Запишите в виде равенства чему равна абсолютная величина нулевого вектора ответ
из его граничных точек является началом, а какая — концом.
У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как
направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.
Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является
точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления
вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую
сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора
удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на
рыбалку и с рыбалки – разница огромная.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть
разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.
Виды векторов.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.
У такого вектора конец и начало совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 
. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.
Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой
или которые лежат на одной прямой.
Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются
сонаправленными векторами только тогда, когда их направления
соответствуют друг другу: a↑↑b
Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора
a и b называются противоположно направленными векторами, только
когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.
Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной
плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную
двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются
Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на
одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.
То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место
Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые
и имеют одинаковые длины:
Для координатного представления векторов огромное значение
оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную
прямую).
проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,
при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление
проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.
Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция
вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.
Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую
декартову систему координат и уже в этой системе находят
координаты вектора по базисным векторам.
Разложение по базису геометрически можно показать проекцией
вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и
конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая
из координат конца вектора координат начала вектора.
За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как 
, соответственно
осям x, y, z. Исходя из этого, вектор 
можно записать в таком виде:
Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование
из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,
кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только
те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).
Планиметрия. Страница 8
1.Вектор и его абсолютная величина
Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор
. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:
. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора
имеют одинаковое направление. А вектора
Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.
Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.
Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.
Рис.1 Обозначение векторов.
Координаты вектора
Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора
с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.
Рис.2 Координаты вектора.
2.Сложение векторов
Пусть заданы два вектора со своими координатами
(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами
В векторной форме можно записать так:
Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.
Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор
параллельным переносом так, чтобы конец вектора
совпадал с началом вектора
. Тогда начало вектора
и будет сумма векторов
По методу параллелограмма, если два вектора
имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор
Разностью двух векторов
называется такой вектор
, который нужно прибавить к вектору
, чтобы получить вектор
Рис.3 Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число
Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:
Для любых двух векторов
число λ можно вынести за скобку λ (
Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что
Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:
Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)
Так как координаты вектора
(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов
Рис.5 Скалярное произведение векторов.
Отсюда вытекает следующий вывод:
если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
6.Пример 1
Доказательство:
Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора
параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.
Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор
переходит в вектор
. А это значит, что эти вектора равны.
Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору
Пример 2
Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов
Доказательство:
Найдем координаты векторов
Таким образом, координаты векторов следующие:
А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и xAB = xCD, yAB = yCD, то вектора
Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).
Пример 3
В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что
Доказательство:
, равный и параллельный вектору
от точки С. И отложим вектор
, равный и параллельный вектору
Тодга получим параллелограмм, в котором вектор
. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то
Отсюда можно сделать вывод: так как
Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.
Пример 4
и его абсолютную величину.
Решение:
, то найдем его координаты:
Теперь найдем его абсолютную величину:
| = 
(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы
Рис.9 Задача. Даны векторы
Пример 5
Найдите угол между векторами
Решение:
По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:
Следовательно, cos α = 2 / 2 alt=»Запишите в виде равенства чему равна абсолютная величина нулевого вектора ответ» />= 1 / alt=»Запишите в виде равенства чему равна абсолютная величина нулевого вектора ответ» />
Таким образом, угол между векторами
(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами
(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>
Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами
Определение вектора
В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.
Для начала дадим определение:
Вектор – это направленный отрезок прямой.
Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.
Нулевой вектор
Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.
Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.
Длина вектора
Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.
Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.
Коллинеарность векторов
Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.
Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.
Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.
Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.
Направление векторов
Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.
Равные и противоположные векторы
Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.
Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.
Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.
Углы между векторами
Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .
Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.
Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).
Векторное произведение векторов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение векторного произведения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.
Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.
Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.
Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.
Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.
В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.
И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!
Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:
Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.
Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].
Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.
Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.
Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:
Координаты векторного произведения
Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.
Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор
→i, →j, →k — координатные векторы.
Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:
Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:
Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.
Свойства векторного произведения
Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:
На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:
, где λ произвольное действительное число.
Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому
что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.
Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).
Примеры решения задач
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.
а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:
Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.
б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Пример 2
Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.
По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:
Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.
Пример 3
Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.
Сначала найдём векторы:
Затем векторное произведение:
Вычислим его длину:
Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:
Геометрический смысл векторного произведения
По определению длина векторного произведения векторов равна
А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.
Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.
Физический смысл векторного произведения
В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.
Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].
Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.
Как найти величину вектора
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 12 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 22 838.
Вектор — это геометрический объект, который характеризуется как величиной, так и направлением. [1] X Источник информации Величина вектора является его длиной, а направление соответствует тому, куда он указывает. Величина вектора вычисляется довольно легко, для этого достаточно произвести несколько простых действий. К другим важным операциям с векторами относятся сложение и вычитание векторов, нахождение угла между двумя векторами и вычисление векторного произведения.