Как найти расстояние между прямыми в призме

Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение и примеры нахождения

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

Через каждую пару скрещивающихся прямых может проходить плоскость, параллельная данной, причем только одна.

По условию нам даны скрещивающиеся прямые a и b . Необходимо доказать проходимость единственной плоскости через прямую b , параллельную данной прямой a . Аналогичное доказательство необходимо применять для прямой a , через которую проходит плоскость, параллельная данной прямой b .

Для начала необходимо отметить точку Q на прямой b . Если следовать из определения параллельности прямых, то получаем, что через точку пространства можно провести прямую, параллельную заданной прямой, причем только одну. Значит, через точку Q проходит только одна прямая, параллельная прямой a . Примем обозначение а а 1 .

Раздел способов задания плоскости было говорено о том, что прохождение единственной плоскости возможно через две пересекающиеся прямые. Значит, получаем, что прямые b и а 1 – пересекающиеся прямые, через которые проходит плоскость, обозначаемая χ .

Исходя из признака параллельности прямой с плоскостью, можно сделать вывод, что заданная прямая a параллельна относительно плоскости χ , потому как прямая a параллельна прямой а 1 , расположенной в плоскости χ .

Плоскость χ является единственной, так как прямая, проходящая через заданную прямую, находящуюся в пространстве, параллельна заданной прямой. Рассмотрим на рисунке, предоставленном ниже.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

То есть расстояние между прямой и плоскостью является расстоянием от заданной точки к плоскости. Тогда применима формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых к плоскости, проходящей через другую прямую, параллельную первой прямой.

Произведем подробное рассмотрение прямых a и b . Точка М 1 располагается на прямой a , через прямую b проводится плоскость χ , параллельная прямой a . Из точки М 1 проводим перпендикуляр М 1 Н 1 к плоскости χ . Длина этого перпендикуляра является расстоянием между скрещивающимися прямыми a и b . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения

Расстояния между скрещивающимися прямыми находятся при построении отрезка. Искомое расстояние равняется длине этого отрезка. По условию задачи его длина находится по теореме Пифагора, по признакам равенства или подобия треугольников или другим.

Когда имеем трехмерное пространство с системой координат О х у z с заданными в ней прямыми a и b , то вычисления следует проводить, начиная с расстояния между заданными скрещивающимися при помощи метода координат. Произведем подробное рассмотрение.

Пусть по условию χ является плоскостью, проходящей через прямую b , которая параллельна прямой a . Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равняется расстоянию от точки М 1 , расположенной на прямой a , к плоскости _ χ . Для того, чтобы получить нормальное уравнение плоскости χ , необходимо определить координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) _, расположенной на прямой a . Тогда получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , которое необходимо для определения расстояния M 1 H 1 от точки M 1 x 1 , y 1 , z 1 к плоскости χ . Вычисления производятся по формуле M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Необходимое расстояние равняется искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Данная задача предполагает получение координат точки М 1 , которая располагается на прямой a , нахождение нормального уравнения плоскости χ .

Определение координат точки М 1 необходимо и возможно при знании основных видов уравнений прямой в пространстве. Чтобы получить уравнение плоскости χ , необходимо остановиться подробней на алгоритме вычисления.

Если координаты x 2 , y 2 , z 2 будут определены при помощи точки М 2 , через которую проведена плоскость χ , получаем нормальный вектор плоскости χ в виде вектора n → = ( A , B , C ) . Следуя из этого, можно записать общее уравнение плоскости χ в виде A · x — x 2 + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 .

Вместо точки М 2 может быть взята любая другая точка, принадлежащая прямой b , потому как плоскость χ проходит через нее. Значит, координаты точки М 2 найдены. Необходимо перейти к нахождению нормального вектора плоскости χ .

Имеем, что плоскость χ проходит через прямую b , причем параллельна прямой a . Значит, нормальный вектор плоскости χ перпендикулярен направляющему вектору прямой a , обозначим a → , и направляющему вектору прямой b , обозначим b → . Вектор n → будет равняться векторному произведению a → и b → , что значит, n → = a → × b → . После определения координат a x , a y , a z и b x , b y , b z направляющих векторов заданных прямых a и b , вычисляем

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Отсюда находим значение координат A , B , C нормального вектора к плоскости χ .

