Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталкиваться с другим достаточно обширным классом диффуров: дифференциальными уравнениями, допускающими понижение порядка.
Различают три основных типа таких уравнений, которые мы последовательно рассмотрим на данном уроке. По какому принципу решаются данные уравнения? Старо, как второй том матана – уравнения, допускающие понижение порядка, в конечном итоге сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка и интегрируются с помощью методов, которые вы уже должны знать из моих статей.
Люди собрались опытные, большие, поэтому не будем проводить разминку с перекидыванием резинового мячика из рук в руки, а сразу перейдем к делу. Но и чайники тоже могут присоединиться, я не выгоняю за дверь, а ставлю ссылки на темы, по которым у вас есть пробелы.
Метод повторного интегрирования правой части
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где – производная «энного» порядка, а правая часть зависит только от «икс». В простейшем случае может быть константой.
Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.
На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка необходимо проинтегрировать трижды, и т.д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид .
Понижаем степень уравнения до первого порядка:
Или короче: , где – константа
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Как я уже где-то упоминал, иногда диффур может быть подшифрован. В предложенном примере сначала необходимо привести уравнение к стандартному виду . Решение и ответ в конце урока.
Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые мы рассмотрим в следующих двух примерах:
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: Данное уравнение имеет вид . Согласно алгоритму, необходимо последовательно три раза проинтегрировать правую часть.
Сначала понижаем степень уравнения до второго порядка:
Первый интеграл принёс нам константу . В уравнениях рассматриваемого типа рационально сразу же применять подходящие начальные условия.
Итак, у нас найдено , и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие .
В соответствии с начальным условием :
На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:
Выползла константа , с которой мы немедленно расправляемся. Хах. Комментирую пример, а в голове возникла ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы отстреливаются, как только покажут уши из-под интеграла.
В соответствии с начальным условием :
И, наконец, третий интеграл:
Для третьей константы используем последний патрон :
Зайцы плачут, заряды были с солью.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку, благо, она ненапряжная:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Находим вторую производную:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Найдем третью производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение
Вывод: задание выполнено верно
Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает двумя константами , в уравнении третьего порядка – ровно три константы , в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре константы и т.д. Причем, эта особенность справедлива вообще для любого диффура высшего порядка.
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной, интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Я намеренно подобрал простые примеры без всяких замысловатостей, чтобы больше внимания уделить именно алгоритму решения.
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так:
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.
Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
– это уже уравнение третьего порядка.
Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
– уравнение четвертого порядка.
И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
На самом деле есть общая формула, строгая формулировка, но я стараюсь избегать лишних параметров и прочих математических наворотов, поскольку уроки носят не теоретический, а практический характер. И даже общие формулы, которые я только что привел, являются не совсем полными с теоретической точки зрения.
Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: В данном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная . Заменим первую производную новой функцией , которая зависит от «икс»:
Цель проведённой замены очевидна – понизить степень уравнения:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо говоря, отличие только в букве.
Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя способами: методом Бернулли (замены переменной) или методом вариации произвольной постоянной. Я выберу метод вариации произвольной постоянной, поскольку он маловато встречался в моих статьях.
Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение вспомогательного уравнения:
Варьируя постоянную , в неоднородном уравнении проведем замену:
Пара слагаемых в левой части взаимоуничтожается, значит, мы на верном пути:
Разделяем переменные и интегрируем:
Итак, функция найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена , следовательно, нужно провести обратную замену :
Общее решение восстанавливаем интегрированием:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: Общее решение:
В большинстве случае проверить и такие уравнения не составляет особого труда. Берём полученный ответ, находим первую и вторую производные:
Подставим первую и вторую производную в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены мы понижали степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены может получиться уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: В данном уравнении третьего порядка в явном виде не участвуют функция и первая производная . Замена будет очень похожей, за «зет» обозначаем младшего брата:
Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:
Получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные и интегрируем:
Проведем обратную замену:
Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид: .
Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое в моём образце решено методом Бернулли. Как говорится, весь арсенал в ходу.
В дифференциальном уравнении
в явном виде отсутствует независимая переменная
Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Обратите внимание, что функция – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).
Учитывая, что , окончательно получаем:
В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:
Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: , «совершенно же очевидно, что должно быть ». А вот, оно, и не очевидно. Почему , я только что подробно прокомментировал.
Итак, в исходном уравнении проведём нашу замену:
Цель замены – опять же понизить порядок уравнения:
Одно «зет» сразу сокращаем:
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так:
. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное» .
Разделяем переменные и интегрируем:
Проведем обратную замену :
Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.
Используем оба начальных условия одновременно: ,
В полученное уравнение подставим и :
Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие , проводим подстановку :
Выразим частное решение в явном виде:
Ответ: частное решение:
Кстати, ответ легко проверяется.
Для закрепления материала пара заключительных примеров.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:
Таким образом, степень уравнения понижена до первого порядка:
Разделяем переменные и интегрируем, не забывая, что :
Переобозначим константу через :
.
Проведём обратную замену :
Используем одновременно оба начальных условия , и найдём значение константы . Для этого в полученное уравнение подставим и:
Разделяем переменные и интегрируем:
В соответствии с начальным условием :
Ответ: частное решение:
Найти решение задачи Коши.
, ,
Это пример для самостоятельного решения.
Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные, вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.
Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.
А сейчас пора повесить ружье на гвоздь и идти пить чай.
Удачного понижения степеней дифференциальных уравнений!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Преобразуем уравнение:
Данное ДУ имеет вид . Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Пример 4: Решение: Преобразуем уравнение:
Данное уравнение имеет вид . Трижды интегрируем правую часть:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
Ответ: частное решение:
Пример 6: Решение: В данное уравнение в явном виде не входит функция , проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Таким образом:
Обратная замена:
Ответ: Общее решение:
Пример 8: Решение: Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Дважды интегрируем правую часть:
Здесь я немножко схалтурил, интеграл от логарифма берётся по частям, и, строго говоря, последний интеграл нужно расписать подробнее.
Ответ: общее решение:
Пример 11: Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная , проведем замену:
Обратная замена:
В соответствии с начальными условиями , :
В соответствии с начальным условием :
Ответ: частное решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
5.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
;
– разрешенном относительно старшей производной виде:
.
Задача Коши для ДУ второго порядка имеет вид
, 
,
т. е. в точке 
задаются значения искомой функции 
и ее производной 
.
Общее решение ДУ второго порядка имеет вид 
, т. е. зависит от двух произвольных постоянных. Один из основных методов решения произвольных ДУ второго порядка – понижение порядка уравнения.
Рассмотрим некоторые типы ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.
1. 
. Общее решение находят двухкратным интегрированием:
,
.
2. 
, т.е. ДУ не содержит искомой функции у. Подстановкой 
исходное ДУ сводится к ДУ первого порядка относительно новой неизвестной функции 
.
3. 
, т. е. ДУ не содержит независимой переменной x. Подстановкой 
исходное ДУ сводится к ДУ первого порядка относительно новой неизвестной функции 
.
Пример 5.4. Решить ДУ второго порядка, используя методы понижения порядка:
.
Это уравнение вида 
, т.е. не содержит у. Используем подстановку 
. Получаем ДУ первого порядка относительно неизвестной функции 
:
.
Это линейное ДУ. Используем подстановку 
:
.
Функцию 
находим как частное решение ДУ:
,
.
Функцию 
находим как общее решение ДУ:
.
.
Возвращаемся к исходным переменным:
– общее решение исходного уравнения.
Пример 5.5. Решить ДУ второго порядка, используя методы понижения порядка:
.
Это уравнение вида 
, т. е. не содержит х. Используем подстановку 
.
Подставляя выражения для 
в исходное ДУ, получим ДУ первого порядка, где у становится независимой переменной, 
– неизвестной функцией:
.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Так как 
, то 
, 
– общий интеграл исходного ДУ.
