Как найти вершину параболы зная 3 точки

Как вычислить вершину параболы с учетом трех точек

У меня есть три точки X/Y, которые образуют параболу. Мне просто нужно вычислить, что такое вершина параболы, которая проходит через эти три точки. Предпочтительно быстрый способ, так как я должен сделать много этих вычислений!

веб-сайт «спросите ученого» предоставляет ответ:

общая форма параболы задается уравнением: A * x^2 + B * x + C = y, где A, B и C-произвольные вещественные константы. У вас есть три пары очков это (x,y) упорядоченные пары. Подставить значения X и y каждой точки в уравнение параболы. Вы получите три линейных уравнения в трех неизвестных, три константы. Затем вы можете легко решить эту систему из трех уравнений для значений A, B и C, и у вас будет уравнение параболы, которая пересекает ваши 3 точки. Вершина, где первая производная равна 0, небольшая алгебра дает: (- B/2A , C-B^2/4A ) для вершины.

будет приятно видеть фактический код, который делает этот расчет в C# или c++. Кто-нибудь?

9 ответов

это действительно просто простая задача линейной алгебры, поэтому вы можете сделать расчет символически. Когда вы подставляете значения x и y ваших трех точек, вы получите три линейных уравнения в трех неизвестных.

простой способ решить эту проблему-инвертировать матрицу

и умножьте его на вектор

результатом этого является. ладно, не совсем все так просто 😉 я сделал это в Mathematica, и вот формулы в псевдокоде:

альтернативно, если вы хотите сделать математику матрицы численно, вы обычно обращаетесь к системе линейной алгебры (например,атлас, хотя я не уверен, имеет ли он привязки C#/C++).

спасибо Дэвид, я преобразовал ваш псевдокод в следующий код c#:

Это то, что я хотел. Простой расчет вершины параболы. Я буду обрабатывать переполнение integer позже.

вы получаете следующие три уравнения прямой подстановкой:

Вы можете решить эту проблему, отметив, что это эквивалентно матрице продукта:

таким образом,Вы можете получить A, B и C, перевернув матрицу и умножив обратную с вектором справа.

Я вижу, что, пока я публикую это, Джон Раш связан с учебником, который углубляется в фактическое решение матричного уравнения, поэтому вы можете следовать этим инструкции, чтобы получить ответ. Инвертировать матрицу 3×3 довольно легко, поэтому это не должно быть слишком сложно.

вот код в Fortran, который реализует решение @david-z и @AZDean:

Это пахнет как домашнее задание. «Спросите ученого» — это правильно. Скажем, ваши 3 точки: (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3). Затем вы получаете три линейных уравнения:

Где M₁₁ = x₁ 2 , M₁₂ = x₁, M₁₃ = 1, Z₁ = y₁, и аналогично для двух других строк, используя (x2, y2) и (x3, y3) вместо (x1, y1).

решение этой системы из 3 уравнения даст вам решение для A, B и C.

Я сделал что-то похожее на ответ @piSHOCK, также основанный на коде @AZDean. Если вам нужно запустить его сильно (или использовать его в MATLAB, как я), это может быть самый быстрый.

Вершина параболы

Вершина параболы — это точка, в которой наблюдается пересечение параболой оси координат и ее невозможность держать направление выше или ниже в координатной плоскости.

Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.

Вывод формулы координат вершины параболы

Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:

Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y.

Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:

Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть \(\left(a+b\right)^2\) преобразуют в \(a^2+2ab+b^2.\)

Функции вида \(y\;=\;f(x\;+\;l)\;+\;m\) отличаются от \(y\;=\;f(x)\) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:

Получается, что l и m — это координаты x₀ и y₀.

1. Соединяем первые два члена многочлена: \(y\;=\;(ax^2\;+\;bx)\;+\;c.\)
2. Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: \(y=a\left(x^2+\frac bax\right)+c.\)
3. Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен \(\frac bax\) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: \(y=a\left(x^2+2\frac b<2a>x+\frac<4a^2>-\frac<4a^2>\right)+c.\)
4. Выделяем квадрат суммы: \(y=a\left(\left(x+\frac b<2a>\right)^2-\frac<4a>\right)+c.\)
5. Умножаем на a: \(y=a\left(x+\frac b<2a>\right)^2-\frac<4a>+c.\)
6. Приводим свободные члены к общему знаменателю: \(y=a\left(x+\frac b<2a>\right)^2-\frac<4a>.\)
7. Меняем знак: \(y=a\left(x+\frac b<2a>\right)^2+\frac<4a>.\)

