Как найти расстояние между отрезками по координатам

Длина отрезка. Расстояние между точками: онлайн-калькулятор

Чтобы найти расстояние между точками (длину отрезка) онлайн, необходимо:

1. Задать размерность (плоскость или пространство).
2. Ввести в поля координаты точек.
3. Нажать «рассчитать».

Как найти длину отрезка (расстояние между точками) с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем длину произвольного отрезка, начальная и конечная точки которого имеют координаты (1;4) и (3;0). Для этого:

1. Выберем размерность (2 или 3). Калькулятор позволяет задать отрезок соответственно на плоскости, или в пространстве. В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
   
2. Введем в пустые поля координаты начальной и конечной точек отрезка:
   
3. После ввода координат остается нажать «Рассчитать» и получить ответ с решением:
   

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

• Середина отрезка
• Каноническое уравнение прямой проходящей через две точки
• Параметрическое Уравнение прямой проходящей через две точки
• Расстояние от точки до прямой на плоскости
• Уравнение плоскости (координаты трех точек)
• Уравнение плоскости (координаты вектора нормали и точки)
• Точка пересечения прямых (с угловыми коэффициентами)
• Расстояние от точки до прямой в пространстве
• Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние между плоскостями
• Угол между плоскостями
• Угол между прямой и плоскостью

Расстояние между точками онлайн

Для нахождения длины отрезка по координатам существует формула. Для отрезка AB в трехмерном пространстве она имеет вид:

d = x b — x a 2 + y b — y a 2 + z b — z a 2

Даже если вы забыли данную формулу, расстояние между точками всегда можно найти по координатам онлайн. Калькулятор не только предоставляет правильный ответ, но и подробно расписывает решение.

Онлайн-калькулятор нахождения длины отрезка по координатам будет полезен школьникам и студентам в самостоятельной подготовке, а также преподавателям и всем любителям математики.

Расстояние между отрезками

Координаты концов первого отрезка: A(x_a, y_a), B(x_b, y_b).
Координаты концов второго отрезка: C(x_c, y_c), D(x_d, y_d).

Тогда t = Δ₁/Δ, s = Δ₂/Δ. Если 0 ≤ t,s ≤ 1 и Δ ≠ 0, то отрезки пересекаются и расстояние между ними min равно 0, иначе с каждого конца отрезка попытаемся опустить высоту на противоположный. Если отрезок, на который опускаем высоту вертикальный, то поменяем местами координаты каждого конца отрезка и точки, с которой опускаем высоту (таким образом сохраним расстояние между точкой и отрезком, а отрезок станет горизонтальным).

Пусть k и d — коэффициенты уравнения прямой, на которую опущена эта высота. Основание высоты будет находится на прямой в точке Z, координаты Z(x_z, y_z) можно найти по формуле y_z = kx_z + d. Поскольку высота перпендикулярна отрезку — скалярное произведение их векторов равно 0. Тогда (x₂ — x₁)(x₃ — x_z)+(y₂ — y₁)(y₃ — y_z) = 0, соответственно x_z = (x₃x₂ — x₃x₁ + y₂y₃ — y₁y₃ + y₁d — y₂d)/(ky₂ — ky₁ + x₂ — x₁), где (x₃, y₃) — координаты точки, с которой была опущена высота, (x₁, y₁) и (x₂, y₂) — координаты концов отрезка, принадлежащего прямой на которую опущена высота.

Вычислим длину dl каждой высоты, основание которой принадлежит одному из данных отрезков: dl = √((x₃ — x_z) 2 + (y₃ — kx_z — d) 2 ).

Минимальная длина высоты и будет наименьшим расстоянием между отрезками. В случае, если невозможно опустить высоты из одного отрезка на другой: расстояние между ними будет равно минимальному расстоянию между концами двух отрезков: min = √((x₁ — x₃) 2 + (y₁ — y₃) 2 ), где (x₁, y₁) — координаты одного из концов первого отрезка, а (x₃, y₃) — координаты одного из концов второго отрезка.

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |a — b|,

где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.

Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками L(-3) и M(5), отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками L и M надо из координаты точки L вычесть координату точки M или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

Ответ. Расстояние между точками L и M равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-5) и B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой C. Так как C — середина отрезка AB, то |AC| = |CB|. Значит, чтобы найти координату точки C, надо сначала вычислить длину отрезка AB и разделить её на 2, то есть, на две равные части AC и CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5, значит |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

Ответ. Координата середины отрезка C(0).

Пример 3. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(7) и B(25).

Нахождение расстояния между двумя отрезками в пространстве

Необходимо найти кратчайшее расстояние между двумя отрезками AB и CD (координаты концов отрезков заданы в виде X,Y,Z) которые заданы в пространстве.

Я реализовал эту задачу программно перебором всех точек и нахождение самого минимального расстояния. Как это можно формульно реализовать, чтобы подставив координаты получить нужное решение? Ниже моя реализация

Мне кажется, что проще всего —

составляем параметрическое уравнение для первого отрезка типа x(t) = x0 + t(x1-x0), y(t) = y0 + t(y1-y0) . и такие же для второго x(u), y(u) . t меняется от 0 до 1, u тоже.

Записываем квадрат расстояния между точками как функцию d(u,t) = (x(t)-x(u)) 2 + .

Ищем ее экстремум дифференцированием. Если он в пределах [0,1] и для t, и для u — ура, найдено. Если нет — надо смотреть предельные расстояния для концов отрезков.