Как решать интегралы если dx в числителе

§ 3 Интегрирование элементарных дробей

Определение 3.1. Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным интегралам подстановкой .

Решение дробей I-го типа:

Решение дробей II-го типа:

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей III типа. Для начала рассмотрим дробь более простого вида, которая в числителе содержит единицу, а в знаменателе квадратный трехчлен, т.е. это дробь вида: . Этот же метод применим и к дроби вида: .

Для вычисления неопределенных интегралов от этих дробей необходимо сначала в знаменателе выделить полный квадрат, затем привести к табличным интегралам подстановкой , где .

Выделение полного квадрата осуществляется следующим образом:

Пример 3.1. Вычислим следующие неопределенные интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

Интеграл дроби типа III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла от дроби типа III к двум табличным интегралам. Аналогично находятся интегралы от дробей, которые, в общем-то, не являются элементарными, это дроби вида .

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример 3.2. Вычислим следующий неопределенный интеграл.

Вообще говоря, если у трехчлена выражение , то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее, ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример 3.3. Вычислим неопределенный интеграл.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай когда .

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби типа IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример 3.4. Вычислим неопределенный интеграл.

§ 4 Интегрирование рациональных функций

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е.

Допустим, что эти многочлены не имеют общих корней. В этом случае возможно:

1) , тогда данная рациональная дробь неправильная;

2) , тогда данная рациональная дробь правильная.

Если дробь неправильная, то необходимо разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен. В этом случае получим сумму какого-то многочлена и правильной рациональной дроби, т.е.:

Пример 4.1. Представить неправильную рациональную дробь в виде (4.1).

Таким образом, замечаем, что при интегрировании рациональных дробей, основную трудность в интегрировании представляют правильные рациональные дроби.

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема 4.1. Пусть — правильная рациональная дробь. Знаменатель данной дроби всегда может быть представлен в виде: , где — это различные действительные корни многочлена соответствующей кратности , а — множители, которые соответствуют каждой паре комплексных корней этого многочлена кратности .

Тогда существуют действительные числа , такие что, эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:

Замечание 4.1. В разложении этой дроби число слагаемых равно .

Итак, при интегрировании правильных рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях .

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример 4.2. Вычислить неопределенный интеграл.

Заметим, что ( . Следовательно, подынтегральная правильная рациональная дробь, в силу теоремы 4.1, разложится на следующие слагаемые:

Приводя к общему знаменателю правую часть равенства и, приравнивая соответствующие числители, получаем:

В левой части последнего равенства раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, а затем вынесем за скобки соответствующие степени . В результате получим:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях , получаем следующую систему:

Пример 4.3. Вычислить неопределенный интеграл.

Так как дробь неправильная, то предварительно следует выделить целую часть, а именно, представить эту дробь по формуле (4.1).

Знаменатель подынтегральной дроби имеет корень . Поэтому разделим его на двучлен и представим данный знаменатель в виде линейных множителей (операция деления кубического многочлена на двучлен приведена ниже):

Для того чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Интегрирование некоторых дробей.
Методы и приёмы решения

На данном уроке мы научимся находить интегралы от некоторых видов дробей. Для успешного усвоения материала Вам должны быть хорошо понятны выкладки статей Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением:

Метод искусственного преобразования числителя

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы избавлялись от произведения функций в подынтегральном выражении, превращая её в сумму, удобную для интегрирования. Оказывается, что иногда в сумму (разность) можно превратить и дробь!

Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени: и .

Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:

Рассуждение может быть следующим: «В числителе мне надо организовать , но если я прибавлю к «иксу» тройку, то, для того, чтобы выражение не изменилось – я обязан эту же тройку и вычесть».

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

В результате мы добились, чего и хотели. Используем первые два правила интегрирования:

Готово. Проверку при желании выполните самостоятельно.

Обратите внимание, что во втором интеграле – это «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто. В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель.

Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .

2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :

3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :

5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.

Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.

Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, эта техника рассмотрена в статье Сложные пределы, а также на следующем уроке – Интегрирование дробно-рациональной функции.

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .

Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:

Найти неопределенный интеграл:

Найти неопределенный интеграл:

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата, который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков.

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .

Найти неопределенный интеграл

Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Найти неопределенный интеграл:

Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»

(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

Подведение числителя под знак дифференциала

Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? 😉

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Найти неопределенный интеграл:

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.

1) Когда дан интеграл вида или (коэффициенты , и не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Заключаем выражение, которое находится в знаменателе (неважно – под корнем или без корня) под знак дифференциала, в данном примере:

3) Раскрываем дифференциал:

Смотрим на числитель нашего интеграла:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, . В данном случае подходящим множителем является:

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла: .
Уже ближе, но у нас не то слагаемое:

5) К нашему дифференциалу :
– приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять) наше «не то» слагаемое:
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе).

Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Найти неопределенный интеграл:

Найти неопределенный интеграл:

Для решения данных примеров будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в моей таблице:

Как видите, интегрирование дробей – дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…

Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

Пример 7: Решение:

Пример 8: Решение:

Пример 10: Решение:

Пример 13: Решение:

Я проверил каждый пример, а Вы? 😉

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Интегрирование рациональных дробей и функций

– многочлены степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя (m<n), в противном случае дробь называется неправильной .

Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q_n(x)

3. Представим дробь

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

1. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
2. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
3. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
4. Подставим найденные коэффициенты A₁,A₂,…,C_s,D_s в разложение дроби.
5. Проинтегрируем простейшие дроби.

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 4.

Корни знаменателя: x=1, а x 2 +1 = 0 не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональная дробь (рациональная функция) — это отношение двух многочленов $P_ (x)$ и $Q_ (x)$ степеней $m$ и $n$ соответственно:

Дробь $\frac (x)> (x)> $ называется правильной рациональной дробью, если $m

В случае, когда имеется неправильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:

Правильные рациональные дроби вида:

называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.

Рассмотрим нахождение интеграла от рациональной дроби $\frac (x)> (x)> $, т.е.

Алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби следующий:

• Если дробь, стоящая в подынтегральном выражении, является неправильной, то необходимо преобразовать эту дробь в правильную дробь, выделив путем деления многочленов целое выражение.
• Знаменатель полученной дроби необходимо разложить на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
• Полученную рациональную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, методом неопределенных коэффициентов.
• Вычислить интегралы от полученных простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя рациональной дроби.

Возможны несколько случаев (1 и 2 самые простые — распишем подробно):

1 случай:

Корни знаменателя дроби являются действительными и все различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I типа.

Так как $Q_ (x)=(x-a)(x-b). (x-d)$, то

\[\int \frac<2> dx =2\cdot \int \frac =2\cdot \ln |x+1|+C\]

Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:

Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:

Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:

Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:

2 случай:

Корни знаменателя дроби являются действительными, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II типов.

Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:

Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:

Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:

Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:

3 случай:

Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни и все из них различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III типов.

4 случай:

Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III и IV типов.

Таким образом, интеграл от рациональной дроби может быть выражен через:

• логарифмы (интегрирование простейших рациональных дробей I типа);
• рациональные функции (интегрирование простейших рациональных дробей II типа);
• логарифмы и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей III типа);
• рациональные функции и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей IV типа).

Для выполнения интегрирования рациональных дробей вида $\frac<1> +px+q> $ можно применять метод, при котором в знаменателе выделяют полный квадрат, после чего интеграл приводится к табличному: