Какая из заданных функций задана явно

Явно или неявно заданные функции

,

то переменнаяy называетсяявно заданной функцией переменной x.

Например, ,.

Если формула, связывающая аргументxи функциюу, записана в виде уравнения, то определяемая из этого уравнения переменнаяназываетсяфункцией, заданной неявно.

Пример 3 (неявно заданные функции)

1) Уравнение задает неявно функцию;

2) уравнение задает неявно функцию;

3) уравнение задает неявно две функции;

4) уравнение задает неявно бесконечное множество функций,.

Из примеров видно, что если уравнение удается решить относительноу, то осуществляется переход от неявно заданной функции к ее явному заданию. При этом часто получается многозначная функция, которую всегда можно рассматривать как совокупность однозначных функций (совокупность однозначных ветвей многозначной функции).

Например, ;

,

Однако на практике решить уравнение относительно переменнойуполучается далеко не всегда или это решение получается слишком громоздким. Например, уравнениенельзя решить относительноy. Поэтому в этих случаях приходится работать с функциями, имеющими только неявное задание.

Замечание (к неявному заданию функций)

В уравнении переменныеx и y входят равноправно, поэтому можно считать, что это уравнение задает неявно функцию или функцию.

Например, .

Параметрически заданные функции

Связь между аргументом и функцией может быть записана через дополнительную переменную, называемую параметром, то есть в виде системы, в которой прописывается зависимость аргумента от параметра и зависимость функции от того же параметра:

, где– это параметр,.

В этом случае функцияназываетсяфункцией, заданной параметрически.

Рис. 41

При этом сама траектория движения может описываться уравнением EMBED Equation.DSMT4 или, т. е. задавать функциюили.

Например, в механике при описании движения точки по некоторой траектории задаются абсцисса и ордината движущейся точки как функции времени t (рис. 41).

От параметрически заданной функции можно перейти к явной или неявной форме её задания, если удаётся исключить параметр t.

Пример 4 (параметрически заданные функции)

1.

Таким образом,— это естьпараметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координати, следовательно, задают две функции,:

на верхней полуокружности

на нижней полуокружности

2.

Таким образом,— это естьпараметрические уравнения эллипса с полуосями a и b и с центром в начале координат, они задают две функции:

на верхней половине эллипса

;

на нижней половине эллипса

.

3.— уравнение параболы;

—

уравнение той же параболы.

Из последнего примера хорошо видно, что для одной и той же функции можно записать несколько вариантов параметрических уравнений, вводя по-разному параметр.

Выполнить исключение параметра из параметрических уравнений не всегда возможно, поэтому нужно уметь работать и с функциями, имеющими только параметрические задания.

График функции

Графиком функцииназывается множество точеккоординатной плоскости, координаты которых есть соответствующие друг другу значения аргумента и функции (рис. 42).

Графиком функции может быть линия или несколько линий или дискретное множество точек (рис.43).

График функциональной зависимости может строиться не только в системе декартовых прямоугольных координат XOY, но и в других координатных системах.

Например, в полярной системе координат функцияy = xзаписывается в виде = и имеет графикомспираль Архимеда(рис. 44).

Здесь показана часть спирали при (первый завиток спирали Архимеда). В общем случае спираль Архимеда задается уравнением = aφ.

По умолчанию график функции строится в системе прямоугольных декартовых координатXOY.

�� Высшая математика (ответы на тест Синергия / МТИ / МосАП, август 2022) (Решение → 17199)

Высшая математикаВажно!. Информация по изучению курсаТема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функцийТема 2. Теория пределовТема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрыв функции. Основные свойства непрерывных функцийТема

