Как найти проекцию на плоскость

Проекция точки на плоскость

имеет координаты (1.-2.2), следовательно, вектор является направляющим вектором прямой a. Теперь мы можем написать параметрические уравнения прямой в пространстве, так как знаем координаты точки прямой М1(-1,-2.5) и координаты ее направляющего вектора (1.-):

Осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости. Для этого в уравнение плоскости подставим : .

Теперь по параметрическим уравнениям вычислим значения переменныхx, y и z при : .

Таким образом, проекция точки М₁ на плоскость АВС имеет координаты .

Проекция прямой на плоскость

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами и есть величина постоянная (ее обозначают через 2*а ). Причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусыF₁ и F₂ лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезкаF₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и.

Пусть — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса,, т. е.

(11.5)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

,

,

,

,

.

Так как a>с, то . Положим

(11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается “” или “”.

Форма эллипса (мера его «сжатия») характеризуется его эксцентриситетом.

(так как , то)

Прямые: иперпендикулярные главной оси и проходящие на расстоянииот центра, называютсядиректрисами эллипса.

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

(4)

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

(5)

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1. Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

(6)

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

(7)

Из выражений (7) находим:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

Отображение пространственных объектов на плоскость с примерами

Используются общепринятые обозначения геометрических элементов пространства: точки обозначены прописными буквами латинского алфавита (A, B, C…) или арабскими цифрами (1, 2, 3…); прямые, кривые линии — строчными буквами латинского алфавита

Отображение пространственных объектов на плоскость

Начертательная геометрия изучает методы отображения объектов трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений позиционных и метрических задач, связанных с этими объектами, по их плоским отображениям (моделям).

Простейшим объектом (элементом) пространства является точка. Точки могут быть собственными и несобственными (бесконечно удаленными). На модели стрелкой будем обозначать направление на несобственную точку. Все остальные геометрические объекты (линия, плоскость, поверхность…) можно представить как множество точек. Для моделирования объектов трехмерного пространства будем использовать операцию проецирования.

Операция проецирования

Выберем в пространстве точку — центр проецирования и плоскость — плоскость проекций Центр и плоскость проекций представляют собой аппарат проецирования.

Для построения проекции произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции:

• 1). Через центр и точку А проведем прямую a;
• 2). Отметим точку пересечения прямойaс плоскостью

Полученная точка называется проекцией точки A на плоскостьиз центра Аналогично строятся проекции других точек пространства.

Прямая линия — a, проходящая через центр называется проецирующей прямой и на плоскости проекций отображается (проецируется) точкой.

В зависимости от положения центра проецирование может быть центральным или параллельным. Когда является собственной точкой пространства, получаем аппарат центрального проецирования (см. рис. 1.). При центральном проецировании проекцией несобственной точки в общем случае является собственная точка Удалив центр проецирования в бесконечность, получим аппарат параллельного проецирования (рис. 2). При параллельном проецировании проекцией несобственной точки всегда будет несобственная точка

Если направление параллельного проецирования составляет с плоскостью угол то получаем аппарат косоугольного проецирования.

В частном случае параллельного проецирования, когда угол т. е. проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, получаем аппарат прямоугольного (ортогонального) проецирования.

Свойства параллельного проецирования:

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекцией прямой является прямая линия. Проекция проецирующей прямой вырождается в точку.
3. Инцидентность (взаимопринадлежность) точек и линий сохраняется. Из этого свойства вытекает следствие: проекции пересекающихся между собой линий пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих линий.
4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой.
5. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проецируемых отрезков.
6. Параллельная проекция фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна (равна) самой фигуре.
7. При параллельном ортогональном проецировании прямой угол проецируется прямым на плоскости проекций, если одна из его сторон является линией уровня, а другая не перпендикулярна этой плоскости.

Рассмотренные модели, полученные методом центрального или параллельного проецирования, являются необратимыми. Множеству точек, расположенных на проецирующей прямой a, на плоскости проекций соответствует одна точка — Из этого следует, что одной и той же проекции объекта на картине будет соответствовать в пространстве множество объектов. Для получения обратимой модели, по которой можно восстановить форму, размеры и положение объекта в пространстве, используют метод двух изображений.

Метод Монжа

Французский математик Гаспар Монж (1746–1818) предложил получать отображения предметов пространства, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.

На рис. 3, а изображены две взаимно перпендикулярные плоскости —

Плоскость называется фронтальной плоскостью проекций, а — горизонтальной плоскостью проекций. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций.

Проецирование на плоскости из соответствующих центров и — ортогональное. Для перехода к плоской модели эпюру Монжа будем поворачивать плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью

Моделирование точки на эпюре Монжа

Модель точки А на эпюре Монжа представляет собой пару точек и расположенных на одной линии связи, перпендикулярной оси (рис. 3, б). Рассмотрим возможные положения проекций точек на эпюре Монжа относительно оси x12 в зависимости от их положения в исходном пространстве относительно плоскостей проекций На рис. 4 показано расположение точек А, В, С, D соответственно в I, II, III и IV четвертях пространства, а на эпюре Монжа (рис. 5, а) даны возможные варианты расположения их проекций относительно оси

Все точки биссекторной плоскости II и IV четверти моделируются тождественно совпавшими проекциями (рис. 5, б). Эта плоскость называется тождественной плоскостью.

Моделирование декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа

Для определения местоположения точки в пространстве будем использовать прямоугольную декартову систему координат (xyz), которая представляет собой три взаимно перпендикулярные оси. На рис. 6 стрелками показано положительное направление осей координат. Оси координат образуют следующие координатные плоскости:

• (xOz) — фронтальная координатная плоскость;
• (xOy) — горизонтальная координатная плоскость;
• (yOz) — профильная координатная плоскость.

В этой системе точка A задается координатами Координаты точки могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для моделирования системы координат на эпюре Монжа выполним следующие операции:

• совместим координатную плоскость (xOz) с фронтальной плоскостью проекций а координатную плоскость (xOy) с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 7);
• осуществим переход к одной плоскости — эпюру Монжа.

На рис. 8 отображены проекции осей координат x, y, z, а также проекции точки А.

Очевидно, что фронтальная проекция точки А будет определяться координатами а горизонтальная проекция — координатами

Положительные значения будут отмечаться от точки влево, вниз и вверх на проекциях соответственно, отрицательные же значения — от точки вправо, вверх и вниз на проекциях соответственно.

На рис. 9 представлены проекции точек А, В, С, D с координатами: А(30, 40, 30); В(60, -40, 20); С(40, -20, -20); D(10, 10, -30).

Как известно, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Однако при решении задач начертательной геометрии, а также при построении технических чертежей объектов часто используют профильную плоскость Проецирование на плоскость , так же как и на плоскости ортогональное.

При моделировании прямоугольной системы координат будем совмещать плоскость с координатной плоскостью (yOz) (рис. 10), тогда профильная проекция точки А определится координатами При переходе к плоской модели будем поворачивать плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью

Так как координата будет общей для проекций и а координата — для проекций , то положение проекции на плоской модели можно определить следующим образом:

через точку провести прямую (линию связи) перпендикулярно прямой (рис. 11); на линии связи от прямой отложить расстояние, равное по значению координате или, другими словами, измерить расстояние от проекции до оси и отложить это значение по линии связи от оси

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.

Плоскость проекции — это плоскость, в которой строится изображение.

Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное.

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Проекция точки на плоскость

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем — плоскость α и точка М 1 , не принадлежащая плоскости α . Начертим через заданную точку М 1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α . Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H 1 , она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М 1 на плоскость α .

В случае, если задана точка М 2 , принадлежащая заданной плоскости α , то М 2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α .

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

— получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

— определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

— найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Определите координаты проекции точки М 1 ( — 2 , 4 , 4 ) на плоскость 2 х – 3 y + z — 2 = 0 .

Решение

Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.

Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z — 2 = 0 . Таким образом, a → = ( 2 , — 3 , 1 ) – направляющий вектор прямой a .

Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 ( — 2 , 4 , 4 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( 2 , — 3 , 1 ) :

x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1

Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1 и плоскости 2 х — 3 y + z — 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1 ⇔ — 3 · ( x + 2 ) = 2 · ( y — 4 ) 1 · ( x + 2 ) = 2 · ( z — 4 ) 1 · ( y — 4 ) = — 3 · ( z + 4 ) ⇔ 3 x + 2 y — 2 = 0 x — 2 z + 10 = 0

Составим систему уравнений:

3 x + 2 y — 2 = 0 x — 2 z + 10 = 0 2 x — 3 y + z — 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x — 2 z = — 10 2 x — 3 y + z = 2

И решим ее, используя метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 — 2 2 — 3 1 = — 28 ∆ x = 2 2 0 — 10 0 — 2 2 — 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 — 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 — 10 — 2 2 2 1 = — 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 28 — 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 — 10 2 — 3 2 = — 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = — 140 — 28 = 5

Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: ( 0 , 1 , 5 ) .

Ответ: ( 0 , 1 , 5 ) .

В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А ( 0 , 0 , 2 ) ; В ( 2 , — 1 , 0 ) ; С ( 4 , 1 , 1 ) и М₁(-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С

Решение

В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x — 0 y — 0 z — 0 2 — 0 — 1 — 0 0 — 2 4 — 0 1 — 0 1 — 2 = 0 ⇔ x y z — 2 2 — 1 — 2 4 1 — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x — 6 y + 6 z — 12 = 0 ⇔ x — 2 y + 2 z — 4 = 0

Далее рассмотрим еще один вариант решения, отличный от того, что мы использовали в первом примере.

Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С . Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами ( 1 , — 2 , 2 ) , т.е. вектор a → = ( 1 , — 2 , 2 ) – направляющий вектор прямой a .

Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:

x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой

x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для этого в уравнение плоскости подставим:

x = — 1 + λ , y = — 2 — 2 · λ , z = 5 + 2 · λ

Теперь по параметрическим уравнениям x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = — 1 : x = — 1 + ( — 1 ) y = — 2 — 2 · ( — 1 ) z = 5 + 2 · ( — 1 ) ⇔ x = — 2 y = 0 z = 3

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты ( — 2 , 0 , 3 ) .

Ответ: ( — 2 , 0 , 3 ) .

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: ( x 1 , y 1 , 0 ) , ( x 1 , 0 , z 1 ) и ( 0 , y 1 , z 1 ) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

C z + D = 0 ⇔ z = — D C , B y + D = 0 ⇔ y = — D B

И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , — D C , x 1 , — D B , z 1 и — D A , y 1 , z 1 .

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = ( 1 , 0 , 0 ) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · ( x 1 + λ ) + D = 0 ⇒ λ = — D A — x 1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = — D A — x 1 :

x = x 1 + — D A — x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = — D A y = y 1 z = z 1

Т.е., проекцией точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на плоскость будет являться точка с координатами — D A , y 1 , z 1 .

Необходимо определить координаты проекции точки М 1 ( — 6 , 0 , 1 2 ) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y — 3 = 0 .

Решение

Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты ( — 6 , 0 , 0 ) .

Уравнение плоскости 2 y — 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 ( — 6 , 0 , 1 2 ) на плоскость y = 3 2 2 :