Как делить число в отношении

Деление числа в данном отношении + задачи с решением

В шестом классе изучается тема деления чисел в данном отношении. Тема для учеников не всегда понятна с первого объяснения учителя, поэтому разберем ее подробнее на страницах сайта 7 гуру. Напишем понятия и правила, разберем примеры решения задач на деление в данном отношении.

Понятие отношения

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b. Числа a и b называются членами отношения.

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.

Правило деления числа в данном отношении.

Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.

Задача 1. Разделите между двумя друзьями 80 конфет в отношении 1:4.

1 способ:
Таким способом мы решали подобные задачи в начальной школе. Сначала узнаем, сколько всего частей в целом. Узнаем количество предметов в одной части. Умножаем на нужные количества частей, чтобы ответить на вопрос.

1) 1 + 4 = 5 (частей) — всего
2) 80 : 5 = 16 (конфет) — в одной части, а поскольку первому другу досталась 1 часть, то это количество конфет, которые ему достались.
3) 16 * 4 = 64 (конфеты) — в четырех частях, достались второму другу

2 способ:
Решаем по правилу деления числа на части. Этим способом предпочтительнее пользоваться при решении подобных задач.

1) $\frac<80><1+4>\ast1=16$ (конфет) — получил первый друг

2) $\frac<80><1+4>\ast4=64$ (конфет) — получил второй друг

Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.

Задача 2. Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?

1) $50:30=\frac<50><30>=\frac53$ — отношение, в котором нужно разделить выигрыш

2) $\frac<4000><5+3>\ast5=500\ast5=2500$ (р.) — сестре от выигрыша

3) $\frac<4000><5+3>\ast3=500\ast3=1500$ (р.) — брату от выигрыша

Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.

Задача 3. Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.

1) $\frac<960000><6+4+2>\ast6=480000$ (р.) — должен внести первый

2) $\frac<960000><6+4+2>\ast4=320000$ (р.) — должен внести второй

3) $\frac<960000><6+4+2>\ast4=160000$ (р.) — должен внести третий

Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.

Задача 4. Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

1) 180 : 20 = 9 (стр.) — напечатает первая машинистка за 1 час
2) 180 : 30 = 6 (стр.) — напечатает вторая машинистка за 1 час
3) 9:6 = 3:2 — в этом отношении нужно разделить 180 страниц

4) $\frac<180><3+2>\ast3=108$ (стр.) — надо дать печатать первой машинистке

5) $\frac<180><3+2>\ast2=72$ (стр.) — надо дать печатать второй машинистке

Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.

Задача 5. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?

Так как время преодоления расстояния мотоциклистом и велосипедистом равно 12:4, значит, скорость мотоциклиста будет в 3 раза больше, чем велосипедиста. Следовательно, за одно и то же время мотоциклист проедет в 3 раза большее расстояние. Это значит, что весь путь делится между ними в отношении 1:3.

1) $\frac<120><1+3>\ast1=30$ (км) — проедет велосипедист

2) $\frac<120><1+3>\ast3=90$ (км) — проедет мотоциклист

Ответ: 30 км, 90 км.

Задача 6. Сортировка элементов по категориям. Поставьте в соответствующие столбцы (1:4; 2:5) числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях. Варианты ответов: 25, 13, 14, 45, 28, 6.

Для решения нужно сначала посчитать сумму частей первого столбца:
1 + 4 = 5
Затем проверить, какие из чисел кратны 5. Это 25 и 45.
Аналогично для второго столбца.
2 + 5 = 7
Числа, кратные 7: 14 и 28.

Урок 4. Деление числа в данном отношении

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.

Числа a и b называются членами отношения.

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.

Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы с вами разберём, что означает деление числа в данном отношении.

Правило деления числа в данном отношении.

Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.

Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.

Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?

Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.

Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.

Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.

Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.

Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?

Ответ: 30 км, 90 км.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.

Поставьте в соответствующие столбцы числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях.

Как разделить число в даном отношении примеры

Пусть надо число 513 разделить в отношении 2 : 7.
Это значит, что его надо представить в виде суммы двух чисел, одно из которых составляет 2 равных части, а другое — 7 таких же частей.
Можно решать по действиям:
1) 2 + 7 = 9 — всего равных частей в числе 513.
2) 513 : 9 = 57 — приходится на одну часть
3) 57 · 2 = 114 — первое число
4) 57 · 7 = 399 — второе число

513 = 114 + 399, причем 114 : 399 = 2 : 7

Можно решать с уравнением:
пусть х — одна часть,
тогда 2х — первое число,
7х — второе число.
2x + 7x = 513
9x = 513
x = 57, а дальше те же действия 3) и 4)

Отношение чисел

Отношение чисел — это частное от деления одного числа на другое.

Отношение чисел a и b можно записать двумя способами: с помощью знака деления, либо с помощью дробной черты (в виде дроби):

Эти записи читаются так: отношение a к b или отношение числа a к числу b .

Числа a и b, составляющие отношение a : b, называются членами отношения. Делимое называется предыдущим членом отношения, а делитель — последующим членом отношения. Так, a — предыдущий член, b — последующий.

Отношение используют для сравнения двух чисел. Так, отношение a : b показывает, во сколько раз a больше b (если делимое больше делителя) или какую часть числа b составляет a (если делимое меньше делителя).

Отношение 35 к 7 показывает, что число 35 в 5 раз больше, чем число 7.

2)

Отношение 12 к 15 показывает, что число 12 составляет 0,8 от числа 15.

Из основного свойства частного следует основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.