Как найти расстояние между зарядами

Закон Кулона.

Закон Кулона — это один из основных законов электростатики. Он определяет величину и направление силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами.

Под точечным зарядом понимают заряженное тело, размер которого много меньше расстояния его возможного воздействия на другие тела. В таком случае ни форма, ни размеры заряжен­ных тел не влияют практически на взаимодействие между ними.

Закон Кулона экспериментально впервые был доказан приблизительно в 1773 г. Кавендишем, который использовал для этого сферический конденсатор. Он показал, что внутри заряженной сферы электрическое поле отсутствует. Это означало, что сила электростатического взаимодействия меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, однако результаты Кавендиша не были опубликованы.

В 1785 г. закон был установлен Ш. О. Кулоном с помощью специальных крутильных весов. Опыты Кулона позволили установить закон, поразительно напоминающий закон всемирного тяготения.

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

В аналитическом виде закон Кулона имеет вид:

.

где |q₁| и |q₂| — модули зарядов; r — расстояние между ними; k — коэффициент пропорциональнос­ти, зависящий от выбора системы единиц. Сила взаимодействия направлена по прямой, соединя­ющей заряды, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные — притягиваются.

Сила взаимодействия между зарядами зависит также от среды между заряженными телами.

В воздухе сила взаимодействия почти не отличается от таковой в вакууме. Закон Кулона выражает взаимодействие зарядов в вакууме.

Кулон — единица электрического заряда. Кулон (Кл) — единица СИ количества электричества (электрического заряда). Она является производной единицей и определяется через единицу силы тока — 1 ампер (А), которая входит в число основных единиц СИ.

За единицу электрического заряда принимают заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за 1 с.

Заряд в 1 Кл очень велик. Сила взаимодействия двух точечных зарядов по 1 Кл каждый, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга, чуть меньше силы, с которой земной шар притягивает груз массой 1 т. Сообщить такой заряд небольшому телу невозможно (отталкиваясь друг от друга, заряженные частицы не могут удержаться в теле). А вот в проводнике (который в целом электронейтрален) привести в движение такой заряд просто (ток в 1 А — вполне обычный ток, протекающий по проводам в наших квартирах).

Коэффициент k в законе Кулона при его записи в СИ выражается в Н · м 2 /Кл 2 . Его численное значение, определенное экспериментально по силе взаимодействия двух известных зарядов, находящихся на заданном расстоянии, составляет:

Часто его записывают в виде , где ɛ₀ =8,85 · 10 — 12 Kл 2 /H·м 2 — электрическая постоянная. В среде с диэлектрической проницаемостью ɛ закон Кулона имеет вид:

.

Напряженность и закон Кулона

Закон Кулона — сила, с которой два точечных заряда действуют друг на друга. Она обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна произведению их зарядов.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются, с разными — притягиваются. По III з. Ньютона сила действия одного заряда равна силе действия другого:

Наглядно рассказывается об этом в видео.
А напряженность — силовая характеристика электрического поля. По-простому: электрическое поле действует на заряд, и вот сила, с которой поле действует на заряд, и есть напряженность.

Напряженность НЕ зависит от величины заряда, помещенного в поле!

Задачи

Задача 1 Два одинаковых маленьких положительно заряженных металлических шарика находятся в вакууме на достаточно большом расстоянии друг от друга. Модуль силы их кулоновского взаимодействия равен F ₁ . Модули зарядов шариков отличаются в 5 раз. Если эти шарики привести в соприкосновение, а затем расположить на прежнем расстоянии друг от друга, то модуль силы их кулоновского взаимодействия станет равным F ₂ . Определите отношение F ₂ к F ₁ .

Скажем, что заряд одного шарика q, другого 5q. Тогда сила Кулона между ними:

А если теперь соединить два шарика, то общий заряд разделится пополам (на каждый шарик). Общий заряд 5q + q = 6q, тогда на каждом шарике окажется по 3q. Тогда сила Кулона:

Отношение получится таким:

Задача 2 Два одинаковых маленьких разноименно заряженных металлических шарика находятся в вакууме на достаточно большом расстоянии друг от друга. Модуль силы их кулоновского взаимодействия равен F ₁ . Модули зарядов шариков отличаются в 4 раза. Если эти шарики привести в соприкосновение, а затем расположить на прежнем расстоянии друг от друга, то модуль силы их кулоновского взаимодействия станет равным F ₂ . Определите отношение F ₁ к F ₂ .

Та же самая задача? А вот и нет, одно слово другое: разноименно вместо положительных. Это значит, что один шарик будет заряжен положительно, другой отрицательно. По сравнению с первым случаем сила Кулона никак не изменится по модулю (только по нарпавлению).

А вот после соприкосновения изменится. Общий заряд: 5q − q = 4q или q − 5q = − 4q, тогда на каждый шар пойдет по 2q:

Задача 3 На нерастяжимой нити висит шарик массой 100 г, имеющий заряд 20 мкКл. Как необходимо зарядить второй шарик, который подносят снизу к первому шарику на расстояние 30 см, чтобы сила натяжения: а) увеличилась в 4 раза; б) рассмотреть случай невесомости?

В начальный момент времени на шарик действуют две силы:

а) Чтобы сила натяжения увеличилась в 4 раза, сила Кулона должна быть направлена вниз, значит, нужно поднести отрицательно заряженный шарик. Запишем также уравнение на ось Y:

б) Невесомость возникает, когда сила натяжения равна нулю. Для этого нужно, чтобы сила Кулона была направлена вверх, значит, подносим положительный заряд:

Ответ: −1,5 мкКл, 500 нКл.

Задача 3 Фотон с длиной волны, соответствующей красной границе фотоэффекта, выбивает с поверхности пластинки электрон, который попадает в электрическое поле с напряженностью 125 В/м. Найти расстояние, которое он пролетит прежде, чем разгонится до скорости, равной 1% от скорости света.

В задаче говорится про электрон, значит, его массу m = 9,1×10⁻³¹ кг и заряд q = 1,6 × 10⁻¹⁹ Кл можно посмотреть в справочных данных.

Найдем ускорение электрона в электрическом поле:

Остается найти пройденный путь в равноускоренном движении при нулевой начальной скорости:

Задача 4 Полый заряженный шарик массой m = 0,4 г. движется в однородном горизонтальном электрическом поле из состояния покоя. Модуль напряженности электрического поля E = 500 кВ/м. Траектория шарика образует с вертикалью угол α = 45°. Чему равен заряд шарика?

Для начала разберемся, какие силы действуют на заряд:

Заряд движется под углом 45 градусов, значит, отношением сил будет тангенс 45°:

Задача 5 При нормальных условиях электрический «пробой» сухого воздуха наступает при напряжённости электрического поля 30 кВ/см. В результате «пробоя» молекулы газа, входящие в состав воздуха, ионизируются и появляются свободные электроны. Какую кинетическую энергию приобретёт такой электрон, пройдя в электрическом поле расстояние 10 ⁻⁵ см? Ответ выразите в электронвольтах. (ЕГЭ)

Задача кажется весьма тяжелой, но это обманчиво. Воспользуемся знакомой формулой напряженности:

Домножим на длину обе части, тогда слева получится работа, а работа — это изменение энергии:

Переводить сантиметры не обязательно, они сократятся. Чтобы перевести джоули в электронвольты, нужно разделить на 1,6 × 10⁻¹⁹

Задача 6 В вершинах равностороннего треугольника со стороной « а » находятся заряды +q, +q и -q. Найти напряженность поля Е в центре треугольника.

Покажем, как направлена напряженность: для двух положительных зарядов — от них (красные стрелочки), для отрицательного заряда — к нему (синяя стрелочка).

Угол между синим вектором и красным составляет 60°. Если продлить красный вектор до стороны, получится прямоугольный треугольник. Тогда, чтобы посчитать результирующую напряженность, спроецируем красные векторы на синий:

Остается разобрать на каком расстоянии находятся заряды от центра треугольника. Высоту треугольника можно найти по т. Пифагора, равна она а√3/2. А расстояние тогда составит 2/3 от высоты:

Задача 6 Два шарика с зарядами Q = –1 нКл и q = 5 нКл соответственно, находятся в однородном электрическом поле с напряженностью Е = 18 В/м, на расстоянии r = 1 м друг от друга. Масса первого шарика равна M = 5 г. Определите, какую массу должен иметь второй шарик, чтобы они двигались с прежним между ними расстоянием и с постоянным по модулю ускорением. (ЕГЭ — 2016)

Направим ось X вправо и покажем, какие силы действуют на каждый заряд.

На положительный заряд электрическая сила действует по линиям напряженности, для отрицательного заряда все наоборот. Силы кулона направлены к зарядам, они разноименные. Составим уравнение для каждого заряда:

Сумма всех сила равна ma, потому что в условии сказано, что шарики двигаются с постоянным ускорением, а чтобы расстояние не менялось, двигаться они должны в одном направлении.

Разделим одно уравнение на другое и выразим массу:

Задача 7 Четыре маленьких одинаковых шарика, связанных нерастяжимыми нитями одинаковой длины, заряженызарядами q, q, q и 2q. Сила натяжения нити, связывающей первый и второй шарики, равна T. Найти силу натяжения нити, связывающейвторой и третий шарики. (Росатом)

Покажем, каким силам противодействует сила натяжения Т. Воспользуемся принципом суперпозиции и законом Кулона:

Сила натяжения Т удерживает первый шарик, других сил для него нет, значит, больше ничего для первого случая не требуется.

Как проще это запомнить: проводим линию перпендикулярно той нити, о которой говорим (красная черточка), после записываем только те силы между шариками, которые появляются по разные стороны от проведенной линии:

Теперь также составим уравнения для силы натяжения между вторым и третьим шариком:

Распишим каждое уравнение по закону кулона, скажем, что расстояние между соседними шариками равно «а»:

Второе уравнение с подстановкой выражения из первого:

Задача 8 Точечный заряд, расположенный в точке C, создаёт в точках A и B поле с напряжённостью Ea и Eb соответственно (см. рисунок; угол ACB — прямой). Найти напряжённость электрическогополя, создаваемого этим зарядом в точке M, являющейся основанием перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. (Росатом)

Запишем, чему равна напряженность в каждой из этих точек, взяв длины отрезков за a; b; h:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как полупроизведение катетов или как полупроизведение высоты и основания:

Возведем в квадрат получившиеся уравнение, а дальше смертельный номер: возводим в −1 степень и домножаем обе части на kq:

Выразим a² и b² через напряженность:

Задача 9 Частицы с массами M и m, и зарядами q и −q соответственно вращаются с угловой скоростью ω по окружностям вокруг оси, направленной по внешнемуоднородному электрическому полю с напряжённостью E (рис.). Найдите расстояние L между частицами и расстояние H между плоскостями их орбит. (Всеросс. 2008)

Накрест лежащие углы при параллельных прямых (движения частиц) и секущей силы Кулона равны α. Покажем какие силы действуют на каждую частицу:

Запишем уравнения по осям на верхнюю частицу:

На нижнюю частицу:

Построим два треугольника, которые показывают расстояние между частицами и высоту между ними.

Разделим уравнения друг на друга, а также выразим тангенс угла из этих треугольников:

Сложим два уравнения, чтобы найти расстояние между плоскостями:

Пункт «а» решили, теперь с расстоянием разберемся: выразим из ур-ия (1) длину, а дальше из треугольника выразим синус угла альфа:

Вместо Н подставим то, что мы нашли:

Задача 10 В точке O к стержню привязана непроводящая нить длиной R c зарядом q на конце. Известный эталонный заряд Q ₂ и измеряемый заряд Q ₁ установлены на расстояниях L ₂ и L ₁ от точки O. Все заряды одногознака и могут считаться точечными. Найдите величину заряда Q ₁ , если в состоянии равновесия нить отклонена на угол β от отрезка, соединяющегозаряды Q ₂ и Q ₁ . (Всеросс. 2018)

Проведем оси, подпишем расстояние от Q₁ до q и от Q₂ до q. Запишем ур-ия сил на каждую ось:

Не хочется мучиться с силой натяжения нити, поэтому займемся ур-ем на ось Y:

Из прямоугольных треугольников можно получить такие соотношения, а также из теоремы косинусов выразить S₁ и S₂:

Подставим в ур-ие (1):

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с ответами.

1.2. Закон Кулона

Основной закон взаимодействия электрических зарядов был найден Шарлем Кулоном в 1785 г. экспериментально. Кулон установил, что сила взаимодействия между двумя небольшими заряженными металлическими шариками обратно пропорциональна квадрату расстояниямежду ними и зависит от величины зарядови:

,

где —коэффициент пропорциональности .

Силы, действующие на заряды, являются центральными, то есть они направлены вдоль прямой, соединяющей заряды.

Для одноименных зарядов произведение и силасоответствует взаимному отталкиванию зарядов,

для разноимнных зарядов , и силасоответствует взаимному притяжению зарядов.

Закон Кулона можно записать в векторной форме:,

где —вектор силы, действующей на заряд со стороны заряда,

— радиус-вектор, соединяющий заряд с зарядом;

— модуль радиус-вектора.

Сила, действующая на заряд со стороныравна,.

Закон Кулона в такой форме

справедлив только для взаимодействия точечных электрических зарядов, то есть таких заряженных тел, линейными размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними.

выражает силу взаимодействия между неподвижными электрическими зарядами, то есть это электростатический закон.

Формулировка закона Кулона:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности в законе Кулоназависит

от свойств среды

выбора единиц измерения величин, входящих в формулу.

Поэтому можно представить отношением,

где —коэффициент, зависящий только от выбора системы единиц измерения;

— безразмерная величина, характеризующая электрические свойства среды, называется относительной диэлектрической проницаемостью среды. Она не зависит от выбора системы единиц измерения и равна единице в вакууме.

Тогда закон Кулона примет вид:,

для вакуума ,

тогда —относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз в данной среде сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами и, находящимися друг от друга на расстоянии, меньше, чем в вакууме.

В системе СИ коэффициент , и

закон Кулона имеет вид:.

Это рационализированная запись закона Кулона.

— электрическая постоянная, .

В системе СГСЭ ,.

В векторной форме закон Кулона принимает вид

где —вектор силы, действующей на заряд со стороны заряда ,

— радиус-вектор, соединяющий заряд с зарядом

r –модуль радиус-вектора .

Всякое заряженное тело состоит из множества точечных электрических зарядов, поэтому электростатическая сила, с которой одно заряженное тело действует на другое, равна векторной сумме сил, приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороны каждого точечного заряда первого тела.

1.3.Электрическое поле. Напряженность.

Пространство, в котором находится электрический заряд, обладает определенными физическими свойствами.

На всякий другой заряд, внесенный в это пространство, действуют электростатические силы Кулона.

Если в каждой точке пространства действует сила, то говорят, что в этом пространстве существует силовое поле.

Поле наряду с веществом является формой материи.

Если поле стационарно, то есть не меняется во времени, и создается неподвижными электрическими зарядами, то такое поле называется электростатическим.

Электростатика изучает только электростатические поля и взаимодействия неподвижных зарядов.

Для характеристики электрического поля вводят понятие напряженности. Напряженностью в каждой точке электрического поля называется вектор , численно равный отношению силы, с которой это поле действует на пробный положительный заряд, помещенный в данную точку, и величины этого заряда, и направленный в сторону действия силы.

Пробный заряд, который вносится в поле, предполагается точечным и часто называется пробным зарядом.

— Он не участвует в создании поля, которое с его помощью измеряется.

— предполагается, что этот заряд не искажает исследуемого поля, то есть он достаточно мал и не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле.

Если на пробный точечный заряд поле действует силой, то напряженность.

СИ:

СГСЭ:

В системе СИ выражение для поля точечного заряда:

.

В векторной форме:

Здесь – радиус-вектор, проведенный из зарядаq , создающего поле, в данную точку.

Таким образом,векторы напряженности электрического поля точечного заряда q во всех точках поля направлены радиально (рис.1.3)

— от заряда, если он положительный, «исток»

— и к заряду, если он отрицательный «сток»

Для графической интерпретации электрического поля вводят понятие силовой линии или линии напряженности. Это

кривая, касательная в каждой точке к которой совпадает с вектором напряженности.

Линия напряженности начинается на положительном заряде и заканчивается на отрицательном.

Линии напряженности не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор напряженности имеет лишь одно направление.

Закон Кулона

Между электрическими зарядами действует сила. Как она зависит от величины зарядов и других факторов?
Этот вопрос исследовал в 1780-е годы французский физик Шарль Кулон (1736-1806). Он воспользовался крутильными весами, очень похожими на те, которые применял Кавендиш для определения гравитационной постоянной.
Если к шарику на конце стержня, подвешенного на нити, подности заряд, стержень слегка отклоняется, нить закручивается, и угол поворота нити будет пропорционален действующей между зарядами силе (крутильные весы). С помощью этого прибора Кулон определил зависимость силы от величины зарядов и расстояния между ними.

В те времена еще не было приборов для точного определения величины заряда, но Кулон сумел приготовить небольшие шарики с известным соотношением зарядов. Если заряженный проводящий шарик, рассуждал он, привести в соприкосновение с точно таким же незаряженным шариком, то имевшийся на первом заряд в силу симметрии распределится поровну между двумя шариками.
Это дало ему возможность получать заряды, составлявшие 1/2, 1/4 и т.д. от первоначального.
Несмотря на некоторые трудности, связанные с индуцированием зарядов, Кулону удалось доказать, что сила, с которой одно заряженное тело действует на другое малое заряженное тело, прямо пропорциональна электрическому заряду каждого из них.
Другими словами, если заряд любого из этих тел удвоить, то удвоится и сила; если же удвоить одновременно заряды обоих тел, то сила станет вчетверо больше. Это справедливо при условии, что расстояние между телами остается постоянным.
Изменяя расстояние между телами, Кулон обнаружил, что действующая между ними сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: если расстояние, скажем, удваивается, сила становится вчетверо меньше.

Итак, заключил Кулон, сила, с которой одно малое заряженное тело (в идеальном случае -точечный заряд, т.е. тело, подобно материальной точке не имеющее пространственных размеров) действует на другое заряженное тело, пропорциональна произведению их зарядов Q1 и Q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь k -коэффициент пропорциональности.
Это соотношение известно как закон Кулона; его справедливость подтверждена тщательными экспериментами, гораздо более точными, чем первоначальные трудно воспроизводимые опыты Кулона. Показатель степени 2 установлен в настоящее время с точностью 10 -16 , т.е. он равен 2 ± 2×10 -16 .

Коль скоро мы теперь имеем дело с новой величиной — электрическим зарядом, мы можем подобрать такую единицу измерения, чтобы постоянная к в формуле равнялась единице. И действительно, такая система единиц еще недавно широко использовалась в физике.

Речь идет о системе СГС (сантиметр-грамм-секунда), в которой используется электростатическая единица заряда СГСЭ. По определению два малых тела, каждое с зарядом 1 СГСЭ, расположенные на расстоянии 1 см друг от друга, взаимодействуют с силой 1 дина.

Теперь, однако, заряд чаще всего выражают в системе СИ, где его единицей является кулон (Кл).
Точное определение кулона через электрический ток и магнитное поле мы приведем позднее.
В системе СИ постоянная k имеет величину k = 8,988×10 9 Нм 2 /Кл 2 .

Заряды, возникающие при электризации трением обычных предметов (расчески, пластмассовой линейки и т.п.), по порядку величины составляют микрокулон и меньше (1 мкКл = 10 -6 Кл).
Заряд электрона (отрицательный) приблизительно равен 1,602×10 -19 Кл. Это наименьший известный заряд; он имеет фундаментальное значение и обозначается символом е, его часто называют элементарным зарядом.
е = (1,6021892 ± 0,0000046)×10 -19 Кл, или е ≈ 1,602×10 -19 Кл.

Поскольку тело не может приобрести или потерять долю электрона, суммарный заряд тела должен быть целым кратным элементарного заряда. Говорят, что заряд квантуется (т.е. может принимать лишь дискретные значения). Однако, поскольку заряд электрона е очень мал, мы обычно не замечаем дискретности макроскопических зарядов (заряду 1 мкКл соответствуют примерно 10 13 электронов) и считаем заряд непрерывным.

Формула Кулона характеризует силу, с которой один заряд действует на другой. Эта сила направлена вдоль линии, соединяющей заряды. Если знаки зарядов одинаковы, то силы, действующие на заряды, направлены в противоположные стороны. Если же знаки зарядов различны, то действующие на заряды силы направлены навстречу друг другу.
Заметим, что в соответствии с третьим законом Ньютона сила, с которой один заряд действует на другой, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой второй заряд действует на первый.
Закон Кулона можно записать в векторной форме подобно закону всемирного тяготения Ньютона:

где F₁₂ — вектор силы, действующей на заряд Q1 со стороны заряда Q2,
— расстояние между зарядами,
— единичный вектор, направленный от Q2 к Q1.
Следует иметь в виду, что формула применима лишь к телам, расстояние между которыми значительно больше их собственных размеров. В идеальном случае это точечные заряды. Для тел конечного размера не всегда ясно, как отсчитывать расстояние r между ними, тем более что распределение заряда может быть и неоднородным. Если оба тела — сферы с равномерным распределением заряда, то r означает расстояние между центрами сфер. Важно также понимать, что формула определяет силу, действующую на данный заряд со стороны единственного заряда. Если система включает несколько (или много) заряженных тел, то результирующая сила, действующая на данный заряд, будет равнодействующей (векторной суммой) сил, действующих со стороны остальных зарядов. Постоянная к в формуле Закона Кулона обычно выражается через другую константу, ε₀, так называемую электрическую постоянную, которая связана с k соотношением k = 1/(4πε₀). С учетом этого закон Кулона можно переписать в следующем виде:

где с наивысшей на сегодня точностью

Запись большинства других уравнений электромагнитной теории упрощается при использовании ε₀, поскольку 4π в окончательном результате часто сокращается. Поэтому мы будем обычно использовать Закон Кулона, считая, что:

Закон Кулона описывает силу, действующую между двумя покоящимися зарядами. Когда заряды движутся, между ними возникают дополнительные силы, и их мы обсудим в последующих главах. Здесь же рассматриваются только покоящиеся заряды; этот раздел учения об электричестве называется электростатикой.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Электрическое поле — один из двух компонентов электромагнитного поля, представляющий собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, либо возникающий при изменении магнитного поля.