Как сделать положительно определенную матрицу

Русские Блоги

Два метода генерации симметричных положительных матриц

Два метода генерации симметричных положительных матриц

1. pascal()

P = PASCAL (N) Возвращает N-Step Pasca Matrix. P — симметричная положительная матрица с целочисленными элементами из треугольников PASCA.

Матрица Паски имеет очень хорошую природу. Прежде всего, элементы в каждой матрице являются положительными целыми числами от 1, что легко проверить. Затем мы разлагаем их до Йосаки, результатом является комбинированная матрица ( A − 1 = A A^<-1>=A A − 1 = A ）

Пример в документе MatLab:

2. Используйте идею ортогонального разложения

Для Rand (N, N) мы можем понять, что вероятность генерации матриц без ранга очень мала, до тех пор, пока значение объекта представляет собой положительное число, генерируемая матрица симметричная.

Удобство использования этого метода состоит в том, что природа матрицы может быть более гибкой (характерной, ортогональной)

Интеллектуальная рекомендация

Меч относится к предложению + 43: количество N сиша + Java

Оригинальное название: бросить кубики на землю, все точки кости сталкиваются с точкой точки кости. Введите n, напечатали вероятность всех возможных значений. (6 сторон каждой кости, точки от 1 до 6) Р.

Введение в Python 4

функция ввода Использование функции Функция input () является функцией ввода. Функция input () — это функция ввода. Когда вы пишете вопрос в скобках функции, функция input () будет отображать вопрос в.

Основные операции в R 01

Повторите основную операцию секретной книги ниндзя языка R учителя Се Иихуэй.

Мастерство, создание американской легенды очистки воды

Мастера — это не только технические специалисты и квалифицированные мастера, которые могут решить некоторые практические проблемы в производстве и жизни, но также авангарды, которые могут руководить п.

курсы памяти Лу Feifei (а, понимать память понимания мозга)

Понимание памяти, что память? Понимание памяти, что память? 1 Понимание мозга 2 Что такое память Функция 3 Память 3.1 общие воспоминания путь 3.2 Факторы, влияющие на память 4 запоминающий материал Че.

Как сделать положительно определенную матрицу

Симметрическая матрица А /?-го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (jq, *2. *п)’ выполняется неравенство

• 1. Если А >В, то ац >Ьц, / = 1. п, т. е. диагональные элементы матрицы А более соответствующих диагональных элементов матрицы В.
• 2. Если А >В, С > 0, то А + С >В.
• 3. Если А > В, где А и В — невырожденные матрицы, то В

• 1. Если п > /я, rang (В_п,_т) = /и, то В’АВ— положительно определенная матрица.
• 2. Матрица А

Квадратная матрица С называется ортогональной, если

• 1. С С—Е.
• 2. Определитель С = 1 или |С| = -1.
• 3. В ортогональной матрице как строки, так и столбцы образуют ортонормированную систему векторов (§ 13.6).
• 4. С помощью ортогональной матрицы С симметричная матрица А может быть приведена к диагональному виду

_R = \mathbf _R^\mathrm \mathbf _R = \mathbf_R$$

$$ \mathbf _1 = \begin 1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end , \mathbf _2 = \begin 0 \\ 1 \\ \dots \\ 0 \end , \dots, \mathbf _N = \begin 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \end $$

$$ \mathbf _1 = \begin 1 \\ 0 \\ 0 \end , \mathbf _2 = \begin 0 \\ 1 \\ 0 \end , \mathbf _3 = \begin 0 \\ 0 \\ 1 \end $$

$$ \mathbf_1 = \begin \sqrt \\ 0.5 \\ 0.5 \end , \mathbf_2 = \begin -\sqrt \\ 0.5 \\ 0.5 \end , \mathbf_3 = \begin 0 \\ -\sqrt \\ \sqrt \end $$

$$\mathbf = \alpha_1\mathbf _1+ \alpha_2\mathbf _2+\dots+\alpha_K\mathbf _K$$

Генерация матрицы симметричной и положительно определенной

Я хочу применить метод сопряженных градиентов к случайная матрица размером nxn. Этот метод требует, чтобы матрица симметричный а также положительно определенный. Я делаю это в Matlab и C ++.

Я знаю, как сделать симметричную матрицу, но я не знаю, как сделать матрицу положительно определенной.

В этом посте я читал, что могу сгенерировать его с помощью A = A ‘* A, и меня не волнует диапазон значений.
Как сделать матрицу положительно определенной, элементы которой лежат в диапазоне от 0,8 до 1 и от -0,8 до -1

Это правда? Если нет, как я могу его сгенерировать?

Решение

Первый результат, возвращаемый Google, когда я искал метод для создания симметричных положительно определенных матриц в Matlab, указывает на этот вопрос . Давайте возьмем функцию, опубликованную в принятом ответе (ее синтаксис нужно немного исправить):

Теперь проверить, является ли данная матрица симметричной, очень просто в Matlab, все, что вам нужно сделать, это использовать встроенную иссимметричная функция . Как указано в этой теме, функция chol может быть полезно для определения того, является ли матрица положительно определенной или нет … но в некоторых ситуациях она может дать сбой, и в целом это очень дорого с вычислительной точки зрения. К счастью, если матрица симметрична, можно использовать другой подход: проверить, все ли ее собственные значения положительны. Давайте сложим все это вместе:

Положительно определённая матрица

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Содержание

Формулировки

Пусть [math]\displaystyle< M >[/math] будет эрмитовой матрицей размерности [math]\displaystyle< n \times n >[/math] . Обозначим транспонированный вектор [math]\displaystyle< a >[/math] посредством [math]\displaystyle < a^>[/math] , а сопряжённый транспонированный вектор — посредством [math]\displaystyle < a^<*>>[/math] .