Как найти координаты, основные способы

Существует несколько способов нахождения координат ВП:

1. \(x_0=\frac<-b><2a>\) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
2. \(y_0=-\frac<4a>\) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
3. \(x_0=\frac2\) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
4. Если функция имеет вид \(y=a\left(x-x_0\right)^2+y_0\) , то в ее вершиной совпадают координаты \(\left(x_0;y_0\right).\)

Примеры решения задач

Найти вершину параболы для уравнения: \(y=x^2-5x+7.\)

Решение: В выражение \(x=-\frac b<2a>\) подставляем известные числа и получаем \(x=\frac52=2,5\) . Теперь подставляем x в исходное уравнение: \(2,5^2-5\times2,5+7=0,75.\)

Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).

Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.

Найдите координаты вершины параболы, если известно, что эта парабола проходит через точки A(5;2), B(7;1) и C(-3;3).

Общий вид уравнения параболы с неизвестными коэффициентами:

для которой координаты вершины определяется по формулам

Так как парабола проходит через точки A(5; 2), B(7; 1) и C(-3; 3), подставляя координаты точек в общий вид уравнения и находим неизвестные коэффициенты из системы уравнений.

Вычтем третье уравнение из первого и второго, потом первое уравнение умножим на 5, а второе уравнение умножим на 2:

Как найти вершину параболы — методы, формулы и примеры вычислений

Парабола — кривая, состоящая из равноудаленных точек от заданной точки (вершина) и прямой. Последняя называется директрисой. График функции имеет ось симметрии, которая проходит по определенной траектории и зависит от функции кривой (рис. 1). Ее вершина находится в центре координат.

Рисунок 1. График квадратичной функции с вершиной в начале координат.

Однако существуют и другие случаи прохождения кривой. Она может пересекать оси абсцисс или ординат. В некоторых случаях ее ветви направлены вниз. При вращении вокруг оси симметрии получается поверхность, которая используется в различных устройствах. По этому принципу изготовлены фары автомобиля, зеркала в телескопах и т. д. Кроме того, парабола — это квадратичная зависимость переменных друг от друга. Парабола имеет некоторые свойства:

1. Парабола — кривая второго порядка.
2. Ось симметрии перпендикулярна директрисе и проходит через фокус и вершины.
3. Оптическое свойство отражения.
4. Отрезок, который соединяет середину любой хорды параболы и точку пересечения касательных прямых, является перпендикуляром относительно директрисы.
5. Подобность всех парабол.
6. Траектория фокуса, которая катится по произвольной прямой — цепная молния.

Следует отметить, что оптическое свойство — это способность отражать свет от источника. Если пучок лучей, которые являются параллельными ее оси, отражаются в параболе, то они собираются в фокусе кривой. При нахождении источника света в фокусе происходит отражение параллельного пучка лучей относительно ее оси.

Уравнения квадратичной функции

Параболу можно описать несколькими способами. Каждый из них нужно применять в конкретных случаях для удобства вычислений. Существует три формы описания кривой:

1. Каноническая.
2. Квадратичная.
3. Общая.

В первой форме она имеет следующий вид: y 2 = 2px. Если поменять местами оси декартовой системы, то получится следующий вид: x 2 = 2yp. Коэффициент p — фокальный параметр. Он соответствует расстоянию между фокусом и директрисой. Кроме того, его значение всегда больше нуля. Вершина лежит всегда между фокусом и директрисой кривой на расстоянии, равном p/2 (рис. 2).

Рисунок 2. Директриса и фокус.

Пусть уравнение директрисы (прямая, которая параллельна оси ОУ) имеет следующий вид: х + p/2 = 0. Координаты фокуса F — (р/2;0). Начало координат делит луч, проходящий из точки F и точки пересечения с директрисой на 2 равных отрезка. Величина FM рассчитывается таким образом: FM = [(x — p/2)^2 + y 2 ]^0.5. Отрезок (луч) из точки М до директрисы равен p/2 + x. Если приравнять оба выражения, то равенство имеет такой вид: p/2 + x = [(x — p/2)^2 + y 2 ]^0.5. При возведении в квадрат и приведении подобных слагаемых, получается искомое уравнение параболы (y 2 = 2px).

Парабола может задаваться квадратичной функцией. Она имеет такой вид: y = ax 2 + bx + c. Следует учитывать, что коэффициент «a» не должен быть равен 0. Если a=1, b = 0 и с = 0, функция принимает такой вид: y = ax 2 . В этом случае формула нахождения вершины параболы выглядит таким образом:

1. Абсцисса вершины параболы: xa = -b / 2a.
2. Координата «игрек» по оси ординат: yb = — D / 2a.

