Как посчитать интеграл в excel

Вычисление интегралов в Excel

При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x₁ до x_n – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τ_i .

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t_2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t_1i , поступающего на вход коллекторов.

4. В столбце E вычисляем разности температур dt_i на выходе и входе

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки N_i в КВт в каждый из моментов времени в столбце F

N_i = c * G * dt_i

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Q =Σ Q_i =10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Q =Σ Q_j =10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

По методу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

13 комментариев на «Вычисление интегралов в Excel»

Александр Попов 11 Авг 2015 10:29

Хотя и не часто но приходится сталкиваться с анализом функциональных зависимостей. Благодарю Вас за напоминание что есть интегралы и ,конечно, за Ваше решение в EXCEL.

Всегда интересные темы находите. Читаю с удовольствием.

очень интересная и полезная статья!

действительно очень просто в Екселе сделать подобное действие!

Александр, спасибо за Вашу очередную полезную работу

Всем спасибо за отзывы.

Большое спасибо за столь простое интересное и общедоступное объяснение, мне приходится иметь дела с фармакокинетическими кривыми вернее площадью под кривой лекарственных средств AUCt-0 (Кривая зависимости — концентрация лекарственного вещества в крови в теченеие времени), Ваша статья станет просто настольной инструкцией для всех фармакологов.

Неожиданный и очень приятный комментарий, Бахтиёр.

Очередная полезная штучка, спасибо

А можете мне уточнить почему в примере, в формулах делитель 120, и 180? это связано с тем чтобы перейти в размерность часы? почему у вас складывается размерность и появляется она в делителе? если я буду считать в 0,0001 секунды, то делитель будет 3? по методу Симпсона? и размерность получиться кг.*с.? Спасибо, заранее

Интервалы между строками — 1 минута = 1/60 часа.

В методе трапеций мощности складываются, делятся на 2 и умножаются на 1 минуту, выраженную в часах. Получается энергия в КВт*час = площади трапеции.

Аналогично и по формуле Симпсона.

Я не знаю, что Вы считаете, Иван, но делитель в формуле Симпсона, конечно, равен 3.

Что такое кг*с? У Вас по оси Y — кг, а по оси X -с?

Если так, то просто считайте по формуле Симпсона (делитель — 3) и получите кг*с.

Спасибо Александр, теперь понятно)) с этим моментом

Большое спасибо за статью , очень понятно и интересно написано, очень пригодилась )) в качестве благодарности рекомендую пару бесплатных приёмов по привлечению 1000 читателей.

При большом количестве замеров (в приведённом примере 425) метод прямоугольников тоже должен давать высокую точность. При этом погрешность измерений, скорее всего, больше, чем погрешность метода.

Раздел 2 — вычисление в ms excel определенных интегралов

Цель работы: Освоение приемов работы в Ms Excel при вычислении сумм и интегралов.

Содержание работы

1. Приближенное вычисление определенных интегралов методом прямоугольников и методом трапеций.

2. Приближенное вычисление длины кривой.

3. Проведение экспериментов и решение задач.

Пояснения к выполнению работы

1. С геометрической точки зрения определенный интеграл – есть площадь фигуры, ограниченной графиком функциии прямыми,,. Функцияназывается подынтегральной функцией.

Чтобы приближенно вычислить эту площадь, разделим интервал интегрирования наравных отрезков длинойкаждый. Тогда координата левого концаi-го отрезка определяется по формуле , где,. Простейший приближенный расчет площади под кривойсостоит в нахождении суммы площадей прямоугольников, у каждого из которых основание совпадает с отрезком, а высота равна значению функции в точке(метод левых прямоугольников). Можно высоту брать равной значению функции в точке(метод правых прямоугольников) или в точке(метод центральных прямоугольников). При использовании метода левых прямоугольников формула для вычисления площади выглядит следующим образом:

.

Можно повысить точность вычисления определенного интеграла, если заменить на каждом интервале ,дугу графика />отрезком (хордой), соединяющем точки с координатамии. В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми,, приближенно заменяется не прямоугольником, а трапецией, и искомый определенный интеграл рассчитывается как сумма площадей всех таких трапеций:

.

Формула может быть существенно упрощена, но мы оставим это для курса вычислительной математики (сейчас можете попытаться упростить ее самостоятельно).

2. Замена графика функции хордами, описанная в методе трапеций, позволяет при помощи электронных таблиц довольно легко определять приближенное значение длины дуги графикана интервале. В этой задаче рассматриваемая кривая представляется в виде ломанной, длина s которой равна сумме длин её звеньев. Длинузвена, построенного на отрезке, можно найти как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равнымии, используя известную теорему Пифагора. В результате суммирования длин всех звеньев, получаем:

.

Следует отметить, что точность приближенного вычисления интегралов зависит от величины , то есть от количества отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования. При отсутствии погрешностей округления, чем больше, тем выше точность (с ростомN погрешность вычислений сходится к нулю).

3. В качестве примера вычислим интеграл с точностью представления результатов вычислений до 4 знаков после запятой.

В ячейку А6 вводим нижнюю границу интервала интегрирования , равную 0,5. В следующую ячейкуА7 вводим значение 0,51, отстоящее от нижней границы на шаг . Рекомендуется выбирать шаг в зависимости от требуемой точности вычисления интеграла. Затем выделяем обе ячейкиА6 и А7. В правой нижней части выделенной области есть жирная черная точка – маркер заполнения, – тянем её мышкой вниз, пока не получим число, соответствующее верхней границе интеграла, т. е. значению . Это достигается в ячейкеА206.