Матрица [math]\displaystyle< M >[/math] является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

Отметим, что величина [math]\displaystyle < z^<*>M z >[/math] всегда вещественна, поскольку [math]\displaystyle< M >[/math]  — эрмитова матрица.

определяет скалярное произведение в [math]\displaystyle< \mathbb^n >[/math] . Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в [math]\displaystyle< \mathbb^n >[/math] образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.

для какого-то [math]\displaystyle< k >[/math] . Другими словами, элементы [math]\displaystyle< M >[/math] определены следующим образом

[math]\displaystyle < M_= \langle \textbf_i, \textbf_j\rangle = \textbf_i^ <*>\textbf_j. >[/math]

Таким образом, [math]\displaystyle< M = A^<*>A >[/math] , где [math]\displaystyle< A >[/math] инъективная, но не обязательно квадратная матрица.

В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство [math]\displaystyle< \mathbb^n >[/math] может быть заменено на [math]\displaystyle< \mathbb^n >[/math] , а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть [math]\displaystyle< K >[/math] будет полем вещественных ( [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] ) или комплексных ( [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] ) чисел, а [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] будет векторным пространством над [math]\displaystyle< K >[/math] . Эрмитова форма

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным [math]\displaystyle< B\left(x, y\right) >[/math] , будет [math]\displaystyle< B\left(y, x\right) >[/math] . Такая функция [math]\displaystyle< B >[/math] называется положительно определённой, когда [math]\displaystyle< B\left(x, x\right) \gt 0 >[/math] для любого ненулевого [math]\displaystyle< x \in V >[/math] .

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы

Эрмитова матрица [math]\displaystyle< M >[/math] размерности [math]\displaystyle< n \times n >[/math] будет называться отрицательно определённой, если

[math]\displaystyle < x^<*>M x \lt 0 >[/math]

для всех ненулевых [math]\displaystyle< x \in \mathbb^n >[/math] (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых [math]\displaystyle< x \in \mathbb^n >[/math] ).

[math]\displaystyle< M >[/math] будет называться положительно полуопределённой (или неотрицательно определённой), если

[math]\displaystyle < x^<*>M x \geq 0 >[/math]

для всех [math]\displaystyle< x \in \mathbb^n >[/math] (или, эквивалентным образом, для всех [math]\displaystyle< \mathbb^n >[/math] ).

[math]\displaystyle< M >[/math] будет называться отрицательно полуопределённой (или неположительно определённой), если

[math]\displaystyle < x^<*>M x \leq 0 >[/math]

для всех [math]\displaystyle< x \in \mathbb^n >[/math] (или, эквивалентным образом, для всех [math]\displaystyle< \mathbb^n >[/math] ) [1] .

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны [2] .

Матрица [math]\displaystyle< M >[/math] будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы [math]\displaystyle< A >[/math] выполняется следующее: [math]\displaystyle< A^<*>A >[/math]  — положительно полуопределённая, а [math]\displaystyle< \operatorname\left(A\right) = \operatorname\left(A^<*>A\right) >[/math] . Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица [math]\displaystyle< M >[/math] может быть выражена как [math]\displaystyle< M = A^<*>A >[/math] (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойства

Введём обозначение [math]\displaystyle< M \succeq 0 >[/math] для положительно полуопределённых матриц и [math]\displaystyle< M \succ 0 >[/math]  — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц [math]\displaystyle< M, N >[/math] будем писать [math]\displaystyle< M \succeq N >[/math] , если [math]\displaystyle< M - N \succeq 0 >[/math] , то есть [math]\displaystyle< M - N >[/math] положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение [math]\displaystyle< \succeq >[/math] определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка [math]\displaystyle< M \succ N >[/math] .

Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если [math]\displaystyle< M \succeq N \succ 0 >[/math] , то [math]\displaystyle < N^<-1>\succeq M^ <-1>\succ 0 >[/math] .

Если [math]\displaystyle< M >[/math] и [math]\displaystyle< N >[/math]  — положительно определённые матрицы, то произведения [math]\displaystyle< MNM >[/math] и [math]\displaystyle< NMN >[/math] тоже положительно определённые. Если [math]\displaystyle< M N = N M >[/math] , то [math]\displaystyle< M N >[/math] тоже положительно определённая.

Неэрмитовы матрицы

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству [math]\displaystyle< x^T M x \gt 0 >[/math] для всех ненулевых вещественных векторов [math]\displaystyle< x >[/math] . Такой, к примеру, является матрица

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов [math]\displaystyle< x = (x_1, x_2)^T >[/math]

[math]\displaystyle < \beginx_1 & x_2 \end \begin 1 & 1 \\ -1 & 1 \end \begin x_1 \\ x_2 \end = x_1^2 + x_2^2 \gt 0 . >[/math]

Обобщая, [math]\displaystyle< x^T M x \gt 0 >[/math] для всех ненулевых вещественных векторов [math]\displaystyle< x >[/math] тогда и только тогда, когда симметрическая часть [math]\displaystyle< \frac <2>>[/math] положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства [math]\displaystyle < x^<*>M x \gt 0 >[/math] . Если [math]\displaystyle < x^<*>M x \gt 0 >[/math] для всех ненулевых комплексных векторов [math]\displaystyle< x >[/math] , тогда матрица [math]\displaystyle< M >[/math] эрмитова. То есть если [math]\displaystyle < x^<*>M x \gt 0 >[/math] , то [math]\displaystyle< M >[/math] эрмитова. С другой стороны, [math]\displaystyle< \operatorname\left(x^ <*>M x\right) \gt 0 >[/math] для всех ненулевых комплексных векторов [math]\displaystyle< x >[/math] тогда и только тогда, когда эрмитова часть [math]\displaystyle< \frac> <2>>[/math] положительно определённая.