Сколько существует различных четырехзначных чисел
Всего четырехзначных чисел
9000
Найдем сколько чисел, таких, что две соседние цифры совпадают
11** на третье и четвертое место можно поставить любую из 10 цифр ( включая 0)
всего 82 числа
из них 10 чисел с двумя повторяющимися цифрами 1100 1111 1122 и т.д
72 числа вида
1123 1145 и т.д.
*11* 72 числа 2113; 3115 и т.д.
**11 72 числа числа вида 2011 3211 и т.д
Всего 72·3+8=224
Умножаем на 8 цифр ( 2;3;4;5;6;7;8;9)
224·8=1792
Правило суммы – частный случай формулы включений и исключений. Если рассматривать А и B как множества исходов, то | A| = n 1 , |B|=n 2 ; а поскольку события А и B
не связаны с друг другом, то можно считать, что соответствующие множества не пересекаются .
Тогда, по формуле включений и исключений A B A B т.е. множество A B содержит n 1 +n 2 элементов.
Это означает, что имеется возможность n 1 +n 2 исходов
события А или B .
Правило произведения . Пусть А 1 множество n 1 исходов первого события, А 2 – множество n 2 исходов второго
как элемент декартова
, чья мощность равна
A 1 А 2 А k = n *n *…* n
Задача 4. Сколько существует двузначных четных чисел с разными цифрами?
Решение. Пусть α = α 1 α 2 − двузначное четное число, у которого все цифры различны. Тогда α 2 <0,2,4,6,8>,а α 1 <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>\ <α 2 >.
Если α 1 − нечетная цифра, т.е. α 1 <1, 3, 5, 7, 9>, получаем, что первая цифра α 1 может быть выбрана 5 способами.
При каждом выборе первой цифры α 1 , вторая цифра α 2 может быть выбрана 5 способами.
По правилу произведения получим, что существуют 5 5 = 25 двузначных четных чисел, у которых первая цифра нечетная.
Если α 1 − четная цифра, тогда α 1 <2, 4, 6, 8>, а α 2 <0, 2, 4, 6, 8>\ <α 1 >, т.е. элемент α 2 может быть выбран 4 способами.
По правилу произведения, число α может быть выбрано 4 4 = 16 способами.
Задача 5. Сколько существует четырехзначных чисел, делящихся на 5, у которых все цифры различны?
Решение. Пусть А = <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>– множество цифр, α= α 1 α 2 α 3 α 4 − четырехзначное число, где α 1 A\<0>,
Если α 4 =0, тогда цифра α 1 может быть выбрана 9 способами, цифра α 2 может быть выбрана 8 способами, а α 3 – 7 способами. По правилу произведения получаем, что число
α может быть получено 9 8 7 = 504 способами. Если α 4 =5, тогда α 1 A\<0, 5 >, т.е. цифра α 1 может быть
выбрана 8 способами, цифра α 2 может быть выбрана также 8 способами, а α 3 – 7 способами. По правилу произведения
получаем, что число α может быть выбрано 8 8 7=448 способами .
Таким образом, используя правило суммы, получаем, что существует 504 + 448 = 952 четырехзначных чисел, делящихся на 5, у которых все цифры различные.
Эту же задачу можно решить другим способом.
Рассмотрим четное двузначное число α = α 1 α 2 , где α 1 <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>, а α 2 <0, 2, 4, 6, 8>.
Первая цифра α 1 может быть выбрана 9 способами. Для каждой фиксированной цифры α 1 , вторая цифра α 2 может быть выбрана 5 способами.
По правилу произведения получаем, что существует 9 5 = 45 различных четных двузначных чисел.
Среди них четыре числа: 22 , 44, 66, 88 – с одинаковыми цифрами.
Отсюда получаем, что существует 45 – 4 = 41 двузначных четных чисел с различными цифрами .
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Сколько существует четырехзначных чисел, с возр. цифрами?
Здравствуйте, уважаемые посетители форума!
Пожалуйста, подскажите, как решаются подобные задачи:
«Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры идут в возрастающем порядке?».
Сколько всего существует четырехзначных чисел, все цифры которых четные?
Сколько всего существует четырехзначных чисел, все цифры которых четные?
Решение:
Первой цифрой четырехзначного числа может быть любая из четырех цифр 2, 4, 6, 8. Если первая цифра записана, то на второе место можно записать любую из пяти цифр 0, 2, 4, 6, 8. Составив таблицу, похожую на таблицу из задачи 78 (710), получим, что таких чисел будет 4 • 5, т. е. 20.
Если первые две цифры записаны, то на третье место можно записать любую из пяти цифр 0, 2, 4, 6, 8. Сейчас можно составить таблицу, похожую на таблицу из задачи 78 (710), в которой в первый столбец записывать не одну первую, а две первые цифры. Тогда получим, что эта таблица будет содержать 20 строк по 5 чисел в каждой строке. Поэтому всего трехзначных чисел, все цифры которых четные, есть 20 • 5, т. е. 100.
Если сейчас к трехзначному числу дописать еще одну четную цифру, то из каждого трехзначного числа можно получить 5 четырехзначных (если составить новую таблицу, в первом столбце которой записаны все трехзначные числа с четными цифрами, то в каждой ее строке будет записано 5 четырехзначных чисел). Поэтому всего четырехзначных чисел со всеми четными цифрами можно записать 100 • 5, т. е. 500.