Высшая математика

• Важно!. Информация по изучению курса
• Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций
• Тема 2. Теория пределов
• Тема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрыв функции. Основные свойства непрерывных функций
• Тема 4. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины
• Тема 5. Дифференцирование функций. Часть 1
• Тема 6. Дифференцирование функций. Часть 2
• Тема 7. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков
• Тема 8. Аналитические приложения дифференцируемых функций
• Тема 9. Экстремум функции
• Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования
• Тема 11. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования
• Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
• Тема 13. Приложения определенного интеграла
• Тема 14. Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами
• Тема 15. Теория определителей. Основные свойства определителей. Вычисление определителей произвольного порядка n. Формулы разложения
• Тема 16. Обратная матрица. Ранг матрицы. Понятие обратной матрицы
• Тема 17. Системы линейных алгебраических уравнений

Абсциссами точек перегиба графика функции y = x³ являются:

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1
• 2
• 3
• 0
• 4

Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 13 см
• 15 см
• 22 см
• 20 см
• 25 см

Выберите правильный ответ на вопрос: производная [u(x) ⋅ v(x)]’ равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• u'(x) ⋅ v(x)
• u(x) ⋅ v'(x)
• u'(x) ⋅ v'(x)
• u'(x) + v'(x)
• u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Выберите правильный ответ на вопрос. Производная функции [u(x) / c]’, где с — действительное число, равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) u'(x) / c’
• 2) cu'(x)
• 3) −u'(x) / c
• 4) u'(x) / c
• 5) u'(x) / c²

Вычислить ∫ dx / (a² + x²), x=a..a√3

Тип ответа: Одиночный выбор

• π / 2a
• π / 3a
• π / 12a
• π / 4a
• π / 6a

Вычислить ∫ dx / √(x² + 1), x=0..1

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1 + √2
• ln2 + 1
• 2ln|1 + √2|
• 3ln|1 + √2|
• ln|1 + √2|

Вычислить ∫ e^(x/3)dx, x=0..3

Тип ответа: Одиночный выбор

• е –1
• 2(e + 1)
• 2(e — 1)
• 3(e — 1)
• 1/2 ⋅ (e — 1)

Вычислить ∫ sin2x, x=0..π/4

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1
• 0
• 2
• 3/2
• 1/2

Вычислить ∫ x³dx, x=1..3

Тип ответа: Одиночный выбор

• 10
• 15
• -20
• -10
• 20

Вычислить ∫ xe^(x²), x=0..1

Тип ответа: Одиночный выбор

• е –1
• 2е –1
• 3е +1
• (e + 1) / 2
• (e − 1) / 2

Вычислить приближенно приращение функции y = x² + 2x + 3 когда х изменяется от 2 до 1,98.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,3
• –0,5
• 0,01
• –0,12
• 0,05

Дифференциал функции y = sin²2x равен

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2 sin 2 xdx
• 2 cos2 xdx
• –2 sin 2 xdx
• sin 4 xdx
• 2 sin 4 xdx

Достаточными условиями существования производной непрерывной функции в точке являются:

Тип ответа: Одиночный выбор

• Существование хотя бы одной односторонней производной
• Существование двух односторонних производных
• Существование и равенство двух односторонних производных

Заменив приращение функции дифференциалом, приближенно найти sin 31°.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,500
• 0,451
• 0,35
• 0,515
• 0,491

Какая из заданных функций задана явно:

Тип ответа: Одиночный выбор

• ху = 5;
• x² + y² = 9;
• у = sinx;
• eˣʸ = 3;
• lg(x + y) = 5.

Какая из заданных функций является обратной для функции Y=5x-3:

Тип ответа: Одиночный выбор

• x = (y − 3) / 5;
• x = (y + 3) / 5;
• x = (5y − 3) / 5;
• x = (3y − 5) / 5;
• x = (3y + 5) / 5.

Какая из заданных функций является четной:

Тип ответа: Одиночный выбор

• y = x² — x;
• y = x⁴ — 2x²;
• y = x⁴ — x²;
• y = x + 2;
• y = x.

