Как нарисовать усеченную пирамиду

Развертка усеченной пирамиды

Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку S₁ (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусомR, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительнуюдлину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s«e« или s«b«, так как эти ребра параллельны плоскостиW и изображаются на ней действительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, напримера₁ откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника — основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции(отрезок ab). Точки a₁—f₁ соединяют прямыми с вершиной s₁. Затем от вершины а₁ на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.

На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков — s«5» иs«2». Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершинуs. Например, повернув отрезокs«6» околооси до положения, параллельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку6″ провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребраSE (илиSB). Отрезокs // 6₀ // представляет собой действительную длину отрезка S6 .

Полученные точки l₁, 2₁, 3₁ и т. д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.

Развёртка усеченного конуса

Построение развертки поверхности конуса начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса из точки s₀. Длина дуги определяется углом α:

α= ,

где d — диаметр окружности основания конуса в мм;

l— длина образующей конуса в мм.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s_о. От вершины s₀ откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскостиР.

Действительные длины этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращения около вертикальной оси, проходящей через вершину конуса.Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S2, надо из 2′ провести горизонтальную прямую до пересечения в точкеb / с контурной образу-ющей конуса, являющейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

Вопросы для самопроверки

Как построить развертку призмы?

Как построить развертку пирамиды?

Как построить развертку цилиндра?

Как построить развертку конуса?

Тема: аксонометрические Проекции

Аксонометрические проекции представляют собой наглядное изображение предмета на плоскости, при котором изображаются все три измерения.

Аксонометрическое проецирование — это параллельное проецирование предмета вместе с координатной системой на некоторую плоскость.

Если проецирующий луч перпендикулярен плоскости проекций — аксонометрия прямоугольная.

Если не перпендикулярен – косоугольная.

Отношение длины аксонометрической проекции отрезка, // аксонометрической оси, к его истинной длине – коэффициент искажения.

Развертка поверхности усеченной пирамиды

Сечение пирамиды SABCDE плоскостью α(α_H, α_V) выполнено ранее. Развертка боковой поверхности пирамиды будет представлять собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников, являющихся гранями пирамиды. Развертка поверхности усеченной пирамиды строится в два этапа.

Этап первый — построение действительной величины сечения. Выполняется способом вращения вокруг следа плоскости α_H: — взяв на следе плоскости α_V произвольную точку 6(6″, 6`), строим ее совмещенное положение с плоскостью H — 6₀; — строим совмещенное положение с плоскостью H фронтального следа плоскости α_V — α_V0 по точкам α_x и 6₀; — строим совмещенное положение с плоскостью H точки сечения 1 — 1₀ находим на пересечении соответствующей фронтали плоскости α с проекцией линии вращения; — аналогично строим совмещенное положение с плоскостью H остальных точек сечения 2, 3, 4, 5 — 2₀, 3₀, 4₀, 5₀. Данные построения выделены зеленым цветом.

Развертка поверхности усеченной пирамиды — этап второй. Построение выделено синим цветом. Построение развертки выполняем способом треугольников: — Определяем действительную величину ребер пирамиды способом вращения их вокруг оси i ∋ S также i ⊥ H, в том же ключе строим действительную величину ребер усеченной пирамиды: A1, B2, C3, D4, E5; — на прямой a произвольного положения откладываем величину |S₀A₀| ≅ |S»A₂|; — из точки A₀ проводим дугу радиусом r₁ = |A`B`|; — из точки S₀ проводим дугу радиусом R_B = |S»B₂|; — пересечение дуг r₁ и R_B определяет положение вершины B₀ треугольника ΔS₀B₀A₀. ΔS₀B₀A₀ ≅ ΔSBA — грани пирамиды; — из точки S₀ проводим дугу радиусом R₁ = |S»1″₀|, из точки S₀ проводим дугу радиусом R₂ = |S»2″₀|; — пересечение дуги R₁ и S₀A₀ а также R₂ и S₀B₀ определяет положение вершин 1₀ и 2₀. 1₀2₀B₀A₀ ≅ 12BA — грани усеченной пирамиды;

Развертка поверхности усеченной пирамиды продолжается таким же образом и для остальных ее граней. К построенной развертке боковой поверхности усеченной пирамиды присоединяем основание A₀B₀C₀ D₀E₀ и сечение 1₀2₀3₀4₀5₀, которые строим способом триангуляции.

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁ (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P₁ и P₂ — периметрами оснований, S₁ и S₂ — площадями оснований, S_бок — площадью боковой поверхности, S_полн — площадью полной поверхности:

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Усеченная пирамида

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Усеченная пирамида»

На прошлых уроках мы работали с пирамидами. Давайте вспомним, какой многогранник называется пирамидой, что такое правильная пирамида, вспомним свойства правильной пирамиды.

Многогранник, составленный из -угольника и треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Пусть нам дана пирамида PA₁A₂…A_n. Проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает боковые ребра в точках B_1,B₂,…, B_n.

Плоскость β разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду PB₁B₂…B_n и многогранник. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называется усеченной пирамидой.

Вокруг нас много примеров усеченных пирамид. Вытяжка над кухонной плитой имеет форму усеченной пирамиды.клавиши клавиатуры и другие предметы.

Отрезки A₁B₁,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду обозначают так A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n. Возьмем на верхнем основании произвольную точку C и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усеченной пирамиды.

Теперь давайте докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции.

Для доказательства рассмотрим грань A₁A₂B₂B₁. Понятно, что для других боковых граней доказательство будет проводится аналогично.

Поскольку секущая плоскость проводилась параллельно плоскости основания, то можно записать, что A₁A₂ параллельно B₁B₂. Очевидно, что две другие стороны четырехугольника A₁A₂B₂B₁ не параллельны (они пересекаются в точке P). Получаем, что этот четырехугольник – трапеция. Очевидно, что все остальные боковые грани тоже будут трапециями.

Как и в случае с пирамидой, усеченная пирамида тоже может быть правильной.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями усеченной пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются апофемами.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью усеченной пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью усеченной пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Теперь давайте сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.

Запишем формулу для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Поскольку усеченная пирамида правильная, значит, ее гранями будут равнобедренные трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота боковой грани есть ничто иное как апофема усеченной пирамиды.

Подставим все в исходную формулу, вынесем половину апофемы за скобки, а в скобках сгруппируем стороны по основаниям. Тогда получим, что площадь боковой поверхности будет равна произведению полусуммы периметров оснований усеченной пирамиды на апофему.

Что и требовалось доказать.

Решим несколько задач.

Задача. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны и . Высота пирамиды равна . Найти площадь боковой поверхности.

Решим еще одну задачу.

Задача. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Доказать что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Что и требовалось доказать.

Решим еще одну задачу.

Задача. Правильная треугольная пирамида с высотой и стороной основания равной рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты параллельно основанию . Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Ответ. 135 см 2 .

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы познакомились с такими понятиями как усеченная пирамида, правильная усеченная пирамида. Рассмотрели свойства правильной усеченной пирамиды. Решили несколько задач.