В последней формуле переменная D является дискриминантом квадратного уравнения искомой функции. Он вычисляется с помощью такого соотношения: D = b 2 — 4ac. При а>0 фокус лежит на оси, и находится над вершиной. Ось симметрии параллельна оси ординат. Кроме того, она проходит через вершину кривой. Расстояние до нее равно ¼ величины «а». Если а<0, то ось ее симметрии параллельна оси абсцисс. Расстояние до фокуса также равно ¼а. Уравнение y = a (x — xa)^2 + ya — функция, определяющая кривую II порядка, как параболу.

Поскольку искомую функцию можно назвать кривой второго порядка, то ее уравнение может быть записано в виде квадратного многочлена в декартовой системе координат. Вид его имеет такой вид: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Дискриминант равен нулю (при старших членах).

В полярной системе координат с осями p и v уравнение квадратичной функции имеет такой вид: p (1 + cos (v)) = p. Расстояние от фокуса до директрисы обозначается фокальным коэффициентом p. Кроме того, p соответствует удвоенной длине отрезка, проведенного от фокуса до вершины.

Методы нахождения вершины

В математике есть три способа нахождения координат точки вершины кривой: по формуле, выделением полного квадрата и нахождением производной. Следует отметить, что первый способ не подойдет в том случае, когда функция отличается от вида y = ax 2 + bx + c. Первый способ — расчет по формуле вершины параболы квадратичной функции. Координата x0 вычисляется таким образом: x0 = -b / 2a. Для нахождения координаты y0 следует подставить в функцию найденное значение x0.

Когда функция представлена неполным квадратом, нужно прибавить или отнять одинаковое число к двум частям уравнения. Если воспользоваться этим методом, то можно вычислить сразу значения х и у. Алгоритм нахождения вершины для функции у = x 2 + 4x + 2 имеет такой вид:

1. Приравнять многочлен к нулю, и перенести свободный член в правую сторону с противоположным знаком: x 2 + 4x = -2.
2. Дополнить до полного квадрата. Необходимо вычислить свободный член по такому соотношению: с = (b/2)^2 = (4/2)^2 = 4.
3. Записать полный квадрат, отняв и прибавив свободный член: x 2 + 4x + 4 — 4 = -2.
4. Выделить квадрат: (x 2 + 2x + 4) — 4 = -2.
5. Перенести свободное число в правую сторону с противоположным знаком: (x 2 + 2x + 4) = 4 — 2.
6. Уравнение принимает следующий вид: (x + 2)^2 = 2.
7. Для того чтобы вычислить x0, нужно решить уравнение (x + 2)^2 = 0. Следовательно, x = -2.
8. Ординату точки определить очень просто, поскольку ее значение соответствует числу (нужно брать с противоположным знаком), которое находится в правой части уравнения, т. е. у = -2.

При изображении графика вершину нужно сместить в точку (-2;2). Третий способ позволяет узнать координаты вершины с помощью определения производной. Находить ее следует от заданной функции. Для вычисления координат вершины нужно действовать по следующему алгоритму:

1. Найти производную и приравнять ее к нулю: f'(x) = (ax 2 + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Выразить х: х = -b / (2a).
3. Подставить в функцию для вычисления y.
4. Записать координаты точки.

Однако эти все три метода относятся к ручному вычислению. Автоматизация действий осуществляется с помощью специализированного программного обеспечения. Для этой цели подойдет онлайн-калькулятор, поддерживающий функцию нахождения точек вершины квадратичной кривой. Программы рекомендуется применять только для проверки решения, поскольку очень важно знать методы нахождения этой точки.

Алгоритм построения

В различных задачах нужно выполнить построение графика функции. В некоторых случаях даются координаты вершины, а в других — их следует искать, используя какой-либо метод. Чтобы построить квадратичную функцию, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Если вершина не задана, то нужно найти ее любым из методов.
2. Определить точки пересечения с осями декартовой системы координат.
3. Построить таблицу зависимости ординаты от абсциссы. Для этой цели нужно выделить минимум 3 значения «х». Вершина должна находиться по центру таблицы.
4. Выполнить построение, соединив точки.

Если необходим более точный график, то необходимо брать больше точек. Значения рассчитываются при подстановке значений «х» в функцию. Когда парабола задана функцией y = x 2 + c, нет смысла брать разные значения. Нужно использовать для построения искомой таблицы числа с противоположными знаками. Например, x1 = 2 и x2 = -2.