Наибольшим значением функции y = x² — 2x на отрезке [–1; 1] является:

Тип ответа: Одиночный выбор

• -1
• 3
• 5
• ∞
• 10

Найдите вторую производную функции у = sin2x.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2 sin 2x
• 4 cos 2x
• – 4sin 2x
• 4 sin 2x
• cos 2x

Найти все точки разрыва функции y = (2x — 1) / (x² — 8x + 15)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1/2
• 2 и 6
• 1 и 2
• 3 и 5
• 1 и 4

Найти интеграл ∫ ((10x⁵ + 5) / x³ )dx

Тип ответа: Одиночный выбор

• 10x³ + x² + c
• 10x² + x + c
• 10 / 3 ⋅ x³ — 5 / (2x²) + c
• 10 / 3 ⋅ x² — 5 / (2x) + c
• 10 / 3 ⋅ x — 5 / (2x) + c

Найти интеграл ∫ (√x + ∛x)dx

Тип ответа: Одиночный выбор

• x√x + x∛x + c
• 2/3 ⋅ x√x − 3/4 ⋅ x∛x + c
• 2 ⋅ x√x + 3 ⋅ x∛x + c
• 3/2 ⋅ x√x + 4/3 ⋅ x∛x + c
• 2/3 ⋅ x√x + 3/4 ⋅ x∛x + c

Найти интеграл ∫ 1 / √(4 — x²)

Тип ответа: Одиночный выбор

• arcsinx + c
• arccosx + c
• arcsin(x/2) + c
• arctg(x/2) + c
• 1/2 ⋅ arctg(x/2) + c

Найти интеграл ∫ cos2xdx

Тип ответа: Одиночный выбор

• -1/2 ⋅ sin2x + C
• 1/2 ⋅ sinx + C
• cos²2x / 2 + C
• 1/2 ⋅ sin2x + C
• sin2x + C

Найти интеграл ∫ cos²xdx

Тип ответа: Одиночный выбор

• cos³x / 3 + c
• 1/2 ⋅ x + 1/4 ⋅ sin2x + c
• 1/2 ⋅ cos³x + c
• x + sin2x + c
• 1/2 ⋅ x — 1/4 ⋅ sin2x + c

Найти интеграл ∫ dx / (x² + 6x + 13)

Тип ответа: Одиночный выбор

• arcsin(x + 3) + c
• arcsin((x + 3) / 2) + c
• arctg(x + 3) + c
• 1/2 ⋅ arctg((x + 3) / 2) + c
• 2arctg(x + 3) + c

Найти интеграл ∫ e⁵⁻³ˣdx

Тип ответа: Одиночный выбор

• (5 — 3x)e⁵⁻³ˣ + C
• -1/3 ⋅ e⁵⁻³ˣ + C
• e⁵⁻³ˣ + C
• 1/3 ⋅ e⁵⁻³ˣ + C
• e⁵⁻³ˣ ⋅ ln|5 — 3x| + C

Найти интеграл ∫ x√(3 — 5x)dx

Тип ответа: Одиночный выбор

• (5x + 2)√(3 — 5x) + C
• (5x — 3)√(3 — 5x) + C
• 2/125 ⋅ (5x + 2)(5x — 3)√(3 — 5x) + C
• (5x + 2)(5x — 3)√(3 — 5x) + C
• (5x + 2)(5x + 3)√(3 — 5x) + C

Найти объём тела, полученного от вращения плоской фигуры, ограниченной линиями y = sinx; x = π/2, y = 0 вокруг оси Ох.

Тип ответа: Одиночный выбор

• π² (куб. ед.);
• π 2/4 (куб. ед.);
• π (куб. ед.);
• 3/4 π² (куб. ед.);
• 2π (куб. ед.).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у = sinx, у = cosx, x = 0; x = π/4

Тип ответа: Одиночный выбор

• √2 (кв.ед.);
• √2/2 (кв.ед.);
• (√2 — 1) (кв.ед.);
• 3 (кв.ед.);
• 2 (кв.ед.).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = √(lnx), y = 0, x = e вокруг оси Ох.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2π (куб. ед.);
• 3π (куб. ед.);
• π (куб. ед.);
• 4π (куб. ед.);
• 5π (куб. ед.).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = lnx, y = 0, x = e вокруг оси Ох.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1
• 2
• 3
• e
• 5

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = x² — 4x + 5; y = 5.

