Правила нахождения коэффициентов квадратичной функции
В данной работе рассматриваются правила нахождения коэффициентов (a, b, c) квадратичной функции и их применение на на конкретных примерах.
Просмотр содержимого документа
«Правила нахождения коэффициентов квадратичной функции»
Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax 2 + bx +c
I Нахождение коэффициента а :
по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)
подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
решаем полученное уравнение.
II. нахождение коэффициента b: b= — (х1 + х2) это для приведённого уравнения
Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)
В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а
Вычисляем значение коэффициента b.
III. нахождение коэффициента с: с = х1 ∙ х2 это для приведённого уравнения
Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II <находим коэффициенты а,Ь)
Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах 2 +bх+с и находим с.
I Нахождение коэффициента а :
по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)
подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
решаем полученное уравнение.
II. нахождение коэффициента b:
Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)
В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а
Вычисляем значение коэффициента b.
III. нахождение коэффициента с:
Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II <находим коэффициенты а,b)
Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах 2 +bх+с и находим с.
Рассмотрим задачу: где невозможно по графику найти точно m и n необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:
Найти все коэффициенты по графику функции
Подставляем в уравнение: 
координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:
Последние два уравнения вычтем:
Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:
Вычтем два получившихся уравнения:
Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:
Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:
Найти все коэффициенты по графику функции
Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):
Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:
Найти все коэффициенты по графику функции
Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:
Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.
Как найти a,b,c по графику функции y= ax^2 + bx+c. Рисунок внутри
Очень прошу вас с объяснением. 
Так: b — абсцисса вершины параболы, с противоположным знаком, b=2.
с- ордината вершины параболы, с=2. а=-2, так как при изменении х с -2 до -1, у изменяется с 2 до 0, а=(0-2)/(2-1)^2=-2/1=-2.
Задача 62700 дам 60 баллов Найди значение a по.
дам 60 баллов
Найди значение a по графику функции y=ax2+bx+c, который представлен на рисунке, если вершина параболы — в точке (1; 6) и график параболы пересекает ось . в точке (0;4). 
Решение
y=ax^(2)+bx+c.
Так как график пересекает ось Оу в точке (0;4), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции:
0=a*0^(2)+b*0+c,
c=4.
Значит, уравнение имеет вид:
y=ax^(2)+bx+4.
Вершина параболы находится в точке (1;6), значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции:
6=a*1^(2)+b*1+4,
a+b=2.
По графику находим, что точка (2;4) также принадлежит графику функции, значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции:
4=a*2^(2)+b*2+4,
4a+2b=0,
2a+b=0,
a+a+b=0,
a+(a+b)=0,
a+2=0,
a=-2.
Ответ: а=-2.
Как решать задачи на квадратичную функцию
В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.
Как найти нули квадратичной функции
Запомните! 
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .
Найти нули квадратичной функции .
Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.
0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x1;2 =
| 0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
| ± √ 4 · 3 |
| 2 |
x1;2 =
| ± 2√ 3 |
| 2 |
x1;2 = ±√ 3
| x1 = √ 3 | x2 = − √ 3 |
Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение
Запомните!
Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:
- вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
- решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».
При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».
Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».
Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .
Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой
Запомните!
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:
- приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
- решить полученное уравнение относительно « x »;
- подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».
Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».
Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».
Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.
2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.
Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.
Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (−3; 9) и (·) B (1; 1) .
Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .
Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .
Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .
Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .
Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .
Как найти точки пересечения параболы с осями координат
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.
Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:
Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».
Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .
Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».
Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.
Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».
y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2
Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)
Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.
Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .
Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения
Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.
Запомните!
Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:
- провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
- определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
- записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».
С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.
Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.
Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.
Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.
Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.