Специалисты-математики настоятельно рекомендуют не усложнять вычисления. Возможно, в школьных программах и рассматриваются различные случаи. Однако в высших учебных заведениях основной аспект изучения дисциплин с физико-математическим уклоном сводится к оптимизации процесса решения задачи.

Примеры решений

В математике существует определенная классификация заданий на простые и сложные типы. Все они считаются однотипными, но отличаются только объемами вычислений и необходимостью построения графиков. Для решения нужно воспользоваться рекомендуемыми алгоритмами, которые существенно оптимизируют вычисления.

«Корень» трудностей при расчете — отсутствие систематизации вычислений. Не все ими пользуются. В результате простая задача становится очень сложной, поскольку в ней присутствует много ненужных вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, рекомендуется «набить руку» на ручных вычислениях, ведь не всегда можно будет воспользоваться программами.

Упрощенная задача

Простым примером задания является следующий: необходимо вычислить координаты вершины точки параболы y = x 2 + 3x — 18. Следует продемонстрировать решение тремя способами. Решение первым методом:

1. Координата по оси абсцисс: х0 = -3 / (2 * 1) = -1,5.
2. По ординате: (-1,5)^2 + 3 * (-1,5) — 18 — y= 0. Отсюда, y = -20,25.

Следовательно, вершина находится в точке (-1,5;20,25). Второй способ решения данной задачи имеет такой вид:

1. Составить уравнение и перенести свободный член: x 2 + 3x = 18.
2. Вычислить свободный член: с = (b/2)^2 = 2,25.
3. Записать выражение: x 2 + 3x + 2,25 — 2,25 = 18.
4. Выделить квадрат: (x 2 + 3x + 2,25) = 20,25.
5. Определить координаты: (x + 1,5)^2 = 20,25.
6. Искомая точка: (-1,5;20,25).

Для решения третьим методом следует найти производную: y’ = (x 2 + 3x — 18)’ = 2x + 3. Затем нужно приравнять ее к нулю: 2х + 3 = 0. Уравнение является простым, а его переменная легко находится: x = -3 / 2 = -1,5. После этого необходимо подставить абсциссу в функцию, приравняв ее к 0: y = 20,25.

Повышенная сложность

Задания повышенной сложности сводятся к вычислению нескольких значений. Кроме того, в некоторых случаях следует построить график параболы y = x 2 — 7x +10. Необходимо выполнить такие действия:

1. Пересечение с осями.
2. Вычислить экстремум (вершину) всеми методами.
3. Выполнить графический эскиз (график).

Точек пересечения по ОУ нет. Они есть по оси абсцисс. Следует приравнять функцию к 0. Нахождение корней выполняется по теореме Виета: x1 = 2 и x2 = 5.

Для нахождения вершины необходимо воспользоваться тремя методами. При решении первым способом находится координата x0 = 7 / (2 * 1) = 3,5. Ордината определяется таким образом: y0 = (3,5)^2 — (7 * 3,5) + 10 = -2,25. Точка экстремума имеет координаты (3,5;-2,25). Находить вершину параболы необходимо по такому алгоритму:

1. Записать уравнение, и выполнить перенос свободного члена: x 2 — 7x = -10.
2. Найти свободный член: с = (7/2)^2 = 12,25.
3. Составить уравнение: x 2 — 7x + 12,25 — 12,25 = -10.
4. Выделить квадрат: (x — 3,5)^2 = 2,25.
5. Экстремум: (3,5;-2,25).

Для следующего метода нужно найти производную: y’ = (x 2 — 7x +10)’ = 2x — 7. Далее нужно приравнять y’ к нулю: 2x — 7 = 0. Значение по оси абсцисс равно х0 = 3,5, а y0 = -2,25. Далее нужно заполнить таблицу зависимостей ординаты от переменной.

Таблица 1. Зависимость y от x.

После заполнения таблицы следует построить график искомой функции (рис. 3). Таблица состоит из следующих элементов: вершины, точек пересечения с осью абсцисс и 4 произвольных значений.

Рисунок 3. График функции.

Математики рекомендуют использовать для построения графика полученные значения при расчетах, поскольку подстановка и вычисление произвольных х существенно снижает скорость вычислений.

Таким образом, нахождение координат вершины параболы является довольно простой задачей, поскольку существует несколько методов. Из них можно выбрать оптимальный, который подходит в конкретной ситуации.