Тип ответа: Одиночный выбор

• 8 2/3
• 10 2/3 (кв.ед.);
• 7 1/3 (кв.ед.);
• 10;
• 7 2/3(кв.ед.).

Найти предел функции lim (3x² — 5x + 2), x⟶2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• 2
• 4
• 22
• 1

Найти предел lim (1 — cos5x) / x², x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 1
• 2.5
• 12.5

Найти предел lim (1 + 5/x)²ˣ, x⟶∞

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 1
• eˣ
• e¹⁰

Найти предел lim (2x² / (3 + x²) + 5^(1/x)), x⟶∞

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 5
• 5/3
• 3/5

Найти предел lim (3n — 2) / ∛(n³ — 5n² + 1), n⟶∞

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 2
• 3
• 1

Найти предел lim (3x³ + 4x² + 5) / (x⁴ — 3x + 2), x⟶+∞

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 3
• 1
• 2

Найти предел lim (4x — 7) / (5 — 2x), x⟶+∞

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• -2
• -1
• 2

Найти предел lim (e^ax — e^bx) / sinx, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• а + b
• ∞
• −∞
• а – b
• 1

Найти предел lim (eˣ — 1) / (√(1 + x) — 1), x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 1
• 2
• 3

Найти предел lim (x⁴ — 1) / (x³ — 1), x⟶1

Тип ответа: Одиночный выбор

• ∞
• 0
• 3/4
• 4/3
• 2

Найти предел lim arctgx / x, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 3
• 2
• 1

Найти предел lim ln(1 + x) / arcsinx, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 1
• 1/2
• 2

Найти предел lim sin²x / x², x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 1
• 2
• 10

Найти предел lim tg³x / x³, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 1
• 3
• 2

Найти предел lim x / arctgx, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• 3
• 1
• 2

Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя: lim (eˣ — 1) / (sin2x), x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• ∞
• -∞
• 2
• 0.5

Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя: lim x / lnx, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор

• ∞
• -∞
• 1
• 0
• -1

Найти предел: lim (1 — tgx) / cos2x, x⟶π/4

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• -1
• 1
• ∞
• 5

Найти предел: lim lnx / (1 — x²), x⟶1

Тип ответа: Одиночный выбор

• 3
• 2
• −1/3
• 1/3
• ∞

Найти производную y’ₓ от функции, заданной параметрически

Тип ответа: Одиночный выбор

• (asint + tcost) / (acost + tsint)
• (sint — tcostt) / (cost + tsintt)
• (sint + atcost) / (cost − atcost)
• (sint + tcostt) / (cost − tsintt)
• (sint + tcost) / (cost − tsint)²

Найти третий дифференциал функции y = 3x² — 5x + 2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 3dx³
• 6xdx³
• 2dx³
• 0
• dx³

Нормаль к графику функции y = eˣ в точке M₀(0; 1) определяется уравнением

Тип ответа: Одиночный выбор

• у = х + 1
• у = 2х – 1
• у = 2х
• у = –х + 1
• у = х – 1

Нормаль к графику функции y = x² в точке M₀(1; 1) определяется уравнением

Тип ответа: Одиночный выбор

• у = х + 2
• у = х – 2
• y = −1/2 ⋅ x − 3/2
• y = −1/2 ⋅ x + 3/2
• y = 1/2 ⋅ x − 3/2

Производная функции у = arcsin3x равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 1 / √(1 − x²)
• 2) 3 / √(1 − 9x²)
• 3) 1 / √(1 − 9x²)
• 4) 3x / √(1 − 9x²)
• 5) x / √(1 − 9x²)

Производная функции у = sin 2x при x = π/2 равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• 1
• -1
• -2
• 2

Производная функции у(х) = с равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• с
• 1
• 0
• х
• сх

Производная функции у(х) = х равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• х
• x²
• 1
• 2х