Знаем, что общее уравнение плоскости χ имеет вид A · ( x — x 2 ) + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 .

Необходимо привести уравнение к нормальному виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . После чего нужно произвести вычисления искомого расстояния между скрещивающимися прямыми a и b , исходя из формулы M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b , необходимо следовать алгоритму:

• определение координат ( x 1 , y 1 , z 1 ) и x 2 , y 2 , z 2 точек М 1 и М 2 , расположенных на прямых a и b соответственно;
• получение координат a x , a y , a z и b x , b y , b z , принадлежащих направляющим векторам прямых a и b ;
• нахождение координат A , B , C , принадлежащих вектору n → на плоскости χ , проходящей через прямую b , расположенную параллельно a , по равенству n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ;
• запись общего уравнения плоскости χ в виде A · x — x 2 + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 ;
• приведение полученного уравнения плоскости χ к уравнению нормального вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 ;
• вычисление расстояния M 1 H 1 от M 1 x 1 , y 1 , z 1 к плоскости χ , исходя из формулы M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Имеются две скрещивающиеся прямые в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства. Прямая a определена параметрическим уравнением прямой в пространстве x = — 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 — 3 · λ , прямая b при помощи канонического уравнения прямой в пространстве x 1 = y — 1 — 2 = z + 4 6 . Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

Понятно, что прямая а пересекает точку M 1 ( — 2 , 1 , 4 ) с направляющим вектором a → = ( 0 , 2 , — 3 ) , а прямая b пересекает точку M 2 ( 0 , 1 , — 4 ) с направляющим вектором b → = ( 1 , — 2 , 6 ) .

Для начала следует произвести вычисление направляющих векторов a → = ( 0 , 2 , — 3 ) и b → = ( 1 , — 2 , 6 ) по формуле. Тогда получаем, что

a → × b → = i → j → k → 0 2 — 3 1 — 2 6 = 6 · i → — 3 · j → — 2 · k →

Отсюда получаем, что n → = a → × b → — это вектор плоскости χ , который проходит через прямую b параллельно a с координатами 6 , — 3 , — 2 . Получим:

6 · ( x — 0 ) — 3 · ( y — 1 ) — 2 · ( z — ( — 4 ) ) = 0 ⇔ 6 x — 3 y — 2 z — 5 = 0

Находим нормирующий множитель для общего уравнения плоскости 6 x — 3 y — 2 z — 5 = 0 . Вычислим по формуле 1 6 2 + — 3 2 + — 2 2 = 1 7 . Значит, нормальное уравнение примет вид 6 7 x — 3 7 y — 2 7 z — 5 7 = 0 .

Необходимо воспользоваться формулой, чтобы найти расстояние от точки M 1 — 2 , 1 , 4 до плоскости, заданной уравнением 6 7 x — 3 7 y — 2 7 z — 5 7 = 0 . Получаем, что

M 1 H 1 = 6 7 · ( — 2 ) — 3 7 · 1 — 2 7 · 4 — 5 7 = — 28 7 = 4

Отсюда следует, что искомым расстоянием является расстояние между заданными скрещивающимися прямыми, является значение 4 .

Метод координат

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны \(4\)):

Куб: Очевидно, что координаты точки \(A\) в начале координат — \((0;0;0)\). т. \(B\) — \((4;0;0)\), т. \(G\) — \((4;4;4)\) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

У \(т. A\) координаты \((0;0;0)\), потому что она лежит в начале координат.

Координату \(x\) точки \(С\) можно получить, опустив перпендикуляр \(CE\) из \(т.С\) на ось \(OX\). (см. Рис. 2). Получится \(т.E\), указывающая на искомую координату по \(x\) – 2.

