Какое наименьшее число мог задумать петя
Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?
Решение
Ответ: 11138. Действительно, число 11138 могло быть задумано: 2=3—1 , 0=1—1 , 7=8—1 . Предположим, что задумано число N<11138 . Поскольку выписаны разности 2 и 7, то различных цифр в числе N не менее трех. Так как выписаны два нуля, то среди цифр найдутся либо три одинаковых, либо две пары равных. Так как N<11138 , то в числе N ровно пять цифр, среди которых ровно три различные цифры, и первая цифра равна 1. Если в записи N встречаются 0, 1 и a>1 , то среди разностей цифр встречаются лишь числа 0 , 1 , a , a-1 , что невозможно. Иначе в записи N нет нулей, и N= , где b=2 или b=3 (т.к. N<11138 ). Тогда c 1+7=8 , откуда b 3 . Но если b=2 , то среди разностей цифр встречаются лишь числа 0 , 1 , c-1 , c-2 . Противоречие.