Производная функции eʸ + x = y равна:

Тип ответа: Одиночный выбор

• x / (1 + eʸ)
• x / (1 − eʸ)
• 1 / (1 − eʸ)
• y / (1 + eʸ)
• xy / (1 + eʸ)

Производная функции y = 5³ˣ равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• 5³ˣ
• 3x ⋅ 5³ˣ⁻¹
• 3 ⋅ 5³ˣln5
• 5³ˣln5
• 3 ⋅ 5³ˣ

Производная функции y = eˣ / (x + 1) равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• eˣ
• −eˣ / (x + 1)²
• −e / (x + 1)²
• +eˣ / (x + 1)²
• xeˣ / (x + 1)²

Производная функции y = x / (eˣ + 1) при х = 0 равна

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• 1
• 1/2
• 3
• -1

Сравнить бесконечно малую α и β = α³ Бесконечно малая β по сравнению с бесконечно малой α является :

Тип ответа: Одиночный выбор

• одного порядка;
• второго порядка;
• третьего порядка;
• бесконечно большой;
• эквивалентной.

Стационарными точками функции x³ / 3 — 11 / 2 ⋅ x² + 30x + 2 являются:

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2,3
• 5,6
• 1,3
• 0,2
• 4,8

Стационарными точками функции y = x³/3 — 3x² + 5x — 2 являются:

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,1
• 1,5
• 2,3
• 1,2
• 3,4

Точками разрыва заданной функции y = (2x — 1) / (x² — 8x + 15) являются:

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1/2
• 1, 2
• 2, 4
• 3, 5
• 0, 2

Точками разрыва заданной функции y = x/4 + 4/x являются:

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1
• 2, 3
• 4
• 5
• 0

Точками разрыва функции y = 5 / (sinx — 1/2) являются

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2πk;
• πk;
• (-1)ᵏ ⋅ π/6 + πk;
• π/2 + πk;
• (-1)ᵏ ⋅ π/4 + πk.

Функция y = 7x² — 5√x — 2 является:

Тип ответа: Одиночный выбор

• трансцендентной,
• иррациональной,
• целое рациональное,
• правильная рациональная дробь,
• неправильная рациональная дробь.

Частным значение функции y = x² + 2 при х = 3 является:

Тип ответа: Одиночный выбор

• -1
• 11
• 0
• -3
• -5

© Библиотека Ирины Эланс

Библиотека Ирины Эланс, основана как общедоступная библиотека в интернете. Онлайн-библиотеке академических ресурсов от Ирины Эланс доверяют студенты со всей России.

Библиотека Ирины Эланс

Полное или частичное копирование материалов разрешается только с указанием активной ссылки на сайт:

Синергия Математика. В матрицах жирным отмечены элементы правильного ответа!

Единственный в мире Музей Смайликов

Самая яркая достопримечательность Крыма
Скачать 1.11 Mb.

Используя свойства определителя, вычислить определитель – см. «Определитель …равен»

Какая из заданных функций задана явно:

+ y = sinx

e xy = 3

xy = 5

lg(x + y) = 5

x 2 + y 2 = 9

Какая из заданных функций является обратной для функции Y = 5x – 3:

Касательная к графику функции y = x 2 в точке M₀(1; 1) определяется уравнением

y = 2x – 1

Матрица, являющаяся произведением матриц

3 x 2

Наибольшим значением функции y = x 2 – 2x на отрезке [-1; 1] является …

3
Наибольшим значением функции y = – x 2 + 2x на отрезке [-1; 2] является …

Найти все точки разрыва функции – см. «Точками разрыва заданной функции …»

Найти интеграл – см. «Интеграл … равен …»

Найти интервалы монотонного возрастания функции y = 6x 2 – 3x.