Координату \(y\) точки \(С\) тоже получаем, опустив перпендикуляр \(CF\) на ось \(OY\). Координата \(y\) \(т.С\) будет равна длине отрезка \(AF=CE\). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника \(AFC\): $$ ^2=^2+^2,$$ $$ 4^2=2^2+^2,$$ $$ CE=\sqrt<12>. $$ Координата \(z\) точки \(C\), очевидно, равна \(0\), потому что \(т.С\) лежит в плоскости \(XOY\). $$ C (2;\sqrt<12>; 0). $$

И найдем координаты вершины пирамиды (\(т.D\)). (Рис. 3) Координаты \(X\) и \(Y\) у точки \(D\) совпадают с координатами \(X\) и \(Y\) у точки \(H\). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок \(EH=\frac<1><3>*CE=\frac<1><3>*\sqrt<12>\) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как \(\frac<1><3>\)) и равен координате точки \(D\) по \(Y\). Длина отрезка \(IH=2\) будет равна координате точки \(D\) по \(X\). А координата по оси \(Z\) равна высоте пирамиде: $$ ^2=^2+^2, $$ $$ =\sqrt<4^2-<\frac<2><3>*AF>^2>, $$ $$ =\frac<32><3>. $$ $$ D (2, \frac<1><3>*\sqrt<12>, \frac<32><3>). $$

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора \(\vec\) можно определить по формуле: $$ \vec=. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a=;$$ $$ b=; $$ тогда угол \(\alpha\) между ними находится по формуле: $$ \cos<\alpha>=\frac<\sqrt<^2+^2+^2>*\sqrt<^2+^2+^2>>. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где \(A,B,C,D\) – какие-то числа.

Если найти \(A,B,C,D\), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$\begin A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \\ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.\end$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: \(A,B,C,D\). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем \(D\) приравнять \(1\), если же проходит, то \(D=0\). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на \(D\), от этого уравнение не изменится, но вместо \(D\) будет стоять \(1\), а остальные коэффициенты будут в \(D\) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);\,P(0;1;0);\,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости \(D=1\): $$\begin A*1+B*2+C*3+1=0,\\ A*0+B*1+C*0+1=0, \\ A*1+B*1+C*1+1=0.\end$$ $$\begin A+2*B+3*C+1=0,\\ B+1=0, \\ A+B+C+1=0.\end$$ $$\begin A-2+3*C+1=0,\\ B=-1, \\ A=-C.\end$$ $$\begin A=-0.5,\\ B=-1, \\ C=0.5.\end$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки \(M(x_M;y_M;z_M)\), легко найти расстояние до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0:\) $$ \rho=\frac<|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|><\sqrt>. $$

Найдите расстояние от т. \(H (1;2;0)\) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-\sqrt<2>*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,\,B=3,\,C=-\sqrt<2>,\,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ \rho=\frac<|2*1+3*2-\sqrt<2>*0+4|><\sqrt<2^2+3^2+<-\sqrt<2>>^2>>. $$ $$ \rho=\frac<12><\sqrt<16>>=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Расстояние между скрещивающимися прямыми-2. Задание С2

В этой статье мы разберем решение такой задачи: В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

Рассмотрим чертеж задачи:

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно, для начала, через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. В нашем случае для этого прийдется сделать дополнительное построение:

Мы получили призму, в основании которой лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°.

Теперь в плоскости грани проведем прямую параллельно прямой ,

и через эту прямую проведем плоскость , которая будет параллельна прямой :

Расстояние между прямыми и равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости .

Будем искать расстояние от точки С до плоскости . Для этого проведем плоскость , перпендикулярно плоскости (

— линия пересечения плоскости и плоскости .

Рассмотрим треугольник . Нам нужно найти расстояние от точки С до прямой , то есть высоту треугольника, проведенную из вершины С:

), ), (из треугольника ):

Дальше поступим так:

1. Найдем cos C по теореме косинусов.

2. Найдем sin C через основное тригонометрическое тождество.

3. Найдем площадь треугольника по формуле — это и есть искомое расстояние.

1.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6

В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны , найдите расстояние между прямыми и

Прямые и — скрещивающиеся.

Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Оно также равно расстоянию от до параллельной ей плоскости , в которой лежит прямая .

Проведем , где H — середина . Треугольник правильный, поэтому

Также , поскольку призма прямая.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, Значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости , в том числе прямой

Кроме того, Получим, что — общий перпендикуляр к прямым и , и длина равна расстоянию между и Найдем как высоту правильного треугольника со стороной

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.