Выделим мышкой столбцы С, Е и G, указывая мышкой их заголовки. Вызовем с помощью правой кнопки мыши контекстное меню выделенных столбцов и выберем в нем опцию Формат ячеек. Далее, на закладке Число, выберем в качестве числового формата – Числовой и укажем отображаемое число десятичных знаков 4. Нажмем клавишу OК.

3.1. Теперь вычислим определенный интеграл с помощью метода левых прямоугольников. Для этого введем в ячейку С6 формулу =(А7-А6)*(Ln(А6)) (величина логарифма и есть высота соответствующего прямоугольника). Выделим ячейку С6 и протянем маркер заполнения вниз, до ячейки С205. Таким образом, в столбце C мы получили площади всех прямоугольников.

Выделим ячейку С206 и нажмем на кнопку Автосумма на панели Стандартные. Нажмем Enter, подтверждая этим предложенную формулу. В результате получим сумму всех выше расположенных чисел в столбце, т. е. значение интеграла, вычисленное методом прямоугольников.

3.2. Вычислим определенный интеграл с помощью метода трапеций. Для этого введем в ячейку Е6 следующую формулу =(А7-А6)*(Ln(А7)+Ln(А6))/2. Выделите ячейку Е6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки Е205. Так мы вычислили площади всех трапеций. Выделив ячейку Е206, вычислите их сумму с помощью кнопки Автосумма на панели Стандартные. Мы получили значение интеграла, найденное методом трапеций.

3.3. Вычислим длину графика функции на интервале [0,5; 2,5].

Для вычисления длин хорд введите в ячейку G6 формулу =((A7-A6)^2+(Ln(A7)-Ln(A6))^2)^(0,5). Выделите ячейку G6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки G205. В ячейке G206, используя Автосумму, найдите приближенное значение искомой длины графика.

3.4. Повторите в соседних столбцах все расчеты при меньшем шаге интегрирования, например, при шаге 0,001. Сравните результаты с полученными ранее. Проанализируйте их и сделайте выводы.

Как в Excel вычислить определённый интеграл

Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.

1 Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

Таблично заданная величина для расчёта определённого интеграла

Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.

2 Геометрический смыслопределённого интеграла

Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком измеряемой величины. Чтобы определить накопленную дозу радиации в рассматриваемом примере, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы

График изменения мощности дозы во время полёта

3 Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: S_трап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

Метод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

4 Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец «D». В столбце «D» в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D», (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце «D» у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.

Согласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозы

5 Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

5 Определение площадипод графиком функции

Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце «E», т.е. численное значение искомого определённого интеграла. Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку «F4» впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец «F».

Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки «3» в столбце «E» при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с «Е3» по «Е4», в строке 5 – сумму с «Е3» по «Е5», в строке 6 – с «Е3» по «Е6» и т.д.

Построим график по столбцам «F» и «A». Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.

Вычисление суммарной площади всех трапеций, что численно равно искомому определённому интегралу

Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.

Как посчитать интеграл в excel

При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Практика вычисления интегралов в Excel.

• sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Примеры
1. Вычислить интеграл ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Делаем замену cos(x)=t . Тогда ∫ cos 4 x·sin 3 xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t , получаем

3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t . Подставляя, получаем

sin 2 a + cos 2 a = 1

sin ( a+b ) = sin a cos b + cos a sin b
cos ( a+b ) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a

Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

1. Ознакомиться с теоретической частью задания;
2. Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
3. Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
   – постановку задачи;
   – алгоритм расчета;
   – таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
   – результат расчета и его анализ.

1. Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
   по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
2. Представьте графически поставленную задачу.

xi

f(xi)

N=2

N=4

N=8

N=2

N=4

N=8

N=2

N=4

N=8

Метод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1 . Вычислить интегралы:

Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx) , где R — рациональная функция от sin x и cos x , преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t .
Тогда имеем

• Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то применяется подстановка cos x = t .
• Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то подстановка sin x = t .
• Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx , то подстановка tgx = t или ctg x = t .

В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t .
Тогда

b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫ R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫ sin m x·cos n xdx . В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t . Если нечетно n , следует применить подстановку sin x = t . Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае

Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel

• Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
• Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
• Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

1. Актуализация знаний

— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница . Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию какой-либо другой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически.

— Тогда для решения задачи строим с оценкой погрешности , и приближенно с очевидной оценкой погрешности .

— Введем на отрезке сетку , , где , и таблицу значений , .

— Рассмотрим простой вариант построения функции , приводящий к формуле трапеций.

— При этом функция строится как кусочно-линейная интерполяция значений , на равномерной сетке с шагом .

=.

— Формулы такого рода () называют механическими квадратурами, – коэффициентами (весами) квадратуры, – ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции . Если она на имеет первую производную, ограниченную числом , то , и погрешность формулы трапеций не превосходит . Если на имеет вторую производную, ограниченную числом , то погрешность формулы итераций не превосходит , поскольку .

Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью , то мало кто сначала оценит третью производную функции и вычислит шаг сетки . Эта оценка и значение константы завышены. Кроме того, само вычисление может быть трудным, особенно если задана некоторым сложным образом.

Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов , получают его значение ; вычисляя интеграл с удвоенным , получают . Если модуль (где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют и т.д. Для гладких функций часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.