Найти объем тела, полученного от вращения плоской фигуры … – см. «Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры . »

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями … – см. «Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями …, составит …»

Найти предел – см. «Предел … равен …»

Найти предел на основании свойств пределов – см. «Предел … равен …»

Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя – см. «Предел … равен …»

Найти произведение действительного числа на матрицу … – см. «Произведение действительного числа на матрицу … равно …»

Найти произведение матриц – см. «Произведение матриц … равно …»

Найти производную y`_x от функции, заданной параметрически , где t Є [0; 2п].

где u Є [0; 2п], равна …

— ctg2u
Производная y`_x от функции, заданной параметрически

где u Є [0; 2п], равна …

— tgu
Производная y`_x от функции, заданной параметрически

где t Є [0; 2п], равна …

ctg 2 t
Производная y`_x от функции, заданной параметрически

при t = 1, где t Є [-∞; +∞], равна …

Найти ранг матрицы – см. «Ранг матрицы … равен …»

Найти сумму матриц – см. «Сумма матриц … равна …»

Найти третий дифференциал – см. «Третий дифференциал функции»

Наклонной асимптотой графика функции y = x 3 / (x 2 – 3) является

y = x

Нормаль к графику функции y = x 2 в точке M₀(1; 1) определяется уравнением

y = – 1/2 x + 3/2
Нормаль к графику функции y = e x в точке M₀(0; 1) определяется уравнением

y = – x + 1

Обратная матрица для … – см. «Найти обратную матрицу …»

Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры, ограниченной линиями

вокруг оси Ox, равен …

Линии	Объем
y = x 2 , y = 4	Не отвечать!
y = 3x 2 + 6, y = 9	посчитать
y = cosx, y = 0, x = 0, x = /2	1/4  куб. ед.
y = sinx, x = /2, y = 0	 2 /4 куб. ед.
y = √tgx, y = 0, x = /4	 ln√2 куб. ед.

Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями …, составит …

Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями …, составляет …

Линии	Площадь
, x = 0, y = 2, y = 4	ln2 кв. ед.
,	(15/8 – ln4) кв. ед.
,	(15/8 – ln4) кв. ед.
y = x 2 , x = 1, y = 0	1/3 кв. ед.
y 2 = x, y = 4, x = 0	21 1/3 (кв. ед.)
x = y 2 , y = – x + 2	4,5 (кв. ед.)
x = y 2 , y = x	1/6 (кв. ед.)
x = y 2 , x = 4	10 2/3 (кв. ед.)
y = x 2 – 9, y = 0	36 кв. ед.
y = x 2 – 2x + 1, y = 1	4/3 (кв. ед.)
y = x 2 – 4x + 5, y = 5	10 2/3 (кв. ед.)
y = sinx, y = cosx, x = 0, x = п/4	(√2 – 1) (кв. ед.)
y = sinx, x = 0, x = , y = 0	1 (кв. ед.)
x = √y, y = 0, x = 1	1/3 кв. ед.
x = √y + 2, y = 0, x = 6	21 1/3 (кв. ед.)

Пользуясь правилом Лопиталя, можно найти, что предел – см. «Предел … равен …»

§23. Производные высших порядков

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у’" (или ƒ’"(х)). Итак, у’"=(y")’

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у ν или у (5) — производная пятого порядка).

Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

23.2. Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S ¢ _t равна скорости точки в данный момент времени: S’_t=V.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S"=α.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.

Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:

23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у’, найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у ¢ . Подставляя уже найденное значение у’ в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Найти у’", если х 2 +у 2 =1.

Решение: Дифференцируем уравнение х 2 +у 2 -1=0 по х: 2х+2у · у ¢ =0.

Отсюда у’=-х/у. Далее имеем:

(так как х 2 +у 2 =1), следовательно,

23.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями

Как известно, первая производная у’х находится по формуле (23.1)

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

Найти вторую производную функции

Решение: По формуле (23.1)

Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти у"_хх можно по преобразованной формуле (23.2):

Похожие публикации:

1. Как в иллюстраторе вырезать одну фигуру из другой
2. Как настроить обс чтобы не лагала игра
3. Как создать программу для заполнения бланков
4. Сколько занимает верстка сайта