Как увеличить точность в маткаде

Итоговые упражнения.

Измените цвет, тип и размер шрифта во всех математических выражениях данного документа.

Измените цвет фона и цвет, которым окрашивается выделенное выражение.

Исключите отдельное выражение из рассмотрения.

Перейдите в ручной режим вычислений.

Глава 3. Особенности организации вычислительного процесса в Mathcad.

1. Точность вычислений.

В Mathcad вычисления могут быть выполнены двумя принципиально разными блоками программ, которые условимся называть численный процессор и символьный процессор. Символьный процессор, наряду с вычислениями и численными решениями различных задач, способен осуществлять аналитические преобразования, более того, именно аналитические преобразования и являются, в соответствии с его названием, основной задачей, для решения которой и создавался символьный процессор. В этом параграфе, однако, мы ограничимся только вопросами, связанными с использованием символьного процессора для вычислений.

После ввода формулы в Mathcad пользователь должен сообщить, какому именно процессору (численному или символьному) он хочет поручить вычисления. Для этой цели используются операторы обращения к процессору (иначе — операторы вывода). Оператором обращения к численному процессору служит обычный знак равенства, т.е. “=”, а для обращения к символьному процессору служит оператор “→” (его можно вызвать из палитры Symbolic или ввести с клавиатуры, нажав [Ctrl]+[.]). При этом, прежде чем написать оператор обращения к численному или символьному процессору следует выделить формулу (при работе с символьным процессором). После того, как оператор обращения написан, щелкните мышью вне формулы.

Замечание 1. В языке общения Mathcad используются два знака равенства – обычный и написанный жирным шрифтом (из палитры Boolean), которые имеют разное значение и их нельзя путать.

Замечание 2. Фирма MathSoft в руководстве пользователя достаточно подробно описывает работу численного процессора, но о символьном процессоре информация минимальна.

1.1. Вычисления посредством численного процессора.

Численный процессор работает с 64-битными числами с плавающей точкой.

Запись чисел в формате 64-битного слова обычно называют двойной точностью, а использование 32-битного слова — одинарной точностью.

Использование жестко фиксированной 64-битной длины слова определяет основные проблемы, связанные с точностью вычислений численного процессора. Отметим, что 64-битная длина связана с возможностью непосредственно использовать аппаратно реализованные арифметические возможности ПК. Более сложный путь, когда длина слова для записи числа переменна и ограничена сверху некоторым большим числом, использован в символьном процессоре.

Числа в компьютере всегда записываются в форме “мантисса — показатель степени” (иначе – в экспоненциальной форме):

где γ и β – ячейки в 1 бит, содержащие знаки чисел ±;

m – целое число, называемое мантиссой;

k – целое число, называемое показателем степени.

Mathcad для записи мантиссы использует 52 бита, а для записи показателя степени — 10 бит. Точнее, так делалось до 12-той версии Mathcad, где, по-видимому, (производитель не сообщает эту информацию пользователю) программными средствами может быть увеличено число бит для записи мантиссы. Это делается посредством уменьшения числа бит для записи показателя степени. Общая длина остается неизменной – 64 бит.

Хотя компьютер работает с двоичными числами, при рассмотрении процесса вычислений наглядней использовать привычную нам десятичную запись чисел. Поэтому можно сказать, что Mathcad в версиях до 12-той использовал 15-тиразрядную мантиссу. Если для записи некоторого числа требовалось более чем 15 разрядов мантиссы, то оно округлялось. в 12-той версии Mathcad декларируется точность в 17 разрядов мантиссы. Фактически она может быть реализована в подавляющем большинстве случаев, но не всегда. Исключение – очень большие и очень малые числа. Следует подчеркнуть очень важное обстоятельство. При вычислениях компьютера, если числа записываются в форме машинного слова фиксированной длины, то именно число разрядов мантиссы определяет предельную точность вычислений. Дело в том, что в научно-технических расчетах традиционно точность определяется числом верных знаков после запятой. Но для оценки математических программ это совершенно неприемлемо! Точность определяется длиной мантиссы, а формат вывода чисел позволяет записывать результаты с заданным числом знаков после запятой.

Из условия, что число бит для записи показателя степени фиксировано следует, что для очень больших и очень малых чисел мы столкнемся с проблемой: показатель степени «не влезает» в отведенное число бит. Таким образом возникают понятия «машинный нуль» и «машинная бесконечность». Если в процессе вычислений численный процессор получает число, меньшее машинного нуля, оно округляется до нуля. Если возникает число, большее, чем машинная бесконечность, численный процессор сообщает об ошибке: «число, большее чем 10 307 » (машинная бесконечность для Mathcad).

Отметим, что определить, чему равна машинная бесконечность для численного процессора можно следующим образом. Введем символ бесконечности ([Ctrl]+[Shift]+Z) и напишем знак равенства. Получим на экране:

если выбран формат записи чиселGeneral или Scientific (см. далее).

Подведем итог. Численный процессор Mathcad работает с числами, имеющими мантиссу 15 (до версии 12) или 17 десятичных разрядов. Количество разрядов мантиссы определяет точность вычислений. Число знаков после запятой не является показателем точности, так как в сумме число разрядов целой и дробной частей числа не может превысить 15 (или 17).

Вычисления в Mathcad

В практике инженерных расчетов наиболее массовыми являются расчетно-графические работы. Удобной средой для их выполнения является система компьютерной математики Mathcad [26]. Поэтому сначала дается описание основных правил работы в этой среде и демонстрируются простейшие вычисления.

Главной отличительной особенностью и преимуществом системы Mathcad является то, что описание решаемых задач и результаты их решения представляются в ней с помощью общепринятых математических знаков и символов — интегралов, производных, радикалов сумм и пр. Это значительно расширяет число пользователей Mathcad, так как не требует от них изучения специального языка программирования.

Основные правила работы и простейшие вычисления. Для работы в Mathcad используется «графический» язык, «словами» в котором являются так называемые пиктограммы. Они представляют собой картинки — символы, обозначающие определенные действия: интегрирование, дифференцирование, построение графика и пр. С их помощью можно строить решение разнообразных задач, не составляя традиционной программы.

На рис. II 1.1 показано рабочее окно Mathcad и основные панели инструментов, содержащие наборы пиктограмм: 1 — Калькулятор (Calculator); 2 — Логические (Boolean); 3 — Графические (Graph); 4 — Матричные (Matrix); 5 — Вычислительные (Calculus); 6 — Программные (Programming); 7 — Греческие (Greek). Последняя панель инструментов, снабженная символом «академическая шапочка», содержит набор пиктограмм для выполнения символьно-аналитических вычислений.

Рис. П1.1

Белое поле, называемое рабочим документом Mathcad, используется для размещения текстовых областей (содержащих комментарии), математических областей (с формулами) и графических областей (с графиками). Они создаются с помощью описанных ниже операций.

Определение переменной. В Mathcad используются переменные различных типов: обычная, глобальная, дискретная, индексная и др. Значение обычной переменной может быть использовано только правее или ниже того места на рабочем документе Mathcad, где эта переменная была определена. Чтобы определить переменную нужно:

• 1) напечатать имя переменной, подлежащей определению;
• 2) напечатать символ «двоеточие» (:) — при этом на экране появится знак определения переменной «двоеточие равно» (:=);
• 3) напечатать выражение, определяющее переменную.

Вводим с клавиатуры:

Наблюдаем на экране:

s .*= 100

W: 1/2[пробел] * т*и Л 2

Примечание. Для отделения дробной части числа от его целой части в Mathcad используется символ «точка» (.)

Кроме обычной переменной в Mathcad можно задать глобальную переменную. Ее значение можно использовать в любом месте рабочего документа Mathcad. Для этого вместо обычного оператора присваивания (:=) используется оператор глобального присваивания (=).

Вычисление выражений. Если переменные определены, то их значения можно использовать при вычислении выражений, которые должны располагаться правее или ниже мест определения переменных, участвующих в формировании выражений. Для вычисления выражения нужно его напечатать и нажать клавишу «вывод числового результата» (=). Mathcad вычисляет выражение и показывает его значение справа от этого знака.

t := 11.5

s := 100 v:= — t

v — 8.696 m := 15

Повторяющиеся вычисления. Для выполнения повторяющихся вычислений Mathcad использует специальный тип переменной — дискретный аргумент. Такая переменная имеет ряд равноотстоящих друг от друга значений, т.е. представляет собой массив чисел.

Чтобы задать дискретный аргумент, нужно:

• 1) напечатать имя переменной;
• 2) нажать клавишу «двоеточие» (:) — в результате появится знак присваивания (:=);
• 3) напечатать первое значение, принимаемое переменной;
• 4) нажать клавишу «запятая» (,);
• 5) напечатать второе (соседнее) значение переменной;
• 6) нажать клавишу «точка с запятой» (;) — в результате появится символ «две точки подряд» (..);
• 7) напечатать последнее значение переменной.

Вводим с клавиатуры:

Наблюдаем на экране:

а : .5; 8

а := 0.5..8

d : -5 , -3.5 ; 5

d := -5-3.5. .5

Дискретный аргумент изменяет свои значения в сторону возрастания (см. переменные а_у b, d)_y или убывания (переменная с).

Когда соседнее значение дискретного аргумента не указано (как это сделано при определении переменной /;), то шаг его изменения равен +1, если последнее значение аргумента больше начального, или -1, если последнее значение аргумента меньше начального.

Для просмотра значений дискретного аргумента нужно напечатать имя соответствующей переменной и нажать клавишу «вывод числового результата» (=). В результате выводится таблица значений дискретного аргумента.

Пример П1.5 демонстрирует применение дискретного аргумента для присвоения значений переменной с индексом (индексной переменной).

Если дискретный аргумент используется в выражении, то Mathcad вычисляет выражение один раз для каждого значения дискретного аргумента.

Определение функции. При определении функции у- f(x) необходимо указать ее имя / и аргумент х (или список аргументов для функции нескольких переменных).

Построение графика функции. Чтобы создать график функции одной переменной нужно выполнить следующие операции:

• 1) поместить курсор (щелкнуть мышью) там, где требуется создать график — обязательно правее или ниже того места, где определялась функция;
• 2) выбрать команду XY — Plot из меню Graph, или нажать соответствующую кнопку на пиктограмме. В рабочем документе Mathcad появится заготовка для графика с полями ввода в виде двух черных прямоугольников (рис. П 1.2);
• 3) в поле, расположенное левее оси ординат, ввести имя функции (рис. П1.3), или выражение, определяющее ее значения (рис. П1.4);
• 4) в поле, расположенное под осью абсцисс, ввести имя аргумента х.

Рис. П1.2

Для того чтобы увидеть график, нужно нажать клавишу [F9] или щелкнуть мышью вне поля графика.

Для того чтобы задать диапазон изменения аргумента х, нужно заполнить поля ввода, появляющиеся по краям оси абсцисс, или заранее (выше или левее) задать аргумент как дискретную переменную (см. пример П1.3), например х := -3, — 2.9..5.

Если этого не сделать, то переменная х будет изменяться в интервале -10 _3 .

Рис. П1.3

Рис. П1.4

Чтобы построить на одном рисунке несколько графиков (семейство графиков), нужно разделить запятыми имена соответствующих переменных (по оси абсцисс) и функций (по оси ординат) (рис. 111.5).

Построить и отформатировать графики функций

[1] [2] [3] [4]

Если (как в данном примере) несколько функций имеют общий аргумент, то можно указать имя только этого аргумента (рис. П1.5, а).

Если на графике необходимо создать горизонтальную линию (например, линию у = 0), нужно поместить дискретную переменную (х) в среднее поле на оси абсцисс и константу (0) в поле на оси ординат (рис. П1.5, б).

Рис. П1.5

Другая возможность — при форматировании графика активизировать опцию Show Markers (показывать маркеры) для оси Y. В этом случае слева от этой оси появятся два дополнительных поля ввода. Заполняя одно из них, можно получить желаемую горизонтальную линию. Точно так же можно создавать (две) вертикальные линии в нужном месте графика.

Для того чтобы переместить график, необходимо:

• 1) выделить график пунктирной рамкой (см. выше);
• 2) поместить курсор в поле рамки (при этом изображение курсора заменяется жирным черным крестом);
• 3) нажав левую клавишу мыши, переместить рамку с графиком в нужное место и отпустить клавишу.

Для форматирования (изменения параметров) графика нужно установить в его область курсор мыши и дважды быстро щелкнуть ее левой клавишей. В результате появится окно задания форматов, определяющих параметры графика (рис. П1.6).

Рис. П1.6

Используя опции этого окна, можно изменять масштабы по осям системы координат (например, вводить логарифмический масштаб), создавать масштабную сетку, задавать нумерацию осей, создавать надписи на графиках и пр. (см. рис. П1.6, а), а также изменять тип, толщину и цвет линий (см. рис. П1.6, б).

В качестве примера на рис. П1.5, б показаны результаты форматирования семейства графиков, показанных на рис. П1.5, а. После форматирования они имеют увеличенную толщину и другой тип линии графика функции /2(х), горизонтальную линию (ось абсцисс) и масштабную сетку.

Если функция принимает комплексное значение, то на график выводится лишь его действительная часть. При этом сообщение об ошибке не появляется. Продемонстрируем на примере, что это свойство графического редактора Mathcad является удобным для построения некоторых графиков.

Этот пример иллюстрирует возможность построения графика окружности (единичного радиуса) х + у = 1 в декартовой системе координат (рис. П1.7). Для этого необходимо, используя у равнение окружности, определить зависимость у отх. В данном случае имеем у = ±Vl-x, т.е. график окружности образован графиками двух функций /_<(х) = у1 -х и /₂(х) = yj-x , которые в области х > 1 принимают комплексные значения.

Рис. П1.7

Уравнение такой окружности можно задать в параметрической форме (рис. П1.8) или с помощью полярной системы координат (рис. П1.9).

Рис. П1.8

Рис. П1.9

Чтобы создать график функции двух переменных z — z(x, у), например график функции z(x, у) = (х 2 + y 2 )sin(xy/5), необходимо:

• (х-уЛ
• 1) задать функцию z(x, у):=(х 2 + ;у 2 )-sin —— ;

2) установить курсор в свободном месте рабочей области правее или ниже места определения функции и с помощью команды Surfance Plot вставить шаблон трехмерного графика (рис. ГТ 1.10). В отличие от рис. П1.2, он имеет только одно поле для ввода, куда нужно ввести имя функции (в данном случае z). Затем нужно щелкнуть мышью вне шаблона. Результат показан на рис. П1.11.

Puc.nt.tO Рис. П1.11

По умолчанию диапазон изменения аргументов устанавливается равным |х| 2 + у 2 )$т(ху/5) для случая хп = -4, xv = 3, уп = -2.

Рис. 111.12

Для построения графика функции z = z(x_f у) в криволинейной области G, ограниченной заданными «верхней» и «нижней» кривыми уп = уп<х) и yv = yv(x), можно средствами Mathcad задать «обрезанную» функцию

а затем применить к ней команду CreateMesh, выбирая параметры хп, xv_y уп, yv гак, чтобы соответствующая прямоугольная область xn (решить уравнение /(х) = 0). В этом случае Mathcad находит точное решение уравнения (см. Пример 1.1.2.4). К сожалению, эта возможность ограничена, особенно в тех случаях, когда уравнение является трансцендентным и (или) имеет несколько корней. В этих случаях нередко появляется сообщение did not find solution — «решение не найдено» или выводится только одно из нескольких возможных решений. Исключением является вычисление корней полинома (П2.9).