Что такое симметричное число

Симметрия чисел

Симметрия чисел
1. Введение
В нашем мире все взаимосвязано, похоже друг на друга, имеет одинаковые или схожие параметры. Часто эти свойства называют симметрией. В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «Красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью». [1 ] Очень часто симметрия проявляется в математике и физике. В физике свойства симметрии ярко проявляются в квантовой механике и ее математическом аппарате, например Уравнении Шредингера [ 2]. В математике существует специальный математический аппарат, оперирующий понятиями подобия и симметрии. Этот математический аппарат называется теорией групп [3]. Одним из практических применений симметрии в математике, является шифрование с открытым ключом “RSA” [4].

2. Матрица остатков простого числа

Рассмотрим определение вычета и сравнения по модулю. Вот определение, приведенное в современном толковом словаре. Число “ a “ называется вычетом числа “ b “ по модулю “ m “, если разность “ a – b “ делится на “ m “ ( a, b, m > 0 – целые числа ). То есть “ a “ сравнимо с “ b “ по модулю “ m “.

Это означает, что если “ a “ не делится нацело на “ m ”, то “ b “ остаток от деления “ a “ на “ m “. Два целых числа “ a “ и “ b “ сравнимы по модулю натурального числа “ m “, если при делении на “ m “ они дают одинаковые остатки.
Возьмем простое целое число и обозначим его “ b ”. Множество целых чисел в интервале (1,2,3,…b-1) обозначим “ B “. Если это множество записать в виде столбца, в порядке возрастания снизу вверх, то получим матрицу столбец. Все числа в этом столбце расположены одно за другим, их количество равно “ b – 1 “. Обозначим этот столбец номером “ 1 “. Каждое число из множества “ B “ возведем в квадрат и разделим на “ b “ с остатком. Полученные в результате деления остатки запишем в столбец. Обозначим этот столбец номером “ 2 “ и расположим его справа от столбца номер “ 1 “. Нужно расположить остатки так, чтобы они соответствовали числам, возводимым в квадрат, и находились с ними на одной прямой. После этого каждое число из множества “ B “ возведем в третью степень и разделим на “ b “ с остатком. Из полученных остатков сформируем столбец под номером “ 3 “, по аналогии со столбцом номер “ 2 “. Далее по аналогии возводим в следующую степень и находим остатки от деления на “ b “. Действия выполняем до тех пор, пока показатель степени, в которую возводим числа из множества “ B “, меньше “ b “. В результате получим квадратную матрицу размером (b-1) x (b-1).

Пример такой квадратной матрицы для простого целого числа “ b = 23 “ представлен на рис.1.

Рис. 1 Матрица остатков простого целого числа b = 23.

Полученная матрица обладает удивительными свойствами:

— Наглядно видно, что последний столбец матрицы состоит из одних единиц. Это полностью соответствует тесту простоты Ферма. A n-1 ≡ 1(mod N) [5].
— Следует отметить, что столбец с номером (b-1)/2 ( “ b “ минус 1 деленное на 2 ) состоит только из двух значений множества “ B “. Это значения 1 и ( b-1).
— Значения чисел, множества “ B “, в столбцах, симметричны относительно середины интервала, т.е. пары значений (b-1)/2 и (b+1)/2.
— Виды симметрии для различных столбцов различны.
— Для столбцов с четными номерами, значения равноудаленные от середины интервала, т.е. пары значений (b-1)/2 и (b+1)/2, совпадают. Для матрицы, изображенной на рис. 1, остаток от 11 в квадрате, деленное на 23 и остаток от 12 в квадрате, деленное на 23, совпадают и равны 6.
— Для столбцов с нечетными номерами, значения, равноудаленные от середины интервала, т.е. пары значений (b-1)/2 и (b+1)/2, в сумме всегда равны “ b “. Для матрицы, изображенной на рис. 1, остаток от 11 в третьей степени, деленное на 23, равен 20, остаток от 12 в третьей степени, деленное на 23, равен 3. В сумме эти два остатка равны 23, т.е. равны “ b “.

Все свойства, описанные выше и рассмотренные для матрицы, изображенной на рис. 1, присущи матрицам, построенным по таким же правилам для других простых целых чисел.

3. Матрица остатков составного числа

Матрица, рассмотренная в разделе 2, характеризует симметрию простых чисел. Для составных чисел матрица, построенная по тем же самым правилам, существенно отличается. Она наследует свойства матрицы простого числа, но приобретает и новые свойства. Рассмотрим составное число, являющееся произведением двух простых чисел “ x “ и “ y “. Точно так же величину числа обозначим “ b “, а множество всех чисел, в интервале (1,b-1), обозначим “ B “. Рассмотрим составное число “ b = 35 “, являющееся результатом перемножения простых чисел “ x = 5 “ и “ y = 7 “. Построим матрицу остатков различных степеней, для числового интервала (35-1). Матрица остатков представлена на рис. 2

Рис. 2 Матрица остатков составного числа b = 35.
Часть свойств унаследована от матрицы остатков простого числа. Так например, значения чисел, присутствующих в столбцах, симметричны относительно середины значений числового интервала, т.е. значений (b-1)/2 и (b+1)/2.

Матрица, изображенная на рис. 2, несет в себе новые свойства:

— Значения строк матрицы, у которых в первом столбце присутствуют величины кратные делителям составного числа, принимают числовые значения кратные делителям составного числа и никогда не равны 1. Например, в матрице рис. 2, строка 5, во втором столбце, имеет значение 25, в третьем 20, в четвертом 30 и так далее. Все эти значения кратны 5.
— Если исключить строки, значения которых кратны делителям числа “ b “, то обязательно найдутся два столбца, в которых остальные значения равны 1. Например, на рис. 2 это столбцы с номерами 12, 24.
— Из этих двух выбранных столбцов, наибольший номер столбца равен произведению (x-1) на (y-1). Т.е. если от каждого из сомножителей, вычесть 1 и перемножить их, то получим номер наибольшего выбранного столбца. Для матрицы на рис. 2 сомножители числа “ b “ равны 5 и 7. Если от каждого из них отнять 1 и перемножить, то получим (5-1) x (7-1) = 24. Это как раз номер наибольшего выбранного столбца. Следует отметить, что в данном случае, номер столбца равен функции Эйлера, значение которой равно (x-1) x (y-1) = ѱ(n). [6].
— Во втором столбце обязательно присутствуют четыре значения равные 1. Для матрицы остатков простого числа и значений множества “ B “равных (1,b-1), величины во втором столбце принимают значение 1. Для матрицы остатков составного числа, обязательно существуют еще два числа множества “ B “, при возведении которых в квадрат и делении на “ b “, остаток равен 1. На рис. 2 это числа 6 и 29.
— Всегда присутствуют пары чисел, множества “ B “, следующих друг за другом, значения которых, кратны делителям “ x “ и “ y “ числа “ b”. Для матрицы на рис. 2 это пары ( 14, 15 ) и ( 20, 21 ).

Все свойства, описанные выше и рассмотренные для матрицы, изображенной на рис. 2, присущи матрицам, построенным по таким же правилам для других составных целых чисел.

4. Факторизация чисел

Если рассмотреть метод шифрования с открытым ключом RSA [4], то его использование основано на существовании взаимно противоположных отображений в матрице остатков составного числа. Если взять составное число “ b “, в его матрице остатков всегда существуют два столбца “ c “ и “ d “, для которых выполняются следующие условия:

(b1**c) ≡ c1( mod b); (c1**d) ≡ d1( mod b ); b1 = d1

где b1, c1, d1 числовые значения в столбцах 1, c, d.

То есть для составного числа “ b “ всегда существует два числа “ c “, “ d “ из диапазона (1,b-1), для которых справедлива последовательность действий:
— Определим остаток любого числа “ b1 “, из диапазона (1,b-1), возведенного в степень “ c “ и деленного на “ b “. Обозначим этот остаток “ c1 “.
— Полученный остаток “ c1 “ возведем в степень “ d “ и разделим на “ b “ с остатком. Обозначим этот остаток “ d1 “.
— Полученный остаток “ d1 “ всегда равен “ b1 “.
Для алгоритма шифрования RSA, (c,b) – открытый ключ, (d,b) – секретный ключ.

Рис. 3 Матрица остатков составного числа b = 33.

Рассмотрим матрицу остатков числа b = 33, рис. 3. Для этого числа c = 3, d =7. Возьмем любое число из первого столбца, например 8 и возведем его в 3 степень, остаток равен 17. Число 17 возведем в степень 7, остаток равен 8, т.е. этот остаток равен исходному числу из первого столбца.
RSA один из распространенных алгоритмов шифрования с открытым ключом. Вместе с совершенствованием методов шифрования, совершенствуются методы дешифровки секретных сообщений.
Часто задачу дешифровки для RSA, пытаются решить в лоб, т.е. найти делители базового составного числа. Эти методы называются факторизацией чисел. Кроме простого перебора значений и проверки чисел, используют метод квадратичного решета.

Основы этого метода в том, что часть остатков от возведения в квадрат и деления на число “ b “, являются полными квадратами чисел. На рис. 2 полными квадратами являются квадратичные остатки чисел (11, 12, 17), из первого столбца. Для нахождения делителей числа “ b “, необходимо из квадратичного остатка извлечь квадратный корень. Результат, т.е. квадратный корень, вычесть из числа “ b “ или сложить с числом “ b “. Будут получены числа кратные делителям числа “ b”. Используя алгоритм Евклида можно найти делители числа “ b “.
На рис. 2, для числа 11, квадратичный остаток равен 16. Извлекаем из 16 корень квадратный, он равен 4. К 11 прибавляем 4, получаем 15, число кратное делителю 5. От 11 отнимаем 4, получаем 7, число равное делителю 7.

Одним из самых современных методов факторизации чисел, является метод решета числового поля [7]. Этот метод позволяет сократить количество проверяемых значений и уменьшить время проведения вычислений. Использование метода решета числового поля и свойств матрицы остатков составного числа, позволяет достичь еще более весомых результатов.

Для экспериментальной проверки методов факторизации чисел можно использовать, так называемые, числа Мерсенна [8]. Эти числа представляют собой число 2 в степени “ n “, минус 1, где “ n “ натуральное число. Только ограниченное количество чисел Мерсенна являются простыми, остальные разлагаются на конечное количество делителей.
Как наглядный пример, один из делителей, числа 2 в степени 4099, минус 1, равен –
431654595928296534254101974033397155588925169723783332084380283993261
209600632883153055473166663136594966053411838575253500155337120152873
781979635198920643526624304319945635699208877607737201529464080041890
547345467573782661041054825447947267620282789541695832747170633177331
920343746996221855049648583763367504662477325712779883313257418325242
923223374882540094860518718525171060169694349915604794431233943848839
032331927197514745282594881581533286782002526616104836932259305133211
436643050243706215479754994805351437606942854754835739144357537526269
041212016993538655106720507482318994547865735219931202814880677303379
021540170667630675512896640229254326407201860556265718380698467494757
374722667518146123812589844575734597771351069823560862537030159862538
798769879690913001816439118925869829536250846639469310212937581855933
518710668619729641309263324784218037304674615635505157625365285797298
443305108038716358762651248086440048468372406494047491988831492829285
161751678332086837187972136968851829414833128243888620308340321378185
123642015152620056914762030047166652837911735649104226834442937368573
819974224203735488718107356908123314371578553175076071717675764345142
549580867720367836084289513946899287311856029114297

Число называется симметричным, если оно одинаково читается справа налево и слева направо. Например числа 11 и 252 симметричны. СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ СИММЕТРИЧНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 2016.
заранее спасибо :з

Трёхзначные симметричные числа получаются из каждого двухзначных чисел добавлением между цифрами этих симметричных двузначных чисел одну цифру. Этими цифрами могут быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять. Тогда получаем ещё 9·10=90 чисел.

Четырёхзначные симметричные числа получаются из каждого двухзначных чисел добавлением между цифрами этих симметричных двузначных чисел симметричные числа, при этом можно добавит и 00.

Но, в задаче дано ограничение: от 10 до 2016. Поэтому получаем:

1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, 2002 — всего 11 чисел.

Симметричные числа. Абсолютная величина

Симметричные числа. Абсолютная величина. Здесь для каждого действительного числа a докажем, что существует число (которое симметрично с ним) a-это условие a (a)= 0. Кроме того, достаточно ограничить себя в случае неразумного количества. Мы определяем число-a следующим образом, предполагая, что число a определяется Разделом A \ A.Низший класс A-это число-и присваивает все рациональные числа-A \ это «любое число класса A» и、 Назначьте все числа классу A для этого числа-a, где a-любое число классов A. Укажите это число-а. Теперь, убедитесь, что вы соответствуете вышеуказанным условиям. используя определение самого-b, вы можете видеть, что сумма+ (a)-это действительное число, заключенное в число в форме a-a ’и a’ a. где a и a-рациональные числа и являются as.

• Но очевидно, что а-а ’0 а’ а、 Таким образом, число 0 находится между указанными выше числами. Рассмотрим уникальность числа, которому принадлежит это свойство、 И H (a)= 0、 Если вам нужно доказать. Кроме того, число, симметричное данному числу, уникально и обладает свойствами ( ))=.,(++Р)=(-))+(—Е). Разность a и p (представленная a и a-p) есть число 7, удовлетворяющее условию 7 + P = (или(3 + 7 = a). Исходя из характеристик сложения, легко указать, что такое число равно 7 = a|-(-E). м + р = [» +( -?()] + P = » + [(P)+ И = «+ Нет. +（-»] = «+°=»Установлена также уникальность различия. СВОЙСТВО 4) из pv7 теперь мы можем сделать полезные замечания о равенстве неравенств a> p и a-(3> 0.

• Это позволяет вам установить-a-p, что A> p подразумевает. Наконец, понятие абсолютного значения числа связано с понятием симметричных чисел. Из конфигурации числа симметрии a> 0 требует 0, а a> 0 из 0.In другими словами, Только для Φ0 из 2 чисел a и -, 1 (и только 1) больше, чем zero. It называется точно абсолютное значение как числа а, так и числа-а, обозначаемого знаком. Я » 1=| -. Предполагается, что абсолютное значение числа ноль равно нулю: 101 = 0. Для следующих целей мы сделаем еще 2 утверждения об абсолютной величине: Во-первых, мы устанавливаем, что неравенства справедливы. | p (конечно, p> 0) эквивалентно двойному неравенству: p a p.

• Действительно, из| p следует одновременно с p и-A p, то есть после a>-p. и наоборот, если задано с p и b>-p, то одновременно есть p и-A P. Но так как 1 A-a из этих чисел есть| a|, то это, вероятно,| / r. Точно так же получается, что неравенства эквивалентны. ！И я ^ Е и-п а ^ п. Кроме того, это окажется полезным неравенством | «+ ПК1 » / + 1м. Обобщение очевидных неравенств |А | ^ А Л И-| р | р / р | Мы получаем -(1 «1 + 1P1X» + М + Ж、 Здесь, с приведенными выше замечаниями, следует необходимое неравенство. Используя математическую индукцию, доказанное неравенство распространяется на случай любого числа членов. Кроме того, он легко доступен. 1 «+ P12z | » | / P1. Точно так же | а | / р | | | р / ^ | а/+!п |. От обоих | П | | » | ^ / «Р1、 И тогда, очевидно, Все эти неравенства помогут много раз позже.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Симметрия в алгебре

Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность) пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине.

Виды симметрии

Рассмотрим три основных вида симметрии:

• центральная симметрия
• осевая симметрия
• зеркальная симметрия

Центральная симметрия

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Например: точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки O , если точка O является серединой отрезка MM1. Точка O называется центром симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Например: точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия-это отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно плоскости а.

Примеры числовых симметрий

В записи чисел: 101,1221,67076 и т.д.

Симметрия в выражениях:

Симметрические уравнения

Симметрические уравнения

Симметрические уравнения

Другие примеры симметрических уравнений:

Примеры симметрии графиков

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Примеры симметрии графиков

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Симметрия в широком смысле-это неизменность при каких либо преобразованиях. Математики издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии. И такие «красивые» формулы не только делают преобразования красивыми, но и значительно облегчают вычислительную работу