5.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
.
Если 
, то ДУ принимает вид
и называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ). Если 
0, то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ). Если 
, то уравнение называют линейным ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Для нахождения его общего решения составляют характеристическое уравнение
.
При решении этого квадратного уравнения возможны три случая
1. 
. Уравнение имеет два действительных различных корня 
(кратность каждого корня 
). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид
.
2. 
. Уравнение имеет два равных корня 
(говорят, что корень 
имеет кратность 
). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид
.
3. 
. Уравнение имеет два комплексно сопряженных корня 
(кратность каждого корня 
). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид
.
Рассмотрим далее ЛНДУ с постоянными коэффициентами
.
Его общее решение задается формулой
,
где 
– общее решение соответствующего ЛОДУ 
;
– любое частное решение данного ЛНДУ.
Рассмотрим частный случай, когда правая часть ЛНДУ 
является функцией специального вида
,
где 
– многочлены от х степеней n, m соответственно. Решение в этом случае проводят по следующей схеме.
1. Составляют характеристическое уравнение соответствующего ЛОДУ и находят его корни. Выписывают общее решение соответствующего ЛОДУ 
.
2. По виду правой части 
выписывают число 
. Если 
не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ, то частное решение ЛНДУ 
ищут в виде
,
а если 
является корнем кратности 
, то в виде
,
где 
– многочлены от х степени l c неопределенными коэффициентами.
Подставляя выражение для 
в исходное ЛНДУ, вычисляют значения неопределенных коэффициентов многочленов 
и выписывают частное решение ЛНДУ 
.
3. Общее решение исходного ЛНДУ находят в виде 
.
Пример 5.6. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям
.
Решение. Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Для соответствующего ЛОДУ 
составляем характеристическое уравнение:
, 
,
.
Общее решение ЛОДУ имеет вид
.
По виду правой части ЛНДУ выписываем число 
. Оно не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, поэтому частное решение ЛНДУ 
ищем виде 
=
. Вычисляем производные:
=
;
;
.
Подставляем в ЛНДУ:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части равенства, получаем:
,
откуда 
.
Подставляя найденные значения А , В в 
, имеем 
=
. Итак, 
– общее решение исходного ДУ.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Вычисляем
и подставляем начальные условия в 
:
откуда 
.
Подставляя 
в общее решение у, получаем искомое частное решение
.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Материал данной статьи дает представление о дифференциальных уравнениях порядка выше второго с возможностью понизить порядок, используя замену. Подобные уравнения часто представлены F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими искомой функции и производных до k – 1 порядка, а также дифференциальными уравнениями записи F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими независимой переменной.
Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих искомой функции и производных до
k – 1 порядка вида F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0
Мы имеем возможность понижения порядка дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 до n – k , используя замену переменных y ( k ) = p ( x ) . Осуществив подобную замену, имеем: y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p » ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) . Затем подставим полученный результат в исходное уравнение и увидим дифференциальное уравнение порядка n – k с неизвестной функцией p ( x ) .
После нахождения p ( x ) функцию y ( x ) найдем из равенства y ( k ) = p ( x ) интегрированием k раз подряд.
Для наглядности разберём решение такой задачи.
Задано дифференциальное уравнение 4 y ( 4 ) — 8 y ( 3 ) + 3 y » = 0 . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Произведя замену y » = p ( x ) , получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, y ( 3 ) = p ‘ , y ( 4 ) = p » , и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 .
Характеристическое уравнение будет записано так: 4 k 2 — 8 k + 3 = 0 , а корни его — k 1 = 1 2 и k 2 = 3 2 , тогда общим решением дифференциального уравнения 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 будет p ( x ) = C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x .
Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:
y » = p ( x ) ⇒ y ‘ = ∫ p ( x ) d x = ∫ C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x d x = = 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 ⇒ y = ∫ y ‘ d x = ∫ 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 d x = = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4
Ответ: y = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4 ( С 1 , С 2 , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).
Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка y ‘ ‘ ‘ · x · ln ( x ) = y » . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Осуществим замену y » = p ( x ) , следовательно, y ‘ ‘ ‘ = p ‘ , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи p ‘ · x · ln ( x ) = p .
Осуществим разделение переменных и интегрирование:
d p p = d x x ln ( x ) , p ≠ 0 ∫ d p p = ∫ d x x ln ( x ) ∫ d p p = ∫ d ( ln ( x ) ) ln ( x ) ln p + C 1 = ln ln ( x ) + C 2
Последующее потенцирование с учетом того, что p ( x ) = 0 тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения p ‘ · x · ln ( x ) = p в записи p ( x ) = C · ln ( x ) , в которой C будет произвольной постоянной.
Поскольку в самом начале была использована замена y » = p ( x ) , то y ‘ = ∫ p ( x ) d x тогда: y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x . Задействуем метод интегрирования по частям:
y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x = u = ln ( x ) , d v = d x d u = d x x , v = x = = C · x · ln ( x ) — ∫ x d x x = C · ( x · ln ( x ) — x ) + C 3
Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
y = ∫ y ‘ d x = ∫ C · x · ln ( x ) — x + C 3 d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · ∫ x d x + C 3 · ∫ d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · x 2 2 + C 3 · x = = u = ln x , d v = x d x d u = d x x , v = x 2 2 = = C · x 2 2 · ln x — ∫ x d x 2 — C · x 2 2 + C 3 · x + C 4 = = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4
Ответ: y = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4 ( С , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).
Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих независимую переменную, записи F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не имеющие в своей записи независимую переменную.
В данном случае снижение порядка на единицу возможно с использованием замены d y d x = p ( y ) . Опираясь на правило дифференцирования сложных функций, получим:
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y ) . . .
Подставив результат в заданное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с порядком ниже на единицу.
Рассмотрим данный алгоритм в решении конкретной задачи.
Задано дифференциальное уравнение 4 y 3 y » = y 4 — 1 и начальные условия: y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 . Необходимо найти частное решение заданного уравнения.
Решение
Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную x , следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену d y d x = p ( y ) .
Тогда d 2 y d x 2 = d p d y · p ( y ) . Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 .
4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 ⇔ p ( y ) d p = y 4 — 1 4 y 3 d y , y ≠ 0 ∫ p ( y ) d p = ∫ y 4 — 1 4 y 3 d y p 2 ( y ) 2 + C 1 = y 2 8 + 1 8 y 2 + C 2 p 2 ( y ) = 1 4 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 , C = C 2 — C 1 P ( y ) = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2
Поскольку d y d x = p ( y ) , тогда y ‘ = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 .
Этап решения позволяет найти константу C , задействовав начальные условия y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 :
y ‘ ( 0 ) = ± 1 2 y 4 ( 0 ) + 8 C y 2 ( 0 ) + 1 y 2 ( 0 ) 1 2 2 = ± 1 2 2 4 + 8 C 2 2 + 1 2 1 2 2 = ± 1 2 5 + 16 C 2 1 = ± 5 + 16 C
Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:
C = — 1 4 ,а y ‘ = — 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 не удовлетворяет условиям задачи.
y ‘ = 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 = 1 2 y 4 + 8 · — 1 4 y 2 + 1 y 2 = = 1 2 y 4 + 2 y 2 + 1 y 2 = 1 2 ( y 2 — 1 2 ) y 2 = 1 2 y 2 — 1 y
При y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) получаем y ‘ = 1 2 · y 2 — 1 y , откуда
2 y d y y 2 — 1 = d x ∫ 2 y d y y 2 — 1 = ∫ d x ∫ d ( y 2 — 1 ) y 2 — 1 = ∫ d x ln ( y 2 — 1 ) + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = e x + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = x + C 1 , C 5 + C 4 — C 2 y = ± e x + C 5 + 1
Область значений функции y = — e x + C 5 + 1 — это ( — ∞ , — 1 ] , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) , а значит y = — e x + C 5 + 1 не рассматриваем.
Обратимся к начальному условию y ( 0 ) = 2 :
y ( 0 ) = e 0 + C 5 + 1 2 = e 0 + C 5 + 1 2 = e C 5 + 1 С 5 = 0
Таким образом, y = e x + C 5 + 1 = e x + 0 + 1 = e x + 1 — необходимое нам частное решение.
При у 2 — 1 y < 0 ⇔ y ∈ — ∞ ; — 1 ∪ 0 ; 1 получим y ‘ = — 1 2 · y 2 — 1 y , откуда y = ± e x + C 5 + 1 . Область значений функции y = e — x + C 5 + 1 — интервал [ 1 , + ∞ ) , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y < 0 ⇔ y ∈ — ∞ ; — 1 ∪ 0 ; 1 , тогда y = e — x + C 5 + 1 не рассматриваем.
Для функции y = e — x + C 5 + 1 начальное условие y ( 0 ) = 2 не будет удовлетворяться ни для каких С 6 , поскольку
Понижение степени в дифференциальных уравнениях
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка
с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
Заменяя z произведением функций u и v , получим
Тогда получим выражения с функцией v :
Выражения с функцией u :
Дважды интегрируем и получаем:
Интегрируем по частям и получаем:
Итак, общее решение данного дифференциального уравения:
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Интегрируем полученную функцию:
Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :
Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:
Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:
Понижение порядка уравнения, не содержащего x
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Используя вновь подстановку
получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:
Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Из начального условия y(0) = 1 следует
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
Таким образом, получили уравнение первого порядка
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим
Интегрируем обе части уравнения
Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому
Из начального условия y(1) = 1 следует
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Материал данной статьи дает представление о дифференциальных уравнениях порядка выше второго с возможностью понизить порядок, используя замену. Подобные уравнения часто представлены F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими искомой функции и производных до k – 1 порядка, а также дифференциальными уравнениями записи F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими независимой переменной.
Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих искомой функции и производных до
k – 1 порядка вида F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0
Мы имеем возможность понижения порядка дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 до n – k , используя замену переменных y ( k ) = p ( x ) . Осуществив подобную замену, имеем: y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p » ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) . Затем подставим полученный результат в исходное уравнение и увидим дифференциальное уравнение порядка n – k с неизвестной функцией p ( x ) .
После нахождения p ( x ) функцию y ( x ) найдем из равенства y ( k ) = p ( x ) интегрированием k раз подряд.
Для наглядности разберём решение такой задачи.
Задано дифференциальное уравнение 4 y ( 4 ) — 8 y ( 3 ) + 3 y » = 0 . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Произведя замену y » = p ( x ) , получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, y ( 3 ) = p ‘ , y ( 4 ) = p » , и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 .
Характеристическое уравнение будет записано так: 4 k 2 — 8 k + 3 = 0 , а корни его — k 1 = 1 2 и k 2 = 3 2 , тогда общим решением дифференциального уравнения 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 будет p ( x ) = C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x .
Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:
y » = p ( x ) ⇒ y ‘ = ∫ p ( x ) d x = ∫ C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x d x = = 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 ⇒ y = ∫ y ‘ d x = ∫ 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 d x = = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4
Ответ: y = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4 ( С 1 , С 2 , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).
Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка y ‘ ‘ ‘ · x · ln ( x ) = y » . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Осуществим замену y » = p ( x ) , следовательно, y ‘ ‘ ‘ = p ‘ , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи p ‘ · x · ln ( x ) = p .
Осуществим разделение переменных и интегрирование:
d p p = d x x ln ( x ) , p ≠ 0 ∫ d p p = ∫ d x x ln ( x ) ∫ d p p = ∫ d ( ln ( x ) ) ln ( x ) ln p + C 1 = ln ln ( x ) + C 2
Последующее потенцирование с учетом того, что p ( x ) = 0 тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения p ‘ · x · ln ( x ) = p в записи p ( x ) = C · ln ( x ) , в которой C будет произвольной постоянной.
Поскольку в самом начале была использована замена y » = p ( x ) , то y ‘ = ∫ p ( x ) d x тогда: y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x . Задействуем метод интегрирования по частям:
y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x = u = ln ( x ) , d v = d x d u = d x x , v = x = = C · x · ln ( x ) — ∫ x d x x = C · ( x · ln ( x ) — x ) + C 3
Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
y = ∫ y ‘ d x = ∫ C · x · ln ( x ) — x + C 3 d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · ∫ x d x + C 3 · ∫ d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · x 2 2 + C 3 · x = = u = ln x , d v = x d x d u = d x x , v = x 2 2 = = C · x 2 2 · ln x — ∫ x d x 2 — C · x 2 2 + C 3 · x + C 4 = = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4
Ответ: y = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4 ( С , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).
Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих независимую переменную, записи F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не имеющие в своей записи независимую переменную.
В данном случае снижение порядка на единицу возможно с использованием замены d y d x = p ( y ) . Опираясь на правило дифференцирования сложных функций, получим:
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y ) . . .
Подставив результат в заданное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с порядком ниже на единицу.
Рассмотрим данный алгоритм в решении конкретной задачи.
Задано дифференциальное уравнение 4 y 3 y » = y 4 — 1 и начальные условия: y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 . Необходимо найти частное решение заданного уравнения.
Решение
Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную x , следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену d y d x = p ( y ) .
Тогда d 2 y d x 2 = d p d y · p ( y ) . Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 .
4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 ⇔ p ( y ) d p = y 4 — 1 4 y 3 d y , y ≠ 0 ∫ p ( y ) d p = ∫ y 4 — 1 4 y 3 d y p 2 ( y ) 2 + C 1 = y 2 8 + 1 8 y 2 + C 2 p 2 ( y ) = 1 4 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 , C = C 2 — C 1 P ( y ) = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2
Поскольку d y d x = p ( y ) , тогда y ‘ = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 .
Этап решения позволяет найти константу C , задействовав начальные условия y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 :
y ‘ ( 0 ) = ± 1 2 y 4 ( 0 ) + 8 C y 2 ( 0 ) + 1 y 2 ( 0 ) 1 2 2 = ± 1 2 2 4 + 8 C 2 2 + 1 2 1 2 2 = ± 1 2 5 + 16 C 2 1 = ± 5 + 16 C
Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:
C = — 1 4 ,а y ‘ = — 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 не удовлетворяет условиям задачи.
y ‘ = 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 = 1 2 y 4 + 8 · — 1 4 y 2 + 1 y 2 = = 1 2 y 4 + 2 y 2 + 1 y 2 = 1 2 ( y 2 — 1 2 ) y 2 = 1 2 y 2 — 1 y
При y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) получаем y ‘ = 1 2 · y 2 — 1 y , откуда
2 y d y y 2 — 1 = d x ∫ 2 y d y y 2 — 1 = ∫ d x ∫ d ( y 2 — 1 ) y 2 — 1 = ∫ d x ln ( y 2 — 1 ) + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = e x + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = x + C 1 , C 5 + C 4 — C 2 y = ± e x + C 5 + 1
Область значений функции y = — e x + C 5 + 1 — это ( — ∞ , — 1 ] , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) , а значит y = — e x + C 5 + 1 не рассматриваем.
Обратимся к начальному условию y ( 0 ) = 2 :
y ( 0 ) = e 0 + C 5 + 1 2 = e 0 + C 5 + 1 2 = e C 5 + 1 С 5 = 0
Таким образом, y = e x + C 5 + 1 = e x + 0 + 1 = e x + 1 — необходимое нам частное решение.
При у 2 — 1 y 0 ⇔ y ∈ — ∞ ; — 1 ∪ 0 ; 1 получим y ‘ = — 1 2 · y 2 — 1 y , откуда y = ± e x + C 5 + 1 . Область значений функции y = e — x + C 5 + 1 — интервал [ 1 , + ∞ ) , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y 0 ⇔ y ∈ — ∞ ; — 1 ∪ 0 ; 1 , тогда y = e — x + C 5 + 1 не рассматриваем.
Для функции y = e — x + C 5 + 1 начальное условие y ( 0 ) = 2 не будет удовлетворяться ни для каких С 6 , поскольку
Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной
Понижение порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1) .
Порядок этого уравнения легко понизить, если его левая часть является полной (точной) производной по переменной x от некоторой функции :
(2)
.
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
(3) .
Он представляет собой дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше по сравнению с исходным уравнением (1).
Сделаем пояснения по поводу полной производной. Ее также называют точной производной. Пусть – некотрая функция, зависящая от переменной x . Найдем ее производных, и подставим в Φ. В результате получим сложную функцию, зависящую от одной переменной x :
(4) .
Производная функции называется полной производной функции по x . По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
(5) .
Тогда если выполняется (2), то подставляя (5) в (1) получаем:
.
Отсюда . Учитывая (4), получаем (3):
.
Методы выделения полной производной
Как видно из (1) и (2), если левая часть уравнения является полной производной по переменной x , то оно имеет следующий вид:
.
Все входящие сюда частные производные зависят только от переменных . Старшая производная входит линейным образом только в последний член. То есть, чтобы левая часть уравнения являлась полной производной, необходимо, чтобы уравнение было линейным относительно старшей производной.
Общего способа, позволяющего гарантированно выделить полную производную в уравнении, нет. Для выделения полной производной можно применять те же методы, что и при выделении полного дифференциала в уравнениях первого порядка. См. Методы определения интегрирующего множителя
Эти методы заключаются в том, что можно умножать и делить уравнение на множители, составленные из переменных , и применять следующие формулы:
(Ф1) ;
(Ф2) ;
(Ф3) ;
(Ф4) .
Здесь и – функции от x , возможно сложные. То есть и могут зависеть от x и переменных , которые в свою очередь зависят от x .
Далее мы рассмотрим примеры решений дифференциальных уравнений с помощью выделения полной производной.
Примеры
Все примеры Ниже рассмотрены следующие примеры, в которых нужно решить дифференциальные уравнения методом выделения полной производной.
⇓
⇓
⇓
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение второго порядка:
(П1.1) .
Разделим (П1.1) на . При имеем:
(П1.2) .
Выделяем полную производную, используя (Ф4).
;
;
.
Подставляем в (П1.2) и применяем (Ф1).
;
. Отсюда получаем первый интеграл:
.
Потенцируем:
.
Убираем знаки модуля:
.
Заменим постоянную: . Подставляем:
.
Поскольку , то . Переобозначим постоянную . Тогда первый интеграл принимает следующий вид:
(П1.3) .
Теперь рассмотрим случай , который мы до этого отбросили ⇑. Нетрудно видеть, что удовлетворяет исходному уравнению (П1.1). Оно получается из (П1.3), если положить . Таким образом постоянная может принимать нулевое значение. Отбрасываем условие :
(П1.4) .
Разделяем переменные и интегрируем.
;
;
;
;
Логарифмируем:
.
Пример 2
Решить уравнение, преобразовав его к полной производной:
(П2.1) .
Чтобы упростить уравнение, сделаем подстановку:
(П2.2) .
Тогда оно примет следующий вид:
(П2.3) .
Подставим . При этом во втором слагаемом запишем так: . Получаем:
(П2.4) .
Теперь замечаем, что
.
Поэтому умножим (П2.4) на , и выполним преобразования:
;
(П2.5) .
Когда мы умножаем уравнение на множитель , мы автоматически добавляем решение , которое может не содержаться в исходном уравнении. В нашем случае мы автоматически добавили решения и . Однако нетрудно видеть, что они удовлетворяют исходному уравнение (П2.4). Поэтому в результате умножения на множитель, у нас не будет лишних решений, которые не удовлетворяют исходному уравнению.
Теперь можно применить правило дифференцирования частного (Ф3). Тогда, чтобы (П2.5) приняло вид полной производной дроби, разделим его на . При имеем:
;
.
Отсюда получаем первый интеграл:
(П2.6) .
Операция деления на справедлива, если знаменатель не обращается в нуль. Поэтому далее мы ищем решение при . После того, как решение будет найдено, мы рассмотрим случай .
Из (П2.6) имеем:
.
Заменим постоянную интегрирования :
(П2.7) .
Замена постоянной позволяет получить выражение, не загроможденное лишними операциями. При этом также нужно следить, чтобы не произошло потери части решений, или не появились новые. В нашем примере, старая постоянная может принимать любые значения: . Тогда и новая постоянная может принимать любые значения: .
Разделяем переменные в (П2.7) и интегрируем.
;
;
;
.
Снова заменим постоянные: .
.
Извлекая корень четной степени 4 от переменной u , возведенной в четную степень 4, нужно помнить, что результат может иметь два знака – положительный или отрицательный:
(П2.8) .
Возвращаемся к переменной y (см. (П2.2)), и интегрируем. При имеем. ;
;
.
Еще раз заменим постоянные: :
(П2.9) .
Теперь рассмотрим случай , который мы выше ⇑ исключили из рассмотрения. Из (П2.8) и (П2.2) имеем:
.
Здесь . Заменим постоянную . Новая постоянная может принимать любые значения, кроме нулевого: . Тогда
(П2.10) .
Заметим, что в этом случае, . Интегрируем.
;
.
Заменив постоянную , получаем:
(П2.11) .
Теперь рассмотрим случай , который мы отбросили при делении ⇑ на :
.
Это уравнение имеет вид (П2.10) с . Тогда (П2.11) также является решением уравнения , если положить . Отбросим в (П2.11) условие . В результате получаем решение, в котором :
.
Наконец, мы можем переобозначить постоянные: . В результате получаем решение, справедливое при :
.
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения, преобразовав его к полной производной:
(П3.1) .
Попробуем привести уравнение к полной производной, применяя формулы (Ф2) и (Ф3).
Преобразуем исходное уравнение (П3.1), собрав в левой части члены, содержащие логарифм:
;
.
Разделим на и используем формулу (Ф3). При имеем:
;
(П3.2) .
Применим к (П3.2) формулу (Ф2), записав ее аналогично интегрированию по частям в следующем виде: .
.
Здесь мы учли, что .
Подставляем в (П3.2) и выделяем полную производную:
;
;
.
Левая часть уравнения является полной производной. Отсюда получаем первый интеграл:
.
Разделяем переменные и интегрируем.
.
Возводим левую и правую части уравнения в степень -1 . Случай разбирать не нужно, поскольку исходное уравнение (П3.1) не определено при . При имеем:
;
;
(П3.3) .
Подставляем в (П3.3) и потенцируем.
;
.
Заменим постоянную интегрирования . Новая постоянная может принимать только положительные значения: . Тогда
.
Убираем знак модуля:
.
Знак ± включим в состав постоянной . Тогда она может принимать и положительные отрицательные значения, не равные нулю. Переобозначим постоянную :
(П3.4) .
Теперь рассмотрим случай . Нетрудно видеть, что функция является решением исходного уравнения (П3.1). Она входит в (П3.4), если положить . Таким образом, (П3.4) является решением уравнения и при . Отменяем ограничение :
.
Сделаем замену постоянных . Тогда
.
Осталось рассмотреть случай . Если подставить в исходное уравнение (П3.1), то оно выполняется.
Решаем уравнение . Его решение . Таким образом, при , уравнение (П3.1) имеет решение .
Использованная литература.
В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
В. М. Ипатова, О. А. Пыркова, В. Н. Седов. Дифференциальные уравнения. Методы решений. Москва, МФТИ, 2012.
А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.