

Согласно закону Бойля—Мариотта при постоянной температуре имеем Vp = С, где V — объем газа, р — его давление, С — некоторая постоянная величина. Отсюда

Следовательно, каждому значению давления р соответствует определенный объем газа V. Можно сказать, что объем газа V есть функция давления р. Из физических соображений вытекает, что область определения этой функции есть бесконечный интервал:

Пример №86

Найти область определения функции

Решение:

Эта функция имеет смысл, если . Отсюда , или . Следовательно, область определения функции есть отрезок

Чтобы более наглядно представить поведение функции, строят график функции, рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости Оху.

Определение: Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек М(х9 у) плоскости Оху, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Иначе говоря, график функции — это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

Например, для функции (2) имеем

графиком, очевидно, является верхняя полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 49). Из рис. 49 становится ясным, что область определения функции представляет собой отрезок [-2, 2].

Отметим, что, построив график функции у = f(x), мы можем приближенно определить корни уравнения

как абсциссы точек пересечения графика с осью

Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то у называется однозначной функцией от х; если же хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три и т. д.) или бесконечное множество значений переменной у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.) функцией от х.

Например, у = х 2 есть однозначная функция от х. Также у = sin х есть однозначная функция от х. Функция есть двузначная функция от х; у = Arcsinx есть многозначная (бесконечнозначная) функция от х.

В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать однозначную функцию, если явно не оговорено противное.

Способы задания функции в высшей математике

Функция может быть задана одним из следующих способов:

• аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например,
• графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента х из D(x);
• табличный, т.е. в виде таблицы
• словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например,

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции:

При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество X не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости Оху называется геометрическое место точек координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

• Функция называется четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство . Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;
• Функция у = fнечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций — функция четная;
• Нулями функции у = f(x) называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;
• Функция у = f\x) называется периодической, если существует число Т такое, что для каждого значения аргумента л; из области ее определения выполняется равенство f(x + T) = f(x). Число Т называют периодом этой функции;
• Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. . Функция у = f(х) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;
• Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу а (вертикальная асимптота);
• Функция у = f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М такое, что для каждого значения аргумента х из области ее определения f(x) М). Функция у — f (х) называется ограниченной, если существует число М > О такое, что для каждого значения аргумента x из области ее определения
• Функция называется обратной по отношению к , если при подстановке её вместо аргумента получается тождественное равенство: у =
• Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной y = f(x), то у называется однозначной функцией от x; если хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от x.

Более коротко способы задания функции можно объяснить так:

Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

имеет два аналитических выражения:

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов.

в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты — соответствующие им значения функции

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например функция Дирихле: , если — рационально; , если — иррационально.

Аналитический способ задания функции

Если функция выражена при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически. Например, в формуле объема шара

объем V есть функция радиуса R, заданная аналитически. Если функция

задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента х, чтобы получить соответствующее значение функции у [или, что то же самое, значение функции f(x)\ Пусть, например,

Здесь характеристика f обозначает следующую совокупность действий:

1. возведение аргумента х в квадрат;
2. вычитание из полученного результата числа 1;
3. извлечение из соответствующей разности кубического корня.

Зная характеристику f и давая аргументу х различные значения, получим соответствующие значения функции f(x). Так, например, для нашей функции (1) имеем

Аналогичный смысл получают выражения

В некоторых случаях функция может задаваться несколькими формулами.

Эта функция вполне определена, так как для каждого значения аргумента х мы можем указать соответствующее значение функции f(x). А именно: если х отрицательно или равно нулю, то f(x) равно нулю, например

Если же х положительно, то f(x) равно значению аргумента, например

Таким образом, две формулы

определяют одну функцию (рис. 55).

Табличный способ задания функции

Предположим, что мы хотим установить зависимость между средней годовой температурой t (°С) и высотой местности h над уровнем моря, выраженной в километрах. Сопоставим результаты наших наблюдений в такой таблице:

Из приведенной таблицы мы видим, что средняя годовая температура изменяется вместе с высотой местности над уровнем моря, причем каждому значению высоты h соответствует определенное значение температуры t. Следовательно, средняя годовая температура t есть функция высоты местности h над уровнем моря, при этом соответствие между переменными t и h устанавливается таблицей. Такой способ задания функции называется табличным.

Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы. Пусть, например, имеем функцию

Давая х ряд числовых значений и вычисляя соответствующие значения у, получим следующую таблицу:

Мы видим, что если функция задана аналитически (т. е. при помощи формулы), то можно построить для нее таблицу, или, как говорят, табулировать функцию.

Табулируются обыкновенно функции, имеющие сложное аналитическое выражение (т. е. выражающиеся сложной формулой), но часто встречающиеся на практике. Так, например, широко известны таблицы тригонометрических функций: sinx, cos* и т. д., таблицы логарифмов и т. п. Для этих функций имеются формулы, выраженные с помощью бесконечных рядов, но эти формулы слишком сложны для практического пользования.

Возникает вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к ее аналитическому выражению, т. е. записать такую функцию формулой?

Для этого заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно (так называемое интерполирование функции). Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя.

Однако всегда можно построить формулу, и притом не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула носит название интерполяционной.

Графический способ задания функции

Аналитический и табличный способы изображения функции страдают отсутствием наглядности. Этого недостатка лишен графический способ задания функции у = /(*), когда соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика (рис. 56). Здесь, чтобы для некоторого значения аргумента, например х9 найти отвечающее ему значение у функции, нужно на оси Ох отложить в соответствующем направлении отрезок OA — х, а затем построить перпендикуляр AM до пересечения с графиком. Взяв длину этого перпендикуляра с надлежащим знаком, мы и получим число

Давая х различные значения, мы с помощью этого приема будем иметь соответствующие значения функции , которые, если это нужно, можно записать в виде таблицы.

Примером графического изображения функции является так называемая барограмма (запись самопишущего прибора — барографа), дающая графически изменение атмосферного давления со временем.

Для построения графика функции у = f(x), заданной аналитически, нужно составить таблицу значений х и у данной функции, а затем, рассматривая х как абсциссу, у — как ординату точки, построить систему точек плоскости.

Соединяя эти точки линией, вид которой учитывает по возможности характер промежуточных значений функции, получаем примерное графическое изображение данной функции.

Например, пользуясь данными таблицы на с. 73, строим график функции

(кубическая парабола) (рис. 57).

Кусочное задание функции

Часто, для описания реальных жизненных ситуаций используют не одну, а несколько формул или неравенств.

Задача. Оптовый магазин при покупке не менее 10 и не более 20 спортивных рубашек, реализует их по 3 маната за штуку, при покупке более 20 рубашек — по 2 маната за штуку. Запишите зависимость между двумя величинами: выручкой С и количеством проданных рубашек n.

Решение: Имеем , при и , при и в общем виде функцию можно записать так:

Найдём значения функции при n = 15, n = 20, n = 30, n = 40. Значения n = 15 и n = 20 удовлетворяют условию . Эти значения вычислим по формуле :

Значения n = 30 и n = 40 соответствуют условию :

Если функция задана различными формулами на разных участках области определения, то говорят о кусочном задание функции.

Пример:

Постройте график функции.

График данной функции состоит из части графика прямой слева от точки х = 1 и части графика прямой справа от х = 1. Так как ,то график «ломается» в

вершине (1; -1).» Функция является непрерывной, если её график можно изобразить «не отрывая» карандаша от бумаги. Функция представленная в данном примере непрерывная.

Пример:

Постройте график функции.

График данной функции ступенчатый. Если график имеет разрыв, то функция является разрывной.

Данная функция, каждому числу ставит в соответствие его целую часть, и в общем виде записывается как . График на рисунке соответствует функции целой части числа на промежутке [0; 4).

Степенная функция y=x n (n∈N)

Степенная функция .

Функция вида (n -натуральное число) называется степенной функцией с натуральным показателем. Ниже представлены графики степенных функций при n= 1, n = 2, n = 3

График функции для любого чётного значения n симметричен относительно оси у и похож на параболу . Для любых нечётных значений n график функции симметричен относительно начала координат и для нечётных значений n больше 1, похож на кубическую параболу .

При график функции называется параболой n — го порядка. По рисунку видно, что при на промежутке (0; 1) график функции находится ниже, на промежутке выше графика функции .

Классификация функций в высшей математике

Переменные величины весьма различны. Однако, на первый взгляд различные процессы, могут иметь одинаковую природу и заданы одинаковой зависимостью. Поэтому наиболее часто встречающиеся зависимости объединены в семейства, в соответствии с основной (начальной) функцией. Функции, принадлежащие одному семейству, получаются преобразованиями одной и той же основной функции.

Например, графики функций

получаются преобразованиями параболы . Поэтому эти функции, а также все функции задаваемые формулой , образуют семейство и основной функцией этого семейства считается . В таблице ниже представлены графики некоторых основных функций.

Преобразование графиков функций

Параллельный перенос.

При параллельном переносе все точки графика смещаются в заданном направлении на заданное расстояние. При этом форма графика не изменяется. Произведём параллельный перенос каждой точки графика функции на вектор . Если координаты точки А удовлетворяют равенству , то координаты точки А₁ удовлетворяют равенству . Таким образом, при параллельном переносе графика функции на вектор , получается график функции Заданный график смещается на единиц по горизонтали (при вправо, при влево) и на единиц по вертикали (при вверх, при вниз). В случае график параллельно переносится только но горизонтали и при этом получается новая функция.

Пример:

В случае график параллельно переносится только по вертикали и при этом получается новая функция .

Пример:

Пример:

Постройте графики заданных функций при помощи графика функции .

Решение:

Построим график функции . Область определения функции . Составим таблицу значений, выбрав три значения, которые являются полными квадратами.

Отражение.

Отражение графиков функции.

Сжатие и растяжение графиков.

При растяжении от (сжатии к) оси абсцисс изменяется ордината точки, при этом абсцисса остаётся неизменной: Если точка расположена на графике функции . Тогда точка расположена на графике функции . График функции получается из графика функции растяжением в раз от оси абсцисс при и сжатием к оси абсцисс в раз при

При растяжении от (сжатии к) оси ординат изменяется абсцисса точки, при этом ордината остаётся неизменной:

Если точка расположена на графике функции .

Тогда точка расположена на графике функции .

График функции получается из графика функции растяжением в раз от оси ординат при и сжатием в раз к оси ординат при .

Действия над функциями в высшей математике

Выполняя арифметические действия над двумя функциями можно получить новую функцию. Область определения, которая получается при сложении, вычитании, умножении функций и , является множество действительных чисел, в котором определена каждая из функций. Другими словами, область определения новой функции является множество пересечения областей определения функций и . Отношение двух функций определено для аргументов множества Г) и отличных от нуля значений функции в знаменателе. Над функциями и определенными на множестве действительных чисел, можно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление по следующим правилам.

1. Сумма двух чётных функций является чётной функцией, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.
2. Произведение(частное) двух чётных и произведение(частное)двух нечётных функций является чётной функцией.

Пример:

Найдём для функций и .

Решение:,

Пример:

Найдём для функций и

Решение:

Так как функция в знаменателе , то . Графиком этой функции является прямая с выколотой точкой (1; 2).

Пример:

Известно, что . Найдём область определения функций: а) , б).

Решение: а) Область определения функции — множество всех действительных чисел. Область определения функции находится из неравенства . Область определения функций

.

б) Область определения функции является множество решений неравенства , т.е. промежуток .

Понятие множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если есть элемент множества , то используется запись . Если не является элементом множества , то пишут .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Если множество состоит из части элементов множества или совпадает с ним, то множество называется подмножеством множества и обозначается

Если, например, — множество всех студентов вуза, а — множество студентов-первокурсников этого вуза, то есть подмножество , т.е.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств и , т.е.

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т.е.

Пример №87

Даны множества Найти объединение, пересечение и разность множеств и .

Решение:

Очевидно, что объединение двух данных множеств — , их пересечение , а разность

Дополнением множества называется множество , состоящее из всех элементов множества , не принадлежащих .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: — действительных чисел, — рациональных, — иррациональных, — целых, — натуральных чисел. Очевидно, что

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси) (рис. 5.1), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число » говорят «точка ».

Множество элементы которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком (или сегментом) неравенству — интервалом неравенствам называются полуинтервалами соответственно Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток

Абсолютная величина действительного числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа называется само число ,если неотрицательно, и противоположное число —, если отрицательно:

Очевидно, по определению, что

Пример №88

Найти

Решение:

Если

Если

Отметим свойства абсолютных величин:

Абсолютная величина разности двух чисел означает расстояние между точками числовой прямой как для случая так и для (см. рис. 5.2).

Поэтому, например, решениями неравенствабудут точки интервала (рис. 5.3), удовлетворяющие неравенству

Всякий интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки .

Интервал т.е. множество точек таких, что, называется -окрестностью точки .

Понятие числовой последовательности

Числовой последовaтeльностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию = f(n) задать на множестве натуральных чисел N, то множество значений функции будет счетным и каждому номеру a е N ставится в соответствие число е R . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа называют элементами или членами последовательности, а число — общим или n-м членом последовательности. Каждый элемент имеет последующий элемент . Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером n, т.е. указанием формулы ее n -го члена .

Пример №89

Последовательность может быть задана формулой:

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее n -го члена.

Пример №90

Последовательность это последовательность

Множество всех элементов последовательности ( alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />) обозначается < alt="Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением" />>.

Пусть () и — две последовательности.

Суммой последовательностей () и называют последовательность , где

Разностью этих последовательностей называют последовательность , где

Если А и В — постоянные, то последовательность называют линейной комбинацией последовательностей () и т.е.

Произведением последовательностей <) и называют последовательность с n -м членом , т.е.

Если , то можно определить частное

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей () и называются их алгебраическими композициями.

Пример №91

Рассмотрим последовательности ( и , где Тогда ( +)= (0), т.е. последовательность ( + ) имеет все элементы, равные нулю.

, т.е. все элементы произведения и частного равны -1.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности (а„) так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности ( alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />). Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности ( alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />), то новую последовательность называют остатком.

Последовательность ( alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />) ограничена сверху (снизу), если множество < alt="Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением" />> ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность () сходится, если существует число а такое, что для любого существует такое для любого выполняется неравенство:

Число а называют пределом последовательности (). При этом записывают —> а или

Пример №92

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство = — а означает, что все члены последовательности () с достаточно большими номерами мало отличается от числа а, т.е. начиная с некоторого номера N* (при ) элементы последовательности находятся в интервалекоторый называется -окрестностью точки а.

Последовательность <>, предел которой равен нулю называется бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

• Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;
• Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела пределу необходимо и достаточно чтобы , где а -постоянная; — бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;
2. Сходящаяся последовательность ограничена;
3. Если
4. При любых постоянных А и В
5. 
6. Если
7. Если
8. Если
9. Если

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней n, предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени п числителя и знаменателя).

Последовательность () называется:

• возрастающей, если
• строго возрастающей, если
• убывающей, если
• строго убывающей, если

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой если такое, что при

Говорят, что предел последовательности () равен , если для такое, что выполняется неравенство:

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь преAдела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величина не имеет определенного стремления.

Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

Покажем, что

Для простоты примем, что >0 (см. Рис.1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что — (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Площади треугольников и сектора соотносятся следующим образом:

Отсюда и после деления на

(>0), получим для обратных величин

Так как при последовательность , а, следовательно, то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности > О

справедливо равенство

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что Тогда:

Таким образом, так как в каждом слагаемом множители вида имеют меньшую величину по сравнению с при одном и том же m, а также выражение для имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел: который обозначается е (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков Если этом , то последовательности имеют равные пределы:

Теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности () к конечному пределу а означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа а и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Кош и.

Критерий Коши. Последовательность () сходится тогда и только тогда у когда такое, что выполняется неравенство:

Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию f, определенную на множестве X. Пусть . Точка называется предельной или точкой сгущения множества х, если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества х можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав х вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел Q, все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые во не входят.

Множество х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество х называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция у = f(x), определенная на множестве X имеет предел С в точке сгущения : если для любого найдется такое , что при

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции задаваемых для различных последовательностей стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности если существует предел соответствующих последовательностей то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция у = f(x), имеющая предел А при х —>а, ограничена в некоторой окрестности точки а. Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

• Если С — есть постоянная функция, то limC = С;
• Если существуют , и в некоторой окрестности точки а функция f(x) ограничена, т.е. М а при , если для существует такое, что для выполняется неравенство

Если функция есть суммы одночленов от переменной то предел отношения при или равен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной х функций h и g).

Пример №95

, поскольку ДЛЯ выполнено неравенство если только

Пример №96

Пример №97

Бесконечные пределы

Функция a(x) называется бесконечно малой при (или или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство

При функция а(x) называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е.

Теорема: Если функция у = f(x), определенная на множестве х имеет предел С в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: f(x) = С + а(х).

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию y = f(x), определенную на множестве х, можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа с и бесконечно малой величиныто число с является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;
3. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция f(a) называется бесконечно большой при х —>

(или х->-0, или х->.+o) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число что для всех будет верно неравенство

При функция f(x) называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е.

Свойства бесконечно больших величин:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция а(х) есть бесконечно малая величина при то функция есть бесконечно большая величина при .

Обратная теорема. Если функция F(x) есть бесконечно большая величина при то функция есть бесконечно малая величина при .

Сравнение бесконечно малых величин:

• Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е.
• Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению , если предел отношения к равен нулю, т.е.
• Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е.
• Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е.

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

близких к (т.е. ограничена в окрестности точки ), то

Пример №98

Пример №99

Непрерывность функции в высшей математике

Рассмотрим функцию f, определенную на промежутке х. Пусть . Функция f называется непрерывной в точке , если .Функция у = f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция у = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки ,. Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция y = f(x), определенная на интервале (а,b) называется непрерывной на интервале (а.b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция y = f(x), определенная на отрезке [a,b] (а 0, то функция определена, по крайней мере, на . При a 0 (значения связаны с параметрами а, b и с и определяют расположение параболы относительно координатных осей; отметим, что парабола симметрична относительно прямой

4) степенная

5) показательная

6) логарифмическая

7) тригонометрические

8) обратные тригонометрические

Сложные функции в высшей математике

Пусть дана функция

Определение: Функция вида сложной функцией, а операция ее образования композицией функций или взятием функции от функции.

Определение: Функция называется внутренней, а функция — внешней функциями.

Пример №104

Определить внутреннюю и внешнюю функции:

Решение:

В данном примере внутренней функцией является а внешней функцией будет

Пример №105

Определить внутреннюю и внешнюю функции:

Решение:

Внутренней функцией будет а внешней функцией является возведение в квадрат.

Классификация функций

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция (многочлен или полином):
• дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;
• иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Преобразование графиков

Актуальными остаются приемы построения графиков функций с помощью преобразования графиков основных элементарных функций.

Пусть задан график функции . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. График функции есть график , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно оси (рис. 5.18).

2. График функции есть график , сдвинутый (при вверх, при — вниз) на единиц параллельно оси (см. рис. 5.18).

3. График функции есть график , растянутый (при ) в раз или сжатый (при) вдоль оси (см. рис. 5.19). При график функции есть зеркальное отображение графика от оси .

4. График функции есть график , сжатый (при ) в с раз или растянутый (при ) вдоль оси (см. рис. 5.20). При график функции есть зеркальное отображение графика от оси .

Пример №106

Построить график функции

Решение:

Строим график функции следующим образом (рис. 5.21).

1. Строим график .

2. сжатие графика в 2 раза вдоль оси

3. зеркальное отражение графика от оси

4. растяжение графика в 3 раза вдоль оси

Применение функций в экономике

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функции весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратичная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной, рассматриваемой в данной и последующих главах. Приведем примеры.

1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

(функции Л. Торнквиста), мы можем установить уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения для групп товаров первой и второй необходимости (см. рис. 5.22).

2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис. 5.23).

3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ одна и та же), например, задаваемые в виде и линию бюджетного ограничения при ценах благ и доходе потребителя , мы можем установить оптимальные количества благ и имеющих максимальную полезность (см. рис. 5.24).

4. Рассматривая функции издержек (полных затрат) и дохода фирмы , мы можем установить зависимость прибыли от объема производства (см. рис. 5.25) и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно и приносит прибыль , дает максимальный убыток и максимальную прибыль и найти размеры этих убытков или прибыли.

Очевидно, что перечень подобных примеров применения функций в экономической теории и практике можно было бы продолжить (о них, в частности, пойдет речь в последующих главах учебника).

Применении таблиц функций

Остановимся еще на одном важном аспекте использования функций в экономике — применении таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции) — приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение х лежит между приведенными в таблице значениями , которым соответствуют значения функции

то считают, что (рис. 5.26)

Величины называются интерполяционными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнении к таблице.

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то необходимо произвести обратное интерполирование.

Пример №107

Функция задана таблицей:

а) Используя линейное интерполирование, найти

б) Чему равен , если

Решение:

а) Имеем

Теперь по интерполяционной формуле (5.1) получим

б) Обратное интерполирование можно провести по той же формуле, в которой поменять местами переменные

где — неизвестное значение обратной функции.

Имеем

Теперь по интерполяционной формуле (5.2) получим

В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования, например квадратичное интерполирование.

Пример №108

Найти область определения функций

Решение:

а) Область определения функции найдем из системы неравенств откуда

б) Имеем систему Решая первое неравенство, получим решая второе, найдем откуда С помощью числовой оси (рис. 5.27) находим решение системы неравенств: т.е. область определения функции

в) Область определения найдем из неравенства откуда Так как при любом то перейдем к равносильному неравенству откуда

Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом т.е. область определения функции

Пример №109

Найти область значений функции:

Решение:

а) Преобразуем функцию

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. Итак, область значений функции

б) Область значений может быть найдена с помощью производной, рассматриваемой в разделе III. Но можно поступить иначе: найти обратную функцию ее область определения , которая совпадает с областью значений данной функции.

Выразим через . Получим обратную функцию заданную неявно квадратным уравнением Очевидно, область определения этой функции найдется из условия, чтобы дискриминант квадратного уравнения был неотрицателен, т.е. или

Итак, область значений данной функции

Пример №110

Выяснить четность (нечетность) функций:

Решение:

Так как то данная функция нечетная;

(после преобразований).

Так как то данная функция четная.

Так как то данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.

Общее определение функции для высшей математики

Мы уже встречались с понятием переменной величины, независимой переменной и функции, но рассматривали лишь простейшие случаи.

Приведем еще примеры переменных и постоянных величин:

1. Наиболее часто встречающаяся переменная величина — время.
2. Переменной величиной является температура воздуха в течение суток.
3. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная — это число .
4. Ускорение силы тяжести есть величина постоянная, однако это верно только при соблюдении определенных физических условий.
5. Температура кипения химически чистой воды постоянна и равна 100° С, но это верно при нормальном атмосферном давлении.

Таким образом, мы наблюдаем величины переменные, постоянные и условно постоянные.

Определение: Две переменные величины называются связанными функциональной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует одно или несколько определенных значений другой. Первая величина называется независимой переменной, а вторая — зависимой переменной или функцией. Если каждому значению независимой переменной соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, в противном случае— многозначной.

Линейная функция, все тригонометрические, показательная и логарифмическая функции являются однозначными.

Неявные функции, определяющие окружность, эллипс и гиперболу, — двузначные, т. е. многозначные.

Приведем еще примеры функций.

Имея электрическую цепь, в которую включены источник постоянного напряжения и сопротивление, мы можем, меняя величину сопротивления, получать различный ток. В этом примере напряжение —постоянная величина, а сопротивление и ток —переменные. Связь между ними устанавливается законом Ома. Зависимость здесь записывается так: .

В предыдущих параграфах мы уже встречались с графиками отдельных функций, но там не было дано общего определения графика функции. Теперь мы имеем возможность дать это определение.

Рассмотрим некоторую функцию. Возьмем любое возможное значение независимого переменного и обозначим его через , а соответствующее ему значение функции — через . Рассмотрим точку, абсцисса которой равна , а ордината , т. е. точку . Если будем менять значение , то будут получаться новые точки. Совокупность всех полученных точек и назовем графиком функции.

Иначе говоря, графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению независимого переменного, а ординаты — соответствующему значению функции.

Как видно, рассмотренные раньше графики подходят под это определение. На рис. 38 дан график изменения температуры за сутки. Этот график позволяет узнать, какая температура была в определенный момент прошедших суток. Так, например, в 8 часов утра (находим на оси абсцисс точку с координатой 8) температура была 10 градусов по Цельсию (перпендикуляр, восставленный из найденной точки к оси абсцисс, в принятом масштабе имеет длину 10 единиц). Таким образом график, изображенный на рис. 38, устанавливает соответствие между каждым моментом времени и числом, дающим температуру в этот момент.

Замечание. Функцией называется не только зависимое переменное, но и закон или способ, устанавливающий соответствие между зависимым и независимым переменными. Например, если дана функция то можно также сказать, что дана функция

Существует несколько способов задания функций; наиболее часто функции задаются уравнениями, таблицами или графиками. Например, линейная функция задается уравнением; функция, дающая изменение температуры воздуха в течение дня, обычно задается графиком; зависимость угла прицеливания от расстояния дается таблицей.

Подобно тому, как в алгебре для обозначения чисел вводятся буквы, так и для функций в общем виде вводится следующее обозначение. Если —функция, а —независимое переменное, то будем писать

Здесь обозначает набор и порядок математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; нахождение логарифма, нахождение тригонометрических функций и т. д.). В записи около ставят скобки, в которых пишут, над чем надо произвести указанные действия. Запись читают так: есть функция от .

Пример:

Здесь обозначает: 1) возведи в третью степень; 2) прибавь единицу; 3) извлеки квадратный корень.

Пример:

Здесь обозначает: 1) найди значение синуса; 2) умножь на два.

Пример:

Здесь обозначает: 1) возведи в третью степень; 2) возведи во вторую степень; 3) результат, полученный в предыдущем пункте, умножь на 4; 4) числа, полученные в пунктах 1 и 3, сложи; 5) прибавь число пять к полученному ранее.

Пример:

Функция определена так: если , то ; если , то; если, то

Хотя в этом примере не указано, при помощи каких математических действий и операций функция выражается через , тем не менее ее значения можно указать для любого . Например, пусть , в этом случае выполняется неравенство , поэтому . Если , то выполняется неравенство и, следовательно, . Если , то выполнено неравенство , поэтому . Функции такого типа, как только что показанная, встречаются не только в учебниках математики; они часто встречаются в современной физике и технике.

Рассмотрим схему, указанную на рис. 39. Здесь обозначает источник постоянной электродвижущей силы (например, батарея), —выключатель, —амперметр, —сопротивление.

Если выключатель разомкнут, то в цепи тока нет и амперметр показывает 0; если замкнем выключатель, то в цепи появится постоянный ток и амперметр покажет его величину. Стрелка амперметра будет неподвижна все время до выключения выключателя.

Если на горизонтальной оси координат будем откладывать время , а на другой оси величину тока , то график этой функциональной зависимости будет выглядеть так, как указано на рис. 40. На этом рисунке обозначает момент включения тока, a —момент выключения.

Различных функций существует бесконечное множество, поэтому нельзя, да и не нужно, каждой из них давать определенное название. Но, однако, некоторым функциям, встречающимся очень часто, дают названия. Приведем некоторые из них: линейная, квадратичная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции, степенной многочлен (или просто многочлен) вида

Область существования функции

Определение: Совокупность всех значений независимого переменного, для которых установлен закон или правило, позволяющее найти соответствующие значения функции, называется областью существования функции.

Пример:

Область существования функции состоит из всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку на нуль делить нельзя.

Пример:

Область существования функции состоит из всех неотрицательных чисел. Отрицательные числа не входят в область существования, так как квадратный корень из отрицательного числа является числом комплексным, а комплексными числами мы не занимаемся.

Пример:

Функция имеет область существования, состоящую из всех положительных чисел, т. е. .

Пример:

. Область существования этой функции—все действительные числа, кроме и . Числа и не входят в область существования, так как при втих значениях знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Пример:

. Область существования состоит из всех положительных чисел, кроме единицы.

Функция от функции, или сложная функция

Часто при решении целого ряда задач приходится иметь дело с «функцией от функции», которую называют иначе сложной функцией. Поясним на примерах, что под этим понимают.

Пример:

Цель удаляется от орудия, ведущего по ней огонь. Расстояние «орудие—цель» есть функция времени. Наводчик в зависимости от расстояния ставит угол прицеливания. Итак, угол прицеливания является функцией расстояния «орудие—цель». Но так как расстояние «орудие—цель» уже есть функция времени, то и угол прицеливания будет функцией времени. Таким образом, угол прицеливания является сложной функцией, т. е. функцией от функции.

Пример:

Даны функции и . Функцию у можно рассматривать как функцию независимого переменного . Действительно, подставляя вместо и его выражение , получаем

Здесь у есть функция от функции.

Пример:

Рассмотрим функции и . Можно сказать, что есть функция от функции и

Для дальнейшего очень важно уметь представлять сложную функцию в виде цепочки простых функций. Поясним на примерах, что это значит и как это делается.

Пример:

Вычислим значение функции соответствующее значению .

Решение:

Для этого надо: 1) вычислить значение 2) вычислить ; он равен 0.

Для вычисления в этом примере надо было сделать два действия, или, как говорят, две операции. Эти две операции представляют сложную функцию в виде цепочки простых: и . Два последних равенства эквивалентны заданному.

Пример:

. Вычислим значение , соответствующее .

Решение:

Для этого: 1) умножим на 2, получим ; 2) находим ; 3) возводим в куб, получим.

В этом примере для вычисления сделаны три операции, которые позволяют сложную функцию представить в виде цепочки трех функций: .

В общем виде, если имеется сложная функция , ее можно представить в виде цепочки, состоящей из двух функций, а именно: .

Приращение функции

Рассмотрим функцию и дадим независимому переменному определенное значение ; тогда функция примет также определенное значение (рис. 41). Если изменим значение независимого переменного на величину , т. е. дадим ему значение то для этого значения функция примет, вообще говоря, другое значение . Это можно выразить следующими словами: независимому переменному дано приращение , равное . При этом функция получает приращение , которое обычно обозначают через . Таким образом, имеем

Надо отметить, что величина приращения функции зависит как от выбора , так и от выбора приращения т. е. приращение функции зависит от двух величин: и .

Пример №111

Вычислим: 1) приращение функции , если и , и 2) приращение этой же функции, если .

Решение: 1) Если , то ; если , то . Приращение в этом случае равно

2) Если же , то , поэтому

Дополнительные сведения о функции

Определение: Функцией называется закон, по которому каждому значению независимой переменной х, называемой аргументом, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у, называемой функцией: закон соответствия.

Пример:

Различные функции:

Всё о определении функции

Определение: Областью определения функции (ООФ: называется множество допустимых действительных значений аргумента, при которых функция имеет смысл в области вещественных чисел; множество значений, которые при этом принимает функция, называется ее областью значений ().

Определение: Геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты — значению функции, называется графиком функции.

Определение: Если выполняется равенство то функция называется четной, а при выполнении равенства — нечетной.

Определение: Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.

Пример:

— четные функции;

— нечетные функции;

— функции общего вида.

Определение: Функция называется периодической, если существует такое вещественное число t, что выполняется равенство , при этом меньшее положительное число T, при котором выполняется указанное равенство, называется периодом функции.

Пример:

Определение: Функция называется возрастающей на интервале который в дальнейшем будем называть сегментом, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (Рис. 82).

Рис. 82. Пример возрастающей на сегменте функции (при выполняется

Определение: Функция называется убывающей на интервале если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (Рис. 83).

Рис. 83. Пример убывающей на сегменте функции (при выполняется

Определение: Возрастающие или убывающие на сегменте функции объединяются под общим названием монотонные функции.

Пример №112

Указать интервалы монотонности функции на сегменте

Решение:

Из рисунка видно, что

Определение: Если на сегменте функция не меняет своего значения, то она называется постоянной (Рис. 84).

Рис. 84. Постоянная функция.

Другие определения теории функций действительной переменной будут вводиться ниже по мере необходимости.

Простейшие функциональные зависимости

Прямая пропорциональная зависимость

Определение: Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении другая изменяется в том же отношении.

Примерами прямо пропорциональных величин служат: длина окружности и ее радиус; путь, пройденный при равномерном движении, и протекшее время; линейное растяжение упругого стержня и нагрузка, и многие другие.

Пусть х и у — прямо пропорциональные величины, и пусть при х = 1 величина у принимает значение, равное k. В силу определения имеем ; отсюда

где постоянная величина k носит название коэффициента пропорциональности, Функция (1) называется однородной линейной функцией; ее графиком является прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом k (рис. 50).

Линейная зависимость

Определение: Две переменные величины х и у связаны линейной зависимостью, если

где k и у0 — некоторые постоянные величины.

Функция (2) называется линейной; ее график есть прямая (рис. 51) с начальным отрезком у0 и угловым коэффициентом k.

Примерами величин, находящихся в линейной зависимости, являются: расстояние прямолинейно равномерно движущейся точки от начала отсчета и время; длина стержня и температура его, и т. д.

Обратная пропорциональная зависимость

Определение: Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении другая изменяется в обратном отношении.

Примерами обратно пропорциональных величин служат: скорость равномерного движения и время, за которое преодолевается данное расстояние; объем, занимаемый газом (при постоянной температуре), и давление; сила тока (при постоянной электродвижущей силе) и сопротивление цепи и т. п.

Пусть х и у — обратно пропорциональные величины, и положим, что когда х = 1, то у = k. Согласно определению, отсюда

График этой функции при k > О представляет собой равностороннюю гиперболу (всю или часть ее) (рис. 52). При k О парабола расположена выше оси Ох, а при k 0, у > 0.

Пример:

Уравнение состояния газа имеет вид Vp = RT, где V — объем, занимаемый данной массой газа, р — давление, под которым находится газ, Т — термодинамическая температура, R —некоторая постоянная. Разрешая это уравнение относительно V, получим

Мы видим, что объем К есть функция от двух переменных: давления р и абсолютной температуры Т, причем эта функция определена в области р > 0, Т> 0.

Функцию и от трех переменных х, у и г в общем виде можно обозначить так:

Пример:

Объем V = и полная поверхность прямоугольного параллелепипеда с линейными измерениями д:, у и z являются функциями трех аргументов х, у, г, определенными в области .

Понятие неявной функции

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной. Например, функция — явная.

Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением

не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у (у > 0), определяемая уравнением , является неявной.

Чтобы выразить функцию у, определяемую уравнением (1), в явном виде, достаточно это уравнение разрешить относительно у. Так как для данного значения аргумента х уравнение (1) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней у, то в общем случае неявная функция является многозначной.

Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых уравнение (1) имеет хотя бы один действительный корень у, представляет собой область существования соответствующей неявной функции. Следует отметить, что не всякое уравнение (1) определяет неявную функцию. Например, уравнение

,

очевидно, не определяет никакой функции (в действительной области!).

Пример:

Пусть х и у связаны уравнением . Здесь у является неявной функцией от аргумента х. Разрешая это уравнение относительно у, получим. Эта последняя формула дает нам у как явную функцию от х. ,

Иногда разрешение уравнения (1) относительно у затруднительно. Например, уравнение Кеплера

элементарными средствами не может быть разрешено относительно у. В таком случае функцию у приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим эту функцию.

Понятие обратной функции

Пусть у есть функция от аргумента х:

Задавая значения х, будем получать соответствующие значения у. Можно, однако, считая у аргументом, ах— функцией, задавать значения у и вычислять соответствующие значения х. В таком случае уравнение (1) будет определять х как неявную функцию от у. Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции у.

Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно х9 получим явное выражение обратной функции

где функция для всех допустимых значений у удовлетворяет условию

Пример:

В формуле объема шара

радиус R является аргументом, а объем V — функцией. Разрешив уравнение (4) относительно R, получим функцию, обратную данной:

Иногда придерживаются стандартных обозначений: под х понимают независимую переменную, а под у — функцию, т. е. зависимую переменную. В таком случае обратную функцию следует писать в виде

Например, можно говорить, что функции являются взаимно обратными.

Обратная функция однозначной функция может быть многозначной (рис. 58), т.е. данному значению у может соответствовать несколько значений х₁ х₂, х₃, . обратной функции х — ф(г/) (рис. 58). В некоторых случаях удается сделать обратную функцию однозначной, вводя дополнительные ограничения на ее возможные значения.

Пример:

Двузначная функция является обратной по отношению к функции у = х 2 . Если условимся для корня брать лишь арифметическое значение его, то обратная функция будет однозначной.

Очевидно, что функция, обратная к функции (2), есть функция (1). Поэтому функции с характеристиками / и ф, связанными соотношением (3), являются взаимно обратными. Одна из них называется прямой функцией, а другая — обратной.

Заметим, что одна и та же кривая

представляет собой график данной функции и график обратной ей функции, смотря по тому, на какой из осей, Ох или Оу, откладываются значения аргумента.

Если условиться обозначать независимую переменную через xf а зависимую — через у, то, чтобы из графика данной функции у = f(x) получить график обратной ей функции , очевидно, достаточно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 59).

Классификация функций одного аргумента

В зависимости от характера тех действий, которые надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции, устанавливается следующая классификация функций.

1)Если над значением аргумента х и некоторыми постоянными выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую и положительную степень (и притом конечное число раз), то получается целая рациональная функция, или многочлен. Общий вид такой функции следующий:

где — целое положительное или равное нулю число, а коэффициенты — постоянные числа.

2) Функция, представимая в виде частного от деления двух целых рациональных функций:

называется дробной рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.

3)Если над аргументом х кроме выше перечисленных первых пяти алгебраических действий производится еще извлечение корня конечное число раз и результат не является рациональной функцией, то получается иррациональная функция. Например,

Здесь под корнем обычно подразумевается его арифметическое значение.

Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций.

4)В более общем случае алгебраической функцией называется многозначная неявная функция у, определяемая уравнением

где п — целое положительное число, а коэффициенты р0(х), — целые рациональные функции от х и сверх того коэффициентр0 (х) не равен тождественно нулю1). Например, корень уравнения есть алгебраическая функция. Заметим, что эта функция не является явной алгебраической функцией, так как алгебраическое уравнение пятой степени и выше, вообще говоря, неразрешимо в радикалах.

5)Всякая неалгебраическая функция называется функцией трансцендентной.

Простейшими трансцендентными функциями (так называемыми элементарными трансцендентными функциями) являются:

• а) показательная функция а х , где а — положительное число, не равное единице;
• 6) логарифмическая функция ;
• в) тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx;
• г) обратные тригонометрические функции: Arcsin x, Arccos x, Arctg x, Arcctg x, Arcsec x, Arccosec x.

Функции алгебраические, элементарные трансцендентные и их конечные комбинации носят название элементарных функций. Это тот основной запас функций, с которым мы будем иметь дело на протяжении всего курса.

Заметим, что в нашем курсе мы, как правило, будем использовать лишь однозначные элементарные функции, накладывая, если это нужно, на рассматриваемые многозначные функции дополнительные ограничения.

Графики основных элементарных функций

Приведем графики некоторых основных элементарных функций.

Степенная функция

где — целое число.

Функция определена при , если , и при , если .

Если , то графики функций (1) представляют собой параболы соответственно нулевого, первого, второго и т. д. порядков (рис. 60).

Если , то графики функций (1) представляют собой гиперболы различных порядков (рис. 61).

Радикал

где — натуральное число.

Область определения функции: при четном и при нечетном.

Так как , то (2) является обратной функцией по отношению к степенной функции (1). Поэтому графики радикала при различных показателях п есть параболы или части их (рис. 62).

Показательная функция

где а — постоянное число, причем .

Эта функция определена при всех значениях х. Функция имеет положительные значения и монотонно возрастает от 0 до при а > 1 и монотонно убывает от до 0 при 0 0); левая половина его (х 0); левая половина графика (* 0, что для любого В противном случае функция называется неограниченной.

Например функция y=sin(x) ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого

Периодичность функции

Функцию f(х) называют периодической, если существует такое число что для любых выполняются равенства

Основным периодом функции называют наименьшее положительное число обладающее указанным свойством.

Пример:

Найти основные периоды функции

Решение:

Так как основной период функции cosx есть то основной

период функции

Нули функции

Значения аргумента, при которых величина функции приобретает значение равное нулю, называется нулем функции. Например, значение функции обращается в ноль. Значит, нулями данной функции являются точки х = -3 и х = 0. График функции пересекает ось абсцисс в нулях функции.

Наибольшее (наименьшее) значение функции

Значение функции, большее (или меньшее) других ее значений в некотором интервале, называется наибольшим (или соответственно наименьшим) значением функции в этом интервале.

Элементарные функции и их графики в математическом анализе

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида где справа стоящее выражение составлено из
основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и взятия функции от функции (т.е. сложная функция).

Например, функция (функция — не является элементарной, так как количество операций не является ограниченным).

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические функции.

Основными элементарными функциями называют следующие: степенную функцию показательную функцию логарифмическую функцию тригонометрические функции обратные тригонометрические функции

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции называется элементарной функцией.

Пример:

Элементарными функциями являются:

Остановимся подробнее на графиках элементарных функций.

1. Степенная функция

Рассмотрим частные случаи: (рис. 1.1), (рис. 1.2), (рис. 1.3), (рис. 1.4), (рис. 1.5), (рис. 1.6), (рис. 1.7).

2. Показательная функция (рис. 1.8, рис. 1.9)

3. Логарифмическая функция (рис. 1.10, рис. 1.11)

4. Тригонометрические функции (рис. 1.12), (рис. 1.13), (рис. 1.14), (рис. 1.15).

5. Обратные тригонометрические функции (рис. 1.16), (рис. 1.17), (рис. 1.18), (рис. 1.19).

Отдельно обратим внимание на определение и графики гиперболических функций: синус гиперболический (рис. 1.20), косинус гиперболический (рис. 1.21) тангенс гиперболический (рис. 1.22) котангенс гиперболический (рис. 1.23)

Классификация функций в математическом анализе

Степенная функция где n — действительное число.

( рисунки 1.1, 1.2)

ООФ: — при n — нечётном;

ООФ: — при n — чётном.

Функция возрастает на всей области определения при n — нечётном возрастает на промежутке — при n — чётном.

Функция непериодическая; чётная при n — чётном; нечётная при n -нечётном.

Показательная функция (рисунок 1.3)

ООФ:

ОЗФ:

Функция общего вида.

Возрастает на Убывает на При любом основании кривая проходит через точку (0,1).

Логарифмическая функция где основание логарифмов (рисунок 1.4)

ООФ:

ОЗФ:

Функция общего вида.

Возрастает от на промежутке при а> 1.

Убывает от на промежутке на при 0 0) или вправо (если а 0) или вниз (если b -1 .

Ясно, что отображение -1 : Y → X биективно и обратное к нему отображение ( -1 ) -1 : X → Y совпадает с . Таким образом, свойство двух отображений быть обратными по отношению друг к другу является взаимным.

Функцию, которая определяется правилом ∀x ∈ X→ x, называют тождественной и обозначают символом e_x или I_x . Тогда, взаимно обратные отображения с помощью введенной функции можно охарактеризовать следующим образом: ◦ -1 = e_y, -1 ◦ = e_x.

Сужение функции

Определение 1.16. Пусть : X → Y, X1 ⊂ X, X1 . Функцию, которая каждому элементу x ∈ X1 ставит в соответствие элемент (x) ∈ Y, называют сужением (или ограничением) функции на множество X₁ и обозначают |х₁ .

Таким образом, |х₁ : X₁ → Y и |х₁ (x) = (x), ∀ x ∈ X₁ . Часто функцию называют продолжением функции |х₁ на множество X .

Функции действительной переменной

Определение 1.22. Функцию f : X → , X называют действительнозначной, а в случае, когда X ⊂ , действительнозначной функцией действительной переменной или короче, когда это не может вызвать недоразумения, функцией действительной переменной.

Всюду далее рассматриваться будут только такие функции. Сначала приведём несколько примеров.

Пример:

Каждому числу x ∈ alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />поставим в соответствие ординату (абсциссу) точки, полученной поворотом точки (1, 0) координатной плоскости вокруг начала координат на угол x. Это правило задает функцию на alt=»Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением» />, со значениями в отрезке [-1, 1], которую называют тригонометрическим синусом (косинусом) и обозначают sin x ( соответственно cos x).

Пример:

Каждому неотрицательному числу x поставим в соответствие число x, а отрицательному числу x — число (-x). Получим функцию, определенную на , с множеством значений [0, +∞). Эту функцию называют модулем (или абсолютной величиной) числа x и обозначают |x|.

Перечислим полезные для дальнейшего свойства этой функции.
1. |a| > 0, ∀a ∈ ;
2. |a| = 0 a = 0;
3. | — a| = |a|, ∀ a ∈ ;
4. -|a| a |a|, ∀ a ∈ v;
5. |a + b| |a| + |b|, ∀a, b ∈ ;
6. |a + b| ||a| — |b||, ∀a, b ∈ R.

С помощью функции |x| можно очень коротко записывать некоторые часто используемые множества. Так, если ε > 0, и a ∈ , то

| a | ε K — ε a ε , |a| 6 ε K — ε a ε,
|a| > ε a > ε или a —ε , |a| ε a > ε или a —ε.

Пример:

Каждому положительному числу x поставим в соответствие 1, числу x = 0 — число 0, каждому отрицательному числу — число —1. Получим функцию, действующую из на множество <—1; 0; 1>. Её называют функцией знака и обозначают sgn x (от латинского — signum),

Многие часто встречающиеся функции, как видно из примеров, имеют определенное символьное обозначение. Используя эти обозначения, задание многих функций можно реализовать в виде формулы (или аналитического выражения), содержащей указания на те операции над числами и значениями аргумента x, которые надо провести, чтобы получить соответствующее y . Такой способ задания функции называют аналитическим. Область определения X этой функции, как правило, не указывается и называется естественной областью определения функции. Она совпадает с множеством тех действительных чисел, для которых указанная формула имеет смысл (в процессе вычислений оперируют только действительными числами). Например, если функция задана формулой , то ее естественной областью определения является множество Z целых чисел, а множеством значений — <0>.

Заметим, что всякая формула является символьной записью некоторого правила, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью правила или формулы; это различие чисто внешнее.

В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально. Такая функциональная зависимость задается не формулой, а лишь таблицей, где сопоставлены полученные из опыта величины. Примеры табличного задания функции можно найти в любом техническом справочнике.

Наконец, в некоторых случаях с помощью самопишущих приборов (например, сейсмографа) функциональная зависимость между физическими величинами задается графиком. Мы не будем останавливаться на последних способах задания функции, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться. С некоторыми другими способами задания функции мы познакомимся позже.

Поскольку в определены арифметические операции, то их можно определить и для действительно значных функций.

Определение 1.23. Пусть функции f и φ действуют из X в . Функцию, обозначаемую f + φ, определенную правилом:

∀x ∈ X → f (x) + φ(x), называют суммой функций f и φ. Аналогично вводится произведение и частное функций.

Монотонные функции

Определение 1.24. Функция f : X -→ R называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если для любых x₁ , x₂ ∈ X таких, что x₁ x₂, выполняется неравенство f(x₁) f(x₂) (соответственно f(x₁) f(x₂)).

Очевидно, что возрастающая на множестве X функция является неубывающей, а убывающая — невозрастающей.

Функции, которые являются неубывающими или невозрастающими на множестве X , еще называют монотонными функциями на X .

Теорема 1.1 (о существовании обратной функции к строго монотонной). Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то функция f : X → f (X) биективна и обратная к ней возрастает (убывает) на множестве f(X).

Пусть для определенности функция f возрастает на X . Ясно, что она сюръективна. По определению возрастающей функции разные элементы множества X имеют разные образы, поэтому функция f : X → f (X) инъективна. Следовательно, она биективна и определена обратная функция f -1 : f (X) → X по правилу:

∀y ∈ f (X) → x = f -1 (y) ∈ X : f (x) = y.

Пусть y₁, y₂ — произвольные элементы множества f (X) и y₁ y₂. Положим f -1 (y₁) = x₁, f -1 (y₂) = x₂. Тогда y₁ = f (x₁) и y2 = f (x₂). Так как функция f-1 биективна, то x₁ x₂. Если бы x₁ , x₂ удовлетворяли неравенству x₁ > x₂, то в силу возрастания функции f мы бы получили y₁ > y₂ , чего быть не может в силу выбора элементов. Таким образом

∀y₁, y₂ ∈ f (X) : y₁ y₂ =⇒ f -1 (y₁) f -1 (y₂),

что означает возрастание функции f -1 на множестве f (X).

Замечание. Функция, имеющая обратную, не обязательно монотонна.
Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.

Лемма 1.1. Если a, b ∈ , то точки M₁(a, b), M₂(b, a) плоскости симметричны относительно прямой y = x.

Если a = b, то точки M₁ , M₂ совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M₁ , M₂ имеет уравнение y = -x + a + b, а потому перпендикулярна прямой y = x. Поскольку середина отрезка M₁ M₂ имеет координаты , то она лежит на прямой y = x.
Следовательно, точки M1, M2 симметричны относительно прямой y = x.

Следствие. Если функции f : X → Y и φ : Y → X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямой y = x, если они построены в одной системе координат.

Пусть Γ_f = <(x,f (x)) | x ∈ X>, Γ_φ = <(y,φ(y)) | y ∈ Y>— графики функций f и φ соответственно. Так как

(a, b) ∈ Γ_f (b = f (a), a ∈ X) (a = φ(b), b ∈ Y) (b, a) ∈ Γ_φ, то в силу доказанной леммы графики Γf и 1\ симметричны относительно прямой y = x.

Основные характеристики функции в математическом анализе

1. Функция определенная на множестве называется четной, если для и нечетной, если для и

График четной функции симметричен относительно оси а нечетной — относительно начала координат.

Функции не являющиеся ни четными, ни нечетными, относят к функциям общего вида.

2. Пусть функция определена на множестве и пусть Если для любых значений аргументов из неравенства следует неравенство:

• — то функция называется возрастающей на множестве
• — то функция называется неубывающей на множестве
• — то функция называется убывающей на множестве
• — то функция называется невозрастающей на множестве

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными.

Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

3. Функцию определенную на множестве называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство

Следовательно, график ограниченной функции лежит между прямыми и

4. Функция определенная на множестве называется периодической на этом множестве, если существует такое число что при каждом значение и При этом число Т называется периодом функции. Если — период функции, то ее периодами будут также числа где За основной период берут наименьшее положительное число удовлетворяющее равенству

Обратная функция в математическом анализе

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений Если каждому значению соответствует единственное значение то определена функция с областью определения и множеством значений Такая функция называется обратной к функции и записывается в виде: О функциях и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию обратную к функции достаточно решить уравнение относительно если это возможно.

Пример:

Для функции обратной функцией является функция

Пример:

Для функции обратной функцией является Заметим, что для функции заданной на отрезке [-1;1], обратной не существует, так как одному значению у соответствуют два значения если то

Из определения обратной функции следует, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т. е. их графики совпадают. Если же условиться, что независимую переменную обозначить через а зависимую переменную через то функция обратная функции запишется в виде

Это означает, что точка кривой становится точкой кривой Заметим, что точки и симметричны относительно прямой Поэтому графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция в математическом анализе

Пусть функция определена на множестве а функция — на множестве причем для соответствующее значение Тогда па множестве определена функция которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Пример:

Функция — композиция трех функций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.