Как найти длину нити

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне (\(g_л=1,6\ м/с^2\)); б) на Марсе (\(g_м=3,6\ м/с^2\)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

Длина нити: \begin T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\Rightarrow\sqrt <\frac Lg>=\frac<2\pi>\Rightarrow\frac Lg=\left( \frac<2\pi>\right)^2\Rightarrow L = g\left(\frac<2\pi>\right)^2 \end На Луне: $$ L_л=1,6\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,0405\ (м)\approx 4,1\ (см) $$ На Марсе: $$ L_м=3,6\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,0912\ (м)\approx 9,1\ (см) $$ Ответ: 4,1 см; 9,1 см

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2\pi\sqrt <\frac Lg>$$ где \(L\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения.
Для работы принять \(g\approx 9,80665\ м/с^2\).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний \(T_1=1 с;\ T_2=2 с\).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_1\).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний \(T_<1\ эксп>\) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_2\). Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T_<2\ эксп>\).
5. При длине подвеса \(L_2\) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T ‘\). Сравните \(T ‘\) и \(T_<2\ эксп>\).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей \begin L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2\\ T_1=1\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,248\ (м)=24,8\ (см)\\ T_2=2\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<2><2\pi>\right)^2\approx 0,9994\ (м)=99,4\ (см) \end

Определение \(T_<1\ эксп>\)
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\ c\)
Время 10 колебаний

\begin t_=\frac<50><5>=10\\ \triangle_=\frac 15=0,2 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,2\right\>=0,2\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(10,0\pm 0,2)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_<1\ эксп>=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T_<1\ эксп>=(1,00\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>>\cdot 100\text<%>=\frac<0,02><1>\cdot 100\text<%>=2,0\text <%>$$

Определение \(T_<2\ эксп>\)
Время 10 колебаний

\begin t_=\frac<99,5><5>=19,9\\ \triangle_=\frac 15=0,2 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,2\right\>=0,2\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,9\pm 0,2)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_<2\ эксп>=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T_<2\ эксп>=(1,99\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>>\cdot 100\text<%>=\frac<0,02><1,99>\cdot 100\text<%>\approx 1,0\text <%>$$

Определение \(T ‘\) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

\begin t_=\frac<99,8><5>=19,96\\ \triangle_=\frac<1,24><5>\approx 0,25 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,25\right\>=0,25\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,96\pm 0,25)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T’=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T’=(1,996\pm 0,025)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>\cdot 100\text<%>=\frac<0,025><1,996>\cdot 100\text<%>\approx 1,3\text <%>$$

Полученные на опыте интервалы для \(T_<2\ эксп>\) и \(T’\) (одинаковая длина нити \(L_2\) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): \begin 1,97\leq T_<2\ эксп>\leq 2,01\\ 1,971\leq T’\leq 2,021 \end Таким образом, \(T_<2\ эксп>\approx T’\), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

В работе с помощью расчетной формулы были определены длины нитей подвеса для маятников с периодами колебаний \(T_1=1\ с;\ T_2=2\ с\).
Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_1=24,8\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_<1\ эксп>=(1,00\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=2,0\text <%>$$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_<2\ эксп>=(1,99\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=1,0\text <%>$$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 200 г равен $$ T’=(1,996\pm 0,025)\ c,\ \ \delta=1,3\text <%>$$ Формула \(T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\) данными экспериментами подтверждена.
Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от массы грузика на подвесе.

Математический маятник, формула

Математический маятник, представляющий собой точечную массу на невесомой нити, что нельзя реализовать в действительности. Однако, если масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой m тела и длина нити велика по сравнению с размерами тела, то с достаточной точностью выполняется формула (4). Математический маятник совершает гармонические колебания, если угол отклонения не превышает примерно 8º.

и, поскольку величину у при малом угле отклонения φ можно приравнять длине дуги, аналогично формуле Собственная частота колебаний [1] получаем

Период Т не зависит от массы тела. В указанных пределах (φ < 8º) период не зависит от амплитуды.