Как перевести комплексное число в показательную форму

Онлайн калькулятор. Конвертер алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую и показательную.

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую и показательную формамы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую и показательную, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Конвертер алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую и показательную

z = x + i y

z = r (cos φ + i sin φ )

Ввод даных в конвертер алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую и показательную.

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности конвертора алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую и показательную

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Правила. Формы представления комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная

• Алгебраическая форма:

z = x + i y

z = r (cos φ + i sin φ )

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

3. Переход от алгебраической формы к показательной

Находим модуль (формула 1.75) и аргумент комплексного числа (формула 1.76).

В входит отношение мнимой части комплексного числа к действительной, в— отношение действительной части к модулю комплексного числа.

Величина в показательной форме:

.

Знак минус перед аргументом=18обусловлен знаком перед мнимой частью числав алгебраической форме.

На рисунке 3 показаны вектор и его проекции. Так как передстоит знак минус, тооткладывается в направлении, противоположном принятому для положительных углов.

4. Комплексное сопротивление

Отношение

называется комплексным сопротивлением.

Вычислить x_L.L=25,4 мГн, f = 50 Гц.

Ом

С=636 мкФ, f =50 Гц.

5. ВычислитьZпри последовательном соединенииR,xl, xc.

5.1 Вычислить ветви (рис.4).

Переход к показательной форме:

.

Знак минус перед соответствует знаку минус перед мнимой частью в алгебраической форме числа( _ указывает на емкостный характер сопротивления цепи).

5.2 Вычислить комплексное сопротивление ветви с резистором (рис.5). R= 2 Ом.

Исходим из формулы

Так как ветвь содержит только R, тоX_L=0 иX_C=0. Следовательно,

5.3 Вычислить ветви с конденсатором (рис.6).

Так как R = 0,x_L = 0, то комплексное сопротивление в алгебраической форме:

В показательной форме:

5.4 Вычислить ветви с идеальной индуктивностью (рис.7). Заданоx_L= 8 Ом.

Так как R=0 иx_C= 0, то комплексное сопротивление в алгебраической форме:

В показательной форме:

6. Сложение и вычитание комплексных величин

Сложение и вычитание комплексных чисел проводится в алгебраической форме. Если числа заданы в показательной форме, то их следует перевести в алгебраическую форму.

Например, требуется вычислить ток (рис.8). Токииизвестны:

По первому закону Кирхгофа:

Выразим токи в алгебраической форме:

Модуль (действующее значение) и начальная фаза тока:

7. Умножение и деление комплексных величин

Умножение и деление проще выполнять, если комплексные числа выразить в показательной форме.

Например, требуется вычислить ток в цепи с активно-индуктивным сопротивлением (рис.9).

Начальная фаза напряжения не задана, следовательно, принимается

Сопротивление выразим в показательной форме.

Модуль и аргумент :

Как видно из формулы при делении комплексных чисел их аргументы вычитаются с учётом их знаков. При умножении аргументы складываются. Например,

8. Вычисления при параллельном соединении комплексных сопротивлений

Найдем эквивалентное сопротивление цепи с параллельно соединенными резистором и конденсатором.

Вычислить

Обозначим через икомплексные сопротивления ветвей и запишем их в алгебраической и показательной форме:

Числитель формулы :

Знаменатель обозначим А .

Знаменатель в показательной форме:

В алгебраической форме:

9. Комплексная мощность

Комплексная мощность может быть вычислена по любой из двух формул:

где — сопряженный комплекс тока,

— полная мощность, модуль комплексной мощности,

— активная мощность,

— реактивная мощность,

— разность начальных фаз напряжения и тока.

10. Коэффициент мощности

11. Мощность симметричной трехфазной цепи

U, I– линейное напряжение и линейный ток,

cos φ– коэффициент мощности фазы,

R_ф– активное сопротивление фазы,

X_ф– реактивное сопротивление фазы,

Z_ф– полное сопротивление фазы,

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1. Исследовать явления, происходящие в цепи переменного тока при последовательном соединении элементов.

2. Научиться вычислять параметры цепи.

3. Научиться анализировать работу цепи с помощью построенных по данным опыта векторных диаграмм напряжений и тока.

НЕОБХОДИМЫЕ ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ

1.Регулируемый источник напряжения переменного тока (клеммы А¢, В¢)

4. Батарея конденсаторов C.

8. Монтажные провода – 13 шт., провода для подключения вольтметра – 2 шт., щуп для подключения амперметра.

ПРОГРАММА РАБОТЫ И УКАЗАНИЯ К ЕЕ ВЫПОЛНЕНИЮ

1. Перед выполнением работы определить расположение источника питания с регулятором напряжения, измерительных приборов, других элементов цепи,необходимых для работы.

ВКЛЮЧАТЬ СТЕНД ТОЛЬКО С РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ!

2. Собрать электрическую цепь согласно схеме, приведенной на рисунке 1, соединив между собой все три катушки последовательно и согласно.

Примечание: до подачи питания в цепь убедится, что регулятор напряжения установлен на нулевой отметке.

После проверки цепи преподавателем включить сетевое напряжение стенда и напряжение питания цепи.

Установить с помощью регулятора переменного напряжения ток в цепи I = 0,5 A (по амперметру, включенному в цепь).

Ваттметром измерить мощность, потребляемую цепью, вольтметром измерить напряжение U, подводимое к цепи, и напряжения на отдельных элементах – U_R, U_K, U_C; результаты измерений записать в таблицу 1(опыт 1).

Комплексные числа для чайников

На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами и немного рубить в тригонометрии. Впрочем, если что позабылось,
я напомню.

Урок состоит из следующих параграфов:

• понятие комплексного числа;
• алгебраическая форма комплексного числа, тут же сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел;
• тригонометрическая и показательная форма комплексного числа;
• возведение комплексных чисел в степень, формула Муавра;
• извлечение корней из комплексных чисел, квадратное уравнение с комплексными корнями.

На любой вкус и цвет – кому, что интересно. А комплексные числа действительно становятся любимой темой. после того, как студенты знакомятся с другими разделами высшей алгебры =). Если Вы являетесь чайником, или только-только приступили к изучению комплексных чисел, то параграфы лучше прочитать по порядку, без «перескоков».

Сначала «поднимем» информацию об «обычных» школьных числах. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

единицу по действительной оси;

мнимую единицу по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Найти разности комплексных чисел и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках. ).

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .
Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: . Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен. ». Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:

Как всегда, грязновато получилось =)

Я представлю в комплексной форме числа и , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 2), то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число в тригонометрической форме.

Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Вы убедитесь, что действительно . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно .

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 1), то (минус 60 градусов).

Таким образом:
– число в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол (или 300 градусов):
– число в исходной алгебраической форме.

Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:

Решить квадратное уравнение

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно комплексных корней, часть которых (или все) могут быть действительными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень . Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который рассмотрен на уроке Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного «эн»:

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

Найти корни уравнения

Перепишем уравнение в виде

В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
,

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается в первой четверти, поэтому:

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
,

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: ,

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод.

И напоследок рассмотрим задание-«хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: .

Найти корни уравнения , где

Сначала представим уравнение в виде :

Обозначим привычной формульной буквой: .
Таким образом, требуется найти корни уравнения

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , ,
Детализирую общую формулу:
,

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализирую формулу:
,
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.

Уравнения четвертого и высших порядков встречаются крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.

Чтобы закрепить материал и узнать много нового, обязательно приходите на практикум Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами – будет жарко!

Решения и ответы:

Пример 8: Решение:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 3), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Пример 11: Решение: Представим число в тригонометрической форме: (это число Примера 8). Используем формулу Муавра :

Пример 13: Решение:

Пример 15: Решение:

,
Разложим квадратный двучлен на множители:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной

Для того чтобы осуществить переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной, будем использовать следующий алгоритм:

1. Выделить параметры и в алгебраической форме .

2. Найти модуль комплексного числа по формуле: .

3. Для нахождения аргумента выполнить вспомогательный чертеж и определить четверть, в которой расположен вектор (а, следовательно, и угол ).

4. В зависимости от четверти, в которой лежит угол , воспользоваться одной из следующих формул:

Если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то .

5. Подставить найденные значения и в тригонометрическую и показательную формы.

Пример №44.3.

Перевести комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

Решение:

1. Выделим параметры и в алгебраической форме : .

2. Найдем модуль комплексного числа по формуле : .

3. Для нахождения аргумента выполним вспомогательный чертеж (рис. 44.1). Видим, что полученный вектор образует с положительным направлением оси угол , следовательно, без применения

дополнительных формул делаем вывод, что .

4. Так как , а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Пример №44.4.

Перевести комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

Решение:

1. Выделим параметры и в алгебраической форме : .

2. Найдем модуль комплексного числа по формуле :

3. Для нахождения аргумента alt=»Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной» width=»» />выполним вспомогательный чертеж (рис. 44.2). Видим, что полученный вектор (а, следовательно, и угол alt=»Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной» width=»» />) расположен во второй четверти.

4. Воспользуемся формулой: если четверти, то .

Тогда .

5. Так как , а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института