Задача 45639 Найти расстояние между вершинами парабол.
Найти расстояние между вершинами парабол y1=3x^2-2x-1 и y2=x^2+px+q, если квадратичная функция, соответствующая второй параболе, имеет корни 1 и 2.
Решение
по условию:
x^2+px+q =0
x_(1)=1; x_(2)=2
Абсцисса вершины параболы y=ax^2+bx+c
[b]x_(o)=-b/2a[/b]
Для параболы y_(1)=3x^2–2x–1
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=2/6=[b]1/3[/b]
Находим ординату, подставив х=1/3 в выражение:
y(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)-1
y(1/3)=-4/3
Для параболы y_(3)=x^2–3x+2
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=[b]3/2[/b]
Находим ординату, подставив х=3/2 в выражение:
y(3/2)=(3/2)^2-3*(3/2)+2
y(1/3)=-1/4
Находим расстояние между двумя точками
A(1/3; -4/3) и В (3/2;(-1/4))
Рисунок для наглядности. 
Как найти расстояние между вершинами парабол
, (18)
Где 
– константы.
Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении 
и 
, то оно является уравнением окружности.
, (19)
Где 
– координаты центра, а 
– радиус окружности.
Пример 1. Найти центр и радиус окружности 
.
Решение. Выделяя полные квадраты по 
и по 
, приведем уравнение к виду 
, откуда, сравнивая с (19), находим 
и 
.
Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки 
, 
, 
.
Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка 
– середина хорды 
, а 
– середина 
и 
, 
. Уравнения перпендикуляров к хордам и , проходящих через их середины, имеют вид: 
и 
или 
и 
. Точка пересечения этих прямых 
.
Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками 
и 
: 
. Запишем уравнение окружности: 
.
, (20)
Где 
– большая полуось, 
– малая полуось, 
– эксцентриситет эллипса.
Прямую, на которой расположены фокусы эллипса 
, называют фокальной осью, а 
и 
– фокальными радиусами.
Прямые 
называют директрисами эллипса.
Пример 3. Убедитесь, что уравнение 
определяет эллипс. Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.
Решение. Приведем уравнение 
к каноническому виду 
, откуда 
, 
. Из условия 
найдем 
, то есть 
. Тогда 
, а уравнение директрис 
.
Пример 4. Доказать, что уравнение 
определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.
Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по :
.
Обозначим 
, где 
– новые переменные. Тогда уравнение примет вид 
или, приводя к каноническому виду, 
. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (20) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке 
.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек 
и 
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
, (21)
Где 
.
Точки 
, 
называются вершинами гиперболы, прямые 
являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, 
– эксцентриситет гиперболы, прямые 
– ее директрисы.
Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках 
и длина вещественной оси равна 6.
Решение. По условию 
, тогда из формулы найдем 
. Каноническое уравнение гиперболы: 
уравнения асимптот: 
.
Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку 
, асимптоты которой 
.
Решение. Из уравнения асимптот следует, что 
. Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то 
. Решая систему 
найдем 
, 
. Получаем 
или 
.
Пример 7. Доказать, что уравнение 
определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот.
Решение. Выделим полные квадраты по и по :
или
. Обозначая 
и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение 
, откуда следует, что 
, центр находится в точке 
то есть 
. Учитывая, что асимптоты проходят через точку 
и 
, запишем их уравнения: 
или 
.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки 
плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
, (22)
Где 
(параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы 
.
Так как уравнение параболы содержит 
, то она симметрична относительно оси 
. Ось симметрии параболы называется осью параболы.
Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку 
и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.
Решение. Подставляя координаты точки 
в уравнение (22), найдем, что 
. Значит, уравнение параболы 
.
Пример 9. Доказать, что уравнение 
определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.
Решение. Выделяя полный квадрат, получим 
. Если положить 
то уравнение примет вид 
. Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим 
, откуда 
. Вершина параболы находится в точке 
, 
, то есть 
.
1. Найти координаты центра и радиус окружности 
.
Ответ: , 
.
2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки 
и 
, а центр ее лежит на прямой 
.
Ответ: 
.
3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 
, а две другие совпадают с концами его малой оси.
4. Составить уравнение хорды параболы 
, которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой 
.
Ответ: 
.
5. На параболе 
найти точку 
, ближайшую к прямой 
, и вычислить расстояние 
от точки до прямой.
Ответ: 
.
6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы 
и прямой 
.
7. Дана окружность 
. Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами.
Ответ: 
.
Координаты фокуса параболы: как найти, формула
Парабола — совокупность точек на плоскости, расположенных на одинаковом удалении от фокуса F и директрисы d, в которую точка F не входит.
Парабола является коническим сечением, или коникой. Это значит, что она возникает при пересечении плоскости с поверхностью кругового конуса. Плоскость сечения при этом параллельна одной из касательных плоскостей конуса.
Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.
Что такое фокус параболы, определение
Расстояние от точки фокуса до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.
Если в фокус поместить источник света, все исходящие из него световые лучи после отражения от нее пойдут по прямым, параллельным оси симметрии. И наоборот, все световые лучи, идущие параллельно оси, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке. Это оптическое свойство широко применяется в конструкциях прожекторов, фар, фонарей, телескопов-рефлекторов.
Как найти фокус параболы
Уравнение расчета
Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:
Параметр p — расстояние от фокуса до директрисы, которая определяется уравнением:
Чтобы узнать расстояние r от любой точки параболы до фокуса, равное ее расстоянию до директрисы, нужно воспользоваться формулой:
В полярной системе координат с центром в фокусе и направлением вдоль оси фокальный параметр можно найти по формуле:
Чему равны координаты фокуса
Фокус будет иметь координаты \((\frac p2;\;0)\) .
Абсцисса фокуса параболы
Также фокус и параметр p можно искать через так называемую фокальную хорду \(Р_1Р_2\) .
Эта прямая, проходящая через фокус и параллельная директрисе, пересекает параболу в двух точках. Половина длины фокальной хорды будет равна параметру p, являясь абсолютной величиной ординаты любой из точек \(Р_1, Р_2\) .
1) расстояние между вершиной параболы заданной уравнением y=(x-2)^2-1
и точкой пересечения её с осью ординат равно .
2) расстояние между вершиной параболы заданной уравнением y=(x+2)^2-4
и точкой пересечения её с осью абсцисс равно .
По возможности распишите пожалуйста
Знаешь ответ? Добавь его сюда!
Ответить на вопрос
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
1. Дано действительное число – цена 1 кг конфет. Вывести стоимость 0,5; 1; 1,5 … 10 кг конфет. (Подсказка – используем цикл WHILE).
Программа должна иметь следующий вид:
Компьютер запрашивает стоимость одного килограмма конфет.
Пользователь вводит стоимость одного килограмма конфет, и компьютер выводит на экран:
