Как найти проекцию наклонной

Урок 10. Перпендикуляр и наклонные

Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН. Сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, поэтому АН < AM. Поэтому перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Стоит отметить, что в случае двух параллельных плоскостей, расстоянием между ними будет расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости. Например, все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола. Если же прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. Например, все точки прямой b равноудалены от потолка комнаты.

Если мы имеем дело со скрещивающимися прямыми, то расстоянием между ними будет расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Сформулируем теорему о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

На рисунке 2: АН — перпендикуляр к плоскости α, AM — наклонная, а — прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции наклонной НМ. Докажем, что прямая а перпендикулярна наклонной AM.

Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к НМ по условию. Так как прямая а, лежит в плоскости α, а эта плоскость перпендикулярна отрезку AH, то прямая а перпендикулярна к этой плоскости. Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности прямая а перпендикулярна отрезку АМ. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM.

Справедлива также обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Введем теперь понятие проекции произвольной фигуры на плоскость. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F₁, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость (рис. 3).

Докажем теперь, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая (рис. 4).

Данную плоскость обозначим буквой α. Произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости, обозначим буквой а. Из какой-нибудь точки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости α и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую a и перпендикуляр МН. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой а₁.

Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость α. В самом деле, возьмем произвольную точку М₁ прямой а и проведем в плоскости β прямую М₁Н₁, параллельную прямой МН.

Так как отрезок MH перпендикуляр к плоскости α и отрезок MH параллелен М₁Н₁, то отрезок М₁Н₁ тоже перпендикулярен плоскости α.

Этим мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой а₁.

Аналогично доказывается, что любая точка прямой а₁ является проекцией некоторой точки прямой а. Следовательно, прямая а₁ — проекция прямой а на плоскость α. Что и требовалось доказать.

Теперь введем понятие угла между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Докажем, что угол между φ₀ между данной прямой AM и плоскостью α является наименьшим из всех углов φ, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

Обозначим буквой Н основание перпендикуляра (рис. 5), проведенного из точки М к плоскости α.

Рассмотрим произвольную прямую р в плоскости α, проходящую через точку А и отличную от прямой АН.

Угол между прямыми AM и р обозначим через φ.

Докажем, что φ больше чем φ₀.

Из точки М проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то φ равняется 90 градусам и поэтому φ больше чем φ 0. Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают. Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных

треугольников ANM и АНМ, поэтому
sinφ=MN/AM

Так как наклонная MN больше, чем перпендикуляр МН, то синус угла φ больше, чем синус угла φ₀. Поэтому угол φ больше, чем угол φ₀. Что и требовалось доказать.

Тестовый вопрос №7. Прямая AM перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ABC, точка H середина стороны BC. Найдите угол между прямой MH и плоскостью ABC, если AM = a, HB = a.

Решение. Искомый угол – MHA.

Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Так как HB = a, следовательно, любая сторона треугольника имеет длину 2a. Рассмотрим треугольник AHB. Он прямоугольный, т.к. AH медиана и высота. По теореме Пифагора вычислим длину стороны AH: .

Далее рассмотрим треугольник MHA, он прямоугольный, т.к. MA перпендикулярна плоскости ABC. Зная это мы можем выразить тангенс искомого угла: .. Отсюда делаем вывод, что искомый угол равен 30 градусов.

Тестовый вопрос №8. Из точки O к плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 17 см, проекция наклонной равна 15 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка O?

Решение. Нарисуем рисунок. OH – перпендикуляр, OM – наклонная, длина которой 17 см, MH – проекция наклонной, длина которой 15 см.

Треугольник OHM – прямоугольный, т.к. OH – перпендикуляр. Поэтому OH – искомое расстояние. Найдем его по теореме Пифагора: сантиметров.

ЭМГеометрия

Фигура, не все точки которой лежат в одной плоскости, называется пространственной.

К пространственным фигурам, кроме геометрических тел, относятся двугранные и многогранные углы и другие совокупност точек, линий, поверхностей. Основные элементы, из которых состоят пространственные фигуры, это точки, прямые, плоскости. Любую фигуру можно свободно перемещать в пространстве, не изменяя ее размеров и формы.

Две фигуры называются равными, если их можно совместить всеми их точками.

Стереометрия изучает свойства пространственных фигур. Две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости, и тогда они будут либо пересекающимися, либо параллельными.

Две прямые называются скрещивающимися, если одна из них не лежит ни в одной из бесконечного множества плоскостей, проходящих через другую прямую.

Изображение (чертёж или рисунок) пространственной фигуры на плоскости выполняется по правилам параллельного проектирования, которые нужно знать и при чтении чертежа.

а) Если прямые в пространстве параллельны, то и их проекции на чертеже параллельны или совпадают; если прямые на чертеже параллельны, то соответствующие им прямые в пространственной фигуре являются параллельными.

б) Если прямые на чертеже пересекаются, то соответствующие им прямые в пространстве пересекаются либо скрещиваются. Путем перехода от плоского чертежа пространственной фигуры к ее модели (материальной или воображаемой) необходимо научиться уверенно различать пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Без этого невозможно изучать стереометрию.

в) Отношение отрезков параллельных прямых (или одной прямой) в пространственной фигуре равно отношению соответствующих им отрезков на чертеже. Отсюда следует, что в одной группе параллельных отрезков при переходе от пространственной фигуры к чертежу каждый отрезок сокращается в одно число раз, а в другой группе параллельных отрезков — в другое (но постоянное для этой группы) число раз.

г) Углы пространственной фигуры на ее чертеже обычно изменяют свою величину, например прямой угол пространственной фигуры может быть изображен острым или тупым углом.

Невидимые линии пространственной фигуры на чертеже изображаются штриховыми линиями.

Основные свойства плоскости выражаются следующими математическими предложениями.

Если две точки прямой лежат на плоскости, то и все точки этой прямой лежат на плоскости.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом только одну.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку, то есть пересекаются.

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, притом только одну.

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и только одну.

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну.

Перпендикуляр и наклонная

На одном из предыдущих уроков вы познакомились с понятием проекции точки на данную плоскость параллельно данной прямой.

На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция точки и фигуры.

Ортогональная проекция детали.

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно

прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция

фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда

отрезок АВ называется

перпендикуляром, опущенным из точки

А на эту плоскость, а сама точка В — основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С —

произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к

Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной

проекцией точки А, а отрезок АС — Перпендикуляр и наклонная. ортогональной проекцией наклонной AВ.

Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

Свойства ортогональной проекции

Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.

3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.

Свойства ортогональной проекции

Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда отрезки ВС и BD — ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p .

Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.

Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.

Свойства ортогональной проекции

равны по катету и гипотенузе.

Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они

имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD.

Свойства ортогональной проекции

Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной. Пусть, например, ВС > BD.

Отложим на отрезке ВС точку Е такую, что BD=BE. Тогда и AD=AE. В

треугольнике АСЕ угол A EC тупой и поэтому больше угла ACE, следовательно, сторона АС больше стороны АЕ, равной AD.

Обратно, пусть АС > AD. Возможны три случая: a) BC=BD; б) ВС < BD; с) ВС > BD. Если BC=BD, то по доказанному выше в пункте 2, AC=AD, что

противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

Перпендикуляр и наклонная

Определение

Перпендикуляр из точки A к плоскости a — это отрезок AO прямой, перпендикулярной a, до точки их пересечения O .

Наклонная из точки А к плоскости а — это отрезок AB прямой, не перпендикулярной плоскости a, B ? a (B ? 0) .

Проекция наклонной AB на плоскость a — это отрезок OB , соединяющий основания перпендикуляра ( O ) и наклонной ( B ).

Свойства
1. Перпендикуляр короче всякой наклонной: AO .
2.Две наклонные, имеющие равные проекции, равны: OB = OC ? AB = AC .
3. Из двух наклонных та больше, проекция которой больше: OD > OB